Ne place matematica !

Problema rezolvata cu Triunghiul dreptunghic

Prezentam o problema in care folosim Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}

Intr-un triunghi dreptunghic cateta care se opune unghiului de 30^{0} masoara jumatate din ipotenuza.

Este important sa stim : catetele intr-un triunghi dreptunghic sunt dreptele care formeaza unghiul de 90^{0}, iar ipotenuza este dreapta care se opune unghiului de 90^{0}.

Daca nu am invatat inca functiile trigonometrice, putem amplica Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0} mai sus enuntata dar si Teorema lui Pitagora, iar in cazul in care stim functiile trigonometrice le aplicam.

Foarte important este sa stim si ca functiile trigonometrice le aplicam doar in triunghiurile dreptunghice.

PROBLEMA !

ABC- triunghi dreptunghic m(A) =90° BC=a m(B) =30°

Calculati: AB=? AC=? sin 30° cos 30° tg 30° ctg 30°

Apoi : m(C) =60° sin 60° cos 60° tg 60° ctg 60°

Solutie:

 

triunghiul dreptunghic

Cum stim ca triunghiul este dreptunghic si avem un unghi de 30^{0} putem aplica Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, adica AC=\frac{BC}{2}\Rightarrow AC=\frac{a}{2}.

Pentru a afla AB, aplicam Teorema lui Pitagora:

BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\Rightarrow a^{2}=AB^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\Rightarrow AB^{2}=a^{2}-\frac{a^{2}}{4}\Rightarrow AB^{2}=\frac{4a^{2}-a^{2}}{4}\Rightarrow AB^{2}=\frac{3a^{2}}{4}\Rightarrow AB=\sqrt{\frac{3a^{2}}{4}}\Rightarrow AB=\frac{a\sqrt{3}}{2}

Sau in triunghiul ABC dreptunghic in A aplicam functiile trigonometrice: \sin B=\frac{cateta\;\; opusa}{ipotenuza}\Rightarrow \sin 30^{0}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{AC}{a}\Rightarrow AC=\frac{a}{2}

Pentru a afla AB, aplicam \cos B=\frac{cateta\;\; alaturata}{ipotenuza}\Rightarrow \cos 30^{0}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AB}{a}\Rightarrow AB=\frac{a\sqrt{3}}{2}

\sin 30^{0}=\frac{1}{2}; \cos 30^{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}; \tan 30^{0}=\frac{\sqrt{3}}{3}

sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2};  cos 60°=\frac{1}{2}; tg 60°=\sqrt{3}; ctg 60°=\frac{\sqrt{3}}{3}.

Asadar, cu ajutorul functiilor trigonometrice, putem rezolva mai usor triunghiul dreptunghic, dar nu trebuie sa uitam de Teorema lui Pitagora,  Teorema inaltimii si teorema Catetei, fiecare avand un rol destul e important.