Ne place matematica !

Aplicatii la logaritmi

Prezentam anumite exercitii cu logaritmi, exercitii care apar la examenul de Bacalaureat.

  1. Demonstrati ca \log_{2}3\cdot\log_{3}5\cdot\log_{5}8=3

Observam ca in cazul exercitiului de mai sus nu avem aceeasi baza, asadar incercam sa aducem la aceeasi baza.

Stim ca \log_{a}A=\frac{\log_{b}A}{\log_{b}a}
\log_{3}[5]=\frac{\log_{2}5}{\log_{2}3}

Dar si \log_{5}[8]=\frac{\log_{2}8}{\log_{2}5}

Rescriind exercitiul cu ce am gasit obtinem:
\log_{2}3\cdot\frac{\log_{2}5}{\log_{2}3}\cdot\frac{\log_{2}8}{\log_{2}5}

Observam ca simplificam pe diagonala si obtinem 1\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{\log_{2}8}{1}=\log_{2}8=3

In cazul exercitiului de mai sus, totul a constat in a aduce logaritmii la aceeasi baza.

2. Demonstrati ca \log_{4}9=\log_{8}27

Solutie:
Luam fiecare logaritm in parte si incercam sa-l rezolvam, astfel avem: \log_{4}9=\log_{4}3^{2}=2\cdot\log_{4}3

Am folosit regula \log_{a}A^{n}=n\cdot\log_{a}A, unde A>0 , a>0, a\neq 1

Dar putem folosi si regula \log_{a^{n}}A=\frac{1}{n}\log_{a}A.
Asadar obtinem 2\cdot\log_{4}3=2\cdot\log_{2^{2}}3=2\cdot\frac{1}{2}\log_{2}3=\log_{2}3.

Iar pentru \log_{8}27=\log_{2^{3}}3^{3}=3\cdot\frac{1}{3}\cdot\log_{2}3=\log_{2}3
Astfel obtinem ca \log_{2}3=\log_{2}3\Rightarrow \log_{4}9=\log_{8}27.
3. Sa se demonstreze ca numarul A=\left(\sqrt{11}\right)^{\log_{12}144}+\log_{2}32-\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} este natural.

Solutie:
Calculam mai intai logaritmii, astfel obtinem:
A=\left(\sqrt{11}\right)^{2}+5-\left(3^{-1}\right)^{-2}

Observam ca pentru \frac{1}{3}=3^{-1}, am folosit regula \frac{1}{a}=a^{-1}

Asadar A=2+5-3^{(-1)\cdot(-2)}
Adica A=2+3+3^{2}, adica A=5+9\Rightarrow A=14\in N.
Pentru cei care nu stiu sa calculeze logartimul dintr-un numar click aici.

Adica pentru \log_{2}32, logaritmul numarului 2 este puterea la care trebuie ridicat 2, pentru a obtine 32, astfel avem ca 2^{5}=32, asadar rezultatul este 5.

4. Demonstrati ca A=\log_{2}(5+\sqrt{7})+\log_{2}(5-\sqrt{7})-2\log_{2}3 este intreg.

Solutie:

Folosind proprietatile logaritmilor obtinem:

A=\log_{2}[(5+\sqrt{7})\cdot(5-\sqrt{7})]-2\log_{2}3

Folosind formula de calcul prescurtat (a-b)\cdot(a+b)=a^{2}-b^{2}, obtinem:

A=\log_{2}[5^{2}-(\sqrt{7})^{2}]-2\log_{2}3

Efectuand calculele obtinem A=\log_{2}(25-7)-2\log_{2}3

Adica A=\log_{2}18-2\log_{2}3\Rightarrow A=\log_{2}3^{2}-2\log_{2}3\Rightarrow A=2\log_{2}3-2\log_{2}3\Rightarrow A=0\in Z.

5. Sa se arate ca log_{2}432=4+3a, unde a=log_{2}3

Descompunad pe 432 obtinem 432=2^{4}\cdot 3^{3}

Asadar avem ca \log_{2}432=\log_{2}(2^{4}\cdot 3^{3}), folosind proprietatile radicalilor obtinem:

\log_{2}(2^{4}\cdot 3^{3})=\log_{2}2^{4}+\log_{2}3^{3}=4\cdot\log_{2}2+3\cdot\log_{2}3=4\cdot 1+3\cdot a=4+3a,unde stim ca a=\log_{2}3.

6.  Demonstrati ca \log_{2\sqrt{2}}3\sqrt{3}=\log_{2}3

Solutie

Luand membrul stang obtinem ca:

\log_{2\sqrt{2}}3\sqrt{3}

Si mai intai introducand factorii sub radicali obtinem: 2\sqrt{2}=\sqrt{2^{2}\cdot 2}=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{8}=8^{\frac{1}{2}}, dar si 3\sqrt{3}=\sqrt{27}=27^{\frac{1}{2}}. asadar obtinem:

\log_{8^{\frac{1}{2}}}27^{\frac{1}{2}}, folosind proprietatile radicalilor obtinem: \frac{1}{2}\cdot\log_{8^{\frac{1}{2}}}27=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac{1}{2}}\log_{8}27=

\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{1}\log_{2^{3}}3^{3}=\frac{2}{2}\log_{2^{3}}3^{3}=

1\cdot 3\log_{2^{3}}3=

\frac{3}{3}\log_{2}3=\log_{2}3, adica ceea ce trebuia sa demonstram.

 

 

 

 

 

 

Leave a comment