Ne place matematica !

Aria poligoanelor studiate

Dupa cum bine stiti pana acum am discutat despre aria triunghiului, unde am invatat formlula de baza pentru un triunghi oarecare, dar si aria paralelogramului, aria dreptunghiului, aria rombului si aria patratului.
Astazi o sa discutam despre Aria poligoanelor studiate.
Incepem prin a defini o noua formula pentru aria triunghiului, nu de mult am invatat si functiile trigonometrice, din acest motiv acesta formula are legatura cu notiunile trigonometrice.
Astfel aria triunghiului se poate calcula cu formulele:
cum calculam aria unui triunghi oarecare
A_{\Delta ABC}=\frac{baza\cdot h}{2}=\frac{BC\cdot AA'}{2}
Deci aria triunghiului este egala cu semiprodusul dintre baza si inaltimea corespunzatoare bazei.

Dar mai exista si alta formula pentru aria unui triunghi, astfel daca stim intr-un triunghi oarecare doua laturi si unghiul format de cele doua laturi aplicam formula:
A_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin BAC}{2}=\frac{a\cdot b\cdot \sin A}{2}
Sau
A_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot BC\cdot \sin ABC}{2}=\frac{a\cdot c\cdot \sin B}{2}
Sau
A_{\Delta ABC}=\frac{AC\cdot BC\cdot \sin BCA}{2}=\frac{c\cdot b\cdot \sin A}{2}
Daca un triunghi ABC este dreptunghic aplicam formula
A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}, unde c_{1}, c_{2} sunt catetele triunghiului dreptunghic.

Daca triunghiul ABC este echilateral aplicam formula A_{\Delta ABC}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}, unde l este latura triunghiului.
Problema:
1) Fie ABC un triunghi isocel de baza BC=16 cm si inaltimea AD=6 cm. Calculati suma lungilor inaltimilor triunghiului.
Demonstratie:

Triunghiul ABC este isoscel de baza BC, cum stim baza, dar si inaltimea, putem afla lungimea segmentelor BD si DC, deoarece conform proprietatilor pentru triunghiul isocel, mediana, mediatoarea, bisectoarea si inaltimea corespunzatoare bazei coincid, deci AD este si mediana si astfel gasim ca

BD=DC=\frac{BC}{2}=\frac{16}{2}=8 cm

Acum in triunghiul ABD putem aplica Teorema lui Pitagora, astfel avem:
AB^{2}=BD^{2}+DA^{2}\Rightarrow AB^{2}=8^{2}+6^{2}\Rightarrow AB^{2}=6+4+36\Rightarrow AB=\sqrt{100}=10 cm
Cum AB=10 cm, gasim si ca AC=10 cm.
Acum sa aflam lungimea inaltimii BE, dusa din varful unghiului B pe latura opusa AC, astfel daca aflam aria triunghiului ABC de baza BC, gasim ca:
A_{\Delta BAC}=\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{16\cdot 6}{2}=\frac{8\cdot 6}{1}=48 cm^{2}
Acum daca calculam aria triunghiului ABC de baza AC gasim ca:
A_{\Delta ABC}=\frac{AC\cdot BE}{2}=\frac{10\cdot BE}{2}=5\cdot BE
Acum daca egalam cele doua arii care le-am gasit obtinem ca:
A_{\Delta BAC}=A_{\Delta ABC}\Rightarrow 48=5\cdot BE\Rightarrow BE=48:5\Rightarrow BE=9,6

Acum daca calculam lungimea inaltimii CF, la fel ca mai sus, gasim ca CF=9,6 cm
Astfel suma lungimi inaltimilor triunghiului este
6+9,6+9,6=25,2 cm
aria triunghiului isoscel
2) Fie ABCD un trapez dreptunghic cu m\left(\widehat{A}\right)=m\left(\widehat{D}\right)=90^{0}, AB=8 cm, BC=5 cm si CD=12 cm
Calculati aria trapezului

Demonstratie:
Ca sa aflam aria trapezului trebuie sa aflam inaltimea tapezului, astfel construim perpendiculara din B pe CD, astfel incat AD=BE, mai stim si ca AB=BE=8 cm, deci putem afla CE=CD-BE=12-8=4 cm
Deci in triunghiul dreptunghic BEC aplicam Teorema lui Pitagora
BE^{2}=BC^{2}-CE^{2}\Rightarrow BE^{2}=25-16\Rightarrow BE=\sqrt{9}=3 cm
Deci inaltimea trapezului este de 3 cm

Acum sa aflam aria trapezului
A_{\Delta ABCD}=\frac{\left(B+b\right)\cdot h_{trapez}}{2}=\frac{\left(AB+CD\right)\cdot AD}{2}=\frac{\left(8+12\right)\cdot 3}{2}=\frac{20\cdot 3}{2}=\frac{60}{2}=30\;\;cm^{2}
cum calculam aria trapezului dreptunghic?