Rezolvari subiecte Evaluarea Nationala 2015

subiecte evaluarea nationala 2015Demonstratie:
a) Stim ca aria unui dreptunghi este A_{dreptunghi}=L\cdot l=AB\cdot AD=150\cdot 100=15000\;\; m^{2}
Dar transformati in hectare obtinem
15 000:10000=1,5 ha
b)Triunghiul MNB isoscel

Stim ca M este mijlocul lui AD astfel avem ca AM=MD=\frac{100}{2}=50 m
Dar mai stim si ca DN=2\cdot NC
Dar stim ca DC=DN+NC\Rightarrow 150 m=2NC+NC\Rightarrow 3NC=150 m\Rightarrow NC=150:3\Rightarrow NC=50\;\; m
Si DN este egal cu DN=150-50=100
Triunghiul DMN este dretunghic in D si cu Teorema lui Pitagoram obtinem
MN^{2}=DM^{2}+DN^{2}\Rightarrow MN^{2}=100^{2}+50^{2}\Rightarrow MN^{2}=10000+2500\Rightarrow MN^{2}=12500\Rightarrow MN=\sqrt{12500}=10\cdot 5\sqrt{5}\Rightarrow MN=50\sqrt{5}
Dar si BN^{2}=BC^{2}+CN^{2}\Rightarrow BN^{2}=10000+2500\Rightarrow BN^{2}=12500\Rightarrow BN=\sqrt{12500}=10\cdot 5\sqrt{5}\Rightarrow BN=50\sqrt{5}
Astfel obtinem ca MN=BN=50\sqrt{5}\;\; m
Deci triunghiul MNB isoscel de baza MB.
c) Masura unghiului MN si NB.
m\left(\widehat{MN,NB}\right)=m\left(\widehat{MNB}\right)=
Stim ca Triunghiul MNB este isoscel de baza BM, astfel in triunghiul ABM aplicam Teorema luin Pitagora:
BM^{2}=AM^{2}+AB^{2}\Rightarrow BM^{2}=50^{2}+150^{2}\Rightarrow BM^{2}=2500+22500\Rightarrow BM^{2}=25000\Rightarrow BM=\sqrt{25000}=5\cdot 10\sqrt{10}=50\sqrt{10}
Astfel stim ca MN=BN=50\sqrt{5} si BM=50\sqrt{10}

si cu Reciproca Teoremai lui Pitagora obtinem BM^{2}=MN^{2}+BN^{2}\Rightarrow 25000=12500+12500
Astfel obtinem ca Triunghiul MNB este dreptunghic isoscel astfel avem ca m\left(\widehat{MNB}\right)=90^{0}

2. Observam ca avem o piramida patrulatera regulata, in care triunghiul VAD este isoscel si VM mediana, inaltime, mediatoare si bisectoare deci cu teorema lui Pitagora VM^{2}=VA^{2}-AM^{2}, unde AM=MD=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\;\; cm
Astfel VM^{2}=\left(3\sqrt{5}\right)^{2}-3^{2}\Rightarrow VM=\sqrt{45-9}\Rightarrow VM=\sqrt{36}=6\;\; dm
b) Pentru a afla cate grame de vopsea sunt necesare calculam aria laterala
A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}
stim ca
a_{p}=VM=6 cm
Astfel A_{l}=\frac{4\cdot 6\cdot 6}{2}=\frac{24\cdot 6}{2}=\frac{12\cdot 6}{1}=72\;\; dm^{2}
Stim ca pentru 1 dm^{2} se folosec 30 g vopsea, astfel trebuie 72\cdot 30 g=2160g
deci ne trebuie 2160 g
c) \sin\left(\widehat{(VAD),(VMB)}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}
Dupa cum stiti cand avem sa aflam masura unghiului dintre doua plane aflam intersectia celor doua plane, astfel stim ca daca doua plane au un puncte in comun ele au si o drepata in comun, astfel  (VAD)\cap(VBC)={V}
Astfel avem VM\perp AD; VM, AD\subset(VAD)
si construim VN\perp BC; VN, BC\subset(VBC)
Astfel avem sinusul unghiului \sin\left(\widehat{VN,VM}\right)=\sin\widehat{NVM}
Observam ca MN=DC=AB=6 dm
din a) stim si ca VM=6 dm, obtinem si ca VN=6 cm, deci triunghiul MVN este echilateral.
Astfel stim ca A_{\Delta MVN}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\; dm
Astfel mai stim si ca A_{\Delta}=\frac{MV\cdot NV\cdot \sin\widehat{MVN}}{2}=\frac{6\cdot 6\cdot\sin\widehat{MVN}}{2}=\frac{36\cdot\sin\widehat{MVN}}{2}=18\sin\widehat{MVN}
Astfel egaland ariile stim ca 18\sin\widehat{MVN}=9\sqrt{3}\Rightarrow \sin\widehat{MVN}=\frac{9\sqrt{3}}{18}=\frac{\sqrt{3}}{2}

Rezolvare subiecte Evaluarea Nationala 2015

La subiectul I

1. Tinand cont de ordinea efectuarii operatiilor, efectuam mai intai inmultirea si apoi scaderea, deci rezultatul este 0.

subiecte Evaluarea Nationala

2. Solutie

Dupa cum stim din calsele mai mici a este un extrem astfel a=\frac{4\cdot 3}{2}=\frac{12}{2}=6

3. Cel mai mare numar natural care apartine intervalului [1, 5] este 5, deoarece avem un interval inchis la ambele capatete si dupa cum bine stiti se ia si ultimul element daca avem un interval inchis.

4. Perimetrul unui Patrat este 4\cdot l, stiind ca latura este de 6 cm, atunci P_{ABCD}=4\cdot 6=24 cm

5.  Masura unghiului dintre dreptele AB si BF este m\left(\widehat{AB, BF}\right)=m\left(\widehat{ABF}\right)=90^{0}

Deoarece observam ca triunghiul ABF este dreptunghic in B.

6. Numarul elevilor care au obtinut nota 10 este egal cu 3.

Subiectul II

1. Paralelipipedul dreptunghic - Copy - Copy
2. Multipli lui 40 de doua cifre sunt
M_{40}=\left\{40, 80\right\}
Deci media aritmetica este
M_{a}=\frac{40+80}{2}=\frac{120}{2}=60
3. Notam cu x suma de bani
Stim ca in prima zi a cheltuit 30% din suma
Iar in a a doua zi restul de 35 de lei.
Astfel avem ecuatia x-30%\cdot x-35=0\Rightarrow x-\frac{30}{100}\cdot x=35\Rightarrow \frac{100x}{100}-\frac{30x}{100}=35\Rightarrow \frac{70x}{100}=35\Rightarrow \frac{7x}{10}=35\Rightarrow x=\frac{35\cdot 10}{7}=\frac{350}{7}=50\;\;lei
Iar in prima zi a cheltuit
\frac{30}{100}\cdot 50=\frac{1500}{100}=15\;\; lei
4. Avem functia liniara f:R\rightarrow R, f(x)=x+2
a) f(-2)=-2+2=0
b) Acum pentru a calcula graficul functie, stim ca
G_{f}\cap OX
y=0 si
f\left(x\right)=0\rightarrow x+2=0\Rightarrow x=-2
Deci avem primul punctu A(-2,0)
Iar G_{f}\cap OY
Avem x=0\rightarrow f(0)=2
Deci punctul B(0,2)
graficul functie Evaluarea nationala
5. Trebuie sa aratam ca expresia E(x)=-1
Asfel avem
E(x)=\frac{(x-7)(x+7)}{x(x-7)}-\frac{2x+7}{x(x+1)}\cdot\frac{x+1}{1}
Observati ca am folosit formula de calcul prescurtat a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)
Astfel expresia devine
E(x)=\frac{x+7}{x}-\frac{2x+7}{x}=\frac{x+7-2x-7}{x}=frac{-x+0}{x}=\frac{-x}{x}=-1

Variante BAC M1

Propunem spre rezolvare un exercitiu de analaiza matematica in care calculam primitiva unei functii, limita unei primitive, dar si o integrala mai complicata, astfel:

Fie functia f:R\rightarrow R f\left(x\right)=\frac{\sin x}{1+cos^{2}x}

a) Calculati \int f\left(x\right) dx

b) Fie F:R\rightarrow R, o primitiva a functiei f, calcuati \lim_{x\to 0}{\frac{F(x)-F(0)}{x^{2}}}

c) Calcuati \int_{0}^{2\pi} x\cdot f(x)dx

Solutie:

a) Variante BAC M1 ! Integrala devine \int f\left(x\right) dx=\int\frac{\sin x}{1+cos^{2}x}dx

Ca sa rezolvam integrala folosim Metoda schimbarii de variabile. Cei care nu va mai reamintiti click aici. Astfel notam \cos x=t

Iar pentru a afla dx, derivam  egalitatea de mai sus in functie de dx dar si in functie de dt \left(\cos x\right)^{'} dx=t^{'} dt\Rightarrow -\sin x dx=dt\Rightarrow \sin x dx=-dt

Astfel integrala devine \int \frac{-dt}{1+t^{2}}=-\frac{1}{1}\arctan\frac{t}{1}=-\arctan\frac{\cos x}{1}+C=-\arctan(\cos x)+C

Mai sus am folosit formula de la integralele uzuale \int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C

b) Variante BAC M1 ! Stiind ca F este o primitiva a functie f , observam ca cu informatiile de la punctul a)  stim ca F(x)=-\arctan(\cos x)+C si limita devine:

\lim\limits_{x\to 0}{\frac{F{x}-F(0)}{x^{2}}}=

Dar mai intai calculam F(0)=-\arctan(cos 0)=-\arctan 1=0

Astfel limita devine \lim\limits_{x\to 0}{\frac{-\arctan{\cos x}-0}{x^{2}}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{-\arctan{\cos x}}{x^{2}}}=\frac{0}{0}

Observati ca suntem in cazul de nedeterminare 0/0, astfel cu regula lui L’ Hospital avem ca \lim\limits_{x\to 0}{\frac{\left(-arctan(\cos x)\right)^{'}}{\left(x^{2}\right)^{'}}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{f(x)}{2x}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{f^{'}(x)}{2}}=

Mai mai intai calculam f^{'}(x)^=\frac{\cos x\left(1+\cos^{2}x\right)-\sin x\left(-2\cos x\cdot\sin x\right)}{\left(1+\cos^{2} x\right)^{2}}=\frac{cos x+cos^{3} x+2\cos x\sin^{2} x}{\left(1+\cos^{2}x\right)}

Pentru x=0 derivata devine f^{'}(0)=\frac{1+1+0}{\left(1+1\right)^{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}

Adica limita devine: \lim\limits_{x\to 0}{\frac{\frac{1}{2}}{2}}=\frac{1}{4}

c) Variante BAC M1 ! Integrala devine \int^{2\pi}_{0}x\cdot f(x)dx=\int^{2\pi}_{0}x\cdot\frac{\sin x}{1+\cos^{2}x} dx=\int^{2\pi}_{0}=\frac{x\sin x}{1+\cos^{2}x}dx=

Pentru a rezolva integrala facem schimbarea de variabila

t=2\pi-x\Rightarrow -x=t-2\pi\Rightarrow x=2\pi-t

Si obtinem (t)^{'}dt=(2\pi-x)^{'}dx\Rightarrow dt=-dx

Iar capetele intervalului devin x=0\Rightarrow t=2\pi-0=2\pi

Iar pentru x=2\pi\Rightarrow t=2\pi-2\pi=0

Astfel integrala devine \int^{0}_{2\pi}\left(2\pi-t\right)f\left(2\pi-t\right)\left(-dt\right)=\int_{0}^{2\pi}\left(2\pi-t\right)f\left(2\pi-t\right)dt=2\pi\int^{2\pi}_{0}f\left(2\pi-t\right)dt-\int^{2\pi}_{0}t\cdot f\left(2\pi-t\right) dt

Dar stim ca f\left(2\pi-t\right)=\frac{\sin(2\pi-t)}{1+\cos^{2}(2\pi-t)}

Dar stim ca \sin(2\pi -t)=\sin 2\pi\cdot\cos t-\cos 2\pi\sin t=-(-1)\cdot \sin t=-\sin t dar si \cos(2\pi -t)=\cos 2\pi \cos t+\sin 2\pi\sin t=\cos t astfel f(2\pi-t)=\frac{-\sin t}{1+\cos^{2}t}

Si integrala devine 2\pi\int^{2\pi}_{0}\frac{-\sin t}{1+\cos^{2}t}(-dt)-\int^{2\pi}_{0}\frac{t\cdot (-\sin t)}{1+\cos^{2}t} (-dt)

 

Astfel integrala devine: \int_{0}^{2\pi}x\cdot f(x)dx=2\pi\int^{2\pi}_{0}\frac{\sin t}{1+\cos^{2}t}dt-\int^{2\pi}_{0}\frac{t\cdot \sin t}{1+\cos^{2}t} dt
\Rightarrow \int^{2\pi}_{0}x\cdot f(x)dx=\frac{1}{2}\cdot 2\pi\int^{2\pi}_{0}\frac{\sin t}{1+\cos^{2} t}dt=-\pi\arctan(cos t)|^{2\pi}_{0}=

-\pi\left(arctan(cos 2\pi)-arctan(cos 0)\right)=-\pi\left(arctan 1-arctan 1\right)=0

 

Top 3 telefoane inteligente cu pretul sub 500 de lei

Noi spunem ca este momentul sa mai lasati matematica deoparte, macar in week-end 🙂 , si sa vedeti cateva exemple de telefoane inteligente destul de ieftine dar perfecte pentru activitatile voastre zilnice.

Cine a fost harnic si a luat note bune la matematica poate cere parintilor o mica rasplata iar unul dintre telefoanele de mai jos poate fi potrivit. Dar si cei cu note mai mici merita un telefon pentru ca este posibil ca sa se puna cu burta pe carte, motivati de un astfel de cadou.

Asadar, dragi oaspeti ai MatePedia.ro, va rugam sa va chemati parintii si sa le aratati unul dintre telefoanele mobile de mai jos. Cine stie, poate o sa primiti un cadou foarte curand 🙂 .

1. Allview P6 Life, Dual SIM

Allview P6 LifeUn telefon incredibil ce are un pret mai mic de 500 de lei (Este la promotie ). Iata cateva caracteristici :

  • Doua camere foto, multe functii utile
  • Display generos in culori superbe
  • GPS cu suport software Sygic
  • Securitate sporita
  • Dual SIM

2. Samsung Galaxy Core 2, Dual Sim

samsung core 2Un telefon durabil care se potriveste perfect atat pentru fete cat si pentru baieti. Daca il cumparati azi aveti reducere 50 de lei. Despre acest telefon pe scurt :

  • Performanta puternica datorita unui procesor Quad Core
  • Android ™ v4.4 KitKat
  • Usor de folosit la fel ca toate produsele Samsung
  • Camera de 5 MP pentru poze clare
  • Dual SIM

3. Microsoft Lumia 532 Dual Sim

lumia microsoftUn telefon puternic si rezistent.Are un procesor Snapdragon™ quad-core si este dotat cu servicii Microsoft populare precum Skype, OneDrive si Office. Si acesta este la oferta daca va decideti mai repede. Caracteristici de retinut :

  • Cele mai bune aplicatii (WhatsApp, Instagram si Facebook)
  • Culoare impresionanta si design minunat
  • Doua cartele SIM
  • Apeluri video cu Skype

Aceasta a fost selectia de telefoane inteligente care se vand cu preturi sub 500 de lei.

 

Probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor in multimea numerelor intregi

Dupa ce am invatat sa rezolvam ecuatii si inecuatii in multimea numerelor intregi, dupa cum bine stiti vine vremea sa invatam sa rezolvam si probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor in multimea numerelor intregi.
De rezolvat probleme cu ajutorul ecuatiilor am mai invatat si in clasele mai mici diferenta este ca atunci am invatt sa rezolvam in multimea numerelor naturale sau rationale pozitive, iar acum si pentru numerele intregi.
Dar mai intai sa ne reamintim cu rezolvam ecuatiile si incuatiile in Z.
Rezolvati ecuatiile:
a) -2x+3=-9\rightarrow -2x+3-3=-9-3\Rightarrow -2x=(-9)+(-3)\Rightarrow -2x=-12\Rightarrow x=(-12):(-3)\Rightarrow x=4
Obserervati ca mai intai am scazut din ambii membri termenul liber 3, iar apoi am efectua impartirea numerelor intregi.
b) Notiunea noua care am mai invatat-o la numere intregi a fost modulul sau valoarea absoluta a unui numar intreg, asadar rezolvam si o ecuatie cand avem si modulul unei expresii.
2|2x+1|=8|:2\Rightarrow |2x+1|=8:2\Rightarrow |2x+1|=4
Observati ca in ambii membrii am impartit printr-un 2.
Dar de la  definitia modulului stim ca
|x|=x,\;\;\; daca\;\; x>0, astfel ecuatia devine
2x+1=4\Rightarrow 2x=4-1\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac{3}{2}, si observam ca ecuatia nu are solutii in Z
Dar mai stim si ca
|x|=-x,\;\; daca\;\; x<0
Astfel ecuatia devine
-(2x+1)=4\Rightarrow -2x-1=4\Rightarrow -2x=4+1\Rightarrow -2x=5\Rightarrow x=\frac{5}{-2}\Rightarrow x=-\frac{5}{2}, la fel ca si mai sus ecuatia nu are solutii in Z.
2.Rezolvati inecuatiile in Z.
a) -5x+10\leq -12x+31
Observam ca nu avem o ecuatie de forma ax+b\leq c, deci trebuie sa o aducem la forma de mai sus, astfel avem
-5x+12x\leq 31-10\Rightarrow 7x\leq 21\Rightarrow x\leq 21:7\rightarrow x\leq 3, asadar solutiile inecuatiei sunt
x\in\left\{3, 2, 1, 0,-1, -2,.....,...\right\}
Dar avem si ineciatii de forma
|2x-1|\leq 5
Ca sa rezolvam inecuatia in care apare si modulul trebue sa tinem cont de regula
|x|\leq a\Rightarrow -a\leq x\leq a
Asadar inecuatia devine
-5\leq 2x-1\leq 5|+1\Rightarrow -5+1\leq 2x-1+1\leq 5+1\Rightarrow -4\leq 2x\leq 6|:2\Rightarrow -4:2\leq 2x:2\leq 6:2\Rightarrow -2\leq x\leq 3
Asadar solutia inecuatiei se afla intere numere -2 si 3, adica
x\in\left\{3, 2, 1, 0, -1, -2\right\}
Dar avem si inecuatii de forma
|2x-5|\geq 7
Regula pentru rezolvarea inecuatiilor de aceasta forma este:
|x|\leq a\Rightarrow x\leq a, dar si -a\leq x
Astfel avem:
2x-5\leq 7\Rightarrow 2x\leq 7+5\Rightarrow 2x\leq 12\Rightarrow x\leq 12:2\Rightarrow x\leq 6, deci solutia inecuatiei este:x\in\left\{6, 5, 4, 3, 2,.....,\right\}
Dar mai avem de rezolvat si inecuatia:
-7\leq 2x-5\Rightarrow 2x-5\geq -7\Rightarrow 2x\geq -7+5\Rightarrow 2x\geq -2\Rightarrow x\geq -2:2\Rightarrow x\geq -1
Adica solutia inecuatiei este x\in\left\{-1, 0, 1, 2, 3,....,...\right\}
Iar daca efectuam inetersectia celor doua inecuatii
\left\{6, 5, 4, 3, 2,.....,\right\}\cap \left\{-1, 0, 1, 2, 3,....,...\right\}=\left\{6, 5, 4, 3, 2, 1,0, -1\right\}
Adica x\in Z\ \left\{ 5, 4, 3, 2, 1,0, \right\}
Dar reintorcandu-ne la cea ce noi vrem sa discutam
Adica probleme care se rezolvam cu ajutorul ecuatiilor in Z.
dupa cum am zis probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor am mai rezolvat, dar acum ne reamintim etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru a rezolva problemele cu ajutorul ecuatiilor in Z:
– alegem necunoscuta, de cele mai multe ori alegem ca necunoscuta ceea ce ni se cere in problema
– scriem datele problemei in functie de necunoscuta aleasa
– punem problema in ecuatie
– rezolvam ecuatia
– verificam si interpretam rezultatul
Exemplu
1. Daca inmultim un numar cu 3, iar rezultatul il adunam cu 40, obtinem -260. Aflati numarul.
Solutie:
notam cu x numarul necunoscut
formam ecuatia
3\cdot x+40=-260
dupa ce am forma ecuatia rezolvam ecuatia:
3x=-260-40\Rightarrow 3x=-300\Rightarrow x=-300:2\Rightarrow x=-10
Deci numarul gasit este -100.
2.Tatal, mama si fiul au impreuna 96 de ani.Tata este cu 8 ani mai in varsta decat mama, iar fiul este cu 20 de ani mai tanar decat mama. aflati cati ani are fiecare.

Solutie:

Notam cu

– x varsta tatalui

– y varsta mamei

– y varsta fiului

Astfel avem ecuatia x+y+z=96 Tatal, mama si fiul au impreuna 96 de ani.

x=8+y Tatal este cu 8 ani mai in vatsta

z=y-20

astfel boservati ca in cazul de fata avem trei ecuatii cu trei necunoscute, daca inlocuim in prima ecuatie obtinem

8+y+y+y-20=96\Rightarrow 3y-12=96\Rightarrow 3y=96+12\Rightarrow 3y=108\Rightarrow y=108:3\Rightarrow y=36

Deci am obtinut ca mama are 36 ani, iar tata

x=8+y\Rightarrow x=8+36\Rightarrow x=44, adica tata are 44 ani, iar fiul z=y-20\Rightarrow z=36-20\Rightarrow z=16

Asadar este foarte important sa cunoastem etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru a rezolva probleme, dar si sa stim sa rezolvam ecuatii in multimea numerelor intregi.

 

Probleme rezolvate cu functiile trigonometrice

Prezentam o problema pe care o rezolvam cu ajutorul functiilor trigonometrice, dar si probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor

Rombul ABCD are latura AB=10 cm .Daca tg unghiului \tan\widehat{BAC}=\frac{3}{4} ,determinati lungimile diagonalelor .

Demonstratie:

Stim ca diagonalele intr-un romb sunt perpendiculare astfel avem ca: AC\cap BD=\left\{O\right\}

Dar si AC\perp BD

Deci avem ca: \Delta BAO este dreptunghic in O, adica putem aplica  functiile trigonometrice 

\tan\widehat{BAC}=\tan\widehat{BAO}=\frac{BO}{AO}\Rightarrow \frac{3}{4}=\frac{BO}{AO}\Rightarrow BO=\frac{3}{4}\cdot AO

Dar cu Teorema lui Pitagora avem ca:

AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}\Rightarrow 10^{2}=AO^{2}+\left(\frac{3}{4}\cdot AO\right)^{2}\Rightarrow AO^{2}+\frac{9}{16}AO^{2}=100\Rightarrow \frac{16}{16}AO^{2}+\frac{9}{16}AO^{2}=100\Rightarrow \frac{25}{16}AO^{2}=100\Rightarrow AO^{2}=100:\frac{25}{16}\Rightarrow AO^{2}=100\cdot\frac{16}{25}\Rightarrow AO^{2}=4\cdot 16\Rightarrow AO=\sqrt{4\cdot 16}=2\cdot 4\Rightarrow AO=8\;\; cm

Iar AC=2\cdot AO=2\cdot 8=16

cum  aplicam functiile trigonometriceIar BO=\frac{3}{4}\cdot 8=\frac{3\cdot 8}{4}=\frac{24}{4}=6\;\; cm

Iar BD=2\cdot BO=2\cdot 6=12\;\; cm

2. Petre citeste o carte in 3 zile.In prima zi  el citeste de 2 ori mai mult decat in a doua zi , iar in a treia zi citeste jumatate din numarul de pagini citite in a doua zi . Cartea are 56 de pagini. Afla cate pagini a citit elevul in fiecare zi.

Solutie:

Notam cu x numarul de pagini citite in a doua zi:

In prima zi  citeste: 2x

In a trei zi citeste \frac{x}{2}

Astfel avem: 2x+x+\frac{x}{2}=56\Rightarrow \frac{4x}{2}+\frac{2x}{2}+\frac{x}{2}=56\Rightarrow

\frac{7x}{2}=56\Rightarrow x=56:\frac{7}{2}\Rightarrow

x=56\cdot\frac{2}{7}\Rightarrow x=8\cdot 2=16

Deci in a doua zi 16 pagini.

Iar in prima zi 2\cdot x=2\cdot 16=32

Iar in a treia zi \frac{x}{2}=\frac{16}{2}=8

3. Suma a 5 nr consecutive este egala cu 5 sa sa afle nr

Solutie:

Fie n, n+1, n+2, n+3, n+4 numerele consecutive

n+n+1+n+2+n+3+n+4=5

De unde obtinem: 5n+10=5
Adica obtinem  5n=5-10
Adica
5n=-5
Iar n=-1
Adica primul numar este -1
Al doilea numar este: n+1=-1+1=0
Al treilea numar este n+2=-1+2=1
Al patrulea n+3=-1+3=2
Iar la V lea n+4=-1+4=3
Deci numerele sunt: -1; 0; 1; 2; 3;

Model Teza clasa a vii a

Lucrare scrisa la matematica
Clasa a VII a
Semestrul al II-lea

Completati enunturile cu raspunsul corect:(40 puncte)
1. Rezultatul calculului \left(2+\sqrt{3}\right)+|4\sqrt{3}-7| este…….
2. In m\left(\widehat{A}\right)=90^{0}, m\left(\widehat{B}\right)=30^{0} si AC=3 cm, atunci BC=….
3.Daca un triunghi dreptunghic are catetele de lungime egala cu 3 cm, respectiv 4 cm, atunci lungimea ipotenuzei este de …… cm.
4. Solutiile reale ale ecuatiei 16x^{2}-9=0 sunt ….. si……
5. Ionel cheltuieste 30% din suma de bani pe care o avea si astfel ramane cu 84 de lei. Ionel aveam ….. lei
6. Daca a-b=5 si a^{2}-b^{2}=420, atunci valoarea sumei a+b este….
7. Aria unui triunghi dreptunghic ABC m\left(\widehat{A}\right)=90^{0} cu BC=10 cm si AB=8 cm este….
8. Descompunerea in factori a expresia x^{2}-xy-4+2y este……
9.Consideram A si B doua puncte pe un cerc de centru O si raza r=8 cm, astfel incat AB=8\sqrt{3}\;\; cm. Atunci masura arcului mic AB este…….

Subiectul II
La urmatoarele probleme se cer rezolvari complete

1. Aratati ca numarul a=\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\left(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}-\sqrt{48} este intreg
2. Rezolvati ecuatia 3\left(2x-1\right)-5\left(3x-1\right)=1
3. Calculati E=\sin 45^{0}\cdot \cos 30^{0}-\sin 30^{0}\cdot cos 45^{0}
4.Trapezul dreptunghic ABCD are AB||CD m\left(\widehat{A}\right)=90^{0} si AB=6 cm, BC=5 cm,, CD=2 cm
a) Aratati ca inaltimea trapezului este egala cu 3 cm
b) Perimetrul si aria trapezului, dar si \sin\left(\widehat{ABC}\right)
c) Calculati Perimetrul triunghiului MAB unde {M}=AD\cap BC

Cum aflam inaltimea intr-un trapez

Sa ne reamintim cum se afla inaltimea intr-un trapez, printr-o problema rezolvata pentru un vizitator al MatePedia.ro.

Aflati inaltimea unui trapez ABCD (AB//CD€ cand se cunosc:

a) AB=13cm, BC=5cm, AC=12cm

Demonstratie:

a) Observam ca am obtinut triunghiul ABC si daca aplicam reciporoca lui Pitagora obtinem ca AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}\Rightarrow 13^{2}=12^{2}+5^{2}

Astfel obtinem ca triunghiul ABC e dreptunghic in C.

reciproca lui Pitagora
Astfel daca construim inaltimea trapezului din varfulul unghiului C care coincide cu inaltimea in triunghiul dreptunghic ABC si obtinem:
fie CE\perp AB. Astfel cu Teorema inaltimii obtinem CE=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{12\cdot 5}{13}=\frac{60}{13}\;\; cm
cum aflam inaltimea intr-un trapez