Probleme rezolvate Calculul de distante si masuri de unghiuri

Prezentam probleme rezolvate cu distante si masuri de unghiuri, probleme care s-au dat la Evaluarea Nationala.

Paralelipipedul dreptunghic ACDA’B’C’D’ are AA'=3\sqrt{5}, AB=6 cm, BC=3 cm. Fie O mijlocul segmentului [BD], iar M mijlocul segmentului [AB].

a) Demonstrati ca OM\perp A'B

b) Calculati m\left(\widehat{(D'B,((ABC))}\right)

c) Calculati \tan(\widehat{(A'DM),(D'DM)})

Demonstratie:
cum aratam ca doua drepte sunt perpendiculare
Stim ca O este mijlocul lui [BD]
M este mijlocul lui [AB], atunci obtinem ca OM este linie mijlocie in triunghiul ABD, astfel obtinem OM||AD

Observam ca AB secanta, asadar \widehat{OMB}\equiv\widehat{DAB} (ca unghiuri corespondente), asadar obtinem m\left(\widehat{OMB}\right)=90^{0}, asadar obtinem ca OM\perp AB. Dar observam ca OM\perp AA', asadar OM\perp (A'AB). Daca OM\perp (A'AB), observam ca A'B\subset(A'AB) obtinem ca OM\perp A'B.

b) Pentru a afla masura unghiului unei drepte cu un plan calculam proiectia dreptei pe planul respectiv pr_{(ABC)}D'B

Ca sa aflam mai usor proiectia dreptei, calculam mai intai proiectia fiecarui punct pe planul respectiv, asadar:
pr_{(ABC)}D'=D
Si pr_{(ABC)}B=B

Asadar pr_{(ABC)}D'B=DB
asadar obtinem unghiul m\left(\widehat{(D'B,((ABC))}\right)=m\left(\widehat{D'B, DB}\right)=m\left(\widehat{D'BD}\right)

Astfel avem ca triunghiul D’BD este dreptunghic in D, stim ca DD'=AA'=3\sqrt{5}

Iar cu Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic ABD, putem afla BD, astfel avem ca DB^{2}=AD^{2}+AB^{2}\Rightarrow DB^{2}=3^{2}+6^{2}\Rightarrow DB^{2}=9+36\Rightarrow DB=\sqrt{45}\Rightarrow DB=3\sqrt{5}

Asadar observam ca DB=DD'=3\sqrt{5}, adica triunghiul DD’B este isoscel, de mai sus stiind ca este si dreptunghic, obtinem ca DD’B este dreptunghic isoscel, asadar m\left(\widehat{D'BD}\right)=45^{0}.

c) \tan(\widehat{(A'DM),(D'DM)})
Pentru a afla tangenta unghiului celor doua plane mai intai aflam intersectia celor doua plane, astfel avem ca (A'DM)\cap (D'DM)=\left\{DM\right\}

Fie P mijlocul segmentului [A’B’], iar S mijlocul segmentului [DM].

Observam ca in triunghiul A’DM, A’D=AM, iar S fiind mijlocul lui DM, obtinem ca A'S\perp DM, deoarece triunghiul A’DM fiind isoscel, iar S mijlocul bazei, obtinem ca A’S este si inaltime.
unghiul a doua plane
Acum pentru a afla perpendiculara din D’ pe DM, am luat P- mijlocul lui A’B’, si observam ca D’PMD este dreptunghi, astfel, fie N mijlocul lui [D’P], obtinem ca NS\perp DM, si astfel avem unghiul

\tan(\widehat{(A'DM),(D'DM)})=\tan(\widehat{A'S, NS})=\tan\widehat{A'SN}

Stim ca SN=NP=AA'=3\sqrt{5}, iar triunghiul ANS este dreptunghic in N.

Pentru a afla AN, observam ca triunghiul A’D’P este dreptunghic in A’, stim ca AD’=A’P=3 astfel cu teorema lui Pitagora obtinem D'P^{2}=3^{2}+3^{2}\rightarrow D'P^{2}=18\Rightarrow D'P=\sqrt{18}=3\sqrt{2}, aplicand teorema medianei, obtinem A'N=\frac{D'P}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}

Astfel avem ca \tan\widehat{A'SN}=\frac{A'N}{SN}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{3\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}:\frac{3\sqrt{5}}{1}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{2\cdot 5}=\frac{\sqrt{10}}{10}

Dreapta perpendiculara pe un plan. Problema rezolvata

Fie ABC un ∆ echilateral cu latura de 3 cm. În punctul A se construiește perpendiculara pe planul ∆ pe care se considera punctul D astfel incat AD=4 cm. Aflati perimetrul ∆DBC.

Cum triunghiul ABC este echilateral stim ca AB=AC=BC (triunghiul echilateral are toate laturile egale)

Stim ca DA\perp (ABC) astfel avem si ca DA\perp AB, adica m\left(\widehat{DAB}\right)=90^{0}. Si cu teorema lui Pitagora obtinem ca :

DB^{2}=DA^{2}+AB^{2}\Rightarrow DB^{2}=4^{2}+3^{2}\Rightarrow DB^{2}=16+9\Rightarrow DB=\sqrt{25}\Rightarrow DB=5 cm

Dar DA\perp AC de unde obtinem si ca m\left(\widehat{DAC}\right)=90^{0}. Adica cu teorema lui Pitagora in triunghiul  dreptunghic DAC obtinem:

DC^{2}=DA^{2}+AC^{2}\Rightarrow DC^{2}=4^{2}+3^{2}\Rightarrow DC^{2}=16+9\Rightarrow DC=\sqrt{25}\Rightarrow DC=5 cm

Asadar,  perimetrul triunghiului DBC este

P_{\Delta DBC}=DB+DC+BC=5+5+3=13 cm

dreapta-perpendiculara-pe-un-plan

Aplicatii la logaritmi

Prezentam anumite exercitii cu logaritmi, exercitii care apar la examenul de Bacalaureat.

  1. Demonstrati ca \log_{2}3\cdot\log_{3}5\cdot\log_{5}8=3

Observam ca in cazul exercitiului de mai sus nu avem aceeasi baza, asadar incercam sa aducem la aceeasi baza.

Stim ca \log_{a}A=\frac{\log_{b}A}{\log_{b}a}
\log_{3}[5]=\frac{\log_{2}5}{\log_{2}3}

Dar si \log_{5}[8]=\frac{\log_{2}8}{\log_{2}5}

Rescriind exercitiul cu ce am gasit obtinem:
\log_{2}3\cdot\frac{\log_{2}5}{\log_{2}3}\cdot\frac{\log_{2}8}{\log_{2}5}

Observam ca simplificam pe diagonala si obtinem 1\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{\log_{2}8}{1}=\log_{2}8=3

In cazul exercitiului de mai sus, totul a constat in a aduce logaritmii la aceeasi baza.

2. Demonstrati ca \log_{4}9=\log_{8}27

Solutie:
Luam fiecare logaritm in parte si incercam sa-l rezolvam, astfel avem: \log_{4}9=\log_{4}3^{2}=2\cdot\log_{4}3

Am folosit regula \log_{a}A^{n}=n\cdot\log_{a}A, unde A>0 , a>0, a\neq 1

Dar putem folosi si regula \log_{a^{n}}A=\frac{1}{n}\log_{a}A.
Asadar obtinem 2\cdot\log_{4}3=2\cdot\log_{2^{2}}3=2\cdot\frac{1}{2}\log_{2}3=\log_{2}3.

Iar pentru \log_{8}27=\log_{2^{3}}3^{3}=3\cdot\frac{1}{3}\cdot\log_{2}3=\log_{2}3
Astfel obtinem ca \log_{2}3=\log_{2}3\Rightarrow \log_{4}9=\log_{8}27.
3. Sa se demonstreze ca numarul A=\left(\sqrt{11}\right)^{\log_{12}144}+\log_{2}32-\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} este natural.

Solutie:
Calculam mai intai logaritmii, astfel obtinem:
A=\left(\sqrt{11}\right)^{2}+5-\left(3^{-1}\right)^{-2}

Observam ca pentru \frac{1}{3}=3^{-1}, am folosit regula \frac{1}{a}=a^{-1}

Asadar A=2+5-3^{(-1)\cdot(-2)}
Adica A=2+3+3^{2}, adica A=5+9\Rightarrow A=14\in N.
Pentru cei care nu stiu sa calculeze logartimul dintr-un numar click aici.

Adica pentru \log_{2}32, logaritmul numarului 2 este puterea la care trebuie ridicat 2, pentru a obtine 32, astfel avem ca 2^{5}=32, asadar rezultatul este 5.

4. Demonstrati ca A=\log_{2}(5+\sqrt{7})+\log_{2}(5-\sqrt{7})-2\log_{2}3 este intreg.

Solutie:

Folosind proprietatile logaritmilor obtinem:

A=\log_{2}[(5+\sqrt{7})\cdot(5-\sqrt{7})]-2\log_{2}3

Folosind formula de calcul prescurtat (a-b)\cdot(a+b)=a^{2}-b^{2}, obtinem:

A=\log_{2}[5^{2}-(\sqrt{7})^{2}]-2\log_{2}3

Efectuand calculele obtinem A=\log_{2}(25-7)-2\log_{2}3

Adica A=\log_{2}18-2\log_{2}3\Rightarrow A=\log_{2}3^{2}-2\log_{2}3\Rightarrow A=2\log_{2}3-2\log_{2}3\Rightarrow A=0\in Z.

5. Sa se arate ca log_{2}432=4+3a, unde a=log_{2}3

Descompunad pe 432 obtinem 432=2^{4}\cdot 3^{3}

Asadar avem ca \log_{2}432=\log_{2}(2^{4}\cdot 3^{3}), folosind proprietatile radicalilor obtinem:

\log_{2}(2^{4}\cdot 3^{3})=\log_{2}2^{4}+\log_{2}3^{3}=4\cdot\log_{2}2+3\cdot\log_{2}3=4\cdot 1+3\cdot a=4+3a,unde stim ca a=\log_{2}3.

6.  Demonstrati ca \log_{2\sqrt{2}}3\sqrt{3}=\log_{2}3

Solutie

Luand membrul stang obtinem ca:

\log_{2\sqrt{2}}3\sqrt{3}

Si mai intai introducand factorii sub radicali obtinem: 2\sqrt{2}=\sqrt{2^{2}\cdot 2}=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{8}=8^{\frac{1}{2}}, dar si 3\sqrt{3}=\sqrt{27}=27^{\frac{1}{2}}. asadar obtinem:

\log_{8^{\frac{1}{2}}}27^{\frac{1}{2}}, folosind proprietatile radicalilor obtinem: \frac{1}{2}\cdot\log_{8^{\frac{1}{2}}}27=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac{1}{2}}\log_{8}27=

\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{1}\log_{2^{3}}3^{3}=\frac{2}{2}\log_{2^{3}}3^{3}=

1\cdot 3\log_{2^{3}}3=

\frac{3}{3}\log_{2}3=\log_{2}3, adica ceea ce trebuia sa demonstram.

 

 

 

 

 

 

Grupuri de matrice Grupuri de permutari Grupuri Zn

Dupa ce am introdus notiunea de Grup, introducem alte notiuni noi si anume Grup de matrice, Grup de permutari si Grup Z_{n}. Asadar incepem cu:

Grup de matrice.

Fie n\in N^{*} si M_{n}(C) multimea matricelor patratice de ordin n cu elemente numere complexe.

Stim din clasa a XI a ca multimea  M_{n}(C) impreuna cu  adunarea matricelor este asociativa, comutativa si admite element neutru matricea O_{n}, dar si element simetrizabil, asadar stim ca (M_{n}(C), +) este un grup comutativ.

Despre inmultirea matricelor stim ca este un monoid necomutativ, adica este asociativa si admite elementul neutru I_{n}.

Grupul liniar general de grad n

Fie A\in M_{n}(C). Stim ca matricea A este inversabila in monoidul (M_{n}(C), \cdot) daca si numai daca det A\neq 0. Iar multimea unitatilor monoidului se noteaza Gl_{n}(C)=\left\{    A\in M_{n}(C)| det (A)\in C^{*}\right\}

Asadar  perechea (GL_{n}(C), \cdot) este un grup necomutativ, numit  grup liniar general de grad n peste C.

Definitie:

Matricea A\in M_{n}(C) se numeste matrice ortogonala daca A^{t}\cdot A=I_{n}, iar multimea matricelor ortogonale se noteaza O_{n}(C).

Grupul permutarilor

Inca din clasa a X a la capitolul „Combinatorica” s-a definit notiunea de permutare. Stim ca permutarea unei multimi M=\left\{1, 2, 3, ...., n\right\} este multimea ordonata cu cate n elemente ce se poate alcatui cu elementele multimii M. Numarul elementelor multimii este n! si se citeste n factorial.

Exemplu:

Permutarile multimii {1, 2, 3} sunt: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3),(2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1), asadar fiecarei permutari putem face sa ii corespunda o functie bijectiva, adica functia care asociaza numarului k\in \left\{1, 2, 3\right\}, elementul aflat in permuatare pe locul k.

Asadar celor sase permutari le corespund cele 6 functii bijective definite pe {1,2 ,3} cu valori in {1, 2, 3} si avem corespondentele:

(1, 2, 3)\rightarrow {1, 2, 3}; (1, 2, 3)\rightarrow (1, 3, 2); (1, 2, 3)\rightarrow (2, 1, 3); (1, 2, 3)\rightarrow (2, 3, 1); (1, 2, 3)\rightarrow (3, 1, 2); (1, 2, 3)\rightarrow (3, 2, 1)

Definitie!

Fie n\in N^{*},  se numeste permutare a multimii M=\left\{1, 2, 3,...., n\right\} orice functie bijectiva definita pe M cu valori in M.

S_{n}=\left\{1, 2, 3,...,n\right\}, multimea permutarilor de gradul n.

Stim ca S_{n}=n! elemente.

Observatie!!!  Permutarile de obicei se noteaza cu ajutorul alfabetului grecesc.

Daca compunem doua functii bijective obtinem tot o functie bijectiva, asadar compunerea permutarilor este lege de compozitie.

Exemplu:

S_{2}=2!=2, adica avem doua permutari

(1, 2)\rightarrow (1,2), dar si (1, 2)\rightarrow (2, 1).

Compunerea permutarilor

Oricare doua permutari din multimea S_{n} se pot compune dupa procedeul de compunere a functiilor.

Astfel stim ca daca compunem doua functii bijective obtinem tot o functie bijectiva, asadar compunerea permutarilor este lege de compozitie.

Pentru simplitate se obisnuieste ca la compunerea permutarilor sa nu se mai foloseasca semnul, adica \alpha\circ \beta=\alpha\beta

Exemplu:

\alpha=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}

Si \beta=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}

Atunci \alpha\beta=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \alpha(\beta(1)) & \alpha(\beta(2))  &\alpha(\beta(3))  \end{pmatrix}

Asadar obtinem \alpha\beta=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \alpha(3) & \alpha(2)  &\alpha(1)  \end{pmatrix}

Adica \alpha\beta=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1  & 2  \end{pmatrix}

Stim din clasa a IX a, compunerea functiilor este asociativa, dar nu este comutativa, si astfel avem: \beta\alpha=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \beta(\alpha(1)) & \beta(\alpha(2))  &\beta(\alpha(3))  \end{pmatrix}

Asadar obtinem \beta\alpha=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \beta(2) & \beta(1)  &\beta(3)  \end{pmatrix}

Adica \beta\alpha=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3  & 1  \end{pmatrix}

Asadar compunerea permutarilor nu este comutativa.

In multimea permutarilor de grad n, un rol important il joaca e=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & .....& n \\ 1 & 2  & 2 & .....& n \end{pmatrix}, numit permutarea identica.

Teorema. Fie  n\in N^{*} si S_{n} multimea permutarilor de grad n, atunci (S_{n}, \circ) este un grup numit grupul permutarilor de grad n. Daca n\geq 3, atunci (S_{n}, \circ) este un grup necomutativ.

Grupul Z_{n}

Fie n\in N^{*}, stim ca Z_{n}=\left\{\widehat{0},\widehat{1},\widehat{2}, ....,\widehat{n-1}\right\} numita multimea claselor de resturi modulo n. Pe multimea Z_{n} s-au definit operatiile de adunare si inmultire a claselor de resturi modulo n.

Astfel (Z_{n}, +) este grup abelian numit grupul aditiv al claselor de resturi modulo n, iar (Z_{n},\cdot) este monoid comutativ.

Si U(Z_{n})=\left\{\widehat{k}|(n, k)=1\right\}– numita multimea elementelor inversabile din Z_{n}, adica numerele n si k sunt prime intre ele (cel mai mare divizor comun este 1).

Astfel obtinem ca (U(Z_{n}), \cdot ) este grup comutativ, numit grupul multiplicativ al claselor de resturi modulo n.

Problema rezolvata cu Triunghiul dreptunghic

Prezentam o problema in care folosim Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}

Intr-un triunghi dreptunghic cateta care se opune unghiului de 30^{0} masoara jumatate din ipotenuza.

Este important sa stim : catetele intr-un triunghi dreptunghic sunt dreptele care formeaza unghiul de 90^{0}, iar ipotenuza este dreapta care se opune unghiului de 90^{0}.

Daca nu am invatat inca functiile trigonometrice, putem amplica Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0} mai sus enuntata dar si Teorema lui Pitagora, iar in cazul in care stim functiile trigonometrice le aplicam.

Foarte important este sa stim si ca functiile trigonometrice le aplicam doar in triunghiurile dreptunghice.

PROBLEMA !

ABC- triunghi dreptunghic m(A) =90° BC=a m(B) =30°

Calculati: AB=? AC=? sin 30° cos 30° tg 30° ctg 30°

Apoi : m(C) =60° sin 60° cos 60° tg 60° ctg 60°

Solutie:

 

triunghiul dreptunghic

Cum stim ca triunghiul este dreptunghic si avem un unghi de 30^{0} putem aplica Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, adica AC=\frac{BC}{2}\Rightarrow AC=\frac{a}{2}.

Pentru a afla AB, aplicam Teorema lui Pitagora:

BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\Rightarrow a^{2}=AB^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\Rightarrow AB^{2}=a^{2}-\frac{a^{2}}{4}\Rightarrow AB^{2}=\frac{4a^{2}-a^{2}}{4}\Rightarrow AB^{2}=\frac{3a^{2}}{4}\Rightarrow AB=\sqrt{\frac{3a^{2}}{4}}\Rightarrow AB=\frac{a\sqrt{3}}{2}

Sau in triunghiul ABC dreptunghic in A aplicam functiile trigonometrice: \sin B=\frac{cateta\;\; opusa}{ipotenuza}\Rightarrow \sin 30^{0}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{AC}{a}\Rightarrow AC=\frac{a}{2}

Pentru a afla AB, aplicam \cos B=\frac{cateta\;\; alaturata}{ipotenuza}\Rightarrow \cos 30^{0}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AB}{a}\Rightarrow AB=\frac{a\sqrt{3}}{2}

\sin 30^{0}=\frac{1}{2}; \cos 30^{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}; \tan 30^{0}=\frac{\sqrt{3}}{3}

sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2};  cos 60°=\frac{1}{2}; tg 60°=\sqrt{3}; ctg 60°=\frac{\sqrt{3}}{3}.

Asadar, cu ajutorul functiilor trigonometrice, putem rezolva mai usor triunghiul dreptunghic, dar nu trebuie sa uitam de Teorema lui Pitagora,  Teorema inaltimii si teorema Catetei, fiecare avand un rol destul e important.