Ne place matematica !

Bisectoarea unui unghi Proprietatea bisectoarei

Despre bisectoarea unui unghi am mai invatat si in primul semestru la capitolul Unghi. Dar acum discutam si de proprietatea bisectoarei, cat si despre concurenta bisectoarelor intr-un triunghi, deoarece dupa cum am mai spus si intr-un alt articol, bisectoarea este una din liniile importante intr-un triunghi.

Astfel reamintindu-ne definitia bisectoarei spunem ca:

Definitie: Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea in varful unghiului, interioara unghiului si care care imparte  unghiul in doua unghiuri.

cum rezolvam problemele cu bisectoare

Proprietatile bisectoarei:
Un punct interior unui unghi este situat la egala distanta de laturile unghiului daca si numai daca apartine bisectoarei acelui unghi.
punctele interioare ale unui unghi
Avem in ipoteza [OZ bisectoare unghiului \widehat{XOY}
M\in [OZ

Concluzie: d(M, OX)=d(M, OY)

Astfel stim ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei din punctul dat pe drepata respectiva.

Stim ca [OZ este bisectoarea unghiului \widehat{XOY}, astfel avem:
\widehat{XOZ}\equiv\widehat{YOZ}
Mai stim si ca MA\perp[OX, A\in [OX\Rightarrow d\left(M, OX\right)=MA
Dar si MB\perp[OY, B\in [OY\Rightarrow d\left(M, OY\right)=MB
Iar in triunghiurile MAO si MBO, avem m\left(\widehat{MAO}\right)=m\left(\widehat{MBO}\right)=90^{0}, adica avem triunghiuri dreptunghice.
Mai stim si ca [MO]\equiv[MO](latura comuna)
Dar si \widehat{MOA}\equiv\widehat{MOB}
Deci cu cazul de congruenta de la triunghiurile dreptunghice I.U, avem ca
\Delta MAO\equiv\Delta MBO de unde obtinem ca [MA]\equiv[MB], adica d(M, OX)=d(M, OY)

locul geometric al bisectoarei unui unghi
Bisectoarea unui unghi este locul punctelor situate la egala distanta de laturile unui triunghi.

Teorema. Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente. Punctul de intersectie al bisectoarelor este situat la distanta egala de laturile triunghiului se noteaza cu I. Punctul de concurenta al bisectoarelor se numeste centrul cercului inscris.

Centrul inscris in triunghi este cercul care este tangent la laturile triunghiului, adica are in comun un singur punct cu fiecare latura a triunghiului.

cum arata bisectoarele intr-un triunghi
Observati ca AA’, BB’ si CC’ sunt bisectoare in triunghiul ABC, adica
– AA’ bisctoarea unghiului \widehat{BAC}
– BB’ bisctoarea unghiului \widehat{ABC}
– CC’ bisctoarea unghiului \widehat{ACB}
Iar punctul de intersectie il notam cu I, numit centrul cercului inscris.
cum se noteaza punctul de intersectie al bisectoarelor
Aplicatii:

In triunghiul \Delta ABC avem: D\in(BC), E\in(AC), F\in(AB) astfel incat AD\perp BC, \widehat{ABE}\equiv\widehat{CBE}, \widehat{ACF}\equiv\widehat{BCF}, BE\cap CF\cap AD=\left\{I\right\}. Aratati ca [AB]\equiv[AC]
Demonstratie:

Observam ca [BE si [CF sunt bisectoarele unghiurilor \widehat{ABC}, \widehat{ACB} dar si BE\cap CF\cap AD=\left\{I\right\}, atunci obtinem si ca [AD este bisectoarea unghiului \widehat{BAC}, adica obtinem ca:
\widehat{BAD}\equiv\widehat{CAD}
Astfel consideram triunghiurile: \Delta BAD si \Delta CAD
unde am gasit ca:

\widehat{BAD}\equiv\widehat{CAD}
[AD]\equiv[AD] (latura comuna)
Dar si \widehat{BDA}\equiv\widehat{CDA} (deoarece AD\perp BC, adica formeaza un unghi de 90^{0})
Si cu cazul de congruneta U.L.U, obtinem ca \Delta BAD\equiv\Delta CAD, de unde obtinem si ca [AB]\equiv[AC] ceea ce trebuia sa demonstram.

bisectoarea unui unghi intr-un triunghi