Ne place matematica !

Calculul de arii si volume in prisme

Dupa ce au fost introduse  notiunea de arie laterala, arie totala si volumul unei prisme, rezolvam probleme care in care avem sa calculam arii si volume in prisme diferite. Pentru cei care nu va mai reamintiti formulele pentru arii si volume click aici .

Dar in acest articol ne reamintim cum sa calculam masurii de unghiuri, dar si distanta de la un puncrt la o dreapta, cat si distanta de la un punct la un plan intr-o prisma regulata.

1. Un acvariu care are forma unui paralelipiped dreptunghic ABCDA’B’C’D’ fara capac, este confectionat din sticla. Se stie ca AB=50 cm, BC=30 cm si inaltimea este AA’=40 cm.

a) Aflati distanta dintre A si C’

b) Cati litri de apa trebuie sa punem in acvariu, pentru ca acesta sa se ridice la o inaltime egala de 30 cm?

c) Cate acvarii putem construi di 10 m^{2} de sticla?

Demonstratie:

diagonala intr-un paralelipiped
Astfel stin ca diagonala intr-un paralelipiped dreptunghic este
d_{paralelipiped}=\sqrt{L^{2}+l^{2}+h^{2}}=\sqrt{50^{2}+30^{2}+40^{2}}=\sqrt{2500+900+1600}=\sqrt{5000}=50\sqrt{2}\;\; cm
b) Mai intai calculam volulul acvariului cu inaltimea de 30 cm
V=A_{b}\cdot h=L\cdot l+\cdot h=50\cdot 30\cdot 30=45000\;\; cm^{3}
Dar stim ca 1 dm^{3}=1 l, foarte important pentru cei care sunteti in clasa a VIII sa tineti minte aceasta formula.
Astfel mai intai transformam din 45000 cm^{3}=45 dm^{3}=45 l
Asadar trebuie asa punem 45 l de apa pentru ca inatimea apei sa fie de 30 cm.
c) Pentru a afla cate acvarii putem construi, calculam mai intai suparafata unui acvariu si obtinem:
A_{Acvariu}=A_{l}+A_{b}=P_{b}\cdot h+L\cdot l=2\cdot \left(50+30\right)\cdot 40+50\cdot 30=2\cdot 80\cdot 40+1500=160\cdot 40+1500=6400+1500=7900\;\; cm^{2}
Astfel suprafata unui acvariu este de 7900\;\; cm^{2}=0,79\;\; m^{2}
Si din 10\;\; m^{2} obtinem 10\;\; m^{2}:0,79\;\; m^{2}=12, 65, adica 12 acvarii.
2. Consideram prisma triunghiulara regulata ABCA’B’C’, cu A_{l}=144\;\; cm^{2} si A_{t}=18\left(8+\sqrt{3}\right)\;\; cm^{2}
Calculati:
a) Lungimea inaltimii pismei
b) Volumul prismei

Demonstratie:
Stim ca A_{t}=A_{l}+2\cdot A_{b}\Rightarrow 18\left(8+\sqrt{3}\right)=144+2\cdot\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow 144+18\sqrt{3}-144=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 18\sqrt{3}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 2\cdot 18\sqrt{3}=l^{2}\sqrt{3}\Rightarrow l^{2}=2\cdot 18\Rightarrow l=\sqrt{36}\Rightarrow l=6\;\; cm
Acum ca stim lungimea laturii patratului putem sa aflam inaltimea astfel stim ca
A_{l}=P_{b}\cdot h\Rightarrow 3l\cdot h=144\Rightarrow 3\cdot 6\cdot h=144\Rightarrow 18\cdot h=144\Rightarrow h=144:18\Rightarrow h=8
si astfel am aflat si inaltimea prismei adica AA’=8 cm
b) Acum putem afla si volumul prismei, astfel avem
V=A_{b}\cdot h=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot 8=\frac{6^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot 8=36\sqrt{3}\cdot 2=72\sqrt{3}\;\; cm^{3}
Observati ca baz prismei triunghiulare regulate este un triunghi echilatera de unde am obtinut ca aria bazei este A_{b}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}

Asadar, este foarte important sa cunoastem notiunea de calcul de arii si volume in prisme, deoarece dupa cum bine observati aceste notiuni ne ajuta si in viata e zi cu zi.