Inmultirea numerelor rationale

Despre inmultirea numerelor rationale am mai invatat, dar in cazul in care numerele erau rationale pozitive, astfel prin inmultirea a doua numere rationale obtinem tot un numar rational
Proprietatile inmultirii numerelor rationale:
-Asociativitatea a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c
-Comutativitatea a\cdot b=b\cdot a
-Elementul neutru este 1
-Este distributiva fata de adunare si scadere a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c,\\a\cdot(b-c)=a\cdot b-a\cdot c
Rezovam exercitii ca sa ne reamintim cum folosim numerele rationale
1) Calculati:
a)<br /> \left(-\frac{3}{10}+\frac{4}{15}\right)\cdot 2\frac{1}{2}=<br /> \left(\frac{3\cdot(-3)+2\cdot 4}{30}\right)\cdot\frac{2\cdot 2+1}{2}=
\left(\frac{-9+8}{30}\right)\cdot\frac{5}{2}=\left(\frac{-1}{30}\right)\cdot\frac{5}{2}=\frac{-5}{60}=-\frac{1}{12}<br />
In exercitiul de mai sus am folosit prima data adunarea numerelor rationale, am adus la acelasi numitor (am gasit numitorul comun), amplificat cele doua fractii, am efectuat calculele,folosind regulile de calcul cu numere intregi, iar apoi al efectuat inmultirea celor doua fractii, dupa care am simplificat prin 5
b) <br /> \left(-\frac{1}{10}+\frac{2}{15}\right)\cdot \left(-7\frac{1}{2}\right)+\left(-4\right)\cdot\left(-\frac{7}{20}+\frac{4}{15}\right)=\left(\frac{3\cdot(-1)+2\cdot 2}{30}\right)\cdot\left(\frac{-15}{2}\right)+\left(-4\right)\cdot \left(\frac{3\cdot(-7)+4\cdot 4}{60}\right)\\=\frac{-3+4}{30}\cdot\left(\frac{-15}{2}\right)+\left(-4\right)\cdot \left(\frac{-21+16}{60}\right)=</p> <p>\frac{1}{30}\cdot\left(\frac{-15}{2}\right)+\left(-4\right)\cdot\left(\frac{-5}{60}\right)</p> <p>=\\\frac{-1}{4}+\left(-4\right)\cdot\left(\frac{-5}{60}\right)</p> <p>=\frac{-1}{4}+\frac{4}{12}=\frac{-1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{-1\cdot 3+4\cdot 1}{12}=\frac{-3+4}{24}=\frac{1}{12}=\frac{1}{12}.</p> <p>
Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am efectuat prima data parantezele asa cum am invatat in clasele mai mici ca trebuie sa rezolvam parantezele prima data, dar puteam sa folusim si distributivitatea inmultirii fata de adunare, am introdus intregii in fractie in aceiasi etapa, iar apoi am efectuat produsul dintre fractia obtinuta si cealalta in care am introdus intregul, iar apoi am adus din nou la acelasi numitor cele doua fractii obtinute si le-am calculat, pe unde am putut am simplificat pentru a ne simplifica calculele.
c) <br /> \left(-1\frac{1}{8}\right)\cdot\left(-0,(24)\right)\cdot\left(-\frac{11}{3}\right)-\left(-0,(5)\right)\cdot\left(-\frac{6}{7}\right)\cdot\left(-\frac{14}{5}\right)=\\<br /> \left(\frac{-9}{8}\right)\cdot\left(-\frac{24}{99}\right)\cdot\left(-\frac{11}{3}\right)-\left(-\frac{5}{9}\right)\cdot\left(-\frac{6}{7}\right)\cdot\left(-\frac{14}{15}\right)\\=</p> <p>\left(-\frac{9}{8}\right)\cdot\left(-\frac{8}{33}\right)\cdot\left(-\frac{11}{3}\right)-\left(-\frac{5}{3}\right)\cdot\left(-\frac{2}{1}\right)\cdot\left(-\frac{2}{15}\right)\\=</p> <p>\left(-\frac{3}{1}\right)\cdot\left(-\frac{1}{11}\right)\cdot\left(-\frac{11}{3}\right)-\left(-\frac{20}{45}\right)=</p> <p>\frac{-1}{1}+\frac{4}{9}=-1+\frac{4}{9}=\frac{9\cdot (-1)+4}{9}=\frac{-9+4}{9}=\frac{-5}{9}=-\frac{5}{9}</p> <p>

Operatii cu intervale

Dupa ce am definit intervalele, acum o sa efectuam operatii cu intervale de numere reale. Cum efectuam exercitiile in care apar intervale? Intervalele fiind definite ca multimi, pastreaza toate proprietatile multimilor, adica reuniunea de la multimi se pastreaza si la intervale, dar acum o sa scriem sub forma de interval, acelasi lucru se intampla si pentru intersectie, luam partea comuna a celor doua sau trei intervale, exemplificam mai jos intersectia a doua intervale.

Rezolvam exercitii in care apar intervalele si care sunt folositoare si pentru Evaluarea Nationala

1) Efectuati:
a)  [-3,5)\cap (3,8]=(3,5)
Exercitii operatii cu intervale
Deoarece la fel ca si la multimi luam doar partea comuna a intervalelor (doar elementele comune), foarte important trebuie sa stim cum sunt definite intervalele marginite si intervalele nemarginite.

Iar daca vrem sa calculam reuniunea a doua intervale, de exemplu la exercitiul de mai sus
 [-3,5)\cup (3,8]=[-3, 8]

luam toate elementele din cele doua intervale, adica extremitatile.

b)  \left[-2, 5\right)\cap Z^{*}=\left\{-2, -1, 1, 2, 3, 4\right\}
Stim ca multimea numerelor intregi fara 0 (, Z^{*}) cuprinde elemente \left\{- \infty,...-3, -2, -1, 1, 2, 3,...,+ \infty\right\}, deci intersectia dintre intervalul nostru si multimea numerelor intregi este multimea de mai sus, deoarece nu mai are elementul 0 nu mai putem scrie intersectia ca interval.

2) Determinati A\cup B, A\cap B , daca:
  A=\left\{x|\left|2x-1\right|\leq 11\right\}
  B=\left\{x|\left|2x+1\right|<7\right\}
Ca sa aflam reuniunea, intersectia si diferenta dintre cele doua multimi mai intai trebuie sa vedem ce elemente are fiecare din ele, astfel pentru multimea A, luam modulul si-l calculam
 \left|2x-1\right|\leq 11

Adica  -11\leq 2x-1\leq 11 (+1)\Rightarrow -11+1\leq 2x-1+1 \leq 11+1\Rightarrow-10\leq 2x\leq 12|:2\\ \Rightarrow-10:2\leq 2x:2\leq 10:2\Rightarrow -5\leq x\leq 5, x\in\left[-5, 5\right]
Ca sa aflam intervalul dupa ce am scris modulul am folosit definitia modulului adica \left\{x\in R|\left|x\right|\leq a\right\}=[-a,a], iar pentru a ajunge numai la x prima data am scazut pe 1 din toata inegalitatea, iar apoi am impartit prin 2, de unde am obtinut pe x. Pentru multimea B
 \left|2x+1\right|<7\Rightarrow -7<2x+16 |:2\Rightarrow -4<x<3, x\in (-4, 3) Deoarece stim de la definitia modulului ca \left|x\right|=x, x>0
Astfel

 A\cap B=[-5,5]\cap (-4,3)= (-4,3)
  A\cup B=[-5,5]

Scaderea numerelor rationale

Dupa ce am am vorbit despre adunarea numerelor rationale, astazi vom vorbi despre scaderea numerelor rationale.
Dupa cum stim de la adunarea numerelor rationale ca adunarea a doua numere rationale este tot un numar rational asa si diferenta a doua numere rationale este tot un numar rational. Incepem prin a rezolva cateva exercitii:

1) Efectuati:
a) <br /> -1\frac{3}{7}-\left[\left(-\frac{5}{42}\right)-\left(-\frac{3}{14}\right)-\left(+\frac{4}{21}\right)\right]=\\<br /> -\frac{1\cdot 7+3}{7}-\left(-\frac{5}{42}+\frac{3}{14}-\frac{4}{21}\right)=\\<br /> -\frac{10}{7}-\left(\frac{-1\cdot 5+3\cdot 3-2\cdot 4}{42}\right)=\frac{10}{7}-\left(\frac{-5+9-8}{42}\right)=<br /> -\frac{10}{7}-\left(\frac{-4}{42}\right)=-\frac{10}{7}-\left(\frac{-2}{21}\right)=-\frac{10}{7}+\frac{2}{21}=\frac{-10\cdot 3+1\cdot 2}{21}=\frac{-30+2}{21}=\frac{-28}{21}=-\frac{4}{3}<br /> .

Pentru a calcula exercitiul de mai sus am introdus intregii in fractii unde a fost nevoie, iar apoi am efectuat calculele din paranteza cu mare grija sa nu gresim semnele, am adus la acelasi numitor prima data in paranteza iar apoi primul termen cu ce am obtinut din paranteza, rezultatul obtinut l-am simplificat prin 7.

b) <br /> \left[1,3(5)-0,0(2)+0,(6)\right]-\left(1\frac{7}{15}-\frac{1}{5}\right)=\\<br /> \left(\frac{135-13}{90}-\frac{2}{90}+\frac{6}{9}\right)-\left(\frac{22}{15}-\frac{1}{5}\right)=\\<br /> \left(\frac{122}{90}-\frac{1}{45}+\frac{2}{3}\right)-\left(\frac{1\cdot 22-3\cdot 1}{15}\right)=\\<br /> \left(\frac{122\cdot 1-2\cdot 1+30\cdot 2}{90}\right)-\left(\frac{22-3}{15}\right)=\\<br /> \left(\frac{122-2+60}{90}\right)-\frac{19}{15}=\frac{180}{90}-\frac{19}{15}=\\<br /> 2-\frac{19}{15}=\frac{15\cdot 2-1\cdot19}{15}=\frac{30-19}{15}=\frac{11}{15}<br />

La exercitiul b) am transformat fractiile periodice simple si mixte in fractii ordinare, am simplificat pe unde s-a putut, apoi am adus la acelasi numitor (am gasit numitorul comun) in fiecare parnteza rezultatele obtinute din cele doua paranteze le-am gasit numitorul comun si am efectuat calculele obtinand o fractie subunitara (numaratorul mai mic decat numitorul).

c) \left[2,08(3)-3\frac{5}{6}\right]-\left(3\frac{3}{4}-2\frac{1}{8}-2\frac{1}{6}\right)=\\<br /> \left(\frac{2083-208}{900}-\frac{3\cdot 6+5}{6}\right)-\left(\frac{3\cdot 4+3}{4}-\frac{2\cdot 8+1}{8}-\frac{2\cdot 6+1}{6}\right)=\\<br /> \left(\frac{1875}{900}-\frac{23}{6}\right)-\left(\frac{15}{4}-\frac{17}{8}-\frac{13}{6}\right)=\\<br /> \left(\frac{75}{36}-\frac{23}{6}\right)-\left(\frac{6\cdot 15-3\cdot 17-4\cdot 13}{24}\right)=\\<br /> \left(\frac{25}{12}-\frac{23}{6}\right)-\left(\frac{90-51-52}{24}\right)=\\<br /> \frac{1\cdot 25-2\cdot 23}{12}-\left(\frac{-13}{24}\right)=\frac{25-46}{12}-\left(-\frac{13}{24}\right)=\\<br /> \frac{-21}{12}+\frac{13}{24}=\frac{2\cdot(-21)+1\cdot 13}{24}=\frac{-42+13}{24}=\frac{-29}{24}=-\frac{29}{24}=-1\frac{5}{24}

La exercitiul c) am transformat fractiile periodice mixte in fractii ordinare, am simplificat pe unde am putut pentru a ne simplifica calculele, iar apoi am adus la acelasi numitor si am calculat folosind regulile de calcul cu numere intregi, iar apoi am scos intregii din fractie.
Deci foarte important sa calculam corect, sa stim regulile de calcul cu numere intregi.

Adunarea numerelor rationale

Despre adunarea numerelor rationale am mai invata si in clasa a VI- a, dar doar despre numerele rationale pozitive, acum ca stim sa rezolvam si exercitii cu numere intregi, o sa rezolvam si exercitii cu numere rationale negative. Astfel stim ca: daca adunam doua numere rationale obtinem tot un numar rational. Proprietatile adunarii numerelor rationale pozitive:

-Adunarea este asociativa a+(b+c)=(a+b)+c
-Adunarea numerelor rationale este comutativa a+b=b+a
-Elementul neutru pentru adunare este 0.
Pentru a intelege mai bine, pentru a ne reamintim cum se efectueaza adunarea numerelor rationale .O sa efectuam cateva exercitii:

1) Calculati
a) <br /> -\frac{3}{5}+0,2+\left(-\frac{6}{10}\right)+0,8=<br /> \\-\frac{3}{5}+\frac{2}{10}-\frac{6}{10}+\frac{8}{10}=<br /> \\-\frac{3}{5}+\frac{1}{5}-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=<br /> \\\frac{-3+1-3+4}{5}=\frac{-2+1}{5}=-\frac{1}{5}=0,2<br />
Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am transformat prima data cele doua fractii zecimale in fractii ordinare, adica 0,2=\frac{2}{10}, am invatat din clasa a V-a ca daca avem o fratie zecimala simpla si vrem sa o transformam in fratie ordinara scriem numarul la numarator iar la numitor 1 urmat de atatea zerourii cate cifre avem dupa numarul respectiv in cazul nostru un singur zerou pentru ca numarul este 0,2.

Dupa ce am transformat fractiile zecimale in fractii ordinare ,am facut cateva simplificari si am obtinut patru fractii cu acelasi numitor pe care le- am rezolvat astfel:

-am copiat numitorul iar numitorii i-am adunat, rezultatul obtinut l-am transformat in fractie zecimala (am impartit numaratorul la numitor).
Puteam sa rezolvam exercitiul si altfel, adica sa transformam fractiile ordinare in fractii zecimale si calculam.

b) -\frac{14}{32}+3,25+\frac{7}{16}-2\frac{5}{8}=<br /> \\-\frac{7}{16}+\frac{325}{100}+\frac{7}{16}-\frac{21}{8}=<br /> \\-\frac{7}{16}+\frac{13}{4}+\frac{7}{16}-\frac{21}{8}=<br /> \\\frac{1\cdot (-7)+4\cdot 13+1\cdot 7-2\cdot 21}{16}=<br /> \\\frac{-7+52+7-42}{16}<br /> \\\frac{10}{16}=\frac{5}{8}

Ca sa rezolvam exercitiul b, prima data am transformat fratiile zecimale in fractii ordinare si am simplificat pe unde s-a putut, pentru a ne simplifica calculul, iar apoi am adus la acelasi numitor (am gasit numitorul comun si apoi am amplificat fiecare fractie, numitorul il gasim astfel; luam toti numitorii si gasim cel mai mic multiplu comun al tuturor numerelor), si  calculam folosind regulile de calcul cu numere intregi.

c) <br /> 0,5-0,(6)-0,75+2,(3)=\frac{5}{10}-\frac{6}{9}-\frac{75}{100}+\frac{23-2}{9}=<br /> \\\frac{1}{2}-\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{21}{9}=<br /> \\\frac{1}{2}-\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{7}{3}=<br /> \\\frac{6\cdot 1-4\cdot 2-3\cdot3+4\cdot 7}{12}=\frac{6-8-9+28}{12}=\frac{-2+19}{12}=\frac{17}{12}=\frac{1}{3}=1\frac{5}{12}m

Am transformat fractiile zecimale simple si fractiile zecimale periodice in fractii ordinare, am simplificat pe unde s-a putut pentru a ne simplifica calculele (prima fractie am simplificat-o prin 5, doua fractie am simplificat-o prin 3, a treia fractie am simplificat-o prin 25, iar ultima fiind o fractie periodica mixta am simplificat-o prin 3), apoi am adus fractiile la acelasi numitor si am efectuat calculele, din rezultatul obtinut am scos intregii din fractie.

Exercitii-intervale in R

Astazi o sa efectuam cat mai multe exercitii intervale in R :
1) Se considera multimile:
<br /> \\A=\left\{x\in R|-2\leq x<3\right\}<br /> \\B=\left\{x\in R| -4<x\leq 1\right\}
a) Scrieti multimile A si B sub forma de interval
b) Determinati urmatoarele multimi
<br /> \\ C=\left\{x| x\in A\;\; si \;\;x\in B\right\}<br /> \\D=\left\{x| x\in A\;\; si \;\; x\in N^{*}\right\}<br /> \\E=\left\{x| x\in B\;\; si \;\; x\in Z^{*}\right\}<br /> \\F=\left\{x| x\in A\;\; si \;\; x\in B\right\}
Solutie:
<br /> \\A=[-2; 3)<br /> \\B=(-4;1]<br /> \\C=\left\{ -2; -1; 0; 1;\right\} sau ca interval [-2, 1]
\\D=\left\{1; 2\right\}<br /> \\E=\left\{-3; -2; -1; 1\right\}<br /> \\F=\left\{-2; -1; 0; 1\right\}
2) Calculati:
<br /> A\cup B; A\cap B; A-B; B-A<br /> \\A=\left\{x\in R|-1<\frac{3x+7}{2}\leq 11\right\}<br /> \\B=\left\{x\in R|-2\leq \frac{5x+9}{8}<3\right\}<br />
Solutie
Trebuie sa gasim multimile astfel daca inmultim
<br /> -1<\frac{3x+7}{2}\leq 11 |\cdot 2<br /> cu 2 o sa avem o inegalitate fara numitor, astfel obtinem:
<br /> \\-2<3x+7\leq 22 (-7)<br /> \\-2-7<3x+7-7\leq 22-7<br /> \\-9< 3x\leq 15 |:3<br /> \\-3<x\leq 5<br /> A=\left\{-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\right\}<br />
Sau daca scrise sub forma de interval elementele multimii
<br /> A=(-3; 5]<br />
iar pentru multimea B luam
<br /> -2\leq \frac{5x+9}{8} \\-2\cdot 8\leq 5x+9<3\cdot 8<br /> \\-16\leq 5x+9< 24 (-9)<br /> \\-16-9\leq 5x+9-9<24-9<br /> \\-25\leq 5x \\-5\leq x< 3<br /> \\ B=\left\{-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2\right\},
iar daca scriem sub forma de interval obtinem:
<br /> B=[-5; 3)<br />
Calculam acum <br /> \\A\cup B=\left\{-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\right\}<br /> \\A\cap B=\left\{ -1; 0; 1; 2\right\}<br /> \\A-B=\left\{3; 4; 5\right\}<br /> \\B-A=\left\{-5; -4; -3;\right\}
iar daca scriem sub forma de interval obtinem:
<br /> \\A\cup B=[-5; 5]<br /> \\A\cap B=(-3; 3)<br /> \\A-B=[3; 5]<br /> \\B-A=[-5; -3]<br /> .
Deci trebuie sa rezovam cat mai multe exercitii intervale in R ca sa le intelegem mai bine.

Interval deschis la stanga inchis la dreapta

Intervale in R

Exercitiile cu intervale in R probabil le-ati mai intalnit si in alte clase, dar sub alta forma. De exemplu cand rezolvam inecuatiile obtineam multimea solutiilor ceva de genul x\geq 3, adica scriam x\in\left\{4,5,6,7......\right\}, dar acest lucru puteam sa-l scriem si sub alta forma astfel x\in \left(3; +\infty\right), ceea ce inseamna ca am scris solutia inecuatiei sub forma de interval, acesta ar fi un interval nemarginit.

Dar daca aveam doua inecuatii si trebuia sa scriem partea comuna a solutiilor, adica intersectia celor doua solutii, intersectia o putem scrie si sub forma interval, adica operatii cu intervale, dar despre asta o sa vorbim in alt articol.

Mai sus am mentionat notiunea de interval nemarginit,dar mai exista si intervale marginite, astfel definim:

Intervalele marginite sunt: intervale inchise si intervalele deschise
Fie a si b doua numere reale cu a\leq b.
Prin intervalul inchis \left[a, b\right] intelegem multimea A=\left\{x\in R| a\leq x\leq b\right\}, interval inchis adica tot timpul a trebuie sa fie mai mic sau egal decat x mai mic sau egal decat b tot timpul. Matematic scriem x\in \left[a,b\right]. Numerele a si b se numesc capetele intervalului sau extremitatile intervalului.

Exp:
Scrieti sub forma de interval multimea:
 A=\left\{x\in R|-5\leq x\leq 0\right\}
Solutia:x\in\left[-5; 0\right], reprezentand pe axa numerelor reale obtinem:
Interval inchis
Intervale deschise

Fie a si b doua numere reale cu  a<b.
Prin interval deschis \left(a,b\right) intelegem multimea A=\left\{x\in R| a<x<b\right\}, intervalul deschis, adica tot timpul ‘a’ trebuie sa fie mai mic strict decat ‘b’ tot timpul.
Obs: Diferenta dintre intervalul inchis si intervalul deschis este ca intervalul deschis nu-si contine capetele intervalului. Matematic scriem \left(a,b\right)\cup \left\{a,b\right\}=\left[a, b\right]
Exp: B=\left\{x\in R| -4<x<1\right\}

Solutia
x\in \left(-4; 1\right), deci daca este strict mai mic avem interval deschis, iar daca reprezentam pe axa numerelor reale obtinem:
Intervalul deschis al multimii B

Dar in afara de intervalele cu extremitatile dechise si inchise mai exista si intervale inchise la stanga deschise la dreapta si invers, astfel definim intervalul deschis la stanga inchis la dreapta:
<br /> \left(a,b\right]=\left\{x\in R| a<x\leq b\right\}<br /> , adica intervalul de mai sus nu-l contine pe ‘a’, dar il contine pe ‘b’.
Exp:
C=\left\{x\in R| 0<x\leq 4\right\}, atfel intervalul nostru este x\in \left(0;4\right]. Reprezentarea pe axa numerelor reale este:
Interval deschis la stanga inchis la dreapta

Iar intervalul inchis la stanga si deschis la dreapta il definim astfel:
\left[a,b\right)=\left\{x\in R| a\leq x<b\right\},
Adica x ‘se plimba’ in interval, iar intervalul de mai sus il contine pe ‘a’, dar nu-l contine pe’b’.
Exemplu:
D=\left\{x\in R| -4\leq x < 1\right\}, astfel intervalul nostru este: x\in \left[-4, 1\right). Reprezentarea pe axa numerelor reale este:
Interval inchis la stanga si deschis la dreapta.

Iar despre intervale nemarginite si mai multe exercitii o sa discutam in alt articol.
Deci ca sa intelegem foarte bine intervalele trebuie sa stim cum le definim si cum le reprezentam, deoarece mai tot timpul la Evaluarea Nationala apare cate un exercitiu in care sunt implicate intervale in R.

Recapitulare pentru clasa a VIII-a. Evaluarea initiala

Acum ca am ajuns in clasa a VIII-a si stim ca peste cateva luni vine Evaluarea Nationala. La evaluarea initiala trebuie sa stim clasa a VII-a, care joaca un rol important pentru examen. Propun sa recapitulam din clasa a VII- a Calculul algebric. Incepem cu cateva exemple:
1 Efectuati calculele:
a)  (x+1)^{2}-x(x+5)=<br /> x^{2}+2x+1-x^{2}-5x=<br /> -3x+1<br />
Astfel in prima paranteza am aplicata formula de calcul prescurtat care am invatat-o prima data in clasa a VII-a <br /> (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, unde a=x si b=1, iar pentru paranteza a doua aplicam distributivitatea inmultirii fata de adunare( adica inmultim pe x cu fiecare termen din paranteza, dar trebuie sa tinem cont de semn, adica semnul din fata parantezei schimba toate semnele din acest motiv avem -5x), dupa ce am terminat distributivitatea vedem ce termeni asemenea avem in cazul nostru  x^{2} se reduce, iar alti termeni care ii avem asemenea sunt  -5x+2x =-3, daca ne uitam la regula semnelor .
2 Aflati solutia ecuatiilor
1)  2(x+2)+\sqrt{x^{2}-4x+4}=2x+9 \Leftrightarrow<br /> 2x+4+\sqrt{(x-2)^{2}}=2x+9 \Leftrightarrow<br /> 2x+4+|x-2|=2x+9 \Leftrightarrow<br /> 2x+4+x-2=2x+9 \Leftrightarrow<br /> 3x+2=2x+9 \Leftrightarrow<br /> x=7
si
2x+4-(x-2)=2x+9 \Leftrightarrow<br /> 2x+4-x+2=2x+9 \Leftrightarrow<br /> x+6=2x+9 \Leftrightarrow<br /> x-2x=9-6 \Leftrightarrow<br /> -x=3 \Leftrightarrow<br /> x=-3<br /> s={-3;7}<br />
Procedeul de calcul:
am desfintat prima paranteza cu ajutorul distributivitatii inmultirii fata de adunare, apoi incercam sa-l scriem expresia de sub radical ca un numar la puterea a doua, deoarece stiim ca  \sqrt{a^{2}}=|a|, astfel  x^{2}-4x+4 la o privire atenta vedem ca este parte a doua a formulei de calcul prescurtat a^{2}-2ab+b^{2} putem considera  x^{2}=a^{2}, 4 putem sa-l scriem ca  2^{2}, adica b=2 si astfel putem scrie radicalul ca  (x^{2}-2)^{2}, astfel \sqrt{(x^{2}-2)^{2}}=|x-2|. Stiim din clasa a VI-a ca
|a|=<br /> \\ a,\;\;\; daca\;\; a>0<br /> \\-a\;\;\; daca \;\;a<0<br />
astfel |x-2|=<br /> \\ x-2,\;\;\; daca\;\;\; x-2>0 \Rightarrow x>2<br /> \\-(x-2)\;\;\; daca x-2<0\;\;\; \Rightarrow x<2<br />
astfel ecuatia se imparte in doua ramuri:in prima ecuatie pentru partea pozitiva, adica x+2 gasim termeni asemenea (trecem necunoscutele in stanga si cunoscutele in dreapta ) facem calculele si obtinem solutia ecuatiei. Acelasi lucru si pentru partea negativa cu o mica exceptie adica luam -(x-2), trebuie sa avem grija la semnul din fata parantezei.