Exercitii rezolvate cu grupuri

Un exercitu rezolvat de urgenta pentru un prieten Mate Pedia

Exercitiul de rezolvat:

1. Pe R se definesc legile de compozitie „x” si „o” astfel:

x*y=x+y-6

xoy=xy-6x-6y+42

a.) Rezolvati ecuatia xox=36*1

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus mai intai calculam

x\circ x=x\cdot x-6x-6x+42\Rightarrow x\circ x=x^{2}-12x+42

Observati ca pentru a calcula x\circ x am folosit prima lege de compozitie, iar x a luat valoarea lui  x, iar cel de-al doilea x a luat valoarea lui y

Dar calculam si 36*1=36+1-6\Rightarrow 37-6=31

Mai sus am folosit cea de-a doua lege de compozitie, unde x ia valoarea lui 36 si 1 valoarea lui y

Acum ecuatia devine: x\circ x=36*1\Rightarrow x^{2}-12x+42=31\Rightarrow x^{2}-12x+42-31=0\Rightarrow x^{2}-12x+11=0

Observam ca am obtinut o ecuatie de gradul al doilea si calculam

\Delta=\left(-12\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 11=144-44=100

Si obtinem x_{1}=\frac{-\left(-12\right)+\sqrt{100}}{2}=\frac{12+10}{2}=\frac{22}{2}=11

Dar si x_{2}=\frac{-\left(-12\right)-\sqrt{100}}{2}=\frac{12-10}{2}=\frac{2}{2}=1

b.) Aratati ca legea de compozitie „*” este comutativa

Ca sa aratam ca legea de compozitie este comutativa calculam

x*y=y*x, \forall x, y\in R

Adica: x*y=x+y-6

x*y=y*x\Rightarrow x+y-6=y+x-6

Stim ca adunarea numerelor reale este comutativa si astfel obtinem ca legea de compozitie de mai sus este comutativa.

c.) Determinati elementul neutru al legii de compozitie „*”

Stim ca e\in R si trebuie sa calculam x*e=e*x=x

Cum legea de compozitie este comutativa este suficient sa calculam doar x*e=x\Rightarrow x+e-6=x\Rightarrow e-6=x-x\Rightarrow e-6=0\Rightarrow e=6

La fel obtinem si pentru e*x=x\Rightarrow e+x-6=x\Rightarrow e-6=x-x\Rightarrow e-6=0\Rightarrow e=6

Deci obtinem ca elementul neutru al legii de compozitie este 6.

d.) Gasiti simetricul lui 2014 in raport cu legea de compozitie „*”

Ca sa gasim simetricul lui 2014, notam simetricul sau cu x si calculam:

x*2004=e unde e este elementul neutru al legii de compozitie.

Si obtinem: x=-2002

Si astfel am obtinut ca simetricul lui 2014 este -2002

si dupa cum am spus si mai sus este suficient sa calculam:

e.) Demonstrati ca xo(y*z)=(xoy)*(xoz) oricare ar fi x,y,z apartin lui R.

Solutie:

Acum trebuie sa demonstram distributivitatea celei de-a doua legi in functie de prima. Astfel calculam mai intai x\circ\left(y*z\right)=x\circ\left(y+z-6\right)\Rightarrow x\left(y+z-6\right)-6x-6\left(y+z-6\right)+42=xy+xz-6x-6x-6y-6z+36+42=xy+xz-12x-6y-6z+78 (1)

Observati ca mai sus am folosit ambele legi.

Iar acum calculam: x\circ y=xy-6x-6y+42

Dar si x\circ z=xz-6x-6z+42

Si acum: \left(x\circ y\right)*\left(x\circ z\right)=\left(xy-6x-6y+42\right)*\left(xz-6x-6z+42\right)=    xy-6x-6y+42+xz-6x-6z+42-6=xy+xz-12x-6y-6z+84-6=xy+xz+12x-6y-6z+78(2)

Din (1) si (2) observam ca cele doua relatii se verifica.

Probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor

Sa mai rezolvam niste probleme pentru dragii nostrii vizitatori.

1. David are un numar de jucarii. Triplul jumatatii acestui numar micsorat cu jumatatea jumatatii numarului respectiv devine 20. Cate jucarii are David?

Rezolvarea problemei:

Notam numarul jucariilor cu x
Si formam ecuatia: 3\cdot x\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot x=20
Asadar avem ecuatia: \frac{3x}{2}-\frac{x}{4}=20|\cdot 4\Rightarrow \frac{3x}{2}\cdot 4-\frac{x}{4}\cdot 4=20\cdot 4\Rightarrow 3x\cdot 2-x=80\Rightarrow 6x-x=80\Rightarrow 5x=80\Rightarrow x=80:5\Rightarrow x=16
Deci numarul jucariilor lui David este 16.

Acum efectuam proba: \frac{3x}{2}=\frac{3\cdot 16}{2}=\frac{48}{2}=48:2=24 triplul jumatatii acestui numar
Micsorat cu jumatatea jumatatii numarului respectiv 24-\frac{1}{4}\cdot 16=24-\frac{16}{4}=24-16:4=24-4=20 devine 20, ceea ce se verifica.

2. S = 8+11+14+…+44
Observam ca termenii sumei se afla in progresie aritmetica.
Ca sa calculam suma de mai sus folosim progresiile aritmetice:
Astfel avem ca: a_{1}=8, a_{2}=11.... a_{n}=44
Mai intai aflam ratia, astfel avem : r=a_{2}-a_{1}=11-8=3
Dar cu formula termenului general stim ca a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 44=8+\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow \left(n-1\right)\cdot 3=44-8\Rightarrow \left(n-1\right)\cdot 3=36\Rightarrow n-1=36:3\Rightarrow n-1=12\Rightarrow n=12+1\Rightarrow n=13

Deci stim ca in suma avem 13 termenii, iar in progresie aritmetica suma primilor n termenii este S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right)\cdot n}{2}
Dar noi cum avem 13 termenii, obtinem S_{13}=\frac{\left(a_{1}+a_{13}\right)\cdot 13}{2}=\frac{\left(8+44\right)\cdot 13}{2}=\frac{52\cdot 13}{2}=\frac{676}{2}=338

Asadar suma primilor 13 termenii este 338.
Deci suma S=8+11+14+…+44=338

Teza clasa a VIII model Semestrul I

                                                Lucrare scrisa la matematica pe semestrul I

Nume:
Prenume:

Subiectul I

1. Rezultatul calculului \left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{8} este……

2. Daca multimea A=\left\{x\in N^{*}||\frac{2x-1}{3}|< 5\right\}, atunci cel mai mare numar natural din multimea A este…..

3. Media geometrica a numerelor  a=\frac{2}{\sqrt{3}+1}+3-\sqrt{3} si b=\frac{2}{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}+\left(2+\sqrt{2}\right)^{2} este egala cu ….

4. Scris sub forma de fractie ordinara ireductibila, numarul 0,08(3) este egal cu …

5. Rezultatul calculului 3\sqrt{48}-4\sqrt{12} este egal cu ….

6. Cubul ABCDA’B’C’D’ are muchia de lungime egala cu 8 cm.

a)  Determinati masura unghiului dintre dreptele AC si A’D’, m\left(\widehat{B'C, DC'}\right), precum si m\left(\widehat{AB',\left(ABC\right)}\right), \sin\left(\widehat{BD',\left(ABC\right)}\right)

b) Distanta de la punctul A’ la dreapta BC’

c) Lungimea diagonalei cubului

Subiectul II

1.a) Calculati \frac{20}{\sqrt{12}-\sqrt{2}}-\sqrt{6}\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)-|\sqrt{2}-2|

b)  Aratati ca numarul x=\left(\frac{2}{\sqrt{20}+3\sqrt{2}}\right)-|3\sqrt{2}-2\sqrt{5}|+\sqrt{\left(-4\right)^{2}} este este patrat perfect.

2. Fie E\left(x\right)=\left(x-1-\frac{x^{2}-1}{x+2}\right):\frac{x-1}{x+2}

a) Determinati valorile lui x pentru care expresia este bine definita

b) Aduceti expresia la forma cea mai simpla

c) Determinati valorile intregi a, pentru care \frac{6}{x+1}\cdot E(a) este numar intreg

3. Consideram tetraedrul ABCD de varf A, cu lungimea lui AB=8 cm

a) Calculati lungimea proiectiei segmentului AB pe planul (BCD)

b) Calculati distanta de la A la CD

c) Calculati distanta  de la A la planul (BCD)

d) Determinati sinusul unghiului dintre dreapta AB si planul (BCD)

Solutie:

1. Ca sa aflam rezultatul calculului folosim formulele de calcul prescurtat ar si scoaterea factorilor e sub radicali:

\left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{8}=\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 1+1^{2}+2\cdot 2\sqrt{2}=8-4\sqrt{2}+1+4\sqrt{2}=9

Deci rezultatul calculului este 9.

2. Ca sa aflam cel mai mare element al multimii, mai intai aflam carui interval apartine elementul x

|\frac{2x-1}{3}|<5\Rightarrow -5<\frac{2x-1}{3}<5|\cdot 3\Rightarrow -15\cdot 3<2x-1<15|+1\Rightarrow -15+1<2x-1+1<15+1\Rightarrow -14<2x<16|:2\Rightarrow -7<x<8

Ca sa rezolvam moului de mai sus am tinut cont de regula

|x|<a\Rightarrow -a<x<a

Iar la inegalitatea gasita, am inmultit cu 3 pentru a obtine o inegalitate cu numitorul 1, apoi am adunat cifra 1 pentru toata inegalitatea si nu in ultimul rand am impartit printr-un 2 si astfel am obtinut intervalul x\in \left(-7, 8\right), adica multimea, dar frara elementul 0, deoarece

x\in N^{*}

A=\left\{1,2, 3, 4, 5, 6, 7\right\}

Deci cel mai mare element al multimii este 7.

3. Ca sa calculam media geometrica a numerelor mai intai calculam numerele:

a=\frac{2}{\sqrt{3}+1}+3-\sqrt{3}=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}+3-\sqrt{3}=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}+3-\sqrt{3}=\sqrt{3}-1+3-\sqrt{3}=2

Acum calculam b

b=\frac{2}{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}+\left(2+\sqrt{2}\right)^{2}=\frac{2}{2+2\cdot \sqrt{2}\cdot 1+1^{2}}+4+2\cdot 2\cdot \sqrt{2}+2=\frac{2}{2+2\sqrt{2}+1}+6+4\sqrt{2}=\frac{2}{3+2\sqrt{2}}+6+4\sqrt{2}=\frac{2\left(3-\sqrt{2}\right)}{3^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}+6+4\sqrt{2}=\frac{6-4\sqrt{2}}{9-8}+6+4\sqrt{2}=6-4\sqrt{2}+6+4\sqrt{2}=6+6=12

Observati ca in cazul exercitiului de mai sus am folosit formulele de calcul prescurtat \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}, dar si rationalizarea  numitorilor de forma \sqrt{a}+b.

Iar media geometrica a numarelor este:

M_{g}=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{2\cdot 12}=\sqrt{2\cdot 2^{2}\cdot 3}=2\sqrt{6}

Observati ca am scos factorii de sub radicali.

4. Cum transformam fractia zecimala in fractie ordinara 0,08(3)=\frac{83-8}{900}=\frac{75}{900}^{(15}=\frac{75:15}{900:15}=\frac{5}{60}^{(5}=\frac{5:5}{60:5}=\frac{1}{12}

Si am obtinut o fractie ordinara ireductibila.

5. Ca sa aflam rezultatul calculului mai intai scoatem factorii de sub radicali

3\sqrt{48}-4\sqrt{12}=3\sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 3}-4\sqrt{2^{2}\cdot 3}=3\cdot 2\cdot 2\sqrt{3}-4\cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}-8\sqrt{2}=4\sqrt{3}

 

Operatii cu numere reale > Exercitii

Inainte de a efectua operatii cu numere reale trebuie sa stim care sunt numerele reale, notate R, este formata din reuniunea multimii numerelor rationale cu multimea numerelor irationale. In mod asemanator, R^{*}=R-\left\{0\right\}, adica avem sirul de incluziuni: N\subset Z\subset Q\subset R

Operatiile care putem sa le efectuam cu numerele reale sunt asemanatoare cu operatiile pe care le-am invatat pana acum, adica:

Adunarea numerelor reale

Scaderea numerelor reale

Inmultirea a doua numere reale

Impartirea a doua numere reale

Inversul unui numar real

Ridicarea la putere a numerelor reale

Dar si calculele cu radicali cat si regulile de calcul cu radicali.

In efectuarea operatiilor sus mentionate trebuie sa tinem cont de ordinea efectuarii operatiilor, adica:

-Mai intai efectuam operatiile de gradul III, adica ridicarea la putere a numerelor reale

-Apoi operatiile de gradul II, adica inmultirile si impartirile in ordinea in care apar

-Si nu in ultimul rand operatiile de gradul I, adunarile si scaderile in ordinea in care apar

Acum sa rezolvam cateva exercitii cu numere reale.

1. Efectuatii calculele:

a) (-7+5)\cdot\left(-16:4+12:3\right)

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus, mai intai efectuam operatia de adunare in prima paranteza dintre doua numere intregi folosind regulile de calcul, apoi efectuam impartirile in cea de-a doua paranteza, astfel obtinem:

(-2)\cdot\left(-4+4\right)=0

Dupa ce am efectuat impartirile am obtinut aceleasi numere, dar de semne contrare, de unde obtinem rezultatul 0.

b) 2\sqrt{24}\left(\frac{3}{\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)

Ca sa rezolvam exercitul de mai sus, mai intai scoatem factorii de sub radicali, dar si rationalizam, astfel obtinem:

2\sqrt{2^{2}\cdot 2\cdot 3}\left(\frac{3\sqrt{6}}{6}-\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}}\right)=2\cdot 2\sqrt{6}\left(\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)=

Apoi ca sa putem efectua calculele, aducem la acelasi numitor in paranteza rotunda si efectuam calculele 4\sqrt{6}\left(\frac{3\sqrt{6}-2\sqrt{6}}{6}\right) .

De unde obtinem un numar produsul a doua numere in care putem sa efectuam o simplificare prin 6, deoarece stim ca \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}=6 si astfel obtinem rezultatul 4.

=4\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{6}}{6}=\frac{4\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}{6}=\frac{4\cdot 6}{6}^{(6}=\frac{4\cdot 1}{1}=4

c) \frac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}+\frac{2}{3+\sqrt{7}}

Ca sa rezolvam acest exercitiu, mai intai rationalizam numitorii, astfel devine :

\frac{5\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{2\left(3-sqrt{7}\right)}{3^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}

Apoi efectuam calculele:

\frac{5\sqrt{7}+5\sqrt{2}}{7-5}+\frac{2\cdot 3-2\cdot \sqrt{7}}{9-7}=\frac{5\sqrt{7}+5\sqrt{2}}{2}+\frac{6-2\sqrt{7}}{2}=

Cum avem acelasi numitor, putem efectua calculele:

\frac{5\sqrt{7}+5\sqrt{2}+6-2\sqrt{7}}{2}=\frac{3\sqrt{7}+5\sqrt{2}+6}{2}

d) \left(\sqrt{0,(2)}+\frac{\sqrt{8}}{3}\right):0,(5)-\left(\sqrt{4\frac{1}{2}}\right)^{-1}=

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus mai intai transformam fractiile zecimale periodice simple in fractii ordinare, dar introducem si intregii in fractii pe unde se poate:

\left(\sqrt{\frac{2}{9}}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\right):\frac{5}{9}-\left(\sqrt{\frac{4\cdot 2+1}{2}}\right)^{-1}=

Deci avem: \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot\frac{9}{5}-\left(\sqrt{\frac{9}{2}}\right)^{-1}=

Observati ca am scos si factorii de sub radicali, iar in urmatorul pas extragem radicalii pe unde se poate  \left(\frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot\frac{9}{5}-\left(\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}\right)^{-1}

Astfel obtinem: \left(\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot\frac{9}{5}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}=\frac{3\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{9}{5}-\frac{\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}\cdot\frac{9}{5}-\frac{\sqrt{2}}{3}=^{3)}\frac{9\sqrt{2}}{5}-^{5)}\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{27\sqrt{2}}{15}-\frac{5\sqrt{2}}{15}=\frac{27\sqrt{2}-5\sqrt{2}}{15}=\frac{22\sqrt{2}}{15}

Probleme rezolvate cu unghiuri Cum transformam fractiile zecimale in fractii ordinare

In acest articol prezentam un exercitiu de algebra de calasa a VI- a prin care ne reamintim cum transformam o fractie zecimala in fractie ordinara, cat si notiunea de fractie ireductibila, dar si o problema rezolvata de geometrie cu unghiuri.

1. Scrie ca fractie ordinara ireductibila :
A) 1,16 egal ……..
B) 1,15 egal ………
C) 1,00016 egal………
Soluite:
Mai intai transformam fractiile zecimale in fractii ordinare si apoi simplificam.
Observam ca avem doar fractii zecimale finitie

Astfel obtinem:
A) 1,16=\frac{116}{100}^{(4}=\frac{116:4}{100:4}=\frac{29}{25}
Cum 29 si 25 sunt prime intre ele obtinem ca fractia de mai sus este ireductibila.

B) \frac{115}{100}^{(5}=\frac{115:5}{100:5}=\frac{23}{20}
Si la fel ca mai sus numerele 23 si 20 fiind prime intre ele rezulta ca fractia este ireductibila, adica (23, 20)=1

C) 1,00016=\frac{100016}{100000}^{(4}=\frac{25004}{25000}^{(4}=\frac{25004:4}{25000:4}=\frac{6251}{6250}

Observam ca mai intai am transformat fractia zecimala in fractie ordinara pentru cei care nu va mai remaintiti click aici.

Mai intai am simplificat fractia ordinara prin 4, apoi iar printr-un 4 si astfel am obtinut la numarator numarul 6251 si la numitor numarul 6250, astfel daca descompunem fiecare numar in parte obtinem ca:
cum descompunem numerele in produs de factori primi
Astfel obtinem 6251=7\cdot 19\cdot 47\cdot 1
Dar si 6250=2\cdot 5^{5}\cdot 1
Iar cel mai mare divizor comun al numerelor este:
(6251,6250)=1, adica numerele sunt prime intre ele, la cel mai mare divizor comun al numerelor luam factorii comuni o singura data la puterea cea mai mica.

Deci important sa stim sa transformam fractiile  zecimale in fractii ordinare, dar si sa cunoastem notiunea de simplificare, adica a simplifica inseamna a imparti atat numitorul cat si numaratorul la acelasi numar, iar o fractie se numeste ireductibila daca cel mai mare divizor comun  a numitorului si numaratorului este 1, adica numerele sunt prime intre ele.

 Problema :Se considera doua drepte a si b concurente in O.Calculati masura fiecarui unghi cu varful in O stiind ca:

a)suma masurilor a doua dintre unghiuri este 108°;
b)suma masurilor a trei dintre unghiuri este 208°
Solutie:
cum arata unghiurile opue la varf
Stim ca suma masurilor a doua dintre unghiuri este de 108^{0}
Daca unghiurile ar fi opuse la varf am avea m\left(\widehat{O_{1}}\right)+m\left(\widehat{O_{3}}\right)=108^{0}

Dar stim ca unghiurile opuse la varf sunt congruente, adica m\left(\widehat{O_{1}}\right)=m\left(\widehat{O_{3}}\right)
Si obtinem: 2m\left(\widehat{O_{1}}\right)=108^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{O_{1}}\right)=108^{0}:2=54^{0}=m\left(\widehat{O_{3}}\right) iar m\left(\widehat{O_{2}}\right)=180^{0}-54^{0}=126^{0}=m\left(\widehat{O_{4}}\right)

Am folosit faptul ca m\left(\widehat{O_{2}}\right)+m\left(\widehat{O_{1}}\right)=180^{0}, iar unghiurile \widehat{O_{2}}, \widehat{O_{4}} sunt unghiuri opuse la varf.
cum aflam masura unghiurilor opuse la varf
b) suma masurilor a trei dintre unghiuri este 208°
Astfel avem ca: m\left(\widehat{O_{1}}\right)+m\left(\widehat{O_{2}}\right)+m\left(\widehat{O_{3}}\right)=208^{0}

Cum unghiurile O_{1} si o_{2} sunt situate pe aceiasi dreapta b  stim ca
m\left(\widehat{O_{1}}\right)+m\left(\widehat{O_{2}}\right)=180^{0}
Iar din relatia de mai sus obtinem 180^{0}+m\left(\widehat{O_{3}}\right)=208^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{O_{3}}\right)=208^{0}-180^{0}=28^{0}
Dar observam ca unghiurile O_{1} si O_{3} sunt opuse la varf adica congruente
Astfel obtinem 28^{0}+m\left(\widehat{O_{2}}\right)+28^{0}=208^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{O_{2}}\right)=208^{0}-56^{0}=152^{0}

Si cum unghiurile O_{4} si O_{2} sunt opuse la varf obtinem si ca
m\left(\widehat{O_{4}}\right)=152^{0}

Asadar e foarte important sa cunoastem notiunile referitoare la unghiuri, adica unghiuri opuse la varf, cum arata un unghi alungit si ce masura are acesta.

Probleme rezolvate cu Teorema impartirii cu rest

Sa mai rezolvam cateva probleme folosind teorema impartirii cu rest.

1. Tatal are 42 de ani, iar cei doi copii ai sai au varsta/varstele de 12 ani si respectiv 14 ani. Peste cati ani varsta tatalui va fi egala cu suma varstelor copiilor?

Solutie:
Stim ca tatal are 42 ani, iar cei doi copii au varsta de 12 ani si 14 ani.
Astfel formam ecuatiile:
42=x+12+14\Rightarrow 42=x+26\Rightarrow x=42-26\Rightarrow x=16
Asadar peste 16 ani varsta tatalui va fi egala cu suma varstelor copiilor.

2. Suma a doua numere intregi este 63. Impartind unul dintre numere la celalalt, se obtine catul 2 si restul 9. Aflati numerele.

Solutie:
Notam cu x si y cele doua numere.
Si formam ecuatia x+y=63 Suma a doua numere intregi este 63.
x:y, catul c=2 si r=9
Folosind Teorema impartirii cu rest obtinem x=2\cdot y+9
Deci am obtinut ecuatiile: x+y=63
Si x=2y+9
Inlocuind cea de-a doua ecuatie in prima obtinem:
x+y=63\Rightarrow 2y+9+y=63\Rightarrow 3y+9=63\Rightarrow 3y=63-9\Rightarrow 3y=54\Rightarrow y=54:3\Rightarrow y=18
Iar x=2\cdot y+9=2\cdot 18+9=36+9=45

Daca mai aveti si alte probleme in care trebuie sa aplicati teorema impartirii cu rest va recomandam sa folositi acest model de rezolvare. Pentru alte exercitii si probleme va stam la dispozitie.

Exercitii rezolvate cu divizibilitate

Prezentam doua exercitii rezolvate cu divizibilitatea numerelor naturale

1. Sa se afle numerele naturale a si b, stiind ca sunt indeplinite relatiile:
a-b= 156 si (a,b)=13
Solutie:
Ca sa aflam numerele a si b, trebuie sa tinem cont de conditiile de mai sus. Adica
a-b=156 dar si (a, b)=13
Dar, sigur a>b cum cel mai mare divizor comun a celor doua numere este 13, adica 13|a, de unde conform definitiei divizibilitatii, rezulta ca exista un numar natural c astfel incat a=13\cdot c
si 13|b, de unde la fel conforma definitiei divizibilitatii numerelor naturale ca exista un numar natural t, astfel incat b=13\cdot t

Astfel diferenta devine:

a-b=156\Rightarrow 13\cdot c-13\cdot t=156\Rightarrow 13\left(c-t\right)=156, cu c>t
Si obtinem c-t=156:13\Rightarrow c-t=12
Deci diferenta dintre c si t este 12, dar si c>t, ca sa aiba loc sens diferenta.
Pentru t=1, obtinem c-1=12\Rightarrow c=12+1\Rightarrow c=13
Si obtinem a=13\cdot c=13\cdot 13=169 si b=13\cdot 1=13
Pentru t=2, obtinem c-2=12\Rightarrow c=14
Si obtinem a=13\cdot c=13\cdot 14=
Si b=13\cdot 2

Si am obtine ca cel mai mare divizor comun al numerelor este 26 si nu satisface cea de-a doua conditie, deci nu convine.
Pentru t=3, obtinem c-3=12\Rightarrow c=15
Si a=13\cdot 15=
Dar si b=13\cdot 3
si la fel obtinem ca cel mai mare divizor comun al numerelor este 39 ceea ce nu convine
…………..

Pentru t=5, obtinem c-5=12\Rightarrow c=17
Si obtinem a=13\cdot c=13\cdot 17=221
Si b=13\cdot t=13\cdot 5=65, ceea ce satisface conditia de mai sus.
………………………

Pentru t=7, obtinem c-7=12\Rightarrow c=19
Si obtinem a=13\cdot 19=247
Si b=13\cdot 7=91, pentru care se verifica conditiile de mai sus.

Pentru t=11, obtinem c-11=12\Rightarrow c=23
Obtinem a=13\cdot 23=299
Si b=13\cdot t=13\cdot 11=143, de unde se verifica conditiile de mai sus.
Pentru t=13, obtinem c-13=12\Rightarrow c=12+13\Rightarrow c=25
Iar numerele gasite sunt a=13\cdot 25=325
Si b=13\cdot t=13\cdot 13=169
Astfel stim ca c=12+t
Pentru t=17, obtinem c=12+17=29
Si obtinem a=13\cdot 29=377 si b=13\cdot 17=221 si asa mai departe.

2. Determinati numerle de forma 73xy(cu bara deasupra) divizible cu 36 ca numerele de forma 73xy sa fie divizibile cu 36, trebuie sa fie divizibile atat cu 9 cat si cu 4, astfel folosim criteriile de divizibilitate.

Stim ca un numar este divizibil cu 4 daca ultimile doua cifre sunt divizibile cu 4, dar si criteriul de divizibilitate cu 9, adica un numar este divizibil cu 9 daca suma cifrelor este divizibila cu 9, astfel avem:
7+3+x+y=10+x+y
Astfel pentru x=y=4, obtinem \left(10+4+4=18\right)\vdots 9, dar este divizibil si cu 4, deci primul numar gasit este 7344
Pentru x=6 si y=2 obtinem \left(10+6+2\right)=18\vdots 9, dar nu si cu 4.

Si obtinem ca numarul 7362 nu este divizibil cu 36.
Pentri x=8 si y=0, obtinem \left(10+8+0\right)=18\vdots 9
Iar numarul gasit este 7380 care este divizibil si cu 4, deci divizibil cu 36.
Deci numerele gasite sunt 7344 si 7380.

Execitii rezolvate cu divizibilitatea

Prezentam rezolvarea unor exercitii cu ajutorul divizibilitatii, dar si gasirea unor numere naturale care satisfac simultan mai multe conditii.
Demonstrati ca numarul A= 2^{n}\cdot 3^{n}\cdot 5^{n}+ 2^{n}\cdot 15^{n}\cdot 14 + 3^{n}\cdot 10^{n}\cdot 2 se divide cu 17 oricare ar fi n numar natural.

Solutie:
Ca sa demonstram ca numarul A se divide cu 17 folosim regulile de calcul cu puteri
A=\left(2\cdot 3\cdot 5\right)^{n}+\left(2\cdot 15\right)^{n}\cdot 14+\left(3\cdot 10\right)^{n}\cdot 2
Pentru cei care nu va reamintiti folosim regula de calcul cu puteri
a^{n}\cdot b^{n}=\left(a\cdot b\right)^{n}
Astfel A devine A=30^{n}\cdot 1+30^{n}\cdot 14+30^{n}\cdot 2
Acum daca factor comun pe 30^{n} obtinem:
A=30^{n}\left(1+14+2\right)=30^{n}\cdot 17
Astfel avem: 17|17\cdot 30^{n}
Si stim ca daca 17|17, atunci 17|17\cdot 30^{n}

2. Sa se gaseasca toate nr. naturale de 3 cifre care satisfac simultan conditiile:- cifra sutelor este egala cu suma celorlalte 2 cifre ale numarului – PRODUSUL CIFRELOR NUMARULUI este egal cu triplul sumei cifrelor acestuia.

Solutie:

Numerele naturale de trei cifre sunt de forma abc
Iar noi stim ca a=b+c cifra sutelor este egala cu suma celorlalte 2 cifre ale numarului
Dar si a\cdot b\cdot c=3\left(a+b+c\right) PRODUSUL CIFRELOR NUMARULUI este egal cu triplul sumei cifrelor acestuia.
Stim ca a>0
Iar daca din prima relatie inlocuim in cea de-a doua obtinem:
\left(b+c\right)\cdot b\cdot c=3\left(b+c+b+c\right)\Rightarrow
Adunand in membrul drept termenii asemenea, obtinem \left(b+c\right)\cdot bc=3\cdot\left(2b+2c\right)\Rightarrow
Iar acum dand factor comun in membrul drept cifra 2 obtinem
\left(b+c\right)\cdot bc=3\cdot\left[2\left(b+c\right)\right]\Rightarrow \left(b+c\right)\cdot bc=3\cdot 2\left(b+c\right)\Rightarrow
Iar acum observati ca putem simplifica egalitatea prin \left(b+c\right)

\left(b+c\right)\cdot bc=6\left(b+c\right)|\left(b+c\right)\Rightarrow bc=6
Si obtinem ca produsul dintre numerele b si c care este 6.

Pentru b=2 si c=3 obtinem
Pentru b=2 si c=3 obtinem a=b+c=2+3=5
Deci se verifica relatia si numarul gasit este 523

Pentru b=3 si c=2 obtinem la fel a=5 si obtinem numarul 532.
Pentru b=1 si c=6 obtinem a=b+c=6+1=7 si numerele obtinute sunt 716, dar si 761.

Deci numerele gasite sunt: 716; 761; 532 si 523.