Variante BAC M1

Propunem spre rezolvare un exercitiu de analaiza matematica in care calculam primitiva unei functii, limita unei primitive, dar si o integrala mai complicata, astfel:

Fie functia f:R\rightarrow R f\left(x\right)=\frac{\sin x}{1+cos^{2}x}

a) Calculati \int f\left(x\right) dx

b) Fie F:R\rightarrow R, o primitiva a functiei f, calcuati \lim_{x\to 0}{\frac{F(x)-F(0)}{x^{2}}}

c) Calcuati \int_{0}^{2\pi} x\cdot f(x)dx

Solutie:

a) Variante BAC M1 ! Integrala devine \int f\left(x\right) dx=\int\frac{\sin x}{1+cos^{2}x}dx

Ca sa rezolvam integrala folosim Metoda schimbarii de variabile. Cei care nu va mai reamintiti click aici. Astfel notam \cos x=t

Iar pentru a afla dx, derivam  egalitatea de mai sus in functie de dx dar si in functie de dt \left(\cos x\right)^{'} dx=t^{'} dt\Rightarrow -\sin x dx=dt\Rightarrow \sin x dx=-dt

Astfel integrala devine \int \frac{-dt}{1+t^{2}}=-\frac{1}{1}\arctan\frac{t}{1}=-\arctan\frac{\cos x}{1}+C=-\arctan(\cos x)+C

Mai sus am folosit formula de la integralele uzuale \int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C

b) Variante BAC M1 ! Stiind ca F este o primitiva a functie f , observam ca cu informatiile de la punctul a)  stim ca F(x)=-\arctan(\cos x)+C si limita devine:

\lim\limits_{x\to 0}{\frac{F{x}-F(0)}{x^{2}}}=

Dar mai intai calculam F(0)=-\arctan(cos 0)=-\arctan 1=0

Astfel limita devine \lim\limits_{x\to 0}{\frac{-\arctan{\cos x}-0}{x^{2}}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{-\arctan{\cos x}}{x^{2}}}=\frac{0}{0}

Observati ca suntem in cazul de nedeterminare 0/0, astfel cu regula lui L’ Hospital avem ca \lim\limits_{x\to 0}{\frac{\left(-arctan(\cos x)\right)^{'}}{\left(x^{2}\right)^{'}}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{f(x)}{2x}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{f^{'}(x)}{2}}=

Mai mai intai calculam f^{'}(x)^=\frac{\cos x\left(1+\cos^{2}x\right)-\sin x\left(-2\cos x\cdot\sin x\right)}{\left(1+\cos^{2} x\right)^{2}}=\frac{cos x+cos^{3} x+2\cos x\sin^{2} x}{\left(1+\cos^{2}x\right)}

Pentru x=0 derivata devine f^{'}(0)=\frac{1+1+0}{\left(1+1\right)^{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}

Adica limita devine: \lim\limits_{x\to 0}{\frac{\frac{1}{2}}{2}}=\frac{1}{4}

c) Variante BAC M1 ! Integrala devine \int^{2\pi}_{0}x\cdot f(x)dx=\int^{2\pi}_{0}x\cdot\frac{\sin x}{1+\cos^{2}x} dx=\int^{2\pi}_{0}=\frac{x\sin x}{1+\cos^{2}x}dx=

Pentru a rezolva integrala facem schimbarea de variabila

t=2\pi-x\Rightarrow -x=t-2\pi\Rightarrow x=2\pi-t

Si obtinem (t)^{'}dt=(2\pi-x)^{'}dx\Rightarrow dt=-dx

Iar capetele intervalului devin x=0\Rightarrow t=2\pi-0=2\pi

Iar pentru x=2\pi\Rightarrow t=2\pi-2\pi=0

Astfel integrala devine \int^{0}_{2\pi}\left(2\pi-t\right)f\left(2\pi-t\right)\left(-dt\right)=\int_{0}^{2\pi}\left(2\pi-t\right)f\left(2\pi-t\right)dt=2\pi\int^{2\pi}_{0}f\left(2\pi-t\right)dt-\int^{2\pi}_{0}t\cdot f\left(2\pi-t\right) dt

Dar stim ca f\left(2\pi-t\right)=\frac{\sin(2\pi-t)}{1+\cos^{2}(2\pi-t)}

Dar stim ca \sin(2\pi -t)=\sin 2\pi\cdot\cos t-\cos 2\pi\sin t=-(-1)\cdot \sin t=-\sin t dar si \cos(2\pi -t)=\cos 2\pi \cos t+\sin 2\pi\sin t=\cos t astfel f(2\pi-t)=\frac{-\sin t}{1+\cos^{2}t}

Si integrala devine 2\pi\int^{2\pi}_{0}\frac{-\sin t}{1+\cos^{2}t}(-dt)-\int^{2\pi}_{0}\frac{t\cdot (-\sin t)}{1+\cos^{2}t} (-dt)

 

Astfel integrala devine: \int_{0}^{2\pi}x\cdot f(x)dx=2\pi\int^{2\pi}_{0}\frac{\sin t}{1+\cos^{2}t}dt-\int^{2\pi}_{0}\frac{t\cdot \sin t}{1+\cos^{2}t} dt
\Rightarrow \int^{2\pi}_{0}x\cdot f(x)dx=\frac{1}{2}\cdot 2\pi\int^{2\pi}_{0}\frac{\sin t}{1+\cos^{2} t}dt=-\pi\arctan(cos t)|^{2\pi}_{0}=

-\pi\left(arctan(cos 2\pi)-arctan(cos 0)\right)=-\pi\left(arctan 1-arctan 1\right)=0

 

Functii derivabile

Definitia derivatei unei functii intr-un punct :fie f:D\rightarrow R, D\subset R si x_{0}\in D un punct de acumulare al multimii D.

Definitie functii derivabile:

Se spune ca functia f are derivata in punctul x_{0}\in D daca exista limita  \lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}} in \bar{R}

Limita de mai sus se numeste derivata functiei in punctul x_{0} si se noteaza

f^{'}\left(x\right)=\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}

Mai spune si ca functia f este este derivabila in punctul x_{0}\in D, daca limita

f^{'}\left(x\right)=\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}

exista si este  finita.

Definitii

Fie f:D\rightarrow R, A\subset D

Functia f este derivabila pe multimea A, daca este derivabila  in fiecare punct al multimii.

Multimea D_{f^{'}}=\left\{x\in D|\exists f^{'}\left(x\right)\;\; si\;\;\; f^{'}\left(x\right)\in R\right\} se numeste domeniul de derivabilitate  a  functiei f.

Derivate laterale

Derivata la stanga

Fie functia f:D\rightarrow R si x_{0}\in D astfel incat D\cap\left(-\infty,x_{0}\right)\neq\Phi

Definitii !

Functia f are derivata la stanga in punctul x_{0}, daca limita \lim\limits_{x\to x_{0}\\x<x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}} exista in \bar{R}

Aceasta limita se numeste derivata la stanga a functiei f in punctul x_{0} si se noteaza f^{'}_{s}\left(x\right)

Functia f are derivabila la stanga in punctul x_{0}, daca derivata la stanga in x_{0} exista si este finita.

Derivata la dreapta

Fie functia f:D\rightarrow R si x_{0}\in D astfel incat D\cap\left(x_{0},+\infty\right)\neq \Phi

Definitii !

Functia f are derivata la dreapta  in punctul x_{0}, daca limita \lim\limits_{x\to x_{0}\\x>x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}} exista in \bar{R}

Aceasta limita se numeste derivata la dreata a functiei f in punctul x_{0} si se noteaza f^{'}_{d}\left(x\right)

Functia f este  derivabila  la dreata  in punctul x_{0}, daca derivata la dreapta  in x_{0} exista si este finita.

Teorema !

Fie functia f:D\rightarrow R si x_{0}\in D

a)  Functia f are derivata in x_{0} daca si numai daca f are derivatele laterale in x_{0} si f^{'}_{s}\left(x_{0}\right)=f^{'}_{d}\left(x_{0}\right)=f^{'}\left(x_{0}\right)

b) Functia f este derivabila in x_{0} daca si numai daca este derivabila la stanga si la dreapta   in
x_{0} si f^{'}_{s}\left(x_{0}\right)=f^{'}_{d}\left(x_{0}\right)=f^{'}\left(x_{0}\right)

Derivabilitate si continuitate

Teorema (continuitatea functiilor derivabile)

Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.

Observatie !

Reciproca teoremei de mai sus nu este in general adevarata. Adica, o functie este continua intr-un punct fara a fi derivabila in acel punct.

Exemplu:

Functia modul f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=|x| este continua in x_{0} fara a fi derivabila in  in acest punct.

Astfel \lim\limits_{x\to 0}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0}{|x|}=|0|=0=f\left(0\right), deci functia este continua.

Pentru derivabilitate studiem existenta si valoare limitei raportului

R\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\frac{|x|}{x} in x_{0}

Astfel avem \lim\limits_{x\to 0\;\; x<0}{R\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0\;\; x<0}{\left(-1\right)}=-1

\lim\limits_{x\to 0\;\; x>0}{R\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0\;\; x>0}{1}=1

Astfel nu exista \lim\limits_{x\to 0}{R\left(x\right)}, deci functia modul nu este derivabila in punctul x_{0}

Deci e foarte important sa cunoastem notiunea de derivata, dar si notiunea de derivata unei functii intr-un punct, cat si notiunea de derivabilitate si continuitate.

Metoda integrarii prin parti

Dupa ce am invatat notiunea de primitiva, dar si sa calculam o primitiva/ primitivele unor functii, si mai important, sa demonstram cand o functie admite primitive, a venit vremea sa discutam despre metodele de calculare a integralelor. In afara de tabelul cu primitive, mai exista si doua metode:
– metoda integrarii prin parti
– metoda schimbarii de variabile
In acest articol o sa ne ocupam de metoda integrarii prin parti:
Aceste metode de calcul urmaresc transformarea unor integrale „complicate” in integrale care pot fi calculate mai usor.
Teorema. Presupunem ca functiile f, g:I\rightarrow R sunt derivabile cu derivatele: f^{'}, g^{'}:I\rightarrow R continue. Fie doua numere a,b\in I
Atunci \int^{b}_{a}f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)^{'} dx=f\left(x\right)\cot g\left(x\right)|^{b}_{a}-\int^{b}_{a}f^{'}\left(x\right)\cdot g\left(x\right) dx

Exemplu:
1. Calculati urmatoarele integrale:
\int^{1}_{0}\ln\left(3x+1\right)dx
Integrala de mai sus o calculam cu ajutorul metodei integrarii prin parti, astfel
consideram f\left(x\right)=x, deoarece stim ca f^{'}\left(x\right)=x^{'}=1
Observat ca am luat funcita sub derivare ca fiind x
Si g\left(x\right)=\ln\left(3x+1\right)
Si integrala de mai sus devine: \int^{1}_{0}x^{'}\cdot\ln\left(3x+1\right) dx=
Mai intai am aplicat formula de mai sus pentru a obtine o integrala mai usor de rezolvat
x\cdot\ln\left(3x+1\right)|^{1}_{0}-\int^{1}_{0}x\cdot\left(\ln\left(3x+1\right)\right)^{'} dx=
In cea de-a doua integrala obtinuta am derivat membrul drept, adica g\left(x\right)=\ln\left(3x+1\right), iar g^{'}\left(x\right)=\left(\ln\left(3x+1\right)\right)^{'}=\frac{1}{3x+1}\cdot\left(3x+1\right)^{'}=\frac{1}{3x+1}\cdot 3=\frac{3}{3x+1}
1\cdot\ln\left(3\cdot 1+1\right)-0\cdot\ln\left(3\cdot 0+1\right)-\int^{1}_{0}x\cdot \frac{1}{3x+1}\cdot\left(3x+1\right)^{'} dx=
\ln\left(3+1\right)-0\cdot\ln 1-int^{1}_{0}x\cdot\frac{1}{3x+1}\cdot 3dx=\ln 4-0-\int^{1}_{0}\frac{3}{3x+1} dx=\ln 4-3\int^{1}_{0}\frac{1}{3x+1}dx=
Observati ca mai sus sus am aplicat formula Leibniz-Newton

\ln 4-3\int^{1}_{0}\frac{\left(3x+1\right)^{'}}{3x+1}\cdot \frac{1}{3} dx=

Noua integrala obtinuta o rezolvam folosind formula int\frac{u^{'}\left(x\right)}{u\left(x\right)}=\ln |u\left(x\right)|+c, unde u(x)=3x+1, dar u^{'}\left(x\right)=\left(3x+1\right)^{'}=3, dar observati ca i fata integralei apare fractia \frac{1}{3}, pentru a se simplifica de la derivare.
\ln 4-3\cdot\frac{1}{3}\int^{1}_{0}\frac{\left(3x+1\right)^{'}}{3x+1}dx=
ln 4-\ln\left(3x+1\right)|^{1}_{0}=\ln 4-\ln\left(3\cdot 1+1\right)=
\ln 4-\ln 4+\ln 1=0
Pentru a afla valoarea integralei am aplicat din nou Leibniz-Newton de unde am obtinut rezultatul 0.

b) \int^{2\pi}_{0}x\sin x dx=
Ca sa calculam integrala de mai sus, mai intai ne alegem functia pe care o punem sub derivare:
Astfel daca luam g\left(x\right)=\left(-\cos x\right)^{'}
Stim ca \left(-\cos x\right)^{'}=-\left(-\sin x\right)=\sin x
Deci alegem g\left(x\right)=\left(-\cos x\right)^{'}
Astfel integrala devine: \int^{2\pi}_{0}x\cdot\left(-\cos x\right)^{'}dx
Iar acum daca aplicam formula de mai sus obtinem:
\int^{2\pi}_{0}x\cdot\left(-\cos x\right)^{'}=-x\cos x|^{2\pi}_{0}-\int^{2\pi}_{0}x^{'}\cdot\left(-\cos x\right) dx
Astfel daca aplicam Leibnitz-Newton obtinem -2\pi\cos 2\pi+0\cdot \cos 0+\int^{2\pi}_{0}\cos xdx=-2\pi\cdot 1+\sin x|^{2\pi}_{0}=-2\pi+\sin 2\pi-\sin 0=-2\pi++0-0=-2\pi

Pentru a calcula \int \sin x=\cos x+C am aplicat formula uzuala din tabelul de integrale nedefinite.

c) \int^{\frac{\pi}{3}}_{0}\frac{x}{\cos^{2} x}
Acum la fel ca si mai sus alegem functia cea mai convenabila pe care sa o bagam sub semnul derivarii astfel incat sa ne avantajeze sa obtinem integrale mai usor de rezolvat.
Astfel integrala devine \int^{\frac{\pi}{3}}_{0}\frac{x}{\cos^{2} x}=\int^{\frac{\pi}{3}}_{0} x\cdot\frac{1}{\cos^{2} x} astfel daca luam functia \frac{1}{\cos^{2} x}

Stim ca \tan x=\frac{1}{\cos^{2} x}
Astfel consideram functia f\left(x\right)=x, dar si functia g^{'}\left(x\right)=\left(\tan x\right) astfel integrala devine:

\int^{\frac{\pi}{3}}_{0} x\cdot\left(\tan x\right)^{'} dx=
Iar acum aplicand Metoda integrarii prin parti obtinem:
x\cdot\tan x|^{\frac{\pi}{3}}_{0}-\int^{\frac{\pi}{3}}_{0}\left(x\right)^{'}\cdot \tan xdx=
Acum aplicand formula Laibnitz-Newton obtinem:
\frac{\pi}{3}\tan\frac{\pi}{3}-0\cdot\tan 0-\int^{\frac{\pi}{3}}_{0}1\cdot \tan x dx=\frac{\pi}{3}\cdot\sqrt{3}-\int^{\frac{\pi}{3}}\tan x dx=

Iar acum daca aplicam formulele pentru primitive obtinem ca \int \tan x dx=-\ln|\cos x|+C
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}-\left(-\ln|\cos x|\right)|^{\frac{\pi}{3}}_{0}=
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+\ln|\cos x||^{\frac{\pi}{3}}_{0}=

Iar la fel ca si mai sus daca aplicam Laibnitz-Newton
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+\ln|\cos\frac{\pi}{3}|-\ln|\cos 0|=
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+\ln|\frac{1}{2}|-\ln 1=
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+\ln|\frac{1}{2}|-\ln|1|=
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+\ln|\frac{1}{2}|-0=

Obtinem rezultatul de mai sus.
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+\ln 1-\ln 2=  \frac{\sqrt{3}\pi}{3}+0-\ln 2=\frac{\sqrt{3}\pi}{3}-\ln 2.

Deci e important, pentru a aplica Metoda integrarii prin parti, sa cunoastem notiunea de derivata dar si teorema pentru a puteam aplica aceasta metoda.

Primitive si integrala nedefinita a unei functii

Dupa ce am invatat sa derivam dar si ce rol joaca derivata am trecut de clasa a XI a si a venit vremea sa stim sa gasim primitive dar si sa calculam integrala/integralele nedefinita/ nedefinite a unei functii/ unor functii.

Cei care nu ati inteles notiunea de derivata va va fi foarte greu sa intelegeti notiunea de primitiva, deoarece ele se afla in stransa legatura.

Astfel incepem prin a da definitia primitivei.

Definitie: Fie I\subset R un interval si f:I\rightarrow R, F:I\rightarrow R. Functia F se numeste primitiva a lui f daca:

– F este derivabila

F^{'}\left(x\right)=f\left(x\right), \forall x\in I.

Spunem ca o functie f admite primitive pe intervalul I daca exista o primitiva a functiei f.

Exemplu:

Fie functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{3}.Functia F:R\rightarrow R, F\left(x\right)=\frac{x^{4}}{4} este o primitiva a functiei f, deoarece F este derivabila  si F^{'}=f

Teorema: Fie I un interval si functia f:I\rightarrow R care admite primitive. Daca F_{1}, F_{2}:I\rightarrow R sunt doua primitive ale functie f, atunci exista c\in R astfel incat F_{1}\left(x\right)=F_{2}\left(x\right)+c,\forall x\in I.

Defintie: Fie I un interval si o functie f:I\rightarrow R care admite primitive.  Multimea tuturor primitivelor functiei f se noteaza \int f\left(x\right) dx si se citeste integrala nedefinita a functiei f.

Asadar \int f\left(x\right) dx=\left\{F:I\rightarrow R| F\;\; este\;\; primitiva\;\; a \;\; functie \;\; f\right\}

Observatii !

Exista functii care nu admit primitive.

Orice functie continua pe un interval admite primitive pe acel interval.

Toate functiile elementare (polinomiale, radicali, exponentiale, logaritmice, trigonometrice) sunt continue pe un interval din domeniul lor de defintie, deci admit primitive.

Reciproca enuntului de mai sus nu este adevarata. Adica exista functii  care admit primitive dar nu sunt continue.

Aplicatii:

1. Calculati urmatorarele integrale:

a)\int \frac{x^{3}-x^{2}-x-2}{x^{2}} dx, x>0

Ca sa calculam integrala de mai sus, mai intai rescriem functia:

\int\left(\frac{x^{3}}{x^{2}}-\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{x}{x^{2}}-\frac{2}{x^{2}}\right)dx

Adica \int\frac{x^{3}}{x^{2}}dx-\int \frac{x^{2}}{x^{2}}dx-\int\frac{x}{x^{2}}dx-\int \frac{2}{x^{2}}dx

Observam ca putem sa efectuam la fiecare fractie anumite simplificari si integrala devine:

\int x dx-\int 1 dx-\int\frac{1}{x}dx-2\cdot \int\frac{1}{x^{2}}dx=

Acum ca sa calculam integralele obtinute folosim formula:

\int x^{n} dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

Dar si formula \int\frac{1}{x}dx=\ln |x|+C, unde C este o constanta

\frac{x^{2}}{2}-x-\ln x-2\cdot\int x^{-2}dx=    \frac{x^{2}}{2}-x-\ln x-2\cdot\frac{x^{-2+1}}{-2+1}=\frac{x^{2}}{2}-x-\ln x-2\cdot\frac{x^{-1}}{-1}=\frac{x^{2}}{2}-x-\ln x+2\cdot\frac{1}{x}+C=\frac{x^{2}}{2}-x-\ln x+\frac{2}{x}+C

 

b) \int\frac{x^{2}}{x^{2}-1}dx, x<-1

Ca sa calculam integrala de mai sus scadem la numarator cifra 1 si adunam la fel cifra 1., astfel integrala devine \int\frac{x^{2}-1+1}{x^{2}-1}dx=\int\left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}-1}+\frac{1}{x^{2}-1}\right)dx=\int\frac{x^{2}-1}{x^{2}-1}dx+\int\frac{1}{x^{2}-1}dx=\int 1dx+\int\frac{1}{x^{2}-1}dx

Iar ca sa calculam integrala nedefinta folosim formulele uzulae:

\int dx=x+C

Dar si \int\frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2\cdot a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C astfel integrala devine:

x+\frac{1}{2\cdot 1}\ln|\frac{x-1}{x+1}|+C=x+\frac{1}{2}\ln|\frac{x-1}{x+1}|+C

unde a=1.

\int\frac{1}{4x^{2}-9} dx, x>\frac{3}{2}

Ca sa calculam integrala nedefintia de mai sus

 

Mai intai rescriem numitorul 4x^{2}-9=2^{2}x^{2}-3^{2}=\left(2x\right)^{2}-3^{2}

Astfel integrala devine:

\int\frac{1}{\left(2x\right)^{2}-3^{2}} dx

Dar si  folosim un din formulele uzuale, adica stim ca \int\frac{1}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2\cdot a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|

unde in cazul de mai sus x=2x si a=3

Astfel obtinem:

\int\frac{1}{\left(2x\right)^{2}-3^{2}} dx=\frac{1}{2\cdot 3}\ln|\frac{2x-3}{2x+3}|=\frac{1}{6}\ln|\frac{2x-3}{2x+3}|+C

Asadar important la primitive si integrala nedefintia a unei functii sa invatam integralele uzuale, dar si cum sa le calculam cu ajutorul anumitor artificii.

 

Model subiect teza la matematica Clasa a XII a

Prezentam un model subiect teza la matematica pentru clasa a XII a.

Subiectul I

1. Stiind ca x_{1} si x_{2} sunt solutiile ecuatiei:x^{2}-2014x+1=0, sa se calculeze:

\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}
2. Sa se calculeze lungimea laturii AB a triunghiului ABC stiind ca BC=6 cm AC=3\sqrt{2}, m\left(\widehat{C}\right)=45^{0}
3. Sa se determine solutiile reale ale ecuatiei:
\log_{2}\left(x^{2}-x-2\right)=2
4. Sa se determine primul termen al unei progresii geometrice stiind ca raportul dintre primul termen si al patrulea este \frac{1}{8} si ca b_{2}=3
5. Sa se calculeze probabilitatea ca alegand un numar natural de doua cifre acesta sa fie cub perfect.
6. Se considera functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{2}-2x+2. Sa se arate ca varful parabolei asociat functiei are coordonatele egale.
Subiectul II
1. Se considera polinomul f=X^{4}+aX^{3}+bx+c cu a,b,c\in R
a) Sa se determine numarul real c stiind ca f\left(1\right)+f\left(-1\right)=2014
b) Sa se determine numerele reale a,b,c stiind ca f\left(0\right)=f\left(1\right)=-2 si ca una dintre radacinile polinomului este x=2
c) Pentru a=-2,b=1, c=-2 sa se determine radacinile reale ale polinomului f.
Subiectul III
1.Se considera functia: f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=\cos x-1+\frac{x^{2}}{2}
a) Sa se calculeze \lim\limits_{x\to 0}{\frac{f\left(x\right)}{x^{4}}}
b) Sa se determine f^{'} si f^{''}

2. Se  considera functia: f:\left[0,+\infty\right)\rightarrow R, f\left(x\right), =\frac{x^{2}+4x    5}{x^{2}+4x+3}

a) Sa se calculeze f\left(x\right)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3}+1, pentru orice x\in \left[0,+\infty\right)

b) Sa se calculeze \int^{1}_{0}f\left(x\right) dx

c)  Sa se determine numarul real k astfe incat aria suprafetei plane determinat e graficul functiei f, axa Ox si dreptele de ecuatii x=0 si x=k sa fie egala cu k+\ln k

Determinarea punctele de inflexiune

Dupa ce am invatat sa determinam intervalele de convexitate si concavitate a functiilor, a venit vremea sa invatam sa determinam punctele de inflexiune, astfel prezentam o teorema cu ajutorul careia gasim punctele de inflexiune:

Teorema:Fie f:I\rightarrow R si x_{0} un punct din interiorul intervalului I, astfel incat:

a) f este de doua ori derivabila in vecinatatea  V a lui x_{0}

b) exista punctele a,b\in V, astfel incat x_{0}\in\left(a, b\right)

c ) f^{''}\left(x\right)=0

d) f^{''}\left(x\right)<0, \forall x\in\left(a, x_{0}\right) si f^{''}\left(x\right)>0, \forall x\in\left(x_{0}, b\right) sau invers  f^{''}\left(x\right)>0, \forall x\in\left(a, x_{0}\right) si f^{''}\left(x\right)<0, \forall x\in\left(x_{0}, b\right).

atunci x_{0} este un punct de inflexiune al functiei f.

Observatie:

1) Conditia f^{''}\left(x\right)=0 nu implica intotdeauna ca x_{0} este punct de inflexiune.

2. Conditia ca f sa fie continua in x_{0} este punct de inflexiune.

Exemplu:

Sa se determine punctele de inflexiune ale functiei f:D\rightarrow R definite prin:

a) f\left(x\right)=x^{3}-7x^{2}+3x-4

Aflam mai intai domeniul de definitie, astfel domeniul de definitie al functiei f este R, deoarece functia de mai sus este o functiei polinomiala, deci avem

f:R\rightarrow R

Calculam mai intai

f^{'}\left(x\right)=\left(x^{3}-7x^{2}+3x-4\right)^{'}=3x^{2}-14x+3-0

Calculam acum

f^{''}\left(x\right)=\left(f^{'}\left(x\right)\right)^{'}=\left(3x^{2}-14x+3\right)^{'}=6x-14+0=6x-14

Rezolvam acum ecuatia:

f^{''}\left(x\right)=0\Rightarrow 6x-14=0\Rightarrow 6x=14\Rightarrow x=14:6\Rightarrow x=\frac{7}{3}

Acum efectuam tabelul de variatie:

Dar mai intai calculam

f\left(\frac{7}{3}\right)=\left(\frac{7}{3}\right)^{2}-3\left(\frac{7}{3}\right)^{2}+3\cdot\frac{7}{3}-4=\frac{343}{27}-3\cdot \frac{49}{9}+7=frac{343}{27}-\frac{49}{3}+7=\frac{343-9\cdot 49+27\cdot 7 }{27}=\frac{343-441+189}{27}=\frac{-98+189}{27}=\frac{91}{27}

um aflam punctul de inflexiunea al unei functii
In concluzie functia f este concava pe intervalul x\in\left(-\infty,\frac{7}{3}\right) si este convexa pe intervalul \left(\frac{7}{3},+\infty\right)
Astfel pentru x\in\left(-\infty,\frac{7}{3}\right) f^{''}\left(x\right)<0 si pentru x\in\left(\frac{7}{3},+\infty\right), f^{''}\left(x\right)>0. Atunci punctul x_{0}=\frac{7}{3} este punct de inflexiune.
b) f\left(x\right)=x^{2}\ln x
calculam mai intai domeniul de definitie, astfel punem conditia ca
x>0\Rightarrow x\in \left(0,+\infty\right)
Deci functia f:\left(0,+\infty\right)\rightarrow R
Calculam
f^{'}\left(x\right)=\left(x^{2}\ln x\right)^{2}=2x\cdot \ln x+x^{2}\cdot \frac{1}{x}=2x\ln x+x
Calcul acum
f^{''}\left(x\right)=\left(f^{'}\left(x\right)\right)^{'}=\left(2x\ln x+x\right)^{'}=2\cdot \ln x+2x\frac{1}{x}+1=2\ln x+2+1=2\ln x+3
Acum rezolvam ecuatia:
f^{''}\left(x\right)=0\Rightarrow 2\ln x+3=0\Rightarrow 2\ln x=-3\Rightarrow \ln x=\frac{-3}{2}\Rightarrow x=e^{-\frac{3}{2}}
Calculam acum
f\left(e^{-\frac{3}{2}}\right)=\left(e^{-\frac{3}{2}}\right)^{2}\ln e^{-\frac{3}{2}}=
e^{-3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\ln e\right)=-\frac{3}{2}e^{-3}\cdot 1=-\frac{3}{2}e^{-3}

Acum alcatuim tabelul

punctul de inflexiune pentru o functie
Astfel functia f este concava pe intervalul \left(0,e^{-\frac{3}{2}}\right) si convexa pe intervalul \left(e^{-\frac{3}{2}}, +\infty\right), astfel ca punctul \left(e^{-\frac{3}{2}}, -\frac{3}{2}e^{3}\right) este punct de inflexiune.
c) f\left(x\right)=\frac{x}{1-x^{2}}
Aflam mai intai domeniul de defintie:
Astfel punem conditia ca 1-x^{2}\neq 0\Rightarrow -x^{2}\neq -1\Rightarrow x^{2}\neq 1\Rightarrow x\neq\pm 1
Astfel x\in R-{\pm 1}
Adica D=R-\left\{-1,1\right\}
Calculam acum
f^{'}\left(x\right)=\left(\frac{x}{1-x^{2}}\right)^{'}=\frac{1\cdot\left(1-x^{2}\right)-x\cdot\left(-2x\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}=\frac{1-x^{2}+2x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}=\frac{1+x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}
Calculm acum
f^{''}\left(x\right)=\frac{2x\cdot\left(1-x^{2}\right)^{2}-\left(1+x^{2}\right)\cdot 2\left(1-x^{2}\right)\cdot\left(-2x\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}=
\frac{2x\left(1-2x^{2}+x^{4}\right)+4x\left(1-x^{4}\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}=
\frac{2x-4x^{3}+2x^{5}+4x-4x^{5}}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}=
\frac{-2x^{5}-4x^{3}+6x}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}=
\frac{-2x\left(x^{4}+2x^{2}-3\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}=
\frac{-2x\left(x^{4}+3x^{2}-x^{2}-3\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}=
\frac{-2x\left[x^{2}\left(x^{2}+3\right)+\left(x^{2}+3\right)\right]}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}=
\frac{-2x\left(x^{2}+3\right)\left(x^{2}-1\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}

Astfel avem ca:

f^{''}\left(x\right)=0\Rightarrow -2x\left(x^{2}+3\right)\left(x^{2}-1\right)=0

Si astfel obtinem -2x=0\Rightarrow x=0

Sau x^{2}+3=0 (observam ca ecuatia nu are solutii in multimea numerelor reale)

Sau x^{2}-1=0\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=\pm 1

Acum intocmim tabelul de variatie, dar tinem cont si de domeniul de definitie al functiei, astfel avem:

Calculam acum f\left(0\right)=\frac{0}{1-0^{2}}=0

Ca sa stabilim semnul functiei calculam

f^{''}\left(-2\right)=\frac{-2\cdot\left(-2\right)\left[\left(-2\right)^{2}+3\right]\left[\left(-2\right)^{2}-1\right]}{\left(1-\left(-2\right)^{2}\right)^{4}}=\frac{4\left(4+3\right)\left(4-1\right)}{\left(1-4\right)^{4}}=\frac{4\cdot 7\cdot 3}{81}>0

Acum calculam

f^{''}\left(-0,5\right)=\frac{-2\cdot\left(-0,5\right)\left[\left(-0,5\right)^{2}+3\right]\left[\left(-0,5\right)^{2}-1\right]}{\left[1-\left(-0,5\right)^{2}\right]^{4}}=

\frac{1\cdot\left(0,25+3\right)\left(0,25-1\right)}{\left(1-0,25\right)^{4}}=\frac{3,25\cdot \left(-0,75\right)}{\left(-0,75\right)^{4}}=\frac{-2,43}{+0,75^{4}}<0

Iar apoi

f^{''}\left(0,5\right)=\frac{-2\cdot 0,5 \left(0,5^{2}+3\right)\left(0,5^{2}-1\right)}{\left(1-0,5\right)^{4}}=

\frac{-1\cdot\left(0,25+3\right)\left(0,25-1\right)}{\left(1-0,25\right)^{4}}=\frac{-1\cdot 3,25\cdot \left(-0,75\right)}{\left(-0,75\right)^{4}}=\frac{+2,43}{+0,75^{4}}>0

Iar acum calculam

f^{''}\left(2\right)=\frac{-2\cdot 2\left(2^{2}+3\right)\left(2^{2}-1\right)}{\left(1-2^{2}\right)^{4}}=\frac{-4\left(4+3\right)\left(4-1\right)}{\left(1-4\right)^{4}}=\frac{-4\cdot 7\cdot 3}{81}<0

punctele de inflexiune ale unei functii

Astfel pe intervalul

\left(-\infty; 1\right)\cup\left[0; 1\right) functia este convexa iar pe intervalul \left(-1; 0\right)\cup\left[0; +\infty\right) functia este concava

Iar punctele de inflexiune sunt -1; 0; 1.

Punctele de inflexiune

Subiecte Bacalaureat rezolvate la Analiza matematica

1. Se considera functia f:R^{*}\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{3}+\frac{3}{x}

a) Sa se calculeze f^{'}\left(x\right),x\in R^{*}

b) Sa se calculeze \lim\limits_{x\to 1}{\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}}

c)  Sa se determine intervalele de monotonie ale functiei f.

Solutie

Calculam mai inati

a) f^{'}\left(x\right)=\left(x^{3}+\frac{3}{x}\right)^{'}=\left(x^{3}\right)^{'}+\left(\frac{3}{x}\right)^{'}=3x^{2}+\frac{3^{'}\cdot x-3\cdot x^{'} }{x^{2}}=3x^{2}+\frac{0-3\cdot 1}{x^{2}}=3x^{2}-\frac{3}{x^{2}}

b) Ca sa calculam limita de la b) trebuie sa stim ca de fapt acea limita este definitia derivatei functiei in punctul x=1, cum am calculat derivata stim ca

\lim\limits_{x\to 1}{\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}}=f^{'}\left(1\right)

Deci

f^{'}\left(1\right)=3\cdot 1^{2}-\frac{3}{1^{2}}=3-3=0

c) Acum ca sa aflam intervalele de monotonie rezolvam ecuatia:

f^{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 3x^{2}-\frac{3}{x^{2}}=0\Rightarrow \frac{3x^{2}\cdot x^{2}-1\cdot 3}{x^{2}}=0\Rightarrow \frac{3x^{4}-3}{x^{2}}=0

Cum numitorul  este diferit de 0 (acest lucru se observa si din domeniul de definitie), este tot timpul pozitiv, ne ocupam de

numarator. astfel

3x^{4}-3=0\Rightarrow 3x^{4}=3\Rightarrow x^{4}=1

Iar solutiile reale sunt x=\pm 1

Acum intocmim tabelul de variatie:

çum aflam intervalele de monotonie ale functiilor

Astfel din tabelul de variatie al functiei rezulta ca

– f este crescatoare pe \left(-\infty, -1\right)\cup\left(1,+\infty\right) si

– f este descrescatoare pe \left(-1,0\right)\cup\left(0,1\right)

2) Se considera functia f:\left[0,1\right]\rightarrow R,f\left(x\right)=x\cdot\sqrt{2-x^{2}}

a) Sa se calculezevolumul corpului obtinut prin rotatie, in jurul axei Ox, a graficului functie f.

b) Sa se calculeze \int^{1}_{0}f\left(x\right)dx

c) Sa se calculeze \lim\limits_{x\to 0}{\frac{\int^{x}_{0}f\left(t\right)dt}{x^{2}}}

Solutie:

Calculam

V=\pi\int^{1}_{0}f^{2}\left(x\right) dx=\pi\int^{1}_{0}\left(x\sqrt{2-x^{2}}\right)^{2}=
\pi\int^{1}_{0}x^{2}\left(2-x^{2}\right)dx=\pi\int^{1}_{0}\left(2x^{2}-x^{4}\right) dx=
\pi\int^{1}_{0}2x^{2}dx-\pi\int^{1}_{0}x^{4}dx=\pi\cdot 2\int^{1}_{0}x^{2}-\pi\cdot \frac{x^{5}}{5}|^{1}_{0}=
2\cdot \pi\cdot\frac{x^{3}}{3}|^{1}_{0}-\left(\frac{1^{5}}{5}-\frac{0^{5}}{5}\right)=
\pi\left(2\cdot\left(\frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}-\frac{1}{5}\right)\right)=
\pi\left(2\cdot\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=
\pi\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{5}\right)=\pi\cdot \frac{5\cdot 2-3\cdot 1}{15}=\pi\cdot \frac{10-3}{15}=\pi\ cdot\frac{7}{15}=\frac{7\pi}{15}

b) Calculam acum integrala

\int^{1}_{0}d\left(x\right)dx=\int^{1}_{0}x\sqrt{2-x^{2}}dx=

Ca sa rezolvam integrama de mai sus folosim metoda schimbarii de variabila astfel notam

2-x^{2}=t\Rightarrow -x^{2}=t-2\Rightarrow x^{2}=2-t\Rightarrow \left(x^{2}\right)^{2}dx=\left(2-t\right)^{'}dx\Rightarrow 2xdx=-1\cdot dt\Rightarrow xdx=-\frac{1}{2}dt

Acum ne ocupam de captele intervalului, astfel

Pentru

x=0\Rightarrow 2-0^{2}=t\Rightarrow t=2

Pentru

x=1\Rightarrow 2-1^{2}=t\Rightarrow 2-1=t\Rightarrow 1=t

Astfel integrala devine:

\int^{1}_{0}x\sqrt{2-x^{2}}dx=\int^{1}_{2}\sqrt{t}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)dt=
\int^{1}_{2}t^{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)}dt=
-\frac{1}{2}\int^{1}_{2}t^{\frac{1}{2}}dt=
-\frac{1}{2}\frac{t^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}|^{1}_{2}=
-\frac{1}{2}\cdot\frac{t^{\frac{1+2\cdot 1}{1}}}{\frac{1+2\cdot 1}{2}}|^{1}_{2}=-\frac{1}{2}\frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}|^{1}_{2}=
=-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}^{(2}\cdot t^{\frac{3}{2}}|^{1}_{2}=
-\frac{1}{3}\cdot \sqrt{t^{3}}^{1}_{2}=-\frac{1}{3}\left(\sqrt{1^{3}}-\sqrt{2^{3}}\right)=
-\frac{1}{3}\left(1-2\sqrt{2}\right)=\frac{2\sqrt{2}-1}{3}

c) Acum sa calculam

\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\int^{x}_{0}f\left(t\right) dt}{x^{2}}}

Calculam mai intai integrala

\int|^{x}_{0}f\left(t\right)dt=\int^{x}_{0}t\sqrt{2-t^{2}}dt

Astfel la fel ca mai sus rezolvam integrala prin metoda schimbarii de variabila, astfel

 

2-t^{2}=y\Rightarrow -2t dt=dy\Rightarrow tdt=\frac{-dy}{2}
Acum calculam capetele intervalului

t=0\Rightarrow 2-0^{2}=y\Rightarrow 2=y

Iar pentru

t=x\Rightarrow 2-x^{2}=y

Acum trecem la integrala

\int|^{x}_{0}f\left(t\right)dt=\int^{x}_{0}t\sqrt{2-t^{2}}dt=\int^{2-x^{2}}_{2}\sqrt{y}\left(\frac{-dy}{2}\right)=
-\frac{1}{2}\int^{2-x^{2}}_{2}y^{\frac{1}{2}}dt=-\frac{1}{2} \frac{y^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}|^{2-x^{2}}_{2}=
-\frac{1}{2}\frac{y^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}|^{2-x^{2}}_{2}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\sqrt{y^{3}}|^{2-x^{2}}_{2}=
-\frac{1}{3}\left(\sqrt{\left(2-x^{2}\right)^{3}}-\sqrt{2^{3}}\right)=
-\frac{1}{3}\left(2-x^{2}\right)\sqrt{2-x^{2}}+\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{2}

Astfel acum daca revenim la limita obtinem ca

\lim\limits_{x\to 0}{\frac{-\frac{1}{3}\left(2-x^{2}\right)\sqrt{2-x^{2}}+\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{2}}{x^{2}}}=
-\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\left(2-x^{2}\right)\sqrt{2-x^{2}}- 2\sqrt{2}}{x^{2}}}=
Observam ca suntem in cazul de nedeterminare \frac{0}{0} si daca aplicam regulile lui L’Hospital obtinem

-\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{-2x\cdot\sqrt{2-x^{2}}+\left(2-x^{2}\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{2-x^{2}}}\cdot\left(-2x\right)}{2x}}=
-\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{-2x\left(\sqrt{2-x^{2}}+\frac{2-x^{2}}{2\sqrt{2-x^{2}}}\right)}{2x}}
-\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{-1\left(\sqrt{2-x^{2}}+\frac{2-x^{2}}{2\sqrt{2-x^{2}}}\right)}{1}}=
\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{2\sqrt{2-x^{2}}\cdot\sqrt{2-x^{2}}+2-x^{2}}{2\sqrt{2-x^{2}}}}

=\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{2\left(2-x^{2}\right)+2-x^{2}}{2\sqrt{2-x^{2}}}}=
\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{4-2x^{2}+2-x^{2}}{2\sqrt{2-x^{2}}}}=
\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{6-3x^{2}}{2\sqrt{2-x^{2}}}}=
\frac{1}{3}\cdot\frac{6-3\cdot 0^{2}}{2\sqrt{2-0^{2}}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{6}{2\sqrt{2}}=\frac{6}{6\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

Reprezentarea grafica a functiilor

In reprezentarea grafica a functiilor se recomanda parcurgerea urmatoarelor etape:

1.  Se determina domeniul maxim de definitie al functiei si intersectia graficului functiei cu axele de coordonate.

Astfel pentru functiile irationale de forma \sqrt{f\left(x\right)} si pune conditia ca f\left(x\right)\geq 0

– pentru functia logaritimica de forma \log_{a}{f\left(x\right)} se pune conditia ca f\left(x\right)>0

– pentru functiile rationale de forma \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}, g\left(x\right)\neq 0

2. Intersectia graficului functiei cu axele de coordonate:

Intersectia graficului functiei cu axa Ox se  obtine punand conditia y=0\Rightarrow f\left(x\right)=0, adica rezolvam ecuatia de mai sus

Intersectia graficului functie cu axa Oy se obtine punand conditia ca x=0 si calculand f\left(0\right)=y

3. Determinarea semnului functie si eventualele simetrii

– Daca f\left(x\right)\geq 0, graficul functie este situat deasupra axei Ox in semiplanul pozitiv

– Daca f\left(x\right)\leq 0, atunci graficul functie este situat sub axa Ox semiplanul negativ.

O functie are simetrii daca este para sau impara, o functie para este simetrica fata axa Oy, iar o functie impara este simetrica fata de origine,

4. Asimptotele functiei

Calculam limitele la capetele domeniului de definitie, studiem continuitatea si determinam eventualele asimptote daca exista.

5. Studiul functiei folosind prima derivata

Cu ajutorul derivatei intai determinam intervalele de monotonie si punctelede extrem

6. Studiul functiilor folosind derivata a doua

Cu ajutorul derivatei a doua eterminam intervalele de convexitate sau concavitate si punctele de inflexiune

7.  Tabelul de variatie al functiei

Intocmim tabelul de variatie cu datele e lapunctele precendente

8. Trasam graficul functiei

Exemplu:

1) Sa se reprezinte grafic functiile:

a) f:D\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{3}-3x^{2}-4

In cazul functiilor polinomiale domeniul maxim de definitie este R, astfel D=R

G_{f}\cap Ox

Calculam

f\left(x\right)=0\Rightarrow x^{3}-3x^{2}-4=0\Rightarrow
x^{3}-2x^{2}-x^{2}-4=0\Rightarrow

x^{2}\left(x-2\right)-\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\Rightarrow
\left(x-2\right)\left(x^{2}-x-2\right)=0

Deci gasim ca

x-2=0\Rightarrow x=2

Sau

x^{2}-x-2=0\Rightarrow
\Delta =\left(-1\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-2\right)=1+8=9

Calculam acum

x_{1}=\frac{1+\sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2

Deci ecuatia are doua solutii reale

Dar mai avem si

x_{2}=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1

Deci avem

G_{f}\cap Ox=\left\{A\left(2,0\right); B\left(-1,0\right)\right\}

Calculam acum G_{f}\cap Oy, astfel calculam

f\left(0\right)=0^{3}-3\cdot 0^{2}+4=4

Astfel avem C\left(0, 4\right)

Determinam eventualele asimptote, astfel calculam

\lim\limits_{x\to-\infty}{x^{3}-3x^{2}+4}=-\infty

La fel si pentru

\lim\limits_{x\to+\infty}{x^{3}-3x^{2}+4}=+\infty

Deci functia nu are asimptote spre + si -infinit.

Studiul functiei folosind derivata intai:

f^{'}\left(x\right)=\left(x^{3}-3x^{2}+4\right)^{'}=3x^{2}-6x

Acum rezolvam

f^{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 3x^{2}-6x=0\Rightarrow 3x\left(x-2\right)=0

Astfel obtinem fie

x=0

Sau

x-2=0\Rightarrow x=2

Acum intocmim tabelul de variatie pentru derivata I, astfel avem

intervalele de monotonie ale unei functii
Studiul functiei folosind derivata a doua:

Astfel avem
f^{''}\left(x\right)=\left(3x^{2}-6x\right)^{'}=6x-6
Rezolvam acum
f^{''}\left(x\right)=0\Rightarrow 6x-6=0\Rightarrow 6x=6\Rightarrow x=1
Intocmim tabelul de variatie pentru derivata a doua
concavitatea si convexitatea functiilor
Acum trasam graficul functiei
graficul unei functii