Probleme rezolvate cu Teorema impartirii cu rest si cu Teorema celor Trei perpendiculare

Inca cateva probleme rezolvate cu teorema impartirii cu rest si teorema celor trei perpendiculare, rezolvate special pentru vizitatorii nostri.

1. Suma a 2 numere este 568. Aflati numerele stiind ca restul impartirii celui mai mare la cel mai mic este 28 si catul 14.

Rezolvare.

Notam cu x primul numar si y cel de-al doilea numar.

Astfel formam ecuatiile: x+y=568 suma a doua numere este 568, cu x>y

x:y, c=14\;\; si r=28

Deci cu teorema impartirii cu rest obtinem: x=14\cdot y+28=14y+28 cu r<I, adica r<y

Astfel daca inlocuim in prima ecuatie obtinem: 14y+28+y=568\Rightarrow 15y=568-28\Rightarrow 15y=540\Rightarrow y=540:15\Rightarrow y=36

Si x=14\cdot y+28=14\cdot 36+28=504+28=532

Deci cel mai mare numar este: 532 si cel mai mic numar este 36.

2. Determinati fractia a supra b, stiind ca este egala cu7 supra 5 si ca a ori b =1260

Solutie

Stim ca: \frac{a}{b}=\frac{7}{5}

Si a\cdot b=1260

Astfel avem \frac{a}{b}=\frac{7}{5}\Rightarrow a=\frac{7b}{5}

Astfel daca inlocuim in cea de-a doua ecuatie obtinem:

a\cdot b=1260\Rightarrow \frac{7b}{5}\cdot b=1260\Rightarrow \frac{7}{5}\cdot b^{2}=1260\Rightarrow b^{2}=1260:\frac{7}{5}\Rightarrow b^{2}=1260\cdot\frac{5}{7}^{(7}\Rightarrow b^{2}=180\cdot\frac{5}{1}\Rightarrow b^{2}=900\Rightarrow b^{2}=30^{2}\Rightarrow b=30

Iar a\cdot b=1260\Rightarrow a\cdot 30=1260\Rightarrow a=1260:30\Rightarrow a=42

Astfel am obtinut a=42 si b=30.

3. In centrul O al unui dreptunghi se ridica perpendiculara pe planul dreptunghiului, pe care se ia punctul M. Laturile dreptunghiului au lungimile de 10 cm, respectiv 18 cm, iar OM=12 cm. Calculati distantele de la punctul M la laturile dreptunghiului.

cum calculam distanta de la un punct la o dreapta
Stim ca MO\perp {ABCD}
Deci MO\perp (ABC)
Si ON\perp BC

Mai mult, ON, BC\subset\left(ABC\right)
Cu teorema celor trei perpendiculare obtinem MN\perp BC si astfel am obtinut ca d(M, BC)=MN
Astfel triunghiul MON este dreptunghic in O.
Mai stim si ca, O este centrul dreptunghiului, adica O este mijlocul lui AC, dar si ON||DC, deci ON este linia mijlocie in triunghiul ABC astfel obtinem:
ON=\frac{DC}{2}=\frac{18}{2}=9\;\; cm astfel in triunghiul MON, obtinem: MN^{2}=MO^{2}+ON^{2}\Rightarrow MN^{2}=12^{2}+9^{2}\Rightarrow MN=\sqrt{144+81}\Rightarrow MN=\sqrt{225}=15 cm

Stim si ca (ADC)
OP\perp AD
Si cu Teorema celor trei perpendiculare: MP\perp AD
La fel ca mai sus OP este linie mijlocie in triunghiul ADC si cu teorema lui Pitagora obinem MP=15 cm.
cum calculam distanta de la un punct la o dreapta
Si astfel obtinem ca d\left(M,AD\right)=MP=MN=15 cm
Pentru a afla d(M,AB)
Stim ca MO\perp(ABCD)\Rightarrow MO\perp(ABC)
Construim OQ\perp AB

Stim si ca OQ, AB\subset(ABC)
Deci cu Teorema celor trei perpendiculare obtinem:
MQ\perp AB
Si astfel obtinem: d(M, AB)=MQ
Stim ca O mijlocul lui AC si OQ||BC, deci cu Teorema liniei mijlocii obtinem OQ linie mijlocie OQ=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\;\; cm

Deci in triunghiul MOQ aplicam Teorema lui Pitagora
MQ^{2}=MO^{2}+OQ^{2}\Rightarrow MQ^{2}=12^{2}+5^{2}\Rightarrow MO=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\;\; cm
La fel obtinem si pentru d(M, DC)=MQ.

cum calculam distanta de la un punct la o dreapta

Probleme rezolvate cu divizibilitatea si Teorema impartirii cu rest

Prezentam doua probleme care se rezolva cu ajutorul divizibilitatii, adica folosind cel mai mare divizor comun a doua numere respectiv cu teorema impartirii cu rest .

1. Aflati numerele naturale a si b stiind ca (a,b)=12 si 2a+3b=240

Solutie:
Stim ca cel mai mare divizor comun al celor doua numere a si b este 12, adica factorii comuni ale numerelor sunt numerele prime 2^{2}\cdot 3
Deci a=2^{2}\cdot 3\cdot x=12\cdot x, unde x este un numar natural si b=2^{2}\cdot 3\cdot y=12\cdot y, unde y este numar natural.

Astfel relatia de mai sus devine:
2\cdot a+3\cdot b=240\Rightarrow 2\cdot 12x+\cdot 12\cdot y=240\Rightarrow 12\left(2x+3y\right)=240\Rightarrow 2x+3y=240:12\Rightarrow 2x+3y=20
Pentru x=1, obtinem 2\cdot 1+3y=20\Rightarrow 2+3y=20\Rightarrow 3y=20-2\Rightarrow 3y=18|:3\Rightarrow y=6
Deci a=12\cdot 1=12
Si b=12\cdot 6=72

Pentru x=4 obtinem 2\cdot 4+3y=20\Rightarrow 8+3y=20\Rightarrow 3y=20-8\Rightarrow 3y=12\Rightarrow y=12:3\Rightarrow y=4 si obtinem a=12\cdot 4=48 si 12\cdot 4=48 dar aici gasim cel mai mare divizor comun al numerelor ca fiind 48 si astfel nu se mai indeplineste conditia de mai sus, adica (a,b)=48

Pentru x=7\Rightarrow 2\cdot 7+3y=20\Rightarrow 14+3y=20\Rightarrow 3y=20-14\Rightarrow 3y=6\Rightarrow y=2
Si obtinem a=12\cdot 7=84 si b=12\cdot 2=24 deci conditia ca sa rezolvam aceste exercitiu sa tinem cont la la cel mai mare divizor comun ca se iau toti factorii comuni o singura data la puterea cea mai mica.

Si astfel numerele gasite sunt a=12 si b=72, dar si a=84 si b=24

2. Aflati numerele a si b, stiind ca suma lor este 86, iar daca impartim numarul a la b obtinem catul 3 si restul 2.

Solutie:
Ca sa rezolvam aceste exercitiu trebuie sa folosim teorema impartirii cu rest.
Suma celor doua numere este:
a+b=86
a:b=3 rest 2
Iar cu teorema impartirii cu rest obtinem a=b\cdot 3+2\Rightarrow a=3b+2
Daca inlocuim mai sus obtinem a+b=86\Rightarrow 3b+2+b=86\Rightarrow2 3b+b=86-2\Rightarrow 4b=84\Rightarrow b=84:4\Rightarrow b=21
Iar a=3\cdot b+2\Rightarrow a=3\cdot 21+2=63+2=65

Cum comparam doua numere

Prezentam cateva exercitii in care evidentiem modalitati in care comparam doua numere.

1. Comparati numerele:
a=3^{2000}-3^{1999}-3^{1997} si b=2^{2002}-2^{2001}+2^{1997}.
Solutie:

Ca sa comparam cele doua numere mai intai aducem numerele la forma cea simpla:
Astfel, pentru numarul a dam factor comun numarul 3^{1997}
a=3^{1997}\left(3^{3}-3^{2}-3^{0}\right)

Acum efectuam operatiile in paranteza rotunda, adica ridicarea la putere si scaderea.
a=3^{1997}\left(27-9-1\right)
Si obtinem rezultatul 3^{1997}\cdot 17
Iar in cazul numarului b, dam factor comun numarul 2^{1997}
b=2^{1997}\left(2^{5}-2^{4}+2^{0}\right)

Acum, ca si mai sus, efectuam operatiile din paranteza rotunda, adica ridicarea la putere dar si diferentele b=2^{1997}\left(32-16+1\right)
Si obtinem: 2^{1997}\cdot 17
Deci obtinem numerele: a=3^{1997}\cdot 17 si b=2^{1997}\cdot 17
Acum pentru a compara cele doua numere ne folosim de regulile de comparare a puterilor pe care le-am  invatat.

Astfel  observam ca in ambele numere avem numarul 17 deci acum trebuie sa comparam numerele cu puteri, astfel stim ca  avem acelasi exponent, deci comparam bazele si cum 3>2 obtinem si ca a>b.

b) a=5\sqrt{2} si b=4\sqrt{3}

Observam ca avem doua numere irationale, deci pentru a compara cele doua numere introducem mai intai factorii sub radicali si obtinem:

a=5\sqrt{2}=\sqrt{5^{2}\cdot 2}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}

Dar si la b obtinemn b=4\sqrt{3}=\sqrt{4^{2}\cdot 3}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{48}.

Acum comparand numerele de sub radicali obtinem:

50>48, deci obtinem si ca \sqrt{50}>\sqrt{48}\Rightarrow 5\sqrt{2}>4\sqrt{3}

O alta modalitate de comparare a celor doua numere este sa calculam fiecare numar in parte, astfel avem ca:

a=5\sqrt{2}=5\cdot 1,41=7,04

Deoarece stim ca \sqrt{2}\approx 1, 41

Iar b=4\sqrt{3}=4\cdot 1, 73=6,92

Deoarece stim ca \sqrt{3}\approx 1,73

Deci obtinem ca 1,73<6,92, adica obtinem si ca 5\sqrt{2}>4\sqrt{3}\Rightarrow a>b.

c) a=16^{15} cu b=8^{20}

Ca sa comparam cele doua numere folosim regulile de comparare a puterilor astfel pentru a compara cele doua numere, fie aducem numerele la aceiasi baza, fie la acelasi exponent, pentru a le putea compara.

Astfel a=\left(2^{4}\right)^{15}=2^{4\cdot 15}=2^{60}

Observati ca folosim si regulile de calcul cu puteri.

Acum pentru b, incercam sa-l aducem la aceiasi baza ca si numarul a

a=\left(2^{3}\right)^{20}=2^{3\cdot 20}=2^{60}

Astfel, cum avem si aceiasi baza si acelasi exponent, obtinem ca cele doua numere sunt egale, adica a=b.

Exercitii rezolvate cu fractii zecimale si fractii ordinare

Prezentam cateva exercitii pe care le rezolvam cu ajutorul fractiilor zecimale si fractiilor ordinare

1. Scrieti 3 numere zecimale cuprinse intre 14,23 si 15,431.

Solutie:

Stim ca numerele zecimale, sau cum mai sunt numite si fractii zecimale, sunt cele cu virgula, deci in cazul acestui exercitiu trebuie sa scriem trei numere zecimale care sa fie mai mari decat 14,24 si mai mici decat 15,431, astfel  numerele zecimale  mai mari decat 14,23 si mai mici decat 15,431 sunt  14,25; 14,57; 15,428.

2. Stiind ca x+4\cdot y+2\cdot z=13  si 3\cdot x+2\cdot z=11, determinati x+y+z.

Ca sa aflam x+y+z trebuie sa ne folosim de cele doua relatii de mai sus

Astfel prima relatia de mai sus putem sa o scriem 4x-3x+4y+4z-2z pentru a ne putea folosi de relatia de mai sus, astfel daca comutam termenii intre ei obtinem:

4x+4y+4x-3x-2z=13\Rightarrow 4x+4y+4z-\left(3x+2z\right)=13

Dar cum stim din cea de-a doua relatie ca 3x+2z=11

Prima relatie devine 4x+4y+4z-11=13\Rightarrow 4x+4y+4z=13+11\Rightarrow 4x+4y+4z=24

Acum, daca in ultima relatie dam factor comun cifra 4 relatia devine 4\left(x+y+z\right)=24\Rightarrow x+y+z=24:4\Rightarrow x+y+z=6

Si astfel am obtinut ca suma x+y+z=6

Observati ca pentru a rezolva exercitiile de forma celor de mai sus trebuie sa ne folosim de ceea ce ne da exercitiul.

3. Calculati:

\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2} +\left(-\frac{5}{6}\right)-\frac{1}{3}

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus trebuie sa tinem cont de ordinea efectuarii operatiilor, astfel mai intai efectuam operatia de inmultire:

\frac{3}{4}-\frac{1\cdot 1}{4\cdot 2}+\left(-\frac{5}{6}\right)-\frac{1}{3}=\frac{3}{4}-\frac{1}{8}+\left(-\frac{5}{6}\right)-\frac{1}{3}=

Acum pentru a efectua calculele, mai intai aducem la acelasi numitor \frac{6\cdot 3}{24}-\frac{3\cdot 1}{24}+\left(-\frac{4\cdot 5}{24}\right)-\frac{8\cdot 1}{24}=    \frac{18}{24}-\frac{3}{24}+\left(-\frac{20}{24}\right)-\frac{1}{24}=\frac{18-3+\left(-20\right)-1}{24}=\frac{-6}{24}^{(6}=\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}

Exercitii rezolvate cu factorul comun

Prezentam exercitii pe care le rezolvam dand factorul comun, dar si folosind regulile de calcul cu puteri, cat si proprietatile relatiei de divizibilitate.

1. Calculati suma 8+16+24+32___+4000

Daca dam factor comun numarul 8 suma devine:

8+16+24+32+...+4000=8\left(1+2+3+4+...+500\right)

Acum ca sa calculam suma 1+2+3+…+500

Folosim formula 1+2+3+...+n=\frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}

Deci in cazul sumei noastre avem: 1+2+3+4+...+500=\frac{500\cdot\left(500+1\right)}{2}=250\cdot 501=125250

Dar avem de calculat 8\cdot\left(1+2+3+4+...+500\right)=8\cdot 12520=1002000

2. Aflati x, daca 2a+b=5 si 4ax+2bx+2=22

Ca sa aflam x in relatia a doua dam factor comun pe x , dar si pe 2x si obtinem:

4ax+2bx+2=22\Rightarrow 4ax+2bx=22-2\Rightarrow 4ax+2bx=20\Rightarrow 2x\left(2a+b\right)=20\Rightarrow 2x\cdot 5=20\Rightarrow 10x=20\Rightarrow x=20:10\Rightarrow x=2

3. Aratati ca numarul A=2^{n}\cdot 3^{n}\cdot 5^{n}+2^{n}\cdot 15^{n}\cdot 4+3^{n}\cdot 10^{n}\cdot 2\vdots 17, pentru orice n numar natural

Ca sa aratam ca numarul este divizibil cu 17 folosim regulile de calcul cu puteri, adica stim ca a^{n}\cdot b^{n}=\left(a\cdot b\right)^{n}

Astfeln A=\left(2\cdot 3\cdot 5\right)^{n}+\left(2\cdot 15\right)^{n}\cdot 14+\left(3\cdot 10\right)^{n}\cdot 2

Acum efectuam produsul in parantezele pe care le avem mai sus:

A=30^{n}\cdot 1+30^{n}\cdot 14+30^{n}\cdot 2

Acum daca dam factor comun numarul 30^{n}

Si obtinem: A=30^{n}\left(1+14+2\right)=30^{n}\cdot 17\vdots 17

Si obtinem ca este divizibila cu 17, deoarece cu ajutorul proprietatilor de la divizibilitate stim ca:

Daca b|a si m\in N, atunci b|m\cdot a (daca b divide a, atunci b divide orice multiplu al lui a)

Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de factor comun, dar si proprietatile relatiei de divizibilitate.

Exercitii rezolvate cu criteriile de divizibilitatii

Prezentam trei exercitii care se rezolva cu ajutorul criteriilor de divizibilitate.
1. Cate nr de trei cifre avand ultima cifra egala cu 2 sunt divizibile cu 3 .
2. Cate nr de forma 2ab sunt divizibile cu 5.
3. Cate nr de forma ab6c sunt divizibile cu 2 dar cu 5 ?
Solutie:

1. Stim ca numerele de forma \bar{abc} trebuie sa fie divizibile cu 3, dar cum stim ca ultima cifra este egala cu 2, numarul devine: \bar{ab2}
Iar daca folosim criteriul de divizibilitate cu 3 stim ca un numar este divizibil cu trei daca suma cifrelor este divizibila la trei.
Astfel numarul devine: \left(a+b+2\right)\vdots 3
Cum a nu poate sa fie 0, luam pentru inceput a=1
si obtinem \left(1+b+2\right)\vdots 3\Rightarrow \left(3+b\right)\vdots 3
Astfel daca luam b=0, obtinem \left(3+0\right)\vdots 3
Deci primul numar care l-am gasit este 102
Acum daca luam b=3, obtinem numarul 132 care este divizibil cu 3
Daca luam b=6, obtinem numarul 162, care la fel este divizibil cu 3
Daca luam b=9, obtinem numarul 192, care la fel este divizibil cu 3.
Dar acum putem lua si a=2 si numarul devine \left(2+b+2\right)\vdots 3\Rightarrow \left(4+b\right)\vdots 2
Deci pentru b=2, numarul devine 222, care la fel este divizibil cu trei, deoarece \left(4+2\right)\vdots 3\Rightarrow 6\vdots 3
Pentru b=5, numarul devine 252, care este divizibil cu 3
Pentru b=8, numarul devine 282, care este divizibil cu 3 si am terminat cu a=2, deoarece daca mai incercam sa gasim un numar divizibil cu 3, pentru b trebuie sa luam o cifra si nu un numar.
Pentru a=2, numarul devine \bar{3b2} si ca sa fie divizibil cu trei suma cifrelor trebuie sa fie divizibila cu trei \left(3+b+2\right)\vdots 3\Rightarrow\left(5+b\right)\vdots 3

Astfel daca luam b=4, numarul devine 342, care este divizibil cu trei
Daca luam b=7, numarul devine 372, care este divizibil cu 3
Si astfel am terminat si pentru a=3
Acum pentru a=4, numarul devine \bar{4b2}\vdots 3\Rightarrow \left(6+b\right)\vdots 3
Pentru b=3, obtinem numarul 432, care este divizibil cu 3
Pentru b=9, obtinem numarul 492, care este divizibil cu 3 si astfel am terminat si pentru a=4 si b=9
Acum pentru a=5, numarul devine \bar{5b2}\vdots 3\Rightarrow \left(7+b\right)\vdots 3
Deci pentru b=2, numarul devine 522 si este divizbil cu 3
Pentru b=5, numarul devine 552 la fel este divizibil cu 3
Pentru b=8, numarul devine 582, care este divizibil cu 3

Acum pentru a=6, numarul devine \bar{6b2}\vdots 3\Rightarrow \left(8+b\right)\vdots 3
Iar pentru b=1, numarul devine 612, divizibil cu 3
Pentru b=4, numarul devine 642, divizibil cu 3
Pentru b=7, numarul devine 672, divizibil cu 3
Pentru a=7, numarul devine \bar{7b2}\vdots 3\Rightarrow \left(9+b\right)\vdots 3
Pentru b=0, numarul devine 702, divizibil cu 3
Pentru b=3, numarul devine 732, divizibil cu 3
Pentru b=6, numarul devine 762 divizibil cu 3
Pentru b=9, numarul devine 792, divizibil cu 3

Pentru a=8, numarul devine \bar{8b2}\vdots 3\Rightarrow \left(10+b\right)\vdots 3
Pentru b=2, numarul devine 822, divizibil cu 3
Pentru b=5, numarul devine 852 divizibil cu 3
Pentru b=8 , numarul devine 882, divizibil cu 3
si pentru a=9, numarul devine \bar{9b2}\vdots 3\Rightarrow \left(11+b\right)\vdots 3
Pentru b=1, numarul devine 912, divizibil cu 3
Pentru b=4, numarul devine 942, divizibil cu 3
Pentru b=7, numarul devine 972, divizibil cu 3

2. Cate nr de forma 2ab sunt divizibile cu 5.
Ca numerele sa fie divizibile cu 5 folosim criteriul de divizibilitate cu 5, adica ultima cifra trebuie sa fie 0 sau 5, astfel pentru inceput, daca luam b=0 numarul devine
2a0 iar cifra a poate sa fie a\in\left(0,1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\right\}
deci numerele pe care le gasim sunt 200; 210; 220; 230; 240; 250; 260; 270; 280; 290
dar ultima cifra poate sa fie si 5, dupa cum am spus mai sus, astfel numrul devine
2a5, iar numerele divizibile cu 5 sunt:
205; 215; 225; 235; 245; 255; 265; 277; 285; 295.

3. Cate nr de forma ab6c sunt divizibile cu 2, dar cu 5?
Ca sa vedem cate numere sunt divizibile cu 2, folosim criteriu de divizibilitate cu 2, deci c poate sa fie 0 2, 4, 6, 8, iar a poate sa ia valorile 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 si b=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Iar ca sa fie divizibile cu 5 folosim criteriul de divizibilitate cu 5, deci ultima cifra trebuie sa fie 0 sau 5, iar a si b la fel ca mai sus.

Problema rezolvata cu ecuatii (Inca una)

Stela a procurat 18 albume si 24 de carti pentru copii la acelasi pret. A achitat cumparaturile cu o bancnota de 500 lei si a primit rest 17 lei. Cit costa un album si cit costa o carte?

Rezolvarea este simpla. Trebuie sa stim regulile de rezolvare a problemelor cu ajutorul ecuatiilor. Cu ajutorul datelor din problema se stabilesc necunoscutele si se formeaza ecuatiile.

Solutie:

Notam

x- pretul unui albun

y- pretul unei carti

Stim ca a achitat cumparatura cu 500 de lei si a primit rest 17 lei, adica 500-17=483 lei

Astfel avem ecuatia 18x+24y=483\;\; lei

Dar stim ca albumul si cartea au acelasi pret, adica x=y

Deci ecuatia devine 18y+24y=483\Rightarrow 42y=483\Rightarrow y=483:42\Rightarrow y=11, 5\;\; lei

Cum x=y, obtinem si ca pretul albumului este tot de 11,5 lei.

Simplu, nu. Incercati si voi sa rezolvati probleme cu ecuatii folosind modele asemanatoare rezolvate pe MatePedia.

Exercitii rezolvate cu aproximarea fractiilor zecimale

Sa invatam aproximarea fractiilor zecimale !

Astazi o sa va rezolvam un exercitiu in care trebuie sa aproximam fractiile zecimale atat la zecimi, sutimi cat si miimi, dar si cu ajutorul unui calculator sa aproximam anumiti radicali la fel ca si la fractiile zecimale.
cum aproximam fractiile zecimale
12,127\approx 12,10 (aproximare prin lipsa cu o zecime )
12,127\approx 12,20 (aproximare prin adaos cu o zecime)
-\sqrt{8}=-2,828
-2,828\approx -2,820 (aproximare prin lipsa cu o sutime)
-2,828\approx -2,830 (apoximare prin adaos cu o sutime)
7,1(68)\approx 7,1680 (aproximare prin lipsa cu o miime)
7,1(68)\approx 7,169 (aproximare prin adaos cu o miime)
\sqrt{27}\approx 5,1961

b) \sqrt{27}\approx 5,1961\approx 5,20(rotunjire cu o zecime)
\sqrt{27}\approx 5,1961\approx 5,20(rotunjire cu o sutime)
\sqrt{27}\approx 5,1961\approx 5,196(rotunjire cu o miime)

c) \sqrt{41}\approx 6,40312\approx 6,40(rotunjire cu o zecime)

\sqrt{41}\approx 6,40312\approx 6,400(rotunjire cu o sutime)
\sqrt{41}\approx 6,40312\approx 6,4030(rotunjire cu o miime)

d) \sqrt{19}\approx 4,3588\approx 4,40(rotunjire cu o zecime)

\sqrt{19}\approx 4,3588\approx 4,360(rotunjire cu o sutime)
\sqrt{19}\approx 4,3588\approx 4,3590(rotunjire cu o miime)

e) \sqrt{135}\approx 11,6189\approx 11,60(rotunjire cu o zecime)
\sqrt{135}\approx 11,6189\approx 11,620(rotunjire cu o sutime)
\sqrt{135}\approx 11,6189\approx 11,6190(rotunjire cu o miime)

f) \sqrt{226}\approx 15,0332\approx 15,00(rotunjire la zecimi)
\sqrt{226}\approx 15,0332\approx 15,030(rotunjire la sutimi)
\sqrt{226}\approx 15,0332\approx 15,0330(rotunjire la miimi)

Atentie in cazul aproximarii prin rotunjire:
-ultima cifra la care se face referire ramane neschimbata daca dupa ea urmeaza 0, 1, 2, 3, 4
– ultima cifra la care se face rotunjirea se mareste cu 1, daca dupa ea urmeaza 5, 6, 7, 8, 9.