Compararea si ordonarea numerelor naturale.

In sirul numerelor naturale, numarul n este predesesorul (cel care se afla inainte) numarului n+1 si scriem

$latex nn$ (mai mare)
Astfe sirul numerelor naturale, scrise in ordine crescatoare este:
$latex 0<1<2<3<...cum comparam numerele naturale

cum comparam doua numere naturale n, m:
1. Cu lungimi diferite (se scriu cu numere diferite de cifre): mai mare este numarul cu lungimea mai mare
2. Cu aceeasi lungime (se scriu cu acelasi numar de cifre): se aliniaza numerele si se compara cifrele, de la stanga la dreapta.
Exemplu:
n=1743
si
m=1734
Observam ca numerele au acelasi numar e cifre:
Comparam acum cifrele de stanga la dreapta, observam ca:
1=1
7=7
4>3
Deci observam ca n>m.

2. Scrieti:
a) cel mai mare numar n de patru cifre, stiind ca indeplineste una din conditiile:
1) $latex 6000\leq n<6999$ Cel mai mare numar n de patru cifre care indeplineste conditia de mai sus: n=6998 2) toate cifrele pere distincte: n=6842. a) cel mai mic numar n de patru cifre, stiind ca indeplineste una din conditiile: 1) $latex 4000

Rezolvarea inecuatiilor dar si rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuatiilor

1.Nr. naturale care verifica inecuatia 17,83-x>16,5 sunt ?

2. Nr.naturale nenule care verifica inegalitatea 9x<15? Solutie: Rezolvam mai intai prima inecuatie, astfel avem ca: 17,83-x>16,5\Rightarrow 17,83-16,5>x\Rightarrow 1,33>x

Sau mai putem rezolva inecuatia si astfel:

17,83-x>16,5\Rightarrow -x>16,5-17,83|\cdot \left(-1\right)\Rightarrow x<-16,5+17,83\Rightarrow x<1,33
Deci solutia inecuatiei este x\in \left(-\infty,1,33\right)
Dar in cazul nostru doar in multimea numerelor naturale, astfel numerele naturale care verifica inecuatia sunt 0 si 1.
2.Ca sa aflam numerele naturale care verifica inegalitatea, rezolvam inecuatia
9x<15|:9\Rightarrow x<\frac{15}{9}^{(3}\Rightarrow x<\frac{5}{3}\Rightarrow x<5:3\Rightarrow x<1,(6)
Astfel gasim solutia inecuatiei
x\in\left(-\infty, 1,(6)\right)

Dar numerele naturale care verifica inegalitatea sunt 0 si 1.
3. Daca x=10, atunci inlocuim x in ecuatia de mai jos si apoi rezolvam ecuatia care rezulta
2a+7,3\cdot x=73\Rightarrow 2a+7,3\cdot 10=73\Rightarrow \Rightarrow a=0
Deci obtinem ca a=0
Stim ca multimea numerelor naturale este \left\{0,1, 2,...,n...\right\}
4. Soferul unui autobuz a constatat ca, dupa ce a parcus 2 supra 3 din lungimea traseului, mai are de parcus 87,65km. Determinati lungimea traseului pe care il are de parcus autobuzul.

Solutie:

Notam cu x distanta parcursa de soferul de autobuz

Acum formam ecuatia:

x-\frac{2}{3}\cdot x=87,65

Acum rezolavam ecuatia:

x-\frac{2}{3}x=87,65|\cdot 3\Rightarrow 3\cdot x-\frac{2}{3}x\cdot 3=87,65\cdot 3\Rightarrow 3x-2x=262,95\Rightarrow x=262,95

Deci lungimea traseului pe care il are de parcurs soferul este 262,95 Km.

Acum efectuam proba:

262,95-\frac{2}{3}\cdot 262,95=262,95-\frac{2\cdot 262,95}{3}=262,95-\frac{525,9}{3}=262,95-175,3=87,65

Deci se verifica.
Astfel la rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuatilor important este sa tinem cont de etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru rezolvarea corecta a problemelor.

Probleme rezolvate cu fractii ordinare si zecimale

Prezentam trei probleme care se rezolva cu ajutorul fractiilor zecimale, dar si cu fractii ordinare. Aceste probleme  joaca un rol important in viata de zi cu zi deci este important sa stim sa le rezolvam.

1) Intr-o familie se consuma dimineata 3 pe 4 dintr-o paine, la amiaza 5 pe 4 si seara o paine. Cate paini consuma zilnic aceasta familie?

Solutie :

Notam cu x painea.

Stim ca in prima zi familia consuma \frac{3}{4}\cdot x dintr-0 paine, adica 0,75 dintr-o paine, deci gasim ca consuma trei sferturi dintr-o paine.

La amiaza \frac{5}{4}\cdot x, adica 1,25; deci gasim ca consuma o paine si un sfert din cea de-a doua.

Deci zilnic familia consuma :

\frac{3}{4}\cdot x+\frac{5}{4}x+x=\frac{3x+5x}{4}+x=\frac{8x}{4}+x=2x+x=3x

Sau cu fractii zecimale avem ca :

0,75+1,25+1=3\;\; paini.

Deci astfel gasim ca familia consuma zilnic 3 paini.

2) Mama a cuparat de la piata 1 pe 2 kg de cartofi, 3 pe 4 kg de ceapa si 1intreg si 1 pe 2 kg de rosii. Cantaresc legumele cumparate 5 kg?

Solutie

Stim ca mama a cumparat de la piata \frac{1}{2} Kg cartofi, 1\frac{1}{2} Kg rosii.

Cartofii+rosiile=\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1\cdot 2+1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{4}{2}=2

Deci in total legumele cantaresc 2 Kg

Sau cu ajutorul fractiilor zecimale avem:

\frac{1}{2}=0,5 Kg cartofi

1\frac{1}{2}=1,5 Kg rosii

Deci :Rosii+cartofi=0,5+1,5=2,0=2 Kg legume

Deci mama cumpara de la piata 2 Kg de legume, astfel legumele cumparate cantaresc mai putin de 5 Kg.

3) Cristina are de rezolvat un numar de probleme in 3 zile. In prima zi a rezolvat 3 pe 9 din intreg numarul de probleme, a doua zi 3 pe 9 din numarul total de probleme, iar a treia zi 3 pe 9 din toate problemele pe care le avea de rezolvat. A terminat Cristina problemele pe care le avea de rezolvat in cele 3 zile?

Solutie:

Notam cu x numarul de probleme

In prima zi a rezolvat \frac{3}{9}\cdot x

A doua zi a rezolvat \frac{3}{9}\cdot x

A treia zi a rezolvat \frac{3}{9}\cdot x

Astfel in cele trei zile a rezolvat :

\left( \frac{3x}{9}+\frac{3x}{9}+\frac{3x}{9}\right)=\frac{3x+3x+3x}{9}=x-\frac{9x}{9}^{(9}=x

Astfel din numarul de probleme, in prima zi a rezolvat \frac{3}{9}\cdot x, a doua zi a rezolvat \frac{3}{9} din numarul total de probleme, iar in a treia zi \frac{3}{9} din toate problemele pe care avea sa le rezolve.

Astfel din numarul total de probleme scadem rezultatul pe care l-am gasit mai sus, adica x-x=0

Deci Cristina a terminat de rezolvat problemele in cele trei zile.

Astfel din numarul intreg de probleme x, scadem numarul problemelor pe care le-a rezolvat in fiecare zi.

Observati ca prima data in paranteza am efectuat calculele, avand acelasi numitor am copiat numitorul si am adunat numaratorii,apoi observati ca am obtinut \frac{9x}{9} pe care am simplificat-o prin 9, iar apoi din numarul intreg de probleme am scazut rezultatul pe care l-am gasit, astfel gasim ca Cristina a rezolvat toate problemele in toate cele trei zile.

Problema rezolvata cu ajutorul Teoremei impartirii cu rest

In acest articol prezentam o problema care se rezolva cu ajutorul Teoremei impartirii cu rest, astfel avem:

Catul a doua numere naturale este 4 si restul 15. Daca din cel mai mare numar s-ar scadea nr 240,numerele ar deveni egale. Care sunt numerele?
Solutie
Pentru a rezolva problema mai intai stim ca
q=4 si r=15
Mai stim ca cele doua numere pe care trebuie sa le aflam sunt naturale.
Deci fie
a,b\in N, a>b cele doua numere naturale
Astfel daca aplicam Teorema impartirii cu rest obtinem
a:b  \\ q=4  r=15  \\a =b\cdot q+r  \\ a=b\cdot 5+15
Dar mai stim si ca daca din cel mai mare numar scadem 240, numerele ar deveni egale, astfel obtinem ecuatia
a-240=b
Acum daca inlocuim mai sus gasim ca
a=\left(a-240\right)\cdot 4+15\Rightarrow a=4\cdot a-240\cdot 4+15\Rightarrow a=4a-960+15\Rightarrow 960-15=4a-a\Rightarrow 945=3a\Rightarrow a=945:3\Rightarrow a=315
Deci am gasit numarul a, acum sa aflam b.
b=a-240\Rightarrow b=315-240\Rightarrow b=75
Observam ca cele doua numere pe care le-am gasit sunt naturale, acum sa efectuam si proba:
Daca impartim cele doua numere trebuie sa obtinem catul 4 si restul 15
problema rezolvata cu Teorema impartirii cu rest
Iar daca scadem din numarul cel mai mare 240, numerele ar deveni egale315-240=75
Deci am gasit cele doua numere.

Scrierea fractiilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10 sub forma de fractie zecimala

Dupa cum bine stiti exista doua tipuri de fractii:

fractii ordinare, cu care am mai lucrat

Exemplu\frac{1}{2};\;\;\; \frac{1}{4}

fractii zecimale, adica acele cifre care se scriu cu virgula

Exemplu : 0,7; 0, 14, 0, 25

Dupa cum  observati si din titlul acestui articol, acum o sa invatam sa transformam fractiile ordinare cu puteri ale lui 10 in fractii zecimale.

Discutam despre scrierea fractiilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10 sub forma de fractie zecimala .

Pentru a transforma o fractie ordinara cu numitor puteri ale lui zece procedam astfel:

  • ne asiguram ca la numitor sa avem puteri ale lui zece, daca nu avem, prin amplificare incerca sa gasim puteri ale lui zece.
  • Pentru a intelege mai bine transforma  urmatoarele fractii:

Incepem prin a prezenta fractii ordinare cu puteri ale lui 10:

\frac{9}{10}; \frac{7}{100}; \frac{17}{100};\frac{7031}{1000}

Astfel fractia:

a) \frac{9}{10}=0,9 (se citeste 9 zecimi)

La fractia de mai sus, observam ca avem numitorul 10, adica exponentul este 1 si astfel stim ca la numarator se muta virgula peste o cifra, adica avema 9, 0 sin obtinem 0,9

cum transformam o fractie ordinara in fractie zicimala

b) \frac{7}{100}=0,07 (se citeste sapte sutimi)

In cazul exemplului de mai sus observam ca 100=10^{2}, adica mutam virgula peste doua cifre de la dreapta la stanga.

transformarea fractiilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10 in fractii zecimale

c) \frac{7031}{1000}=7,031 (se citeste 7 intregi si 31 miimi)

In cazul exemplului de mai sus avem 1000=10^{3}, adica mutam virgula de la dreapta la stanga peste 3 cifre si obtinem 7,031

transformarea fractiilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10 in fractii zecimale

Dar cum sa scriem urmatoarea fractia ordinara sub forma de fractie zecimala?

d) \frac{7}{4}.

Observati ca numitorul este 4, deci trebuie sa gasim un numar cu care sa amplificam fractia astfel incat sa gasim la numitor o putere a lui 10, adica o fractie ordinara cu numitorul o putere a lui 10, astfel daca amplificam fractia cu 25 obtinem ^{25)}\frac{7}{4}=\frac{25\cdot 7}{25\cdot 4}=\frac{175}{100}=1,75, adica un intreg si 75 miimi.

Observati ca avem la numitor 100, adica 10^{2}, astfel punem virgula peste doua cifre de la stanga la dreapta.

Definitie: Numerele scrise cu virgula se numesc fractii zecimale.

O fractie zecimala este compusa din doua parti: partea intreaga si partea zecimala.

Cifrele scrise dupa virgula se numesc zecimale.

Exemplu: 2, 345

2 se numeste partea intreaga

345 se numeste partea zecimala (cifra 3 reprezinta zecimile, cifra 4 reprezinta sutimile si 5 miimile),

Observatie: Dupa ultima zecimala putem adauga oricate zerouri am vrea, numarul ramane acelasi.

Exemplu\frac{217}{100}=2, 17=2, 170=2, 1700

0 si 00 sunt zecimale nesemnificative

Orice numar natural poate fi scris ca fractie zecimala.

Daca numitorul unei fractii ordinare ireductibile contine si alti factori in afara de 2 si 5, atunci acea fractie nu poate fi scrisa sub forma unei fractii zecimale finite (adica sa contina un numar finit de termeni).

Dupa cum bine stiti daca putem sa transformam o fractie ordinara in fractie zecimala, putem realiza si invers, adica sa transformam o fractie zecimala in fractie ordinara.

Exemplu:

a) 1,27=\frac{127}{100},la numarator scriem numarul fara virgula, adica 127, iar la numitor scriem cifra 1 urmata de atatea zerouri cate cifre sunt dupa virgula, adica 100.

b) 2,009=\frac{2009}{1000}.

Exercitii:

1) Scrieti sub forma de fractii zecimale:

a) \frac{3}{8}=^{(125}\frac{125\cdot 3}{125\cdot 8}=\frac{375}{1000}=0,375

Observati ca am amplificat fractia cu 125 pentru a putea obtine la numitor o putere a lui 10, iar apoi pentru a transforma fractia ordinara obtinuta in fractie zecimala, punem virgula dupa trei cifre de la dreapta spre stanga si cum in fata numarului, nu mai avem alta cifra adaugam 0 si astfel obtinem 0, 375.

b) \frac{7}{20}=^{5)}\frac{7}{20}=\frac{5\cdot 7}{5\cdot 20}=\frac{35}{100}=0,35

c) \frac{9}{40}=^{5)}\frac{25\cdot 9}{25\cdot 40}=\frac{225}{1000}=0,225

d) \frac{13}{2}=^{5)}\frac{13}{2}=\frac{5\cdot 13}{5\cdot 2}=\frac{65}{10}=6,5

2) Scrieti sub forma de fractie ordinara urmatoarele fractii zecimale:

a) 3,6=\frac{36}{10}^{(2}=\frac{36:2}{10:2}=\frac{18}{5}

Dupa cum am spus si mai sus, pentru a scrie fractia zecimala in fractie ordinara, scriem la numarator numarul asa cum este iar la numitor scriem cifra 1 urmata de atatea zerouri cate cifre sunt dupa virgula, adica 10.

b) 22,14=\frac{2214}{100}^{(2}=\frac{1107}{50}

Iar daca scoatem intregii din fractie obtinem:

cum scoatem intregii din fractii

Astfel \frac{1107}{50}=22\frac{7}{50}

Sau altfel: 22,14=22\frac{14}{100}=22\frac{7}{50}

Adica scriem partea intreaga in fata liniei de fractii, adica intregul si la fractia ordinara scriem la numarator numarul de dupa virgula, iar la numitor 1 urmat de doua zerouri, deoarece avem doua cifre dupa virgula.

Exercitii cu multimi de numere

Prezentam Exercitii cu multimi de numere
Fie multimile
A=\left\{x\in N|x\;\; este \;\;cifra \;\;\;para\right\}
B=\left\{y\in N|3y+1\leq 10\right\}
si
C=\left\{z\in N|3z +1\leq 49\right\}
A) Reprezentati cele trei multimi prin diagrame Venn-Euler
Solutie:

Solutie:
Observam ca multimile de mai sus sunt definite enuntand o proprietate caracteristica elementelor multimii, iar noi
ca sa reprezentam cele trei multimi mai intai trebuie sa aflam elementele celor trei multimi, adica numim fiecare element al multimii:
Astfel, incepem cu multimea A
A=\left\{0, 2, 4, 6, 8\right\}
Ca sa aflam elementele pentru multimea B rezolvam inecuatia:

3y+1\leq 10\Rightarrow 3y\leq 10-1\Rightarrow 3y\leq 9|:3\Rightarrow y\leq 3
Deci y\in\left\{0, 1, 2, 3\right\}
Si multimea B are elementele B=\left\{0, 1, 2, 3\right\}
Acum multimea C, rezolvam inecuatia
3z+1\leq 49\Rightarrow 3z\leq 49-1\Rightarrow 3z=48\Rightarrow z=48:3\Rightarrow z=16
Astfel z\in\left\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...,16\right\}.
Deci C=\left\{0,1 ,2, 3, 4, 5, 6,...,16\right\}
Acum reprezentam multimea A cu ajutorul diagramei Venn-Euler
Cum reprezentam o multime

 

 

 

 

 

Acum multimea B
Multime B reprezentata cu ajutorul diagramei Venn-Euler

 

 

 

 

 

Si multimea C
cum reprezentam multimea C cu ajutorul diagramei Venn-Euler

 

 

 

Astfel reprezentarea multimilor cu ajutorul diagramei Venn-Euler poate fi ilustrata desenand o curba inchisa si scriind in interiorul ei elementele corespunzatoare.

Aproximari ale fractiilor zecimale la ordinul zecimilor si sutimilor

Dupa cum bine stiti despre aproximare am mai discutat, dar intr-un alt contex, astfel am vorbit despre aproximarea numerelor naturale la zeci, sute si mii, dar acum o sa invatam sa aproximam fractiile zecimale la ordinul zecimilor si sutimilor.

Astazi o sa discutam despre aproximari ale fractiilor zecimale la ordinul zecimilor si sutimilor

Astfel, putem aproxima  fractiile zecimale cu 0 sutime

Exemplu:

1) Aproximati numerele  prin lipsa si prin adaos cu o unitate

a) 23, 715

23,715\approx 23 (prin lipsa cu o unitate)

23,715\approx 24(prin adaos cu  o unitate)

2) Rotunjiti  la unitati urmatoarele numere zecimale:

a) 0, 8

0,8\approx 1, rotunjirea merge spre 1, deoarece toate numerele care au cifra zecilor mai mare sau egal decat 5 se duc la numarul cel mai mare.

b) 9,3

9,3\approx 9,00, rotunjirea merge spre 9, deoarece zecimile sunt mai apropiate de 9, decat de 10, dar si din faptul ca cifra zecimilor este mai mica de 5.

c) 17,5

17,5\approx 18,0, rotunjirea merge spre 18, deoarece dupa cum bine am spus si mai sus, daca cifra de la zecime este mai mare sau egala decat 5, atunci numarul merge la cel mai mare numar.

d) 2,45

2,45\approx 2, rotunjirea se face la 2, deoarece cifra zecimilor este mai mica decat 5, chiar daca cifra miimilor este egala cu 5.

e) 3,75

3,75\approx 4,00, rotunjirea se face la 4 deoarece cifra zecimilor este mai mare decat 5, ceea ce trebuia sa stim.

f) 19,501

19,501\approx 20, rotunjirea se face la 20, deoarece cifra zecilor este 5.

Acum sa invatam cum sa aproximam, dar si sa rotunjim la zecimi, sutimi si mimi numerele, adica fractiile zecimale:

Incepem prin a rezolva un exercitiu;

2) Aproximati prin lipsa la o zecime urmatoarele numere zecimale:

a) 14,72

14,72\approx 14,7, adica am aproximat numarul de mai sus  prin lipsa cu o zecime

b) 0,295

0,295\approx 0,2, numarul l-am aproximat prin lipsa  cu o zecime, adica ne ducem la numarul cel mai mic, adica zecimea mai mica.

c) 5,87

5,87\approx 5,8

3) Rotunjiti la zecimi urmatoarele numere zecimale:

a) 89,437\approx 89,4, ca sa rotunjim numarul de mai sus, ne uitam la cifra sutimilor si observam ca este 3, deci astfel 43 rotunjim la cel mai mic, adica 40, adica obtinem 89,4.

b) 102,912\approx 102,90, rotunjirea se face la numarul mai mic, deoarece cifra sutimilor este 1, adica il rotunjim la 90 si obtinem 102,90

c) 0,999\approx 1, deoarece cifra sutimilor este 9 si astfel numarul se rotunjeste la cel mai mare.

4) Rotunjiti la unitati urmatoarele numere zecimale:

a) 74,7\approx 75,am rotunjit numarul la unitati, adica observam ca la sutimi avem 7, deci rotunjim la cel mai mare, adica 75.

b) 39,52\approx 40, observam ca la sutimi avem cifra 5, deci rotunjim la cel mai mare si astfel obtinem 40.

c)19,4\approx 19 se observa ca la sutimi avem cifra 4, deci rotunjim la cel mai mic, adica 19.

Probleme rezolvate cu fractii ordinare pentru clasa a V-a

Prezentam probleme rezolvate cu fractii ordinare cu ajutorul carora o sa fixam cat mai bine notiunile care tin de fractii ordinare.

Astfel rezolvam urmatoarele probleme:

1) Lia descarca de pe internet \frac{4}{13}  dintr-un fisier. Seara continua operatiunea cu inca \frac{7}{13} din marimea fisierului. Cat a mai ramas de descarcat?

Solutie:

Stim ca prima data rezolva \frac{4}{13}\cdot x, am notat cu 1-fisierul, observati ca scriem 1=\frac{13}{13}

Deci avem

\frac{13}{13}-\frac{4}{13}

seara mai descarca \frac{7}{13}, deci obtinem

\frac{13}{13}-\frac{4}{13}-\frac{7}{13},

\frac{13-4-7}{13}=\frac{9-7}{13}=\frac{2}{13}.

Deci mai are de descarcat \frac{2}{13}.

2 ) La banca dobanda anuala este de 7 %. Ce suma are  la finalul unui an o persoana care depune intial suma de 3 500 de lei?

Solutie

Cum stim ca dobanda este de 7 procente  trebuie sa calculam

\frac{7}{100}\cdot 3500=\frac{7\cdot 35 00}{100}=\frac{}{100}=\frac{24500}{100}^{(100}=\frac{24500:100}{100:100}=\frac{245}{1}=245\;\; lei

Deci la final suma pe care o are acea persoana la banca este de 3 500+245=3 745 lei.

Observati ca cu ajutorul matematici si cu notiunile pe care le-am invatat acum putem sa calculam anumite aspecte din viata cotidiana.

Deci putem sa calculam dobanda la banii nostri de la banca.

3) Cristinel isi planifica rezolvarea temei la matematica pentru 3 zile.  In prima zi rezolva \frac{3}{7} din tema, a doua zi \frac{2}{7} din tema, iar in a treia zi restul. Tema consta in 28 de probleme.

Calculati cat a rezolvat Cristinel in fiecare zi.

Solutie:

Rescriem problema:

In prima zi rezolva :

\frac{3}{7}\cdot 28=\frac{3\cdot 28}{7}=\frac{3\cdot 4}{1}=12

In a doua zi elevul rezolva :

\frac{2}{7}\cdot 28=\frac{2\cdot 28}{7}=\frac{2\cdot 4}{1}=8

Ca sa aflam cat a rezolvat in ultima zi calculam 28-20=8

Deci in ultima zi a rezolvat 8 probleme.

3) George pleaca cu bicicleta in excursie de doua zile. In prima zi parcurge \frac{2}{5} din traseu, iar a doua zi restul de 15 km. Ce lungime a avut traseul?

Solutie:

In prima zi George parcurge :

Notam cu x- traseul pe care il parcurge George

\frac{2}{5}\cdot x

Astfel :

x=\frac{2}{5}\cdot x+15|\cdot 5 \Rightarrow5x=2x+15\cdot 5\Rightarrow 5x=2x+75\Rightarrow 5x-2x=75\Rightarrow 3x=75|:3\Rightarrow x=75:3\Rightarrow x=25.

Deci traseul parcurs de George este de 25 km.