Adunarea si scaderea unor fractii ordinare care au acelasi numitor

Despre notiunea de fractie am mai invatat pana acum.Stim ca am invatat sa calculam o fractie dintr-un numar, cand o fractie este subunitara sau supraunitare sau echiunitara, dar si sa simplificam sau sa amplificam o fractie, acum a venit vremea sa discutam despre  Adunarea si scaderea unor fractii ordinare care au acelasi numitor .

O notiunea noua fractie ordinara? Pana acum am vorbit doar despre fractii, iar acum a venit vremea sa stiti ca fractiile sunt de doua feluri:

fractii  ordinare

Exemplu: \frac{1}{2}; \frac{3}{4} si asa mai departe

fractii zecimale

Mai tarziu o sa invatam ca fractiile zecimale se impart si ele in alte subcategorii, dar acestea o sa le invatam mai tarziu .

Exemplu:

0,7; 0,34….

Acum sa revenim la ce o sa discutam noi acum:

Adunarea si scaderea unor fractii ordinare care au acelasi numitor

Incepem cu Adunarea fractiilor ordinare

Pentru a aduna doua fractii ordinare care au acelasi numitor se procedeaza astfel: se copiaza numitorul si se aduna numaratorii.

\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}

Exemplu:

\frac{7}{10}+\frac{8}{10}=\frac{7+8}{10}=\frac{15}{10}^{(5}=\frac{15:5}{10:5}=\frac{3}{2}

Observam ca dupa ce am adunat cele doua fractii care au acelasi numitor, am simplificat fractia obtinuta prin 5, folosind criteriul de divizibilitate cu 5.

Scaderea fractiilor ordinare

Pentru a scadea doua fractii ordinare procedam astfel: se copiaza numitorul si se scad numaratorii .

\frac{a}{m}-\frac{b}{m}=\frac{a-b}{m}

Exemplu:

\frac{7}{16}-\frac{3}{16}=\frac{7-3}{16}=\frac{4}{16}^{(4}=\frac{4:4}{16:4}=\frac{1}{4}.

Observati ca si la exemplul de mai sus am simplificat fractia obtinuta prin 4.

Exercitii

1) Scrieti fractiile \frac{5}{6}; \frac{37}{54}; \frac{109}{324} ca:

a) suma de fractii ordinare cu acelasi numitor ; gasiti trei posibilitati

b) diferenta de fractii ordinare cu acelasi numitor; gasiti trei posibilitati

Solutie

a)  \frac{5}{6}=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}

\frac{5}{6}=\frac{4}{6}+\frac{1}{6}

\frac{5}{6}=\frac{0}{6}+\frac{5}{6}

\frac{37}{54}=\frac{30}{54}+\frac{7}{54}

\frac{37}{54}=\frac{28}{54}+\frac{9}{54}

\frac{37}{54}=\frac{1}{54}+\frac{36}{54}

b) \frac{5}{6}=\frac{7}{6}-\frac{2}{6}

\frac{5}{6}=\frac{8}{6}-\frac{3}{6}

\frac{5}{6}=\frac{9}{6}-\frac{4}{6}

\frac{37}{54}=\frac{38}{54}-\frac{1}{54}

\frac{37}{54}=\frac{39}{54}-\frac{2}{54}

\frac{37}{54}=\frac{40}{54}-\frac{3}{54}

Analog se rezolva si ultima fractie.

2) Efectuati calculele si simplificati rezultatul final:

a) \frac{1}{2^{2}\cdot 3}+\frac{5}{6\cdot 2}-\frac{4}{12}

Observam ca la exercitiul de mai sus momentan nu avem acelasi numitor, astfel efectuam produsul la numitori:

\frac{1}{12}+\frac{5}{12}-\frac{4}{12}=\frac{1+5-4}{12}=\frac{2}{12}^{(2}=\frac{2:2}{12:2}=\frac{1}{6}

Observati ca am efectuat prima data adunarea numaratorilor, iar apoi scaderea numaratorilor copiind numitorul, iar apoi am simplificat prin 4.

b) \frac{1}{13}+\frac{2}{13}+\frac{3}{13}+...+\frac{12}{13}=\frac{1+2+3+...+12}{13}=\frac{78}{13}^{(13}=\frac{78:13}{13:13}=\frac{6}{1}=6

Calculam separat:

1+2+3+...+12=\frac{12\cdot\left(12+1\right)}{2}=\frac{12\cdot 13}{2}=\frac{156}{2}=78 si inlocuim mai sus.

Deci important la adunarea si scaderea fractiilor ordinare cu acelasi numitor sa stim cand se aduna fractiile cand se scad si cand putem sa le simplificam.

 

 

 

Fractii echivalente Cand doua fractii sunt echivalente?

Dupa ce am invatat notiunea de fractie si cum sa introducem intregii in fractie, dar si sa scoatem introducem intregii in fractii, acum o sa discutam despre fractii echivalente.

Poate va intrebati de ce trebuie sa  invatati despre fractii .Raspunsul este firesc ;deoarece ne ajuta in viata de zi cu zi.Astfel:

Definitie: Doua fractii sunt echivalente daca sunt egale.

Doua fractii sunt egale daca reprezentarile lor sunt echivalente.

Exemplu:

\frac{4}{6} si \frac{2}{3}

\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\Rightarrow 4\cdot 3=6\cdot 2, deci fractiile sunt egale si astfel echivalente.

Astfel regula pentru a stii daca doua fractii \frac{a}{b} si \frac{c}{d} sunt egale, calculam a\cdot d si b\cdot c

-Daca a\cdot d=b\cdot c, atunci fractiile sunt egale \frac{a}{b}=\frac{c}{d} (echivalente)

-Daca a\cdot d\neq \cdot c atunci fractiile nu sunt egale \frac{a}{b}\neq\frac{c}{d}(nu sunt echivalente).

Exercitii:

1) Determinati fractia \frac{a}{b}, stiind ca este egala cu fractia \frac{2}{3} si ca a+b=10

Solutie

Stim ca cele doua fractii sunt egale si scriem

\frac{a}{b}=\frac{2}{3}\Rightarrow a=\frac{2}{3}b(*), astfel dupa ce am  aflat a  inlocuim in in relatia

a+b=10\Rightarrow \frac{2}{3}b+b=10|\cdot 3\Rightarrow 2b+3b=30\Rightarrow 5b=30\Rightarrow b=6

Observati ca am inmultit cu 3 pentru a ni se simplifica cu numitorul si sa putem sa calculam mai usor, dupa ce am aflat b, aflam a, astfel inlocuind b in (*) obtinem

a=\frac{2}{3}\cdot 6=\frac{12}{3}=4, astfel pentru a observa daca am rezolvat corect inlocuim a, si b cu ce am gasit  si vedem daca fractiile sunt egale

\frac{4}{6}=\frac{2}{3}, daca inmultim pe diagonala obtinem 4\dot 3 si 6\cdot 2, observam ca 4\cdot 3=6\cdot 2, deci produsul este egal si astfel cele doua fractii sunt egale , iar suma celor doua cifre este 10, a+b=10\Rightarrow 4+6=10 (adevarat).

2) Determinati x astfel incat \frac{\overline{x7}}{\overline{1x}}=\frac{9}{4}, observam ca fractia in care apare  simbolul x este in baza zece si astfel putem sa scriem prima fractie astfel

\frac{10\cdot x+1\cdot 7}{10\cdot 1+1\cdot x}=\frac{9}{4}\Rightarrow \frac{10x+7}{10+x}=\frac{9}{4}, cum stim ca cele doua fractii sunt egale scriem 4\cdot\left(10x+7\right)=9\cdot\left(10+x\right)\Rightarrow 40x+28=90+9x\Rightarrow 40x-9x=90-28\Rightarrow 31x=62\Rightarrow x=\frac{62}{31}\Rightarrow x=2, dupa  ce am afalt x putem sa inlocuim in fractia scrisa in baza 10 si obtinem

\frac{\overline{x7}}{\overline{1x}}=\frac{27}{12} si mai avem fractia \frac{9}{4}, trebuie sa gasim ca cele doua fractii sunt egale si astfel calculam

27\cdot 4 si 12\cdot 9 si obtinem 108 si 108, deci cele doua fractii sunt egale.

 

Aflarea unei fractii dintr-un numar Procente

O intrebare fireasca este Cum aflam o fractie dintr-un numar? Pana in acest moment am definit notiunea de fractie si am invatat cand o fractie este subunitara sau supraunitara.

O alta notiune pe care o mai discutam este procentul .Sigur, ati mai auzit la televizor vorbindu-se despre procente. Adica benzina se va scumpi cu 2 sau 3 procente. Poate in acel moment nu ati inteles despre ce este vorba, tocmai din acest motiv o sa intelegem acum.

Incepem prin a discuta despre Aflarea unei fractii dintr-un numar

Pentru a afla o fractie dintr-un numar natural se inmulteste fractia cu acel numar adica  numaratorul cu numarul si se impart la numitor.

Adica, \frac{a}{b} din n este egal cu

\frac{a}{b}\cdot n=\frac{a\cdot n}{b}

Exemplu:

1) \frac{1}{2} din 150 kg este egal cu \frac{1}{2}\cdot 150=\frac{1\cdot 150}{2}=\frac{150}{2}=75 kg

2) \frac{3}{4} din 140 m este egal cu \frac{3\cdot 140}{4}=\frac{420}{4}=105.

3) \frac{2}{3} din 120 l este egal cu \frac{2\cdot 120}{3}=\frac{240}{3}=80 l.

Procentul

Acum procentul se exprima sub forma unei fractii cu numitorul 100 \left(\frac{p}{100}\right).

Procentul se mai scrie p% (asa ati vazut ca se folosete mai mult la televizor) si se citeste p la suta sau p procente.

Astfel p% din n este egal cu \frac{p}{100}\cdot n=\frac{p\cdot n}{100}.

Exemlu:

1) 17% din 2 400 este egal cu \frac{17}{100}\cdot 2400=\frac{17\cdot 2400}{100}=\frac{40800}{100}=408

2) 71% din 21 300 este egal cu \frac{71}{100}\cdot 21 300=\frac{71\cdot 21 300}{100}=\frac{1512300}{100}=15123.

Exercitii

1) Calculati

a) \frac{7}{9} din 3124 este egal cu \frac{7}{9}\cdot 3124=\frac{7\cdot 3124}{9}=\frac{28116}{9}=3124.

b) \frac{125}{75} din 624 este egal cu \frac{125}{75}\cdot 624=\frac{125\cdot 624}{75}=\frac{78000}{75}=1040.

c) \frac{4}{11} din 583 este egal cu \frac{4}{11}\cdot 583=\frac{4\cdot 583}{11}=\frac{2332}{11}=212.

2) Un calator are de parcurs distanta de 125 km. El a parcurs \frac{7}{25} din distanta.

a) Calculati ce distanta a parcurs

b) Calculati ce distanta mai are de parcurs

Solutie

Ca sa aflam ce distanta a parcurs calculam \frac{7}{25} din 125, astfel:

\frac{7}{25}\cdot 125=\frac{7\cdot 125}{25}=\frac{875}{25}=35 km, deci calatorul a parcurs 35 de km si mai are de parcurs

125=35=90 km.

3) Mihai afirma ca pretul unei carti s-a micsorat cu 10 procente. Calculati pretul pe care trebuie sa-l platesca Mihai, stiind ca pretul initial a fost de 10 lei.

Solutie

Cum stim ca pretul initial al cartii este de 10 lei si stim ca s-a micsorat cu 10 la suta , adica din pretul intial scadem 10 procente, adica \frac{10}{100}\cdot 10=\frac{100}{100}=1 lei, deci pretul intial al cartii s-a micsorat cu 1 lei, adica

Mihai  a cumparat cartea cu 10 lei-1 lei=9 lei.

 

Deci noul pret al cartii este de 9 lei.

4) Un teren agricol are 2 400 de hectare. Din acesta \frac{5}{8} s-a cultivat cu porumb, \frac{4}{9} din rest s-a cumtivat cu grau, iar restul cu sfecla.

a) Calculati suprafata  cultivata cu proumb si apoi suprafata care s-a cultivat cu grau?

 

 

Solutie

a) Ca sa calculam suprafata cultivata cu prumb calculam \frac{5}{8} din 2 400 hectare, astfel

\frac{5}{8}\cdot 2 400=\frac{5\cdot 2 400}{8}=\frac{12000}{8}=1500

S-a cumtivat 1500 hectare.

Calculam 2 4 00-1500=900 hectare ramase necultivate

Mai stim ca s-a mai cultivat \frac{4}{9} din rest grau,  adica \frac{4}{9} din 900, astfel

\frac{4}{9}\cdot 900=\frac{4\cdot 900}{9}=\frac{3600}{9}=400

Deci 400 de hectare s-au cultivat cu grau.

Acum calculam sa aflam ce suprafata este cultivata cu sfecla, adica (restul din hectare sunt cultivate cu sfecla)

900-400=500 hectare.

Deci 500 de hectare sunt cultivate cu sfecla.

 

 

Operatii cu multimi Reuniunea Intersectia Diferenta

Dupa ce am invatat despre notiunea de multime, cum se definesc multimile, dar si care sunt multimile finite si infinite acum o sa discutam, dar o sa si intelegem,despre cum efectuam operatii cu multimi .Vom intelege reuniunea, intersectia, diferenta dar si diferenta simetrica.

Incepem cu reuniunea multimilor:

Reuniunea multimilor

Reuniunea a doua multimi A si B este multimea elementelor care apartin cel putin uneia dintre multimi

A\cup B=\left\{x|x\in A\;\; sau\;\; x\in B\right\}

Ilustram reuniunea multimilor A si B cu ajutorul unei diagrame reprezentate ca in figura
cum calculam reuniunea a doua multimi
Intersectia multimilor

Intersectia a doua multimi A si B este multimea elementelor comune celor doua multimi

A\cap B=\left\{x|x\in A\;\; si\;\;x\in B\right\}
cum calculam intersectia multimilor
Daca A\cap B=\oslash atunci multimile A si B sunt multimi disjuncte.

Diferenta a doua multimi

Fie A si B doua multimi. Multimea formata din elementele lui A care nu sunt si elemente ale lui B se  numeste diferenta dintre multimea A si multimea B.
A-B=\left\{x|x\in A\;\; si\;\; x\notin B\right\}
cum calculam diferenta a doua multimi
Diferenta simetrica A\Delta B=\left(A-B\right)\cup\left(B-A\right)

Rezolvam un exercitiu prin care exemplificam ceea ce am spus mai sus:
1) Fie multimile:
A=\left\{x\in N^{*}|x\leq 4\right\}
B=\left\{x\in N|2\leq x\leq 3\right\}
C=\left\{x\in N|3x+1<10\right\}

a) Enumerati elementele multimilor A, B, C

b) Calculati A\cup B,A\cup C,, B\cup C, A\cap B,A\cap C, B\cap C, A-B, B-A, A-C, C-A, B-C, C-B, A\cap B\cap C, A\cup B\cup C, \left(A-B\right)\cap C, A\Delta B, A\Delta C, B\Delta C.

Solutie !

a) A=\left\{1, 2, 3, 4\right\}
B=\left\{2, 3\right\}

Ca sa calculam multimea C, rezolvam mai intai inecuatia 3x+1<10\Rightarrow 3x<9\Rightarrow x<3,
C=\left\{1,2\right\}

b) A\cap B=\left\{2,3\right\},

A\cap C=\left\{1, 2\right\},

B\cap C=\left\{2\right\},

A\cup B=\left\{1, 2, 3, 4\right\},

A\cup C=\left\{1, 2, 3, 4\right\},

B\cup C=\left\{1, 2, 3\right\},

A-B=\left\{1, 4\right\}, \\B-A=\oslash ,

A-C=\left\{3, 4\right\}, \\C-A=\oslash ,

B-C=\left\{3\right\} \\C-B=\left\{1\right\},

A\cap B\cap C=\left\{2\right\}, \\ A\cup B\cup C=\left\{1, 2, 3, 4\right\},

\left(A-B\right)\cap C=\left\{1, 4\right\}\cap\left\{1, 2\right\}=\left\{1\right\},

A\Delta B=\left\{1, 4\right\}\cup \oslash=\left\{1, 4\right\},

A\Delta C=\left\{3, 4\right\}\cup \oslash=\left\{3, 4\right\}, \\B\Delta C=\left\{1,3\right\},

Multimi finite si Multimi infinite Definitie

Dupa ce ati invatat notiunea de multime, care a fost un lucru nou pentru voi si ati vazut ca sirul numerelor naturale se numeste multimea numerelor naturale si se noteaza cu N , astazi o sa vorbim despre multimi finite si multimi infinite.

Astfel:

Multimea finita

Def: O multime se numeste finita daca are un numar finit de elemente.

Exemplu: A=\left\{0, 1, 2, 3, 4, 5\right\} este o multime finita pentru ca multimea A are 5 elemente, deci card A=5.

Multimea infinita

Def: O multime se numeste infinita daca nu are un numar finit de elemente.

Exemplu: N=\left\{0,1 ,2, 3, 4,....\right\} – multimea numerelor naturale este o multime infinita, contine un numar infinit de elemente.

N^{*}=\left\{1, 2, 3, 4,...\right\}– multimea numerelor naturale nenule este o multime infinita

Obs: Trebuie sa stim ca N^{*}=N-{0} se numeste multimea numerelor naturale nenule .

Stiti ca am invatat notiunea de divizor dar si notiunea de multiplu.

Astfel multimea divizorilor unui numar a este: D_{a}=\left\{n|n\in N, n|a\right\}

Exemplu: D_{10}=\left\{1, 2, 5, 10\right\} observam ca 1|10, 2|10, 5|10, 10|10, deci se verifica si multimea divizorilor lui 10 este 1, 2, 5, 10.

D_{0}=\left\{0, 1, 3, 4,...\right\}=N,deci divizorii lui. Zero este multimea numerelor naturale.

D_{1}=\left\{1\right\}obtinem D_{a}\neq \otimes datorita faptului ca orice numar are cel putin un element.

Multimea multiplilor lui a
Notam M_{a} multimea multiplilor lui a. M_{a}=\left\{m| m\in N,\;\; m \;\;este\;\; multiplu \;\;a \;\;lui\;\; a\right\}=\left\{ 0\cdot a, 1\cdot a, 2\cdot a,..., n\cdot a\right\}

Obs: M_{a}\neq\otimes M_{0}=\left\{0\right\} M_{1}=\left\{1\cdot 0, 1\cdot 1, 2\cdot 1,...,n\cdot 1\right\}=N

Multimea divizorilor unui numar natural este o multime infinita iar multimea multiplilor unui numar natural este o multime finita.

Rezolvam cateva exercitii care ne ajuta sa intelegem ce am spus mai sus.

Determinati multimile:

a) A=\left\{x|x\in N\;\; si\;\; 3|x\right\}

b) B=\left\{x|x\in N, \left(x+2\right)|50\;\; si\;\; 3|x\right\}

c) C=\left\{x|x\in N, 4\leq2x\leq 10\;\; si\;\;\left(2x+1\right)|7\right\}

Solutie: a) A=\left\{0,3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24.....\right\}, deci multimea numerelor care se divid cu 3 este multimea multiplilor numarului 3.

b) Prima data scriem divizorii lui 50 D_{50}=\left\{1, 2, 5, 10, 25, 50\right\}, rezolvam ecuatiile (adica egalam numarul x+2 cu fiecare divizor al numarului )

x+2=1\Rightarrow x=1-2 (nu se poate, ecuatia nu are solutie)

Rezolvam fiecare ecuatie si astfel gasim solutia multimii:   latex B=\left\{0, 3, 8, 23, 48\right\}$

c) Pentru multimea  C calculam mai intai

4\leq 2x\leq 10|:2\Rightarrow 2\leq x\leq 5

Deci gasim  solutia inegalitatii, mai bine zis x poate lua valorile x\in \left\{2, 3, 4, 5\right\}, ca sa rezolvam inegalitatea de mai sus am impartit toata inegalitatea prin 2 si astfel am obtinut multimea de numere care poate sa o ia x.

Acum ca sa aflam  multimea C trebuie sa vedem daca indeplineste si cea de-a doua conditie, adica

2x+1|7

Asa cum am spus si la multimea B scriem multimea divizorii lui 7 si gasim:

D_{7}=\left\{1, 7\right\}, si rezolvam cele doua ecuatii si gasim x=0, 3

Deci multimea C=\left\{3\right\}.

Multimea C trebuie sa indeplineasca cele doua conditii obtinem ca C=\left\{3\right\} ,are un singur element, cand avem conjunctia „si” , in multimea respectiva trebuie sa se indeplineasca ambele conditii, in cazul nostru elementul x trebuie sa se afle intre numerele 2 si 5 inclusiv aceste cifre, iar cea de-a doua conditie 2x+1|7, noi am luat elementul 3, observam ca 3 se afla in intervalul 2,5, dar si 2\cdot 3+1|7, deoarece obtinem 7|7, daca incercam alta cifra care se afla in intervalul 2,5 observam ca nu indeplineste cea de-a doua conditie, de exemplu x=2 se afla intervalul 2; 5, dar 2\cdot 2+1=4+1=5 dar observam ca 5 nu divide pe 7.

Deci cand avem la o multime doua conditii si avem cojunctia „si” intre ele, trebuie sa avem grija sa se indeplineasca cele doua conditii, iar daca avem ”sau” trebuie sa indeplineasca cel putin una din conditiile din multime.

 

 

Probleme cu unghiuri adiacene, unghiuri complementare si unghiuri suplementare

Dupa ce am invatat notiunile de unghiuri adiacente, unghiuri complementare, unghiuri complementare si despre bisectorea unui unghi, astazi o sa rezolvam probleme cu unghiuri in care apar aceste notiuni.
1) Daca \prec XOY si YOZ sunt unghiuri adiacente, \frac{m\left(\prec XOY\right)}{m\left(YOZ\right)}=\frac{2}{7}, iar bisectoarele lor formeaza un unghi de 45^{0}, aflati masurile unghiurilor \prec XOYsi \prec YOZ.
Solutie
bisectoare unui unghi
Din datele problemei am construit unghiul TOD (unghi format din bisectoarele celor doua unghiuri XOY si YOZ), stim ca m\left(\prec TOD\right)=45^{0}
Stim de asemenea ca
\frac{m\left(\prec XOY\right)}{m\left(YOZ\right)}=\frac{2}{7}\Rightarrow m\left(\prec XOY\right)=\frac{2}{7}\cdot m\left(\prec YOZ\right)
Stim ca daca OT este bisectoarea unghiului XOY rezulta ca m\left(\prec TOY\right)=\frac{1}{2}\cdot m\left(\prec XOY\right), de asemenea stim ca OD este bisectoarea unghiului YOZ rezulta ca m\left(\prec DOY\right)=\frac{1}{2}\cdot m\left(\prec YOZ\right),
Cum m\left(\prec TOD\right)=45^{0}\Rightarrow m\left(\prec TOY\right)+m\left(\prec YOD\right)=45^{0}\Rightarrow \frac{1}{2}\cdot m\left( \prec XOY\right)+\frac{1}{2}\cdot m\left(\prec YOZ\right)=45^{0}\Rightarrow \frac{m\left(\prec XOY\right)+m\left(\prec YOZ\right)}{2}=45^{0}\Rightarrow m\left(\prec XOY\right)+m\left(\prec YOZ\right)=90^{0}
Deci suma celor doua unghiuri este de 90 de grade
Dar stim ca  m\left(\prec XOY\right)=\frac{2}{7}\cdot m\left(\prec YOZ\right), inlocuind in ce am obtinut mai sus obtinem:
<br /> \frac{2}{7}\cdot m\left(\prec YOZ\right)+m\left(\prec YOZ\right)=90^{0}| \cdot 7<br /> \\2\cdot m\left(\prec YOZ\right)+7\cdot m\left(\prec YOZ\right)=90^{0}\cdot 7<br /> \\9 m\left(\prec YOZ\right)=630^{0}:9<br /> \\m\left(\prec YOZ\right)=70^{0}<br /> \\m\left(\prec XOY\right)=\frac{2}{7}\cdot m\left(\prec YOZ\right)=\frac{2}{7}\cdot 70^{0}=2\cdot 10^{0}=20^{0}<br />
Deci masura unghiului YOZ este de 70 de grade si masura unghiului XOY este de 20 de grade.
Important este sa stim cand doua unghiri sunt suplementare, coplementare sau cand sunt adiacente, sa stim definitia bisectoarei unui unghi si cum le aplicam in formule

Patratul si cubul unui numar natural, ultima cifra a unui numar, patrate perfecte

Poate ati mai auzit de notiunea de patratul si cubul unui numar natural, despre patrate perfecte sau cum calculam ultima cifra a unui numar.
Puterea a doua unui numar natural a, adica a^{2}, se numeste patratul numarului a, astfel a^{2} se citeste „a la patrat”.

Puterea a treia a unui numr natural a, adica a^{3}, se numeste cubul numarului a, astfel a^{3} se citeste ‘a la cub’.

Astfel un patrat perfect este patratul unui numar natural.

Sirul de numere
 0, 1, 4, 9,16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, este sirul

 0^{2}, 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}, 5^{2}, 6^{2},8^{2}, 9^{2}, 10^{2}
Fie x un numar natural, atunci ultima cifra a unui numar natural se noteaza U\left(x\right)

Ca sa invatam mai  usor patratele perfecte trebuie sa stim ca ultima cifra a unui patrat perfect poate fi: 0, 1, 4, 5, 6, 9.
Ca sa ne dam seama de unde le obtinem invatam patratele perfecte pana la 10 si invatam ultima cifra pentru fiecare patrat perfect.
 0^{2}, 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}, 5^{2}, 6^{2}, 8^{2}, 9^{2}, 10^{2}
 0, 1, 4 9, 16, 25, 36, 64, 81, 100

Deci ca sa fie patrat perfect un numar trebuie sa aiba ultima cifra: 0, 1, 4, 5, 6, 9. (luam ultima cifra a patratelor perfect)

De aici obtinem si o metoda prin care putem sa demonstram ca un numar este sau nu patrat perfect. Deci daca ultima cifra a unui numar este diferita de: 0, 1, 4, 5, 6, 9 atunci numarul nu este patrat perfect sau altfel spus putem spune ca un numar nu este patrat perfect daca ultima cifra este 2, 3, 7, 8.

Ca sa obtinem ultima cifra a unui numar aplicam urmatoarea regula:
 U\left(x+y\right)=U\left(U\left(x\right)+U\left(y\right)\right)

 U\left(x\cdot y\right)=U\left(U\left(x\right)\cdot U\left(y\right)\right)
 U\left(x^{n}\right)=U\left[\left(U\left(x^{n}\right)\right)^{n}\right]

Exemple:
1) Aratati ca urmatoarele numere nu sunt patrate perfecte:
a)  2^{1981}
Calculam ultima cifra a numarului de mai sus:
 U\left(2^{1981}\right)=U\left(2^{1}\right)=2
Ca sa calculam ultima cifra a numarului de mai sus am scris baza asa cum este si am impartit exponentul la 4, iar restul obtinut l-am trecut la exponent adica 1, iar 2 la puterea 1 este 2.
Deci ultima cifra a numarului este 2 si nu este patrat perfect.Ca sa fie patrat perfect trebuia sa aiba ultima cifra 0, 1, 4, 5, 6, 9.

2) Aratati ca numarul  1998^{1999} nu este patrat perfect.
Calculam ultima cifra a numarului de mai sus
 U\left(1998^{1999}\right)
 U\left(8^{1999}\right)=U\left(8^{3}\right)=U\left(8\cdot 8\cdot 8\right)=U\left(512\right)=2

Ca sa demonstram ca numarul nu este patrat perfect calculam ultima cifra a numarului respectiv, astfel pentru inceput calculam ultima cifra a lui 1998, care este 8, iar apoi calculam ultima cifra a exponentului prin impartirea exponentului la 4 si astfel, daca impartim numarul 1999:4 obtinem catul 499 rest 3, iar pe noi restul 3 ne intereseaza.

Deci 8^{3}=512 iar ultima cifra a lui 512 este 2 si astfel obtinem ca numarul nu este patrat perfect.

Compararea si ordonarea puterilor, reguli de comparare

Dupa ce am invatat cum sa rezolvam exercitii cu ridicarea la putere a unui numar natural si dupa ce am invatat regulile de calcul, astazi o sa invatam compararea si ordonarea puterilor, reguli de calcul cu puteri.

Cand aveam numere naturale fara ridicare la putere, comparam, in functie de ce aveam. Adica: zeci, sute, mii, sute de mii, milioane, comparam de la dreapta la stanga si observam care cifra este mai mare si astfel gaseam numarul cel mai mare, important era sa vedem la ce ordin de marime suntem.
Ca sa ne fie mai usor cu compararea si ordonarea puterilor trebuie sa invatam anumite reguli de comparare:
– astfel daca avem aceeasi baza ne uitam la exponent, iar numarul care are exponentul mai mare este cel mai mare
Exemplu:
 5^{101}\;\; si\;\; 5^{83}
Cum 101>83, rezulta ca  5^{101}>5^{83}, avem aceeasi baza dar primul exponent este mai mare decat cel de-al doilea.
Regula:
m>n \Rightarrow a^{m}>a^{n}
-daca nu avem aceeasi baza, dar avem acelasi exponent, dintre doua numere mai mare este cel care are baza mai mare.

Exemplu: 5^{23} si  7^{23}

Astfel   5<7\Rightarrow 5^{23}<7^{23}
Iar ultima regula  este aceea in care nu avem nici aceeasi baza nici acelasi exponent. In acest caz incercam sa aducem fie la aceiasi baza fie la acelasi exponent, in functie de ce observam la cele doua numere.
Exemplu:  2^{30}\;\; si\;\;3^{20}
Observam ca nu avem nici aceeasi baza si nici acelasi exponent, astfel obsevam ca avem in ambele cazuri puteri ale lui 10, deci 2^{30}=\left(2^{3}\right)^{10}=8^{10}

Si  3^{20}=\left(3^{2}\right)^{10}=9^{10}
Astfel am adus cele doua numere la acelasi exponent si aplicam regula a doua:
 8<9\Rightarrow 8^{10}<9^{10}\Rightarrow 2^{30}<3^{20}
Exercitii:
1) Comparati numerele
a) 9^{51} si 3^{103}
b) 5^{34} si 3^{51}
c) 0^{43} si 0^{83}
d) 3^{38} si 2^{59}-2^{58}-2^{57}
e) 2^{2^{3}} si  \left(2^{2}\right)^{3}

Solutie
a)  9^{51}=\left(3^{2}\right)^{51}=3^{2\cdot 51}=3^{102}
Privind cele doua numere, obsevam ca pe primul putem sa-l scriem in baza 3, deoarece 9=3^{2}, obsevam ca cel de-al doilea numar este deja in baza 3 si astfel am adus cele doua numere in aceeasi baza si astfel putem sa le comparam:
 3^{102}<3^{103}\Rightarrow 9^{51}<3^{103}
b) Obsevam ca la exercitiul b) nu putem sa lucram cu bazele, astfel incercam sa lucram exponentii, adica exponentii sa aiba aceeasi putere:  5^{34}=5^{2\cdot 17}=\left(5^{2}\right)^{17}=25^{17} , fiind singura posibilitate  3^{51}=3^{3\cdot 17}=\left(3^{2}\right)^{17}=9^{17}

Astfel am adus numerele la acelasi exponent  25^{17}>9^{17}\Rightarrow 5^{34}>3^{51}.
Ca sa vedem cum e mai usor sa scriem exponentii sau bazele ,ii impartim la 2,3,5,7,11,13,17, iar impartirile trebuie sa fie fara rest.
c) Stim ca 0 la orice putere este tot 0, deci cele doua numere sunt egale.
d) Primul numar la baza nu avem cum sa-l lucram, dar ca sa vedem daca lucram exponentul, calculam mai intai cel de-al doilea numar  2^{59}-2^{58}-2^{57}=2^{57}\left(2^{2}-2^{1}-2^{0}\right)=2^{57}\left(4-2-1\right)=2^{57}\cdot 1=2^{57}

Iar cel de-al doilea numar 3^{38}=3^{2\cdot 19}=\left(3^{2}\right)^{19}=9^{19}
Primul numar il putem rescrie in functie de 9^{19}

 2^{57}=\left(2^{3}\right)^{19}=8^{19}
Si astfel obtinem 9^{19} > 8^{19} \Rightarrow 2^{59}-2^{58}-2^{57}>3^{38}
Observam ca trebuie sa lucram si primul numar la exponent, ca sa putem sa aducem la acelasi exponent.