Probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor in multimea numerelor intregi

Dupa ce am invatat sa rezolvam ecuatii si inecuatii in multimea numerelor intregi, dupa cum bine stiti vine vremea sa invatam sa rezolvam si probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor in multimea numerelor intregi.
De rezolvat probleme cu ajutorul ecuatiilor am mai invatat si in clasele mai mici diferenta este ca atunci am invatt sa rezolvam in multimea numerelor naturale sau rationale pozitive, iar acum si pentru numerele intregi.
Dar mai intai sa ne reamintim cu rezolvam ecuatiile si incuatiile in Z.
Rezolvati ecuatiile:
a) -2x+3=-9\rightarrow -2x+3-3=-9-3\Rightarrow -2x=(-9)+(-3)\Rightarrow -2x=-12\Rightarrow x=(-12):(-3)\Rightarrow x=4
Obserervati ca mai intai am scazut din ambii membri termenul liber 3, iar apoi am efectua impartirea numerelor intregi.
b) Notiunea noua care am mai invatat-o la numere intregi a fost modulul sau valoarea absoluta a unui numar intreg, asadar rezolvam si o ecuatie cand avem si modulul unei expresii.
2|2x+1|=8|:2\Rightarrow |2x+1|=8:2\Rightarrow |2x+1|=4
Observati ca in ambii membrii am impartit printr-un 2.
Dar de la  definitia modulului stim ca
|x|=x,\;\;\; daca\;\; x>0, astfel ecuatia devine
2x+1=4\Rightarrow 2x=4-1\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac{3}{2}, si observam ca ecuatia nu are solutii in Z
Dar mai stim si ca
|x|=-x,\;\; daca\;\; x<0
Astfel ecuatia devine
-(2x+1)=4\Rightarrow -2x-1=4\Rightarrow -2x=4+1\Rightarrow -2x=5\Rightarrow x=\frac{5}{-2}\Rightarrow x=-\frac{5}{2}, la fel ca si mai sus ecuatia nu are solutii in Z.
2.Rezolvati inecuatiile in Z.
a) -5x+10\leq -12x+31
Observam ca nu avem o ecuatie de forma ax+b\leq c, deci trebuie sa o aducem la forma de mai sus, astfel avem
-5x+12x\leq 31-10\Rightarrow 7x\leq 21\Rightarrow x\leq 21:7\rightarrow x\leq 3, asadar solutiile inecuatiei sunt
x\in\left\{3, 2, 1, 0,-1, -2,.....,...\right\}
Dar avem si ineciatii de forma
|2x-1|\leq 5
Ca sa rezolvam inecuatia in care apare si modulul trebue sa tinem cont de regula
|x|\leq a\Rightarrow -a\leq x\leq a
Asadar inecuatia devine
-5\leq 2x-1\leq 5|+1\Rightarrow -5+1\leq 2x-1+1\leq 5+1\Rightarrow -4\leq 2x\leq 6|:2\Rightarrow -4:2\leq 2x:2\leq 6:2\Rightarrow -2\leq x\leq 3
Asadar solutia inecuatiei se afla intere numere -2 si 3, adica
x\in\left\{3, 2, 1, 0, -1, -2\right\}
Dar avem si inecuatii de forma
|2x-5|\geq 7
Regula pentru rezolvarea inecuatiilor de aceasta forma este:
|x|\leq a\Rightarrow x\leq a, dar si -a\leq x
Astfel avem:
2x-5\leq 7\Rightarrow 2x\leq 7+5\Rightarrow 2x\leq 12\Rightarrow x\leq 12:2\Rightarrow x\leq 6, deci solutia inecuatiei este:x\in\left\{6, 5, 4, 3, 2,.....,\right\}
Dar mai avem de rezolvat si inecuatia:
-7\leq 2x-5\Rightarrow 2x-5\geq -7\Rightarrow 2x\geq -7+5\Rightarrow 2x\geq -2\Rightarrow x\geq -2:2\Rightarrow x\geq -1
Adica solutia inecuatiei este x\in\left\{-1, 0, 1, 2, 3,....,...\right\}
Iar daca efectuam inetersectia celor doua inecuatii
\left\{6, 5, 4, 3, 2,.....,\right\}\cap \left\{-1, 0, 1, 2, 3,....,...\right\}=\left\{6, 5, 4, 3, 2, 1,0, -1\right\}
Adica x\in Z\ \left\{ 5, 4, 3, 2, 1,0, \right\}
Dar reintorcandu-ne la cea ce noi vrem sa discutam
Adica probleme care se rezolvam cu ajutorul ecuatiilor in Z.
dupa cum am zis probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor am mai rezolvat, dar acum ne reamintim etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru a rezolva problemele cu ajutorul ecuatiilor in Z:
– alegem necunoscuta, de cele mai multe ori alegem ca necunoscuta ceea ce ni se cere in problema
– scriem datele problemei in functie de necunoscuta aleasa
– punem problema in ecuatie
– rezolvam ecuatia
– verificam si interpretam rezultatul
Exemplu
1. Daca inmultim un numar cu 3, iar rezultatul il adunam cu 40, obtinem -260. Aflati numarul.
Solutie:
notam cu x numarul necunoscut
formam ecuatia
3\cdot x+40=-260
dupa ce am forma ecuatia rezolvam ecuatia:
3x=-260-40\Rightarrow 3x=-300\Rightarrow x=-300:2\Rightarrow x=-10
Deci numarul gasit este -100.
2.Tatal, mama si fiul au impreuna 96 de ani.Tata este cu 8 ani mai in varsta decat mama, iar fiul este cu 20 de ani mai tanar decat mama. aflati cati ani are fiecare.

Solutie:

Notam cu

– x varsta tatalui

– y varsta mamei

– y varsta fiului

Astfel avem ecuatia x+y+z=96 Tatal, mama si fiul au impreuna 96 de ani.

x=8+y Tatal este cu 8 ani mai in vatsta

z=y-20

astfel boservati ca in cazul de fata avem trei ecuatii cu trei necunoscute, daca inlocuim in prima ecuatie obtinem

8+y+y+y-20=96\Rightarrow 3y-12=96\Rightarrow 3y=96+12\Rightarrow 3y=108\Rightarrow y=108:3\Rightarrow y=36

Deci am obtinut ca mama are 36 ani, iar tata

x=8+y\Rightarrow x=8+36\Rightarrow x=44, adica tata are 44 ani, iar fiul z=y-20\Rightarrow z=36-20\Rightarrow z=16

Asadar este foarte important sa cunoastem etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru a rezolva probleme, dar si sa stim sa rezolvam ecuatii in multimea numerelor intregi.

 

Marimi invers proportionale

Marimile direct proportionale, dar si marimile invers proportionale joaca un rol important in in viata de zi cu zi. Despre marimi direct proportionale am mai vorbit, pentu cei care nu isi mai amintesc click aici.

Astfel acum definim notiunea de marimi invers proportionale:

Definitie: doua marimi se numesc invers proportionale, daca atunci cand una creste (scade) de un numar de ori, atunci cealalta se micsoreaza (creste) de acelasi numar de ori.

Exemplu:
Numarul de muncitori si numarul de zile in care finalizeaza lucrarea.
astfel avem:
Numaru muncitori                                      Numar zile
8                                                                      6
16                                                                    3
4                                                                    12

Din tabelul de mai sus avem ca
\frac{8}{16}=\frac{3}{6}; \frac{16}{4}=\frac{12}{3}; \frac{8}{4}=\frac{12}{6}
cu ajutorul exemplului de mai sus obtinem:

Proprietatile marimilor invers proportionale:

Raportul a doua valori din prima marime este egala cu inversul raportului valorilor corespunzatoare din cealalta marime.

Produsul valorilor corespunzatoare din cele doua marimi este constant.

Definitie: Fiind date doua multimi

A=\left\{a_{1}, a_{2},...,a_{n}\right\} si B=\left\{b_{1}, b_{2},...,b_{n}\right\}, spunem ca intele elementele acestor multimi exista o dependenta invers proportionala (adica sunt invers proportionale), daca \frac{a_{1}}{\frac{1}{b_{1}}}=\frac{a_{2}}{\frac{1}{b_{2}}}=...=\frac{a_{n}}{\frac{1}{b_{n}}} sau a_{1}\cdot b_{1}=a_{2}\cdot b_{2}=...=a_{n}\cdot b_{n}.

Aplicatii:

1. Aflati numerele rationale pozitive a, b, c invers proportionale cu 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3} daca

10ab-10ac-bc=1,76

Solutie: Numerele \left\{a, b, c\right\} invers proportionale cu \left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right\}, daca \frac{a}{\frac{1}{1}}=\frac{b}{\frac{1}{\frac{1}{2}}}=\frac{c}{\frac{1}{\frac{1}{3}}}=k

Ca sa ne fie mai usor le-am egalat cu k, si obtinem:

\frac{a}{\frac{1}{1}}=k\Rightarrow a=1\cdot k=k

Astfel obtinem si \frac{b}{\frac{1}{\frac{1}{2}}}=k\Rightarrow b=\frac{1}{\frac{1}{2}}\cdot k=2\cdot k

Dar si \frac{c}{\frac{1}{\frac{1}{3}}}=k\Rightarrow c=\frac{1}{\frac{1}{3}}\cdot k=3\cdot k

Mai stim si ca 10\cdot k\cdot 2k+10\cdot k\cdot 3k-2k\cdot 3k=1,76\Rightarrow 20k^{2}+30k^{2}-6k^{2}=1,76\Rightarrow 44k^{2}=1,76\Rightarrow k^{2}=1,76:44\Rightarrow k^{2}=0,04\Rightarrow k^{2}=\left(0,2\right)^{2}\Rightarrow k=0,2. Astfel obtinem : a=0,2

Acum aflam b=2\cdot k=2\cdot 0,2=0,4

Si c=3\cdot k=3\cdot 0,2=0,6

Asadar este foarte important sa intelegem notiunea de marime invers proportionala, cat si marimi direct proportionale, notiuni care sunt folositoare si in rezolvarea problemelor dein viata de zi cu zi.

Simetria fata de o dreapta

Majoritatea uita notiunea de simetria fata de o dreapta, adica simetricul unui punct fata de o dreapta sau, mai mult, unui dintre voi stiti ce inseamna dar nu stiti sa o construiti. Astfel stim de la simetria unui punct fata de un punct ca:
Simetricul unui punct A fata de un punct O este punctul B cu proprietatea ca distanta de la A la O este egla cu distanta de la B la O, cu alte cuvinte ca O este mijlocul segmentului AB.
CUM DESENAM SIMETRICUL UNUI PUNCT FATA DE UN PUNCT

si notam: S_{O}A=B sau S_{O}B=A
Dar noi astazi o sa discutam despre simetria unui punct fata de o dreapta.

Definitie: Doua punct A si B se numesc simetrice fata de o dreapta d, daca dreapta d este mediatoarea segmentului [AB].
cum arata simetria unui punct fa
Observatie: Daca doua puncte sunt simetrice in raport cu o dreapta atunci fiecare dintre ele este simetricul celuilalt fata de dreapta data.
La fel ca mai sus notam S_{d}A=B si citim simetricul punctului A fata de dreapta d este punctul B. Astfel daca avem
S_{d}A=B\Rightarrow d\perp AB, d\cap AB={O}, [OA]\equiv[OB]
Aplicatii: Fie D un punct pe ipotenuza [BC] in triunghiul dreptunghic ABC. Notam cu E, respectiv F simetricele punctului D fata de AB, respectiv AC. Aratati ca:

a) punctele E, A, F sunt coliniare
b) EF=2\cdot AD

Demonstratie:
Fie DE\cap AB=\left\{M\right\} si DF\cap AC=\left\{P\right\}
Si in dreptunghiul AMDP construim diagonala AD
Astfel avem triunghiurile \Delta AMD si \Delta AME
Astfel avem [AM]\equiv[AM] (latura comuna)
[MD]\equiv [ME] (E erste simetricul lui D fata de AB)
\widehat{AMD}\equiv\widehat{AME}

Deci cu cazul de congruenta L.U.L \Delta AMD\equiv\Delta AME de unde obtinem ca \widehat{MAD}\equiv\widehat{MAE}
Dar si \Delta APD si \Delta APF adica avem [AP]\equiv[AP](latura comuna)
[PD]\equiv[PF](F este simetricul lui D fata de dreapta AC)
Dar si \widehat{APF}\equiv\widehat{APD}
Si cu cazul de congruente L.U.L obtinem ca \Delta APD\equiv\Delta APF
de unde obtinem ca \widehat{PAD}\equiv\widehat{PAF}

Si astfel avem ca m\left(\widehat{EAF}\right)=m\left(\widehat{EAM}\right)+m\left(\widehat{MAD}\right)+m\left(\widehat{DAP}\right)+m\left(\widehat{PAF}\right)=2\cdot\left(m\left(\widehat{MAD}\right)+m\left(\widehat{PAD}\right)\right)=2\cdot 90^{0}=180^{0}, deci punctele F, A, E sunt coliniare.
simetria unui punct fata de o dreapta

b) EF=2\cdot AD
Observam ca EF=EA+AF
Mai sus am demonstrat ca \Delta AEM\equiv\Delta ADM, de unde obtinem si ca [AE]\equiv[AD]
Dar mai stim si ca \Delta APD\equiv\Delta APF, adica [AD]\equiv[AF]
Si astfel obtinem EF=AE+AF=AD+AD=2\cdot AD, ceea ce trebuia sa demonstram.
2. Daca C\notin AB si D este simetricul punctului C fata de AB, aratati ca \Delta ABC\equiv\Delta ABD
Demonstratie:

Fie AB\cap CD=\left\{O\right\}
Astfel consideram triunghiurile:
\Delta AOC si \Delta AOD dreptunghice, deoarece AB mediatoarea dreptei CD
[AO]\equiv[AO] (latura comuna)
[CO]\equiv[DO](D este simetricul lui C fata de dreapta AB)
Astfel obtinemn cu cazul C.C ca
\Delta AOC\equiv\Delta AOD so obtinem ca [AC]\equiv[AD] (1)
Acum consideram triunghiurile:
\Delta COB si \Delta DOB, dreptunghice, deoarece AB mediatoarea dreptei CD si avem:
[CO]\equiv[DO] (deoarece D simetricul lui C fata de AB)
[BO]\equiv[BO](latura comuna) si cu cazul de congruneta C.C obtinem ca
\Delta COB\equiv\Delta DOB, de unde obtinem si ca [CB]\equiv[DB] (2)
Astfel avem triunghiurile:
\Delta ABC si \Delta ABD
Stim ca [AC]\equiv[AD] (din (1))
Dar si [CB]\equiv[DB] (din (2))
Si observam ca [aB]\equiv[AB] (latura comuna) si astel cu cazul de congruenta de la la truighiuri oarecare L.L.L obtinem ca \Delta ABC\equiv\Delta ABD.
cum arata simetricul unui punct fata de o dreapta
Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de simetricul unui punct fata de un punct, dar si simetria unui punct fata de o dreapta, notiuni care sunt destul de importante, constituind baza pentru ceea ce v-a urma.

Bisectoarea unui unghi Proprietatea bisectoarei

Despre bisectoarea unui unghi am mai invatat si in primul semestru la capitolul Unghi. Dar acum discutam si de proprietatea bisectoarei, cat si despre concurenta bisectoarelor intr-un triunghi, deoarece dupa cum am mai spus si intr-un alt articol, bisectoarea este una din liniile importante intr-un triunghi.

Astfel reamintindu-ne definitia bisectoarei spunem ca:

Definitie: Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea in varful unghiului, interioara unghiului si care care imparte  unghiul in doua unghiuri.

cum rezolvam problemele cu bisectoare

Proprietatile bisectoarei:
Un punct interior unui unghi este situat la egala distanta de laturile unghiului daca si numai daca apartine bisectoarei acelui unghi.
punctele interioare ale unui unghi
Avem in ipoteza [OZ bisectoare unghiului \widehat{XOY}
M\in [OZ

Concluzie: d(M, OX)=d(M, OY)

Astfel stim ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei din punctul dat pe drepata respectiva.

Stim ca [OZ este bisectoarea unghiului \widehat{XOY}, astfel avem:
\widehat{XOZ}\equiv\widehat{YOZ}
Mai stim si ca MA\perp[OX, A\in [OX\Rightarrow d\left(M, OX\right)=MA
Dar si MB\perp[OY, B\in [OY\Rightarrow d\left(M, OY\right)=MB
Iar in triunghiurile MAO si MBO, avem m\left(\widehat{MAO}\right)=m\left(\widehat{MBO}\right)=90^{0}, adica avem triunghiuri dreptunghice.
Mai stim si ca [MO]\equiv[MO](latura comuna)
Dar si \widehat{MOA}\equiv\widehat{MOB}
Deci cu cazul de congruenta de la triunghiurile dreptunghice I.U, avem ca
\Delta MAO\equiv\Delta MBO de unde obtinem ca [MA]\equiv[MB], adica d(M, OX)=d(M, OY)

locul geometric al bisectoarei unui unghi
Bisectoarea unui unghi este locul punctelor situate la egala distanta de laturile unui triunghi.

Teorema. Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente. Punctul de intersectie al bisectoarelor este situat la distanta egala de laturile triunghiului se noteaza cu I. Punctul de concurenta al bisectoarelor se numeste centrul cercului inscris.

Centrul inscris in triunghi este cercul care este tangent la laturile triunghiului, adica are in comun un singur punct cu fiecare latura a triunghiului.

cum arata bisectoarele intr-un triunghi
Observati ca AA’, BB’ si CC’ sunt bisectoare in triunghiul ABC, adica
– AA’ bisctoarea unghiului \widehat{BAC}
– BB’ bisctoarea unghiului \widehat{ABC}
– CC’ bisctoarea unghiului \widehat{ACB}
Iar punctul de intersectie il notam cu I, numit centrul cercului inscris.
cum se noteaza punctul de intersectie al bisectoarelor
Aplicatii:

In triunghiul \Delta ABC avem: D\in(BC), E\in(AC), F\in(AB) astfel incat AD\perp BC, \widehat{ABE}\equiv\widehat{CBE}, \widehat{ACF}\equiv\widehat{BCF}, BE\cap CF\cap AD=\left\{I\right\}. Aratati ca [AB]\equiv[AC]
Demonstratie:

Observam ca [BE si [CF sunt bisectoarele unghiurilor \widehat{ABC}, \widehat{ACB} dar si BE\cap CF\cap AD=\left\{I\right\}, atunci obtinem si ca [AD este bisectoarea unghiului \widehat{BAC}, adica obtinem ca:
\widehat{BAD}\equiv\widehat{CAD}
Astfel consideram triunghiurile: \Delta BAD si \Delta CAD
unde am gasit ca:

\widehat{BAD}\equiv\widehat{CAD}
[AD]\equiv[AD] (latura comuna)
Dar si \widehat{BDA}\equiv\widehat{CDA} (deoarece AD\perp BC, adica formeaza un unghi de 90^{0})
Si cu cazul de congruneta U.L.U, obtinem ca \Delta BAD\equiv\Delta CAD, de unde obtinem si ca [AB]\equiv[AC] ceea ce trebuia sa demonstram.

bisectoarea unui unghi intr-un triunghi

Mediana in triunghi Concurenta medianelor unui triunghi

Liniile importante in triunghi joaca un rol crucial in rezolvarea problemelor, astfel intr-un triunghi liniile importante sunt: mediana, mediatoarea,bisectoarea si inaltimea,  ,dar si mediana

Astfel, astazi, discutam despre mediana si incepem prin a defini notiunea de mediana:

Definitie: Segmentul care uneste un varf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse se numeste mediana.

cum definim mediana intr-un triunghi
Trebuie sa stim ca intr-un triunghi putem sa ducem trei mediane.
Daca construiti toate cele trei mediane intr-un triunghi o sa observati ca medianele sunt concurente, iar punctul lor de intersectie se noteaza cu G, numit centru de greutate al triunghiului.
cum sunt medianele intr-un triunghi
Deci e important sa retinem urmatoarea teorema :

Teorema. Medianele unui triunghi sunt concurente, iar punctul de intersectie se noteaza cu G, numit centru de greutate al triunghiului, fiind situat la doua treimi fata de varf si o treime fata de baza.

Astfel avem: \Delta ABC si avem AM\cap BN\cap CP=\left\{G\right\}, adica sunt concurente si punctul de intersectie se noteaza cu G.
Si mai stim si ca:
AG=\frac{2}{3}\cdot AM
BG=\frac{2}{3}\cdot BN
CG=\frac{2}{3}\cdot CP
Atentie intr-un triunghi oarecare medianele sunt concurente, dar nu si congruente (adica nu au aceiasi lungime)

Mai stimisi ca:
GM=\frac{1}{3}\cdot AM
GN=\frac{1}{3}\cdot BN
GP=\frac{1}{3}\cdot CP

Aplicatii:
1. Fie \Delta ABC, in care avem [AB]\equiv[AC], iar [BM], [CP] mediane. Aratati ca [BM]\equiv[CP].
Astfel avem in ipoteza
Ipoteza: \Delta ABC

[AB]\equiv[AC]
[BM], [CP] mediane.

Concluzie
[BM]\equiv[CP]].
Demonstratie:
medianele intr-un triunghi isoscel
Astfel consideram triunghiurile:
\Delta ABM si \Delta ACP, in care stim ca
[AB]\equiv[AC] (din ipoteza, deoarece triunghiul ABC isoscel)
[AM]\equiv[AP](cum [AB]\equiv [AC], obtinem ceea ce am spus)
Dar si \widehat{BAM}\equiv\widehat{CAP}

Deci cu cazul de congruneta L.U.L, obtinem ca \Delta ABM\equiv\Delta ACP si astfel obtinem si ca [BM]\equiv [CP].

Deci trebuie sa remarcam ca medianele corespunzatoare laturilor congruente intr-un triunghi isoscel sunt congruente.

Nu acelasi lucru putem sa-l spunem si despre mediana corespunzatoare bazei intr-un triunghi isoscel.

Exercitii rezolvate cu sume de fractii

Prezentam cateva exercitii rezolvate cu sume de fractii, mai complicate se pare, dat fiind faptul ca sunt trimise de vizitatorii MatePedia.

1) Calculati: 400 supra 81 minus 399 supra 81 plus 398 supra 81 minus 397 supra 81 plus…. 2 supra 81 minus 1 supra 81. Adica s-ar scrie cam asa …

\frac{400}{81}-\frac{399}{81}+\frac{398}{81}-\frac{397}{81}+....+\frac{2}{81}-\frac{1}{81}=  \left(\frac{400}{81}-\frac{399}{81}\right)+\left(\frac{398}{81}-\frac{397}{81}\right)+....+\left(\frac{2}{81}-\frac{1}{81}\right)=\frac{400-399}{81}+\frac{398-397}{81}+...+\frac{2-1}{81}=

\frac{1}{81}+\frac{1}{81}+...+\frac{1}{81}=

\frac{1+1+...+1}{81}=

\frac{200\cdot 1}{81}=\frac{200}{81}

Observati ca pentru a calcula suma de mai sus am grupat termenii sumei cate 2 pentru a efectua diferenta, unde am obtinut o suma in care numaratorul este 1. Acum trebuie sa stabilim de cate ori apare termenul 1 si astfel efectuam impartirea > 400:2=200 (deoarece termenii de mai sus i-am grupat cate 2) si astfel am obtinut rezultatul de mai sus.

2) Pentru ce numa n\in N, avem

\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}=\frac{2010}{2011}

Pentru a calcula membrul drept rescriem suma \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{4\cdot 5}+...+\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}

Observati ca termenii de mai sus s-au redus ramanand doar primul termen si ultimul, astfel egalitatea de mai sus devine: ^{\left(n+1\right)}1-\frac{1}{n+1}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow \frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow \frac{n+1-1}{n+1}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow \frac{n}{n+1}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow 2010\left(n+1\right)=2011\cdot n\Rightarrow 2010\cdot n+2010=2011\cdot n\Rightarrow2011\cdot n -2010\cdot n=2010\Rightarrow n=2010

Deci numarul natural gasit este 2010.

3) Rezolvati ecuatia:

\frac{x-6}{2008}+\frac{x-2}{2012}=\frac{x-2008}{6}+\frac{x-2012}{2}

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus de preferat ar fi sa nu ne gandim sa gasim numitorul comun, sa amplificam si sa calculam cum am invatat, caci este o munca destul de grea si anevoioasa, astfel mai intai ar trebui sa ne gandim cum sa scriem fiecare numarator, astfel incat sa putem simplifica anumiti termeni. Astfel ecuatia rescriind-o obtinem: \frac{x-6}{2008}+\frac{x-2}{2012}=\frac{x-2008}{6}+\frac{x-2012}{2}\Rightarrow \frac{x-2014+2008}{2008}+\frac{x-2014+2012}{2012}=\frac{x-2014+6}{6}+\frac{x-2014+2}{2}\Rightarrow

Acum scriind suma de la numarator ca doua fractii obtinem urmatoarele fractii:

\frac{x-2014}{2008}+\frac{2008}{2008}+\frac{x-2014}{2012}+\frac{2012}{2012}=\frac{x-2014}{6}+\frac{6}{6}+\frac{x-2014}{2}+\frac{2}{2}\Rightarrow

Acum simplificand fiecare fractie obtinuta mai sus, obtinem:

\frac{x-2014}{2008}+\frac{1}{1}+\frac{x-2014}{2012}+\frac{1}{1}=\frac{x-2014}{6}+\frac{1}{1}+\frac{x-2014}{2}+\frac{1}{1}\Rightarrow

Observati ca cifra 1 se reduce, aparand atat in membrul stang cat si in membrul drept de 2 ori  si astfel se reduc: \frac{x-2014}{2008}+\frac{x-2014}{2012}=\frac{x-2014}{6}+\frac{x-2014}{2}\Rightarrow \frac{x-2014}{2008}+\frac{x-2014}{2012}-\frac{x-2014}{6}-\frac{x-2014}{2}=0\Rightarrow \left(x-2014\right)\cdot\left(\frac{1}{2008}+\frac{1}{2012}-\frac{1}{6}-\frac{1}{2}\right)=0

Observam ca \frac{1}{2008}+\frac{1}{2012}<\frac{1}{6}+\frac{1}{2}

Si obtinem x-2014=0\Rightarrow x=2014

4) Simplificati fractia: \frac{2+\left(2^{2013}+2^{2012}+2^{2011}+...+2\right)}{4^{1008}}

Mai intai calculam suma, dar putem sa o si rescriem astfel: 2^{2013}+2^{2012}+2^{2011}+...+2, folosind formula S_{n}=b_{1}\cdot \frac{q^{n}-1}{q-1}

Pentru cei care sunteti in calsa a IX stiti ca teremenii acestei sume sunt termenii unei progresii geometrice cu ratia: q=\frac{2^{2013}}{2^{2012}}=2, adica formula q=\frac{b_{n+1}}{b{n}}

Pentru cei din gimnaziu trebuie sa retineti formula de mai sus. Si  stim ca primul termen il notam cu b_{1}=2, iar q il obtinem observand la putere din cat in cat sunt termenii, iar baza se pastreaza. Observam ca mai sus avem puterile: 2013, 2012, 2011,....,1, 0

Astfel daca efectuam scaderea intre primii doi termeni obtinem 2013-2012=1 si baza pastrandu- se obtinem q=2^{1}=2

Astfel suma devine: S=2\cdot\frac{2^{2013}-1}{2-1}=2\cdot\frac{2^{2013}-1}{1}=2\cdot 2^{2013}-2\cdot 1

=2^{2014}-2

Iar fractia devine: \frac{2+2^{2014}-2}{4^{1008}}=\frac{2^{2014}}{\left(2^{2}\right)^{1008}}=\frac{2^{2014}}{2^{2\cdot 1008}}=\frac{2^{2014}}{2^{2016}}^{(2^{2014}}=\frac{2^{2014}:2^{2014}}{2^{2016}:2^{2014}}=\frac{2^{2014-2014}}{2^{2016-2014}}=\frac{2^{0}}{2^{2}}=\frac{1}{4}.

Observati ca mai sus numitorul l-am rescris astfel pentru a putea simplifica fractiile: 4^{1008}=\left(2^{2}\right)^{1008}=2^{2\cdot 1008}=2^{2016}, adica am folosit regulile de calcul cu puteri.

Iar la numaratori observati ca doi termeni sau redus.

Si astfel am obtinut rezultatul de mai sus.

Asadar este important ca la acest gen de exercitii sa ne uitam cu atentie inainte de a incepe sa le rezolvam si sa studiem toate posibilitatile pe care le avem, astfel incat sa o alegem pe cea mai corecta si cea mai usoara.

Metoda triughiurilor congruente

In majoritatea problemelor de geometrie trebuie sa demonstram ca doua segmente sunt congruente sau doua unghiuri sunt congruente.

In rezolvarea unei astfel de probleme se poate utiliza metoda triunghiurilor congruente care consta in parcurgerea  urmatoarelor etape:

– sa identificam doua triunghiuri care contin cele doua elemente care trebuie demonstrate ca sunt congruente, in pozitii corespunzatoare, si a caror congruenta poate fi aratata cu criteriile de congruenta

– aratam ca cele doua triunghiuri sunt congruente

– si cu definitia triunghiurilor congruente obtinem congruenta celor doua elemente.

Acum sa ne reamintim criteriile de congruenta:

Cazul L.U.L

Daca doua triunghiuri au cate doua  laturi respectiv congruente si unghiurile format de aceste laturi congruente, atunci triunghiurile sunt congruente.

Cazul U.L.U

Daca doua triunghiuri au cate o latura si unghiurile alaturate acestei baze respectiv congrunete, atunci triunghiurile sunt congruente.

Cazul L.L.L

Daca doua triunghiuri au laturile respectiv congruente, atunci triunghiurile sunt congruente.

Cu ajutorul acestor criterii de congruenta, pentru a  verifica congruenta celor doua triunghiuri  nu mai este nevoie sa verificam toate cele 6 perechi de elemente corespunzatoare asa cum ne cere definitia, ci doar a trei dintre acestea corespunzatoare unuia dintre cele trei criterii.

Observatii.

1. Cand folosim metoda triunghiurilor congruente trebuie sa tinem cont de informatiile pe care ni le furnizeaza enuntul problemei, informatiile obtinute din figura corespunzatoare, dar si de elementele teoretice pe care le cunoastem.

2. In cazul problemelor mai simple, cele trei  informatii pe care trebuie sa le utilizam in cazul de congruenta, sunt furnizate cu usurinta chiar din ipoteza problemei.

3. In cazul unei probleme mai dificile, in majoritatea timplului, sunt necesare demonstratii pregatitoare pe care le folosim cand aratam congruenta celor doua triunghiuri, asadar metoda triunghiurilor congruente poate fi folosita de mai multe ori intr-o problema.

Aplicatii:

1. Fie  ABC si DEF doua triunghiuri in care AB=4 cm m\left(\widehat{ABC}\right)=50^{0}, BC=\frac{3}{2}\cdot AB, EF=6 cm, m\left(\widehat{DEF}\right)=50^{0} si DE=\frac{2}{3}\cdot EF. aratati ca [AC]\equiv [DF], \widehat{BAC}\equiv\widehat{EDF} si \widehat{ACB}\equiv\widehat{DFE}

Astfel avem:

Ipoteza: \Delta ABC, \Delta DEF

AB=4 cm m\left(\widehat{ABC}\right)=50^{0}, BC=\frac{3}{2}\cdot AB, EF=6 cm, m\left(\widehat{DEF}\right)=50^{0}

DE=\frac{2}{3}\cdot EF

Concluzie: [AC]\equiv [DF], \widehat{BAC}\equiv\widehat{EDF}

\widehat{ACB}\equiv\widehat{DFE}

Demonstratie:

Stim BC=\frac{3}{2}\cdot AB=\frac{3}{2}\cdot 4=\frac{3\cdot 4}{2}=\frac{12}{2}=6\;\; cm

Dar si DE=\frac{2}{3}\cdot EF=\frac{2}{3}\cdot 6=\frac{2\cdot 6}{3}=\frac{12}{3}=4\;\; cm.

cum demonstram congruneta triunghiurilor

Stim in ipoteza ca AB=4=DE, adica [AB]\equiv [DE]

Dar stim si ca

BC=6=EF, adica [BC]\equiv [EF]

Dar mai stim si din ipoteza ca m\left(\widehat{ABC}\right)=50^{0}=m\left(\widehat{DEF}\right), adica \widehat{ABC}\equiv\widehat{DEF}

Observati ca am obtinut doua laturi respectiv congruente, dar si unghiul format de aceste laturile sunt congruente.

Deci cu cazul de congruenta L.U.L \Delta ABC\equiv\Delta DEF

De unde obtine si ca [AC]\equiv [DF]

Dar si \widehat{BAC}\equiv\widehat{EDF}

Mai mult din \Delta ABC\equiv\Delta DEF\Rightarrow \widehat{ACB}\equiv\widehat{DFE}

2.  Se dau \Delta ABC\equiv\Delta DEF. Bisectoarele unghiurilor \widehat{B} si \widehat{C} se intersecteaza in M, iar bisectoarele unghiurilor \widehat{E} si \widehat{F} se intersecteaza in N. Aratati ca \widehat{BMC}\equiv\widehat{EFN}

Astfel in ipoteza avem: \Delta ABC\equiv\Delta DEF

Bisectoarele unghiurilor \widehat{B} si \widehat{C} se intersecteaza in M

Bisectoarele unghiurilor \widehat{E} si \widehat{F} se intersecteaza in N.

Concluzie: \widehat{BMC}\equiv\widehat{EFN}

Demonstratie:

Stim in ipoteza ca \Delta ABC\equiv\Delta DEF

Dar mai stim si ca:

Bisectoarele unghiurilor B si C se intersecteaza  in punctul M

Stim ca bisectoarea unui unghi imparte unghiul dat in doua unghiuri congruente

Adica bisectoarea unghiului B, imparte unghiul B in doua unghiuri congruente, adica m\left(\widehat{B_{1}}\right)=m\left(\widehat{B_{2}}\right)=\frac{m\left(\widehat{B}\right)}{2}

La fel procedam la toate unghiurile.

Mai stim din ipoteza ca \widehat{ABC}\equiv\widehat{DEF}, mai mult \widehat{MB_{2}C_{2}}\equiv\widehat{NE_{2}F_{2}}

Dar si \widehat{ACB}\equiv\widehat{DFE}, mai mult cu definitia bisectoarei obtinem \widehat{MC_{2}B}\equiv\widehat{NF_{2}E_{2}}

Tot din faptul ca \Delta ABC\equiv\Delta DEF stim si ca [BC]\equiv [EF]bisectoarea unui unghi

Astfel cu cazul de congruenta U.L.U, obtinem ca \Delta BMC\equiv\Delta ENF, de unde obtinem ca \widehat{BMC}\equiv\widehat{ENF}

Asadar astfel se aplica metoda triunghiurilor congruente.

 

Probleme rezolvate cu unghiuri Cum transformam fractiile zecimale in fractii ordinare

In acest articol prezentam un exercitiu de algebra de calasa a VI- a prin care ne reamintim cum transformam o fractie zecimala in fractie ordinara, cat si notiunea de fractie ireductibila, dar si o problema rezolvata de geometrie cu unghiuri.

1. Scrie ca fractie ordinara ireductibila :
A) 1,16 egal ……..
B) 1,15 egal ………
C) 1,00016 egal………
Soluite:
Mai intai transformam fractiile zecimale in fractii ordinare si apoi simplificam.
Observam ca avem doar fractii zecimale finitie

Astfel obtinem:
A) 1,16=\frac{116}{100}^{(4}=\frac{116:4}{100:4}=\frac{29}{25}
Cum 29 si 25 sunt prime intre ele obtinem ca fractia de mai sus este ireductibila.

B) \frac{115}{100}^{(5}=\frac{115:5}{100:5}=\frac{23}{20}
Si la fel ca mai sus numerele 23 si 20 fiind prime intre ele rezulta ca fractia este ireductibila, adica (23, 20)=1

C) 1,00016=\frac{100016}{100000}^{(4}=\frac{25004}{25000}^{(4}=\frac{25004:4}{25000:4}=\frac{6251}{6250}

Observam ca mai intai am transformat fractia zecimala in fractie ordinara pentru cei care nu va mai remaintiti click aici.

Mai intai am simplificat fractia ordinara prin 4, apoi iar printr-un 4 si astfel am obtinut la numarator numarul 6251 si la numitor numarul 6250, astfel daca descompunem fiecare numar in parte obtinem ca:
cum descompunem numerele in produs de factori primi
Astfel obtinem 6251=7\cdot 19\cdot 47\cdot 1
Dar si 6250=2\cdot 5^{5}\cdot 1
Iar cel mai mare divizor comun al numerelor este:
(6251,6250)=1, adica numerele sunt prime intre ele, la cel mai mare divizor comun al numerelor luam factorii comuni o singura data la puterea cea mai mica.

Deci important sa stim sa transformam fractiile  zecimale in fractii ordinare, dar si sa cunoastem notiunea de simplificare, adica a simplifica inseamna a imparti atat numitorul cat si numaratorul la acelasi numar, iar o fractie se numeste ireductibila daca cel mai mare divizor comun  a numitorului si numaratorului este 1, adica numerele sunt prime intre ele.

 Problema :Se considera doua drepte a si b concurente in O.Calculati masura fiecarui unghi cu varful in O stiind ca:

a)suma masurilor a doua dintre unghiuri este 108°;
b)suma masurilor a trei dintre unghiuri este 208°
Solutie:
cum arata unghiurile opue la varf
Stim ca suma masurilor a doua dintre unghiuri este de 108^{0}
Daca unghiurile ar fi opuse la varf am avea m\left(\widehat{O_{1}}\right)+m\left(\widehat{O_{3}}\right)=108^{0}

Dar stim ca unghiurile opuse la varf sunt congruente, adica m\left(\widehat{O_{1}}\right)=m\left(\widehat{O_{3}}\right)
Si obtinem: 2m\left(\widehat{O_{1}}\right)=108^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{O_{1}}\right)=108^{0}:2=54^{0}=m\left(\widehat{O_{3}}\right) iar m\left(\widehat{O_{2}}\right)=180^{0}-54^{0}=126^{0}=m\left(\widehat{O_{4}}\right)

Am folosit faptul ca m\left(\widehat{O_{2}}\right)+m\left(\widehat{O_{1}}\right)=180^{0}, iar unghiurile \widehat{O_{2}}, \widehat{O_{4}} sunt unghiuri opuse la varf.
cum aflam masura unghiurilor opuse la varf
b) suma masurilor a trei dintre unghiuri este 208°
Astfel avem ca: m\left(\widehat{O_{1}}\right)+m\left(\widehat{O_{2}}\right)+m\left(\widehat{O_{3}}\right)=208^{0}

Cum unghiurile O_{1} si o_{2} sunt situate pe aceiasi dreapta b  stim ca
m\left(\widehat{O_{1}}\right)+m\left(\widehat{O_{2}}\right)=180^{0}
Iar din relatia de mai sus obtinem 180^{0}+m\left(\widehat{O_{3}}\right)=208^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{O_{3}}\right)=208^{0}-180^{0}=28^{0}
Dar observam ca unghiurile O_{1} si O_{3} sunt opuse la varf adica congruente
Astfel obtinem 28^{0}+m\left(\widehat{O_{2}}\right)+28^{0}=208^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{O_{2}}\right)=208^{0}-56^{0}=152^{0}

Si cum unghiurile O_{4} si O_{2} sunt opuse la varf obtinem si ca
m\left(\widehat{O_{4}}\right)=152^{0}

Asadar e foarte important sa cunoastem notiunile referitoare la unghiuri, adica unghiuri opuse la varf, cum arata un unghi alungit si ce masura are acesta.