Exercitii rezolvate cu divizibilitate

Prezentam doua exercitii rezolvate cu divizibilitatea numerelor naturale

1. Sa se afle numerele naturale a si b, stiind ca sunt indeplinite relatiile:
a-b= 156 si (a,b)=13
Solutie:
Ca sa aflam numerele a si b, trebuie sa tinem cont de conditiile de mai sus. Adica
a-b=156 dar si (a, b)=13
Dar, sigur a>b cum cel mai mare divizor comun a celor doua numere este 13, adica 13|a, de unde conform definitiei divizibilitatii, rezulta ca exista un numar natural c astfel incat a=13\cdot c
si 13|b, de unde la fel conforma definitiei divizibilitatii numerelor naturale ca exista un numar natural t, astfel incat b=13\cdot t

Astfel diferenta devine:

a-b=156\Rightarrow 13\cdot c-13\cdot t=156\Rightarrow 13\left(c-t\right)=156, cu c>t
Si obtinem c-t=156:13\Rightarrow c-t=12
Deci diferenta dintre c si t este 12, dar si c>t, ca sa aiba loc sens diferenta.
Pentru t=1, obtinem c-1=12\Rightarrow c=12+1\Rightarrow c=13
Si obtinem a=13\cdot c=13\cdot 13=169 si b=13\cdot 1=13
Pentru t=2, obtinem c-2=12\Rightarrow c=14
Si obtinem a=13\cdot c=13\cdot 14=
Si b=13\cdot 2

Si am obtine ca cel mai mare divizor comun al numerelor este 26 si nu satisface cea de-a doua conditie, deci nu convine.
Pentru t=3, obtinem c-3=12\Rightarrow c=15
Si a=13\cdot 15=
Dar si b=13\cdot 3
si la fel obtinem ca cel mai mare divizor comun al numerelor este 39 ceea ce nu convine
…………..

Pentru t=5, obtinem c-5=12\Rightarrow c=17
Si obtinem a=13\cdot c=13\cdot 17=221
Si b=13\cdot t=13\cdot 5=65, ceea ce satisface conditia de mai sus.
………………………

Pentru t=7, obtinem c-7=12\Rightarrow c=19
Si obtinem a=13\cdot 19=247
Si b=13\cdot 7=91, pentru care se verifica conditiile de mai sus.

Pentru t=11, obtinem c-11=12\Rightarrow c=23
Obtinem a=13\cdot 23=299
Si b=13\cdot t=13\cdot 11=143, de unde se verifica conditiile de mai sus.
Pentru t=13, obtinem c-13=12\Rightarrow c=12+13\Rightarrow c=25
Iar numerele gasite sunt a=13\cdot 25=325
Si b=13\cdot t=13\cdot 13=169
Astfel stim ca c=12+t
Pentru t=17, obtinem c=12+17=29
Si obtinem a=13\cdot 29=377 si b=13\cdot 17=221 si asa mai departe.

2. Determinati numerle de forma 73xy(cu bara deasupra) divizible cu 36 ca numerele de forma 73xy sa fie divizibile cu 36, trebuie sa fie divizibile atat cu 9 cat si cu 4, astfel folosim criteriile de divizibilitate.

Stim ca un numar este divizibil cu 4 daca ultimile doua cifre sunt divizibile cu 4, dar si criteriul de divizibilitate cu 9, adica un numar este divizibil cu 9 daca suma cifrelor este divizibila cu 9, astfel avem:
7+3+x+y=10+x+y
Astfel pentru x=y=4, obtinem \left(10+4+4=18\right)\vdots 9, dar este divizibil si cu 4, deci primul numar gasit este 7344
Pentru x=6 si y=2 obtinem \left(10+6+2\right)=18\vdots 9, dar nu si cu 4.

Si obtinem ca numarul 7362 nu este divizibil cu 36.
Pentri x=8 si y=0, obtinem \left(10+8+0\right)=18\vdots 9
Iar numarul gasit este 7380 care este divizibil si cu 4, deci divizibil cu 36.
Deci numerele gasite sunt 7344 si 7380.

Unghiuri in jurul unui punct

Notiunea de unghi o cunoastem, dar e important sa intelegem si notiunea de unghiuri in jurul unui punct cat si unghiuri opuse la varf.

Trei sau mai multe unghiuri sunt in jurul unui punct daca:
au un varf comun
– oricare doua unghiuri vecine sunt adiacente (adica au interioarele disjuncte)
– oricare punct din plan diferit de varful comun si nesituat pe nici una din laturile acestor unghiuri apartin interiorului unui singur unghi
cand unghiurile sunt in jurul unui punct
Unghiurile \widehat{AOB}, \widehat{BOC}, \widehat{COD}, \widehat{DOA} din figura de mai sus sunt unghiuri in jurul punctului O.
Important e sa stim urmatoarea teorema pentru a rezolva problemele cu unghiuri in jurul unui punct

Teorema: Suma masurii unghiurilor in jurul unui punct este de 360^{0}.

Aplicatii:

1. Unghiurile \widehat{AOB} si \widehat{BOC} sunt adiacente si suplementare, [OX este bisectoarea unghiului \widehat{AOB} si [OY este semidreapta opusa lui [OX. Daca m\left(\widehat{BOX}\right)=60^{0}, aratati ca unghiurile \widehat{BOC} si \widehat{AOY} sunt suplementare.

Demonstratie:

care este suma masurii unghiurilor in jurul unui punct
Stim ca m\left(\widehat{BOX}\right)=60^{0}
Dar stim si ca [OX este bisectoarea unghiului AOB, deci obtinem ca:
m\left(\widehat{AOB}\right)=2\cdot m\left(\widehat{BOX}\right)=2\cdot 60^{0}=120^{0}
Si cum stim ca unghiurile AOB si BOC sunt adiacente si suplementare obtinem ca: m\left(\widehat{AOB}\right)+m\left(\widehat{BOC}\right)=180^{0}\Rightarrow 120^{0}+m\left(\widehat{BOC}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{BOC}\right)=180^{0}-120^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{BOC}\right)=60^{0}
Observam ca: \widehat{AOX}\equiv\widehat{COY}(ca unghiuri opuse la varf)
Deci obtinem ca: m\left(\widehat{AOX}\right)=m\left(\widehat{COY}\right)=60^{0}
Dar mai stim si ca unghiurile AOX, XOB, BOC, COY, YOA sunt unghiuri in jurul unui punct, deci stim ca suma masurii unghiurilor in jurul unui punct este egala cu 360^{0}
Deci avem ca m\left(\widehat{AOX}\right)+m\left(\widehat{XOB}\right)+m\left(\widehat{BOC}\right)+m\left(\widehat{COY}\right)+m\left(\widehat{YOA}\right)=360^{0}\Rightarrow 60^{0}+60^{0}+m\left(\widehat{BOC}\right)+60^{0}+m\left(\widehat{YOA}\right)=360^{0}\Rightarrow 180^{0}+m\left(\widehat{BOC}\right)+m\left(\widehat{YOA}\right)=360^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{BOC}\right)+m\left(\widehat{YOA}\right)=360^{0}-180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{BOC}\right)+m\left(\widehat{YOA}\right)=180^{0}

2. Aflati masurile unghiurilor:
\widehat{AOB}, \widehat{BOC}, \widehat{COA} daca sunt unghiuri in jurul unui punct O, m\left(\widehat{BOC}\right)=3\cdot m\left(\widehat{AOB}\right) si m\left(\widehat{AOB}\right)=m\left(\widehat{COA}\right)-120^{0}
Demonstratie
Stim ca unghiurile sunt in jurul unui punct O astfel avem ca:
m\left(\widehat{AOB}\right)+m\left(\widehat{BOC}\right)+m\left(\widehat{AOC}\right)=360^{0} (1)
Dar cu relatiile de mai sus stim ca m\left(\widehat{BOC}\right)=3\cdot m\left(\widehat{AOB}\right) (2) si

m\left(\widehat{AOB}\right)=m\left(\widehat{COA}\right)-120^{0} (3)
Din relatiile de mai sus obtinem ca m\left(\widehat{BOC}\right)=3\cdot\left(m\left(\widehat{COA}\right)-120^{0}\right)=3m\left(\widehat{COA}\right)-3\cdot 120^{0}=3m\left(\widehat{COA}\right)-360^{0}
Deci din (1) obtinem: m\left(\widehat{COA}\right)-120^{0}+3m\left(\widehat{COA}\right)-360^{0}+m\left(\widehat{COA}\right)=360^{0}\Rightarrow 5\cdot m\left(\widehat{COA}\right)=360^{0}+360^{0}+120^{0}\Rightarrow 5\cdot m\left(\widehat{COA}\right)=840^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{COA}\right)=840^{0}:5\Rightarrow m\left(\widehat{COA}\right)=168^{0}
Acum ca stim masura unghiului \widehat{COA} putem afla masura celorlalte doua unghiuri.
Astfel din (3) avem ca m\left(\widehat{AOB}\right)=m\left(\widehat{COA}\right)-120^{0}=168^{0}-120^{0}=48^{0}
Dar si din (2) obtinem ca: m\left(\widehat{BOC}\right)=3\cdot m\left(\widehat{AOB}\right)=3\cdot 48^{0}=144^{0}

Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de unghi in jurul unui punct, dar si notiunile de unghiuri opuse la varf.

Cum comparam doua numere

Prezentam cateva exercitii in care evidentiem modalitati in care comparam doua numere.

1. Comparati numerele:
a=3^{2000}-3^{1999}-3^{1997} si b=2^{2002}-2^{2001}+2^{1997}.
Solutie:

Ca sa comparam cele doua numere mai intai aducem numerele la forma cea simpla:
Astfel, pentru numarul a dam factor comun numarul 3^{1997}
a=3^{1997}\left(3^{3}-3^{2}-3^{0}\right)

Acum efectuam operatiile in paranteza rotunda, adica ridicarea la putere si scaderea.
a=3^{1997}\left(27-9-1\right)
Si obtinem rezultatul 3^{1997}\cdot 17
Iar in cazul numarului b, dam factor comun numarul 2^{1997}
b=2^{1997}\left(2^{5}-2^{4}+2^{0}\right)

Acum, ca si mai sus, efectuam operatiile din paranteza rotunda, adica ridicarea la putere dar si diferentele b=2^{1997}\left(32-16+1\right)
Si obtinem: 2^{1997}\cdot 17
Deci obtinem numerele: a=3^{1997}\cdot 17 si b=2^{1997}\cdot 17
Acum pentru a compara cele doua numere ne folosim de regulile de comparare a puterilor pe care le-am  invatat.

Astfel  observam ca in ambele numere avem numarul 17 deci acum trebuie sa comparam numerele cu puteri, astfel stim ca  avem acelasi exponent, deci comparam bazele si cum 3>2 obtinem si ca a>b.

b) a=5\sqrt{2} si b=4\sqrt{3}

Observam ca avem doua numere irationale, deci pentru a compara cele doua numere introducem mai intai factorii sub radicali si obtinem:

a=5\sqrt{2}=\sqrt{5^{2}\cdot 2}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}

Dar si la b obtinemn b=4\sqrt{3}=\sqrt{4^{2}\cdot 3}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{48}.

Acum comparand numerele de sub radicali obtinem:

50>48, deci obtinem si ca \sqrt{50}>\sqrt{48}\Rightarrow 5\sqrt{2}>4\sqrt{3}

O alta modalitate de comparare a celor doua numere este sa calculam fiecare numar in parte, astfel avem ca:

a=5\sqrt{2}=5\cdot 1,41=7,04

Deoarece stim ca \sqrt{2}\approx 1, 41

Iar b=4\sqrt{3}=4\cdot 1, 73=6,92

Deoarece stim ca \sqrt{3}\approx 1,73

Deci obtinem ca 1,73<6,92, adica obtinem si ca 5\sqrt{2}>4\sqrt{3}\Rightarrow a>b.

c) a=16^{15} cu b=8^{20}

Ca sa comparam cele doua numere folosim regulile de comparare a puterilor astfel pentru a compara cele doua numere, fie aducem numerele la aceiasi baza, fie la acelasi exponent, pentru a le putea compara.

Astfel a=\left(2^{4}\right)^{15}=2^{4\cdot 15}=2^{60}

Observati ca folosim si regulile de calcul cu puteri.

Acum pentru b, incercam sa-l aducem la aceiasi baza ca si numarul a

a=\left(2^{3}\right)^{20}=2^{3\cdot 20}=2^{60}

Astfel, cum avem si aceiasi baza si acelasi exponent, obtinem ca cele doua numere sunt egale, adica a=b.

Exercitii rezolvate cu fractii zecimale si fractii ordinare

Prezentam cateva exercitii pe care le rezolvam cu ajutorul fractiilor zecimale si fractiilor ordinare

1. Scrieti 3 numere zecimale cuprinse intre 14,23 si 15,431.

Solutie:

Stim ca numerele zecimale, sau cum mai sunt numite si fractii zecimale, sunt cele cu virgula, deci in cazul acestui exercitiu trebuie sa scriem trei numere zecimale care sa fie mai mari decat 14,24 si mai mici decat 15,431, astfel  numerele zecimale  mai mari decat 14,23 si mai mici decat 15,431 sunt  14,25; 14,57; 15,428.

2. Stiind ca x+4\cdot y+2\cdot z=13  si 3\cdot x+2\cdot z=11, determinati x+y+z.

Ca sa aflam x+y+z trebuie sa ne folosim de cele doua relatii de mai sus

Astfel prima relatia de mai sus putem sa o scriem 4x-3x+4y+4z-2z pentru a ne putea folosi de relatia de mai sus, astfel daca comutam termenii intre ei obtinem:

4x+4y+4x-3x-2z=13\Rightarrow 4x+4y+4z-\left(3x+2z\right)=13

Dar cum stim din cea de-a doua relatie ca 3x+2z=11

Prima relatie devine 4x+4y+4z-11=13\Rightarrow 4x+4y+4z=13+11\Rightarrow 4x+4y+4z=24

Acum, daca in ultima relatie dam factor comun cifra 4 relatia devine 4\left(x+y+z\right)=24\Rightarrow x+y+z=24:4\Rightarrow x+y+z=6

Si astfel am obtinut ca suma x+y+z=6

Observati ca pentru a rezolva exercitiile de forma celor de mai sus trebuie sa ne folosim de ceea ce ne da exercitiul.

3. Calculati:

\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2} +\left(-\frac{5}{6}\right)-\frac{1}{3}

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus trebuie sa tinem cont de ordinea efectuarii operatiilor, astfel mai intai efectuam operatia de inmultire:

\frac{3}{4}-\frac{1\cdot 1}{4\cdot 2}+\left(-\frac{5}{6}\right)-\frac{1}{3}=\frac{3}{4}-\frac{1}{8}+\left(-\frac{5}{6}\right)-\frac{1}{3}=

Acum pentru a efectua calculele, mai intai aducem la acelasi numitor \frac{6\cdot 3}{24}-\frac{3\cdot 1}{24}+\left(-\frac{4\cdot 5}{24}\right)-\frac{8\cdot 1}{24}=    \frac{18}{24}-\frac{3}{24}+\left(-\frac{20}{24}\right)-\frac{1}{24}=\frac{18-3+\left(-20\right)-1}{24}=\frac{-6}{24}^{(6}=\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}

Exercitii rezolvate cu factorul comun

Prezentam exercitii pe care le rezolvam dand factorul comun, dar si folosind regulile de calcul cu puteri, cat si proprietatile relatiei de divizibilitate.

1. Calculati suma 8+16+24+32___+4000

Daca dam factor comun numarul 8 suma devine:

8+16+24+32+...+4000=8\left(1+2+3+4+...+500\right)

Acum ca sa calculam suma 1+2+3+…+500

Folosim formula 1+2+3+...+n=\frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}

Deci in cazul sumei noastre avem: 1+2+3+4+...+500=\frac{500\cdot\left(500+1\right)}{2}=250\cdot 501=125250

Dar avem de calculat 8\cdot\left(1+2+3+4+...+500\right)=8\cdot 12520=1002000

2. Aflati x, daca 2a+b=5 si 4ax+2bx+2=22

Ca sa aflam x in relatia a doua dam factor comun pe x , dar si pe 2x si obtinem:

4ax+2bx+2=22\Rightarrow 4ax+2bx=22-2\Rightarrow 4ax+2bx=20\Rightarrow 2x\left(2a+b\right)=20\Rightarrow 2x\cdot 5=20\Rightarrow 10x=20\Rightarrow x=20:10\Rightarrow x=2

3. Aratati ca numarul A=2^{n}\cdot 3^{n}\cdot 5^{n}+2^{n}\cdot 15^{n}\cdot 4+3^{n}\cdot 10^{n}\cdot 2\vdots 17, pentru orice n numar natural

Ca sa aratam ca numarul este divizibil cu 17 folosim regulile de calcul cu puteri, adica stim ca a^{n}\cdot b^{n}=\left(a\cdot b\right)^{n}

Astfeln A=\left(2\cdot 3\cdot 5\right)^{n}+\left(2\cdot 15\right)^{n}\cdot 14+\left(3\cdot 10\right)^{n}\cdot 2

Acum efectuam produsul in parantezele pe care le avem mai sus:

A=30^{n}\cdot 1+30^{n}\cdot 14+30^{n}\cdot 2

Acum daca dam factor comun numarul 30^{n}

Si obtinem: A=30^{n}\left(1+14+2\right)=30^{n}\cdot 17\vdots 17

Si obtinem ca este divizibila cu 17, deoarece cu ajutorul proprietatilor de la divizibilitate stim ca:

Daca b|a si m\in N, atunci b|m\cdot a (daca b divide a, atunci b divide orice multiplu al lui a)

Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de factor comun, dar si proprietatile relatiei de divizibilitate.

Exercitii rezolvate cu criteriile de divizibilitatii

Prezentam trei exercitii care se rezolva cu ajutorul criteriilor de divizibilitate.
1. Cate nr de trei cifre avand ultima cifra egala cu 2 sunt divizibile cu 3 .
2. Cate nr de forma 2ab sunt divizibile cu 5.
3. Cate nr de forma ab6c sunt divizibile cu 2 dar cu 5 ?
Solutie:

1. Stim ca numerele de forma \bar{abc} trebuie sa fie divizibile cu 3, dar cum stim ca ultima cifra este egala cu 2, numarul devine: \bar{ab2}
Iar daca folosim criteriul de divizibilitate cu 3 stim ca un numar este divizibil cu trei daca suma cifrelor este divizibila la trei.
Astfel numarul devine: \left(a+b+2\right)\vdots 3
Cum a nu poate sa fie 0, luam pentru inceput a=1
si obtinem \left(1+b+2\right)\vdots 3\Rightarrow \left(3+b\right)\vdots 3
Astfel daca luam b=0, obtinem \left(3+0\right)\vdots 3
Deci primul numar care l-am gasit este 102
Acum daca luam b=3, obtinem numarul 132 care este divizibil cu 3
Daca luam b=6, obtinem numarul 162, care la fel este divizibil cu 3
Daca luam b=9, obtinem numarul 192, care la fel este divizibil cu 3.
Dar acum putem lua si a=2 si numarul devine \left(2+b+2\right)\vdots 3\Rightarrow \left(4+b\right)\vdots 2
Deci pentru b=2, numarul devine 222, care la fel este divizibil cu trei, deoarece \left(4+2\right)\vdots 3\Rightarrow 6\vdots 3
Pentru b=5, numarul devine 252, care este divizibil cu 3
Pentru b=8, numarul devine 282, care este divizibil cu 3 si am terminat cu a=2, deoarece daca mai incercam sa gasim un numar divizibil cu 3, pentru b trebuie sa luam o cifra si nu un numar.
Pentru a=2, numarul devine \bar{3b2} si ca sa fie divizibil cu trei suma cifrelor trebuie sa fie divizibila cu trei \left(3+b+2\right)\vdots 3\Rightarrow\left(5+b\right)\vdots 3

Astfel daca luam b=4, numarul devine 342, care este divizibil cu trei
Daca luam b=7, numarul devine 372, care este divizibil cu 3
Si astfel am terminat si pentru a=3
Acum pentru a=4, numarul devine \bar{4b2}\vdots 3\Rightarrow \left(6+b\right)\vdots 3
Pentru b=3, obtinem numarul 432, care este divizibil cu 3
Pentru b=9, obtinem numarul 492, care este divizibil cu 3 si astfel am terminat si pentru a=4 si b=9
Acum pentru a=5, numarul devine \bar{5b2}\vdots 3\Rightarrow \left(7+b\right)\vdots 3
Deci pentru b=2, numarul devine 522 si este divizbil cu 3
Pentru b=5, numarul devine 552 la fel este divizibil cu 3
Pentru b=8, numarul devine 582, care este divizibil cu 3

Acum pentru a=6, numarul devine \bar{6b2}\vdots 3\Rightarrow \left(8+b\right)\vdots 3
Iar pentru b=1, numarul devine 612, divizibil cu 3
Pentru b=4, numarul devine 642, divizibil cu 3
Pentru b=7, numarul devine 672, divizibil cu 3
Pentru a=7, numarul devine \bar{7b2}\vdots 3\Rightarrow \left(9+b\right)\vdots 3
Pentru b=0, numarul devine 702, divizibil cu 3
Pentru b=3, numarul devine 732, divizibil cu 3
Pentru b=6, numarul devine 762 divizibil cu 3
Pentru b=9, numarul devine 792, divizibil cu 3

Pentru a=8, numarul devine \bar{8b2}\vdots 3\Rightarrow \left(10+b\right)\vdots 3
Pentru b=2, numarul devine 822, divizibil cu 3
Pentru b=5, numarul devine 852 divizibil cu 3
Pentru b=8 , numarul devine 882, divizibil cu 3
si pentru a=9, numarul devine \bar{9b2}\vdots 3\Rightarrow \left(11+b\right)\vdots 3
Pentru b=1, numarul devine 912, divizibil cu 3
Pentru b=4, numarul devine 942, divizibil cu 3
Pentru b=7, numarul devine 972, divizibil cu 3

2. Cate nr de forma 2ab sunt divizibile cu 5.
Ca numerele sa fie divizibile cu 5 folosim criteriul de divizibilitate cu 5, adica ultima cifra trebuie sa fie 0 sau 5, astfel pentru inceput, daca luam b=0 numarul devine
2a0 iar cifra a poate sa fie a\in\left(0,1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\right\}
deci numerele pe care le gasim sunt 200; 210; 220; 230; 240; 250; 260; 270; 280; 290
dar ultima cifra poate sa fie si 5, dupa cum am spus mai sus, astfel numrul devine
2a5, iar numerele divizibile cu 5 sunt:
205; 215; 225; 235; 245; 255; 265; 277; 285; 295.

3. Cate nr de forma ab6c sunt divizibile cu 2, dar cu 5?
Ca sa vedem cate numere sunt divizibile cu 2, folosim criteriu de divizibilitate cu 2, deci c poate sa fie 0 2, 4, 6, 8, iar a poate sa ia valorile 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 si b=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Iar ca sa fie divizibile cu 5 folosim criteriul de divizibilitate cu 5, deci ultima cifra trebuie sa fie 0 sau 5, iar a si b la fel ca mai sus.

Marimi direct proportionale

Dupa ce vi s-au introdus notiunile de raport si proportie, azi o sa discutam despre marimi direct proportionale.

Cum si la ce ne ajuta aceste marimi direct proportionale?

Raspunsul o sa-l  aflam pe parcursul acestui articol, dar mai intai definim notiunea de marime direct proportionala:

Definitie. Doua marimi se numesc direct proportionale, daca depind una de cealalta , astfel incat daca una creste de un numar de ori, atunci si marimea celeilalte creste de acelasi numar de ori.

Exemplu:

1 Kg de fructe costa 2 lei, atunci 2 Kg costa de doua ori mai mult, 3 Kg costa de trei ori mai mult.

Astfel intre cantitati si cost exista o relatie de directa proportionalitate.

1 Kg=2 lei

2 Kg= 4 lei

3 Kg=6 lei

Observati ca cu cat Kg cresc, creste si costul.

Matematic scriem:

Multimea ordonata (a_{1}, a_{2},...a_{n}) este direct proportionala cu multimea (b_{1}, b_{2},...b_{n}) daca si numai daca

\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{p}}{b_{p}}

Valoarea comuna a acestor rapoarte se numeste coeficient de proportionalitate si se noteaza de regula cu k, unde k\neq 0

Aplicatii:

1. Numerele x+y, y+z si z+x sunt direct proportionale cu 3, 4 si 5.

Aflati valoarea raportului \frac{3xy+4yz+5zx}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, unde x, y, z\in Q_{+}

Solutie:

Stim ca numerele x+y, y+z si z+x sunt direct proportionale cu 3, 4 si 5, astfel obtinem:

\frac{x+y}{3}=\frac{y+z}{4}=\frac{z+x}{5}

Iar valorea comuna a acestor rapoarte o notam cu k , astfel obtinem:

\frac{x+y}{3}=k\Rightarrow x+y=3k

\frac{y+z}{4}=k\Rightarrow y+z=4k

\frac{z+x}{5}=k\Rightarrow z+x=5k

Astfel daca adunam cele trei relatii de mai sus obtinem

 

x+y+y+z+z+x=3k+4k+5k\Rightarrow 2x+2y+2z=12k\Rightarrow 2\left(x+y+z\right)=12k\Rightarrow x+y+z=12k:2\Rightarrow x+y+z=6k

Astfel stim ca

x+y=3k, dar si x+y+z=6k, deci obtinem 3k+z=6k\Rightarrow z=6k-3k\Rightarrow z=3k

Dar si

y+z=4k si x+y+z=6k\Rightarrow x+4k=6k\Rightarrow x=6k-4k\Rightarrow x=2k

Si nu in ultimul rand z+x=5k si x+y+z=6k\Rightarrow x+z+y=6k\Rightarrow 5k+y=6k\Rightarrow y=6k-5k\Rightarrow y=k

 

Din ipoteza mai stim ca \frac{3xy+4yz+5zx}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\frac{3\cdot 2k\cdot k+4\cdot k\cdot 3k+5\cdot 3k\cdot 2k}{\left(2k\right)^{2}+k^{2}+\left(3k\right)^{2}}=\frac{6k^{2}+12k^{2}+30k^{2}}{4k^{2}+k^{2}+9k^{2}}=\frac{48k^{2}}{14k^{2}}^{(k^{2}}=\frac{48}{14}^{(2}=\frac{24}{7}

Observati ca la exercitiul de mai sus am folosit pentru inceput definitia pe care am enuntat-o la inceputul articolului, definitia marimilor direct proportionale. Am egalat fiecare raport cu k si asa am aflat cele trei relatii pe care le-am adunat, dupa care am dat factor comun pe 2 si am simplificat, de unde am obtinut ca suma celor trei numere este 6k. Si astfel cu ajutorul acestei relatii am putut afla fiecare numar, dar si valoarea raportului.

Asadar marimile direct proportionale ne ajuta sa gasim mai repede pretul unui produs si nu numai, daca ii dublam sau ii triplam cantitatea, in viata de zi cu zi sa aflam mai repede pretul unei cantitati mai mari la un produs. Observati exemplul pe care l-am dat mai sus.

Astfel este important sa tinem minte ca doua marimi se numesc direct proportionale, daca depind una de cealalta, astfel incat daca una creste atunci si cealalta creste sau daca una scade atunci si cealalta scade.

 

Probleme rezolvate pentru Denisa

Se considera triunghiul ABC si fie D si E simetricele punctelor B si respectiv C fata de A. Aratati ca DE paralel pe BC .

Demonstratie:

cum aratam ca doua drepte sunt paralele

Daca D este simetricul lui B fata de A stim ca \left[BA\right]\equiv\left[AD\right], iar daca

E este simetricul lui C fata de A obtinem de asemenea ca \left[CA\right]\equiv\left[AE\right]

Astfel obtinem ca \Delta ABC\equiv\Delta ADE

Astfel avem ca

\left[AB\right]\equiv\left[AD\right]

\left[AC\right]\equiv\left[AE\right]

Dar mai observam si ca

\widehat{DAE}\equiv\widehat{BAC}

Deci cu cazul de congruenta L.U.L \Delta ABC\equiv\Delta ADE

Deci obtinem si ca:

\widehat{AED}\equiv\widehat{ACB}

Dar si ca

\widehat{ADE}\equiv\widehat{ABC}.

Observam ca drepta EC intersecteaza dreptele  DE si CB in doua puncte distincte diferite, adica in punctele  E si C deci EC este secanta si astfel cu criteriile de paralelism obtinem ca: ED||BC

Unghiul \widehat{DEA}\equiv\widehat{BCA} (ca unghiuri alterene interne)

In triunghiul ABC fie [BE bisectoarea unghiului B ,cu E apartine (AC) ,iar D apartine (AB) astfel incat [BD] congruent cu [DE] . Aratati ca DE paralel pe BC .

Demonstratie

criteriile de paralelism

Observam ca triunghiul BDE este isoscel de baza BD (deoarece din ipoteza avem ca \left[BD\right]\equiv\left[DE\right]), astfel obtinem ca:

\widehat{DBE}\equiv\widehat{DEB}

Dar mai stim si ca BE este bisectoare astfel obtinem ca:

\widehat{DBE}\equiv\widehat{EBC}

De unde rezulta ca si \widehat{DEB}\equiv\widehat{EBC}

Observam ca BE este intersecteaza doua drepte distincte in doua puncte diferite, astfel obtinem ca BE este secanta.

secanta a doua drepte

Si cum unghiul DEB congruent cu unghiul ECB ca perechi de unghiuri alteren interne, obtinem cu ajutorul criteriilor de paralelism ca: DE||BC.