Criterii de paralelism

Criterii de paralelism

Teorema. Daca doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri alterne interne congruente, atunci dreptele sunt paralele.

Criterii de paralelism

Redactarea simbolurilor
\prec 1\equiv \prec 2
\prec 1 si \prec 2 sunt unghiuri alterne interne formatele de dreptele a si b cu secanta s.
Deci a||b.
Mai exista si alte criterii de paralelism care sunt consecinte ale teoremei de mai sus.
Daca, doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri alterne externe congruente, atunci dreptele sunt paralele.
Daca, doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri corespondente congruente, atunci dreptele sunt paralele.
Daca, doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri alterne interne de aceiasi parte a secantei suplementare, atunci dreptele sunt paralele.
Daca, doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri alterne externe de aceiasi parte a secantei suplementare, atunci dreptele sunt paralele.

Problema:

1) Fie triunghiul isoscel ABC, \left[AB\right]\equiv\left[AC\right] in care prelungim inaltimea \left[AD\right], D\in BC, dincolo de D cu segmentul \left[DM\right]\equiv\left[AD\right]. Demonstrati ca:

a) AB|| CM

b) AC||BM

Demonstratie:

relatii de paralelism
Observam ca
\left[BD\right]\equiv\left[CD\right]  \\ \left[AD\right]\equiv\left[MD\right]  \\ \widehat{ADB}\equiv\widehat{MDC}\Rightarrow
\Delta ABD\equiv\Delta MCD
Deci cu cazul L.U.L cele doua triunghiuri sunt congruente.
Astfel stim si ca \widehat{ABD}\equiv\widehat{DCM}
Mai mult \widehat{ABC}\equiv\widehat{BCM} si avand pozitii de unghiuri alteren interne rezulta ca AB||CM.
BC fiind secanta.
b) Observam ca
\left[BD\right]\equiv\left[CD\right]  \\ \left[AD\right]\equiv\left[MD\right]  \\\widehat{ADC}\equiv\widehat{MDB}\Rightarrow  \\ \Delta ACD\equiv\Delta BMC
Deci cu cazul L.U.L cele doua triunghiuri sunt congruente.
Gasim si ca
\widehat{ACD}\equiv\widehat{DBM}
Mai mult
\widehat{ACB}\equiv\widehat{CBM} si avand pozitii de unghiuri alterene interne rezulta ca AC||BM.

Proportii : Proprietatea fundamentala a proportiilor

Astazi o sa discutam despre proportii, proprietatea fundamentala a proportiilor, dar prezentam si  o problema rezolvata care se rezolva cu ajutorul rapoartelor.

Dar mai intai sa ne reamintim definitia raportului:

Definitie: Fiind date doua numere rationale pozitive  a si b, cu b\neq 0, prin raportul lor intelegem numarul rational a:b, notat \frac{a}{b}

Acum definim notiunea de proportie:

Definitie: Egalitatea a doua rapoarte se numeste proportie.

Daca rapoartele \frac{a}{b} si \frac{c}{d}  au aceiasi valoare, ele formeaza proportia \frac{a}{b}=\frac{c}{d}, iar numerele a, b, c, d se numesc termenii proportiei.

Termenii a si d se numesc extremi, iar b si c se numesc mezi.

Exemplu :

\frac{15}{5}=\frac{6}{2} (ambele rapoarte au valoarea 2).

 Proprietatea fundamentala a asemanarii

Teorema. Intr-o proportie produsul  extremilor este egal cu produsul mezilor.

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow a\cdot d=b\cdot c, unde b\neq 0, d\neq 0

Reciproca teoremei .

Daca numerele a,b, c, d verifica relatia a\cdot d=b\cdot c, atunci ele pot fi termenii unei proportii.

Exemplu :

Determinati valoarea lui x din proportiile :

a) \frac{x}{8}=\frac{3}{4}\Rightarrow x=\frac{8\cdot 3}{4}=\frac{24}{4}=6

Deci am gasit ca x=6.

In cazul de mai sus am folosit proprietatea fundamentala a proportiilor.

Observam ca daca inlocuim pe x, obtinem o prportiea

\frac{6}{8}^{(2}=\frac{3}{4}

b) \frac{2x+1}{5}=\frac{7}{8}\Rightarrow \left(2x+1\right)\cdot 8=5\cdot 7\Rightarrow 16x+8=35\Rightarrow 16x=35-8\Rightarrow 16x=27\Rightarrow x=\frac{27}{16}

Acum efectuam proba:

\frac{2\cdot\frac{27}{16}+1}{5}=\frac{\frac{27}{8}+1}{5}=\frac{\frac{27+8\cdot 1}{8}}{5}=\frac{\frac{35}{8}}{5}=\frac{35}{8}\cdot \frac{1}{5}=\frac{7}{8}

Cea ce trebuia sa aratam.

Problema rezolvata

Suma a doua numere este 64 iar raportul lor este \frac{7}{9}.Sa se afle numerele.
Solutie:
Notam cu a si b cele doua numere
Acum formam ecuatiile
a+b=64 (suma a doua numere este 64)
\frac{a}{b}=\frac{7}{9}\Rightarrow a=\frac{7}{9}\cdot b (raportul celor doua numere este \frac{7}{9})
Acum daca inlocuim in prima ecuatie obtinem:
\frac{7}{9}\cdot b+b=64|\cdot 9\Rightarrow 7b+9b=64\cdot 9\Rightarrow 16b=576\Rightarrow b=576:16\Rightarrow b=36
Acum ca stim b putem afla a, astfel avem:
a=\frac{7}{9}\cdot b=\frac{7}{9}\cdot 36^{(9}=\frac{7}{1}\cdot 4=28
Astfel am gasit ca a=28.
Acum efectuam proba:
a+b=64  \\ 28+36=64
Iar raportul celor doua numere este:
\frac{a}{b}=\frac{28}{36}^{(4}=\frac{7}{9}
Deci se verifica.

Unghiuri determinate de doua drepte cu o secanta Drepte paralele

Despre unghiuri am mai discutat si in semestrul anterior, dar acum o sa discutam despre unghiuri  determinate de doua drepte cu o secanta .

Incepem prin a defini notiunea de secanta

Definitie: O dreapta care intersecteaza doua drepte paralele in doua puncte distincte se numeste secanta.

Care este secanta intr-o figura

a\cap d=\left\{M\right\}    \\b\cap d=\left\{N\right\}\Rightarrow d este secanta.

Despre unghiuri interne si unghiuri externe am mai discutat, iar notiunile noi pe care le  introducem acum sunt notiunile de: unghiuri corespondente, unghiuri interne de aceasi parte a secantei, dar si unghiuri externe de aceiasi parte a secantei, in figura alaturata o sa arata si care sunt aceste unghiuri.

Tipuri de unghiuri corespondente, alterne interne, alterne externe

Astfel fata de dreptele date  a si b, unghiurile 4, 3, 5, 6 sunt interne, iar unghiurile 1, 2, 7, 8 sunt externe.

Fata de secanta d unghiurile 1, 4, 5, 8   sunt de aceiasi parte a secantei.

La fel si fata de secanta d unghiurile 2, 3, 6,7  sunt de aceiasi parte a secantei.

Iar fata de secanta d unghiurile 2 si 8, 4 si 6 sunt de o parte si de alta a secantei.

Unghiurile determinate de doua drepte paralele cu o secanta se denumesc astfel:

–  unghiuri alterne externe: 1 si 7 sau 2 si 8

– unghiuri alterne interne: 4 si 6 sau 3 si 5

-unghiri corespondente: 2 si 6 sau 3 si 7 sau 1 si 5 sau 4 si 8.

– unghiuri externe de aceiasi parte a secantei d:1 si 8 sau  2 si 7

–  unghiuri interne de aceiasi parte a secantei d: 3 si 6 sau 4 si 5.

Dupa cum bine stiti si despre dreptele paralele am mai discutat, dar acum o sa mai invatam si anumite criteii de paralelism.

Definitie: Doua drepte se numesc paralele daca nu au niciun punct in comun.

Cand doua drepte sunt paralele?

Matematic scriem:
c||d si citim dreapta d este paralela cu dreapta c.
Problema
1) Dreptele paralele a si b sunt taiate de secanta d in punctele a\cap d=\left\{A\right\} si b\cap d=\left\{B\right\}. Prin mijlocul O a segmentului \left[AB\right] se duce o dreapta oarecare e, care intersecteaza pe a in M si pe b in N. Demonstrati ca:
a) \left[MO\right]\equiv\left[NO\right]
b) \left[MB\right]\equiv\left[NA\right]
Demonstratie

cum folosim unghiurile determinate de o secanta
Observam ca
\widehat{MAO}\equiv\widehat{NBO} (unghiuri alterne interne)
Din ipoteza stim ca
\left[AO\right]\equiv\left[BO\right]
Dar din figura observam ca
\widehat{AOM}\equiv\widehat{BON}(ca unghiuri opuse la varf).
Deci cu cazul de congruenta U.L.U
\Delta AOM\equiv\Delta BON
Si astfel gasim si ca
\left[MO\right]\equiv\left[NO\right]

congruenta triunghiurilor
b)
cum folosim unghiurile alterne interne
Stim din ipoteza ca
\left[AO\right]\equiv\left[OB\right]
Mai stim si ca
\widehat{MOB}\equiv\widehat{AON} (ca unghiuri opuse la varf)

\left[MO\right]\equiv\left[NO\right]
Si cu cazul de congruenta L.U.L
\Delta MOB\equiv\Delta NOA
Cum cele doua triunghiuri sunt congruente gasim si ca
\left[MB\right]\equiv\left[NA\right]
2) Fie triunghiul isoscel ABC cu AB=AC in care prelungim inaltimea \left[AD\right] dincolo de D cu segmentul \left[DM\right]\equiv\left[AD\right]. Demonstrati ca
a) AB||CM
b) AC||BM
.
Demonstratie:
unghiuri taiate de o secanta
a) stim din ipoteza ca
\left[AD\right]\equiv\left[MD\right]
\widehat{ADB}\equiv\widehat{MDC} (ca unghiuri opuse la varf)
Stim ca AD este inaltimea corespunzatoare bazei intr-un triunghi isoscel, deci este si mediana, conform proprietatii Triunghiului isoscel, deci \left[BD\right]\equiv\left[DC\right]
Deci mai stim si ca
\left[BD\right]\equiv\left[DC\right]
Deci cu cazul L.U.L \Delta ABD\equiv\Delta MCD
Deci obtinem din congruenta triunghiurilor ca
\widehat{ABD}\equiv\widehat{MCD}
sau mai mult
\widehat{ABC}\equiv\widehat{BCM} BC, fiind secanta, iar unghiurile au pozitia de alterne interne, conform Teoremei de mai sus rezulta ca AB||CM.
b) Stim din ipoteza ca
\left[AD\right]\equiv\left[DM\right]
\widehat{ADC}\equiv\widehat{BDM} (ca unghiuri opuse la varf)
Dar si din punctul a stim ca
\left[BD\right]\equiv\left[DC\right].
Deci cu cazul de congruenta L.U.L \Delta ACD\equiv\Delta MBD
Deci stim si ca
\widehat{ACD}\equiv\widehat{MBD}, dar mai mult
\widehat{ACB}\equiv\widehat{CBM}, avend pozitia de unghiuri alterne interne, conform teoremei de mai sus AC||MB.

Mediatoarea unui segment Mediatoarele laturilor unui triunghi

Despre mediatoare nu am mai  discutat pana acum, dar trebuie sa stim ca face parte din liniile importante in triunghi alaturi de inaltime, mediana si bisecoare .Dupa cum bine stiti pana acum am invatat inaltimea , iar astazi o sa discutam despre mediatoarea unui segment Mediatoarele laturilor unui triunghi.

Definitie: Mediatoarea unui segemnt  este perpendicularea construita prin mijlocul acestuia.

Care este mediatoarea unui segment?
dreapta d este mediatoarea segmentului \left[AB\right].
Cu simboluri redactam:
d\perp AB  \\AB\cap d=\left\{O\right\}
O este mijlocul segmentului \left[AB\right]\Rightarrow d este mediatoarea segmentului \left[AB\right].
Teorema. Un punct apartien mediatoarei unui segment daca si numai daca este egal departat de capetele segmentului.
Mediatoarele laturilor unui segment
Deoarece stim ca orice triunghi are trei laturi, deducem ca putem duce in orice triunghi trei mediatoare.
Definitie. Mediatoarea unui triunghi este perpendiculara construita prin mijlocul segmentului.

Teorema. Intr-un triunghi mediatoarele sunt concurente, iar punctul de intersectie se noteaza cu O si se numeste centrul cercului circumscris.
unde este situat punctul de intersectie al mediatoarelor intr-un triunghi ascutitunghic
In cazul triunghiului ascutitunghic punctul de intersecti al mediatoarelor, adica centrul cercului circumscris se afla in interiorul triunghiului.
In cazul unui triunghi dreptunghic centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei.
In cazul unui triunghi obtuzunghic centrul cercului circumscris este un punct in exteriorul triunghiului.

Problema:
In triunghiul ABC, dreptunghic in A si m\left(\widehat{B}\right)=30^{0}, iar O este un punct pe ipotenuza BC, astfel incam m\left(\widehat{BAO}\right)=30^{0}. Demonstrati ca \left[BO\right]=\left[CO\right]
Demonstratie
CUM ARATAM CONGRUENTA UNOR SEGMENTE
In triunghiul ABC dreptunghic in A stim casura unghiului B, si putem sa aflam masura unghiului C, astfel avem

 

 

 

m\left(\widehat{A}\right)+m\left(\widehat{B}\right)+m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}\Rightarrow

90^{0}+30^{0}+m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}-120^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{C}\right)=60^{0}
Din ipoteza problemei stim ca m\left(\widehat{BAO}\right)=30^{0}, deci in triunghiul AOB stim ca
m\left(\widehat{BAO}\right)=m\left(\widehat{ABO}\right)=30^{0} si astfel aflam ca masura unghiului
m\left(\widehat{AOB}\right)=120^{0}, deci triunghiul AOB este isoscel.
Adica
\left[AO\right]\equiv\left[BO\right] (*)
Stim ca masura unghiului A este de 90 de grade, dar din ipoteza stim si m \left(\widehat{BAO}\right)=30^{0}, deci putem sa aflam m\left(\widehat{CAO}\right)=m\left(\widehat{A}\right)-m\left(\widehat{BAO}\right)\Rightarrow m\left(\widehat{CAO}\right)=90^{0}-30^{0}=60^{0}, deci
m\left(\widehat{CAO}\right)=60^{0}.
Stim ca si m\left(\widehat{B}\right)=60^{0}, deci gasim ca si
m\left(\widehat{AOC}\right)60^{0}, astfel triunghiul ACO este echilateral.
Avem ca
AO=CO=AC
Adica
\left[AO\right]\equiv\left[CO\right]
Din (*) stim ca
\left[AO\right]\equiv\left[BO\right]
Cu tranzitivitatea gasim ca \left[BO\right]=\left[CO\right]
2) Fie M si N puncte de o parte si de alta a segmentului \left[AB\right]. Se stie ca \left[AM\right]\equiv\left[BM\right] si \left[AN\right]\equiv\left[BN\right], MN\cap AB=\left\{O\right\}. Demonstrati ca MN este mediatoarea segmentului \left[AB\right]
Mediatoarea unui segment
Ca sa aratam ca MN este mediatoarea segmentului \left[AB\right] luam triunghiurile MAN si MBN, astfel
\Delta MAN  \\ \Delta MBN:
\left[MA\right]\equiv\left[MB\right] (din ipoteza)
\left[NA\right]\equiv\left[NB\right](din ipoteza)
\left[MN\right]\equiv\left[MN\right] (din figura)
Deci cu cazul L.L.L \Delta MAN\equiv\Delta MBN.

Deci stim si ca unghiurile sunt congruente:

\widehat{AMN}\equiv\widehat{BMN}

\widehat{MAN}\equiv\widehat{MBN}

\widehat{ANM}\equiv\widehat{BNM}

Dar aratam si ca

\Delta MAO\equiv \Delta MBO:

\left[MA\right]\equiv \left[MB\right](din ipoteza)

\left[MO\right]\equiv\left[MO\right](latura comuna)

\widehat{AMN}\equiv\widehat{BMN}\Rightarrow    \\ \widehat{AMO}\equiv\widehat{BMO}

Deci gasim cu cazul L.U.L ca Delta MAO\equiv\Delta MBO.

Astfel gasim si ca \left[AO\right]=\left[BO\right], deci O este mijlocul segmentului AB.

Am aratat ca MO este mijlocul segmentului \left[AO\right]\equiv\left[BO\right](*).

Acum sa aratam ca MO este perpendiculara segmentului  \left[AO\right]\equiv\left[BO\right].

Stim ca Delta MAO\equiv\Delta MBO, deci

\widehat{MOA}\equiv\widehat{MOB}, adica notam

m\left(\widehat{MAO}\right)=m\left(\widehat{MOB}\right)=x

Dar stim

m\left(\widehat{MAO}\right)+m\left(\widehat{MOB}\right)=180^{0}\Rightarrow    x+x=180^{0}\Rightarrow 2x=180^{0}\Rightarrow x=180^{0}:2\Rightarrow x=90^{0}.

Deci MO\perp AB\Rightarrow MN\perp AB(**)

Mai stim si ca MN\cap AB=\left\{O\right\}

Deci din (*) si (**) gasim ca MN  este mediatoarea segmentului  \left[AB\right].

De unde rezulta ca MN este mediatoarea unui segment adica al   \left[AB\right].

Rapoarte si proportii Raport Valoarea raportului

Dupa ce am invatat sa rezolvam exercitiile cu numere rationale, dar si ecuatiile cu numere rationale a venit vremea sa discutam despre Rapoarte si proportii, astazi discutam despre Raport.

Definitie: Fiind date numerele rationale pozitive a si b, cu b\neq 0, prin raportul lor intelegem numarul rational  a:b, notat \frac{a}{b}.

Exemplu:

Intr-o clasa sunt 16 baieti si 12 fete. Spunem ca raportul dintre  numarul baietilor si numarul fetelor este egal cu \frac{16}{12}^{(4}=\frac{4}{3}.

Scriem \frac{a}{b} este raportul, iar a si b sunt termenii raportului.

Observatie la scrierea raportului a doua marimi, de aceiasi natura, trebuie tinut seama ca aceasta trebuie obligatoriu sa fie exprimate in aceiasi unitate de masura.

Exemplu:

1)  Latimea unui dreptunghi este egala cu 180 cm, iar lungimea este egala cu 3, 6 m. Pentru a afla raportul dintre latimea l si lungimea L dreptunghiului, mai intai transformam L=3,6m=360 cm si apoi obtinem:

\frac{l}{L}=\frac{180}{360}^{(20}=\frac{9}{18}^{(9}=\frac{1}{2}

Dar putem sa formam rapoarte si cu cantitati de tipuri diferite:

Exemplu:

Daca unui om ii trebuie 4 ore pentru a parcurge 16 km, atunci se formeaza raportul dintre distanta parcura si numarul de ore

\frac{16 km}{4 h}=16km:4 h=4km/h.

In cazul de fata formarea  raportul  a dus la un nou concept dupa cum bine stiti si de la Fizica, adica de viteza km/h.

Valoarea raportului

Fiecare raport \frac{a}{b} are o valoare c, pe care o obtinem astfel a:b=c

Exemplu :

Valoarea raportului \frac{7}{2} este egala cu 3,5, deoarece avem 7:2=3,5

Exercitiu:

1) Se stie ca \frac{11a}{5b}=550. Calculati valoarea raportului \frac{a}{b}

Solutie :Stim ca

\frac{11a}{5b}=550.

Daca inmultim cu 5, egalitatea de mai sus obtinem:

\frac{11a}{5b}=550|\cdot 5\Rightarrow \frac{11a}{5b}\cdot 5=550\cdot 5\Rightarrow \frac{11a}{b}=2750

Acum cada impartim la 11 egalitatea pe care am obtinut-o mai sus obtinem:

\frac{11a}{b}=2750|:11\Rightarrow \frac{11a}{b}:11=2750:11\Rightarrow \frac{11a}{b}\cdot\frac{1}{11}=250\Rightarrow \frac{11a}{11b}^{(11}=250\Rightarrow \frac{a}{b}=250

Si astfel am obtinut ca raportul \frac{a}{b}=250.

2) Stiind ca \frac{x}{y}=0,75 aflati valoarea raportului \frac{5y-7x}{6y-8x} daca exista.

Solutie :

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus scoatem pe x in functie de y si astfel obtinem:

\frac{x}{y}=0,75\Rightarrow x=0,75y

Iar acum inlocuim in raportul pe care ni-l da problema:

\frac{5y-7x}{6y-8x}=\frac{5y-7\cdot 0,75 y}{6y-8\cdot 0,75y}=\frac{5y-5,25y}{6y-6y}

Observam ca nu putem sa efectuam scaderea in multimea numerelor naturale, iar la numitorul raportului obtinem 0, si din definitia raportului stim ca numitorul trebuie sa fie diferit de 0, deci raportul nu exista.

3) Un dreptunghi are aria egala cu 6 cm^{2}. Determinati lungimile laturilor sale stiind ca raportul dintre latime si lungime are valoarea 0,\left(6\right).

Solutie

Stiind aria dreptunghiului, astfel scriem:

L\cdot l=6(*)

Dar mai stim si \frac{l}{L}=0,\left(6\right)\Rightarrow \frac{l}{L}=\frac{6}{9}^{(3}=\frac{2}{3}

Astfel daca scoatem latimea in relatia de mai sus in funtie de lungime obtinem:

l=\frac{2}{3}\cdot L

Acum inlocuind in relatia (*) obtinem:

L\cdot \frac{2}{3}L=6\Rightarrow \frac{2}{3}L^{2}=6|\cdot 3\Rightarrow 2L^{2}=18|:2\Rightarrow L^{2}=9\Rightarrow L^{2}=3^{2}\Rightarrow L=3

Deci lungimea este de 3 cm.

Acum sa aflam latimea

Stim ca :

l=\frac{2}{3}\cdot 3=\frac{6}{3}=6:3=2

Deci lungimea este egala cu 2 cm.

Procentele Cresteri si scaderi cu procente

Despre Procente am mai discutat si in clasa a V-a, dar acum notiunea noua pe care o introducem este Cresteri si scaderi cu procente .

Astfel,inainte de a aprofunda notiunea de cresteri si scaderi cu procente, sa ne reamintim cea ce am invatat, adica ce sunt procentele:

Stim ca, daca p% din x este egal cu y, scriem: \frac{p}{100}x=y.

In relatia de mai sus p% reprezinta raportul procentual, x se numeste intregul, iar y reprezinta parte corespunzatoare din intreg .

Determinarea a p% dintr-un numar x dat (ne lipseste y)

p% din x=\frac{p}{100}x

Exemplu:

O banca da dobanda anuala de 17%. Ce dobanda va primi dupa un an un client care are o depunere de 500 lei.

Solutie

Calculam \frac{17}{100}\cdot 500=\frac{17\cdot 500}{100}=\frac{8500}{100}=85 lei.

Deci dobanda pe care o va primi clientul va fi de 85 de lei.

Aflarea unui numar cand se stie p% din el (lipseste x).

p\%\;\; din x=y\Rightarrow \frac{p}{100}x=y\Rightarrow y=x:\frac{p}{100}=x\cdot\frac{100}{p}.

Exemplu:

O gospodina a cheltuit la piata 60% din suma pe care o avea, adica 90 de lei . Ce suma avea o gospodina la ea?

Solutie:

Observati ca stim raportul procentual, dar nu stim cea ce este dupa „din”, adica intregul, Deci problema o sa o rezolvam cu ajutorul unei ecuatii.

-fie x suma de bani

Deci obtinem:

60\%\;\; din x=90\;\;\;lei\Rightarrow \frac{60}{100}^{(20}\cdot x=90\;\;\;lei\Rightarrow

\frac{3}{5}\cdot x=90\Rightarrow

x=90:\frac{3}{5}\Rightarrow

x=90\cdot\frac{5}{3}\Rightarrow

x=\frac{90\cdot 5}{3}\Rightarrow x=\frac{450}{3}\Rightarrow x=150\;\;\; lei

Deci gospodina a avut la piata 150 de lei.

Cum aflam raportul procentual? (lipseste p%)

\frac{p}{100}\cdot x=y

Exemplu:

O gospodina cheltuieste la piata 90 de lei din cei 150 de lei pe care ii avea. Cat la suta din suma a cheltuit la piata?

Astfel avem:

p\% 150=90\;\;\;lei\Rightarrow \frac{p}{100}\cdot 150=90\Rightarrow p=\frac{100\cdot 90}{150}\Rightarrow p=\frac{9000}{150}\Rightarrow p=60. Deci

p\%=60\%.

Cresteri si scaderi cu p%.

Exemplu

Un produs ce costa 400 de lei se scumpeste cu 20%. Cat costa produsul?

Solutie

Calculam mai intai cu cat se scumpeste produsul, astfel avem:

\frac{20}{100}\cdot 400=\frac{20\cdot 400}{100}=\frac{8000}{100}^{(100}=\frac{80}{1}=80\;\;lei

Deci produsul costa:

400+80=480 lei.

Probleme

1) Se stie ca 21% dintr-o cantitate de lapte este smantana, iar 25% dintr-o cantitate de smantana este unt.Aflati din cate kilograme de lapte se pot obtine 52,5 kg de unt.

Solutie:

Fie x- cantitatea de lapte

y- cantitatea de smantana

z- cantitatea de unt

Astfel obtinem ecuatia:

21\%\;\;\;din\;\;\; x=y

Si

25\%\;\;\; din \;\;\;y=z

Dar stim ca z=52,5 kg.

Astfel obtinem:

25\%\;\;\; din \;\;\;y=z\Rightarrow \frac{25}{100}y=52,5\Rightarrow \frac{1}{4}y=52,5\Rightarrow y=4\cdot 52,5\Rightarrow y=210

Deci avem 210 kg de smantana

Acum ca sa aflam cantitatea de lapte calculam

21\%\;\;\;din\;\;\; x=y\Rightarrow\frac{21}{100}\cdot x=y\Rightarrow

\frac{21}{100}\cdot x=210\Rightarrow x=210:\frac{21}{100}\Rightarrow

x=210\cdot \frac{100}{21}\Rightarrow x=\frac{21000}{21}^{(21}\Rightarrow x=1000

Deci cantitatea de lapte este de 1000 de kg.

2) Dupa o reducere de 6% si o alta de 5% un produs  costa 178,6 lei. Aflati pretul initial.

Fie x-pretul initial al produsului, astfel obtinem ecuatia:

x-6\%\cdot x-5\%\left(x-6\%\cdot x\right)=178,6\;\;\;lei

Acum rezolvam ecuatia:

x-\frac{6}{100}^{(2}\cdot x-\frac{5}{100}^{(5}\left(x-\frac{6}{100^{(2}}x\right)=178,6\Rightarrow    x-\frac{3}{50}\cdot x-\frac{1}{20}\left(x-\frac{3}{50}x\right)=178,6\Rightarrow    \frac{50x-3x}{50}-\frac{1}{20}\left(\frac{50x-3x}{50}\right)=178,\Rightarrow    \frac{47x}{50}-\frac{1}{20}\cdot\frac{47x}{50}=178,6\Rightarrow    \frac{47x}{50}-\frac{1\cdot 47x}{20\cdot 50}=178,6\Rightarrow    ^{20)}\frac{47x}{50}-^{1)}\frac{47x}{1000}=178,6\Rightarrow \frac{20\cdot 47x-1\cdot 47x}{1000}=178,6\Rightarrow \frac{940x-47x}{1000}=178,6\Rightarrow \frac{893x}{1000}=178,6\Rightarrow x=178,6:\frac{893}{1000}\Rightarrow x=178,6\cdot \frac{1000}{893}\Rightarrow x=\frac{178,6\cdot 1000}{893}\Rightarrow x=\frac{178600}{893}\Rightarrow x=200

Deci pretul initial al produsului este de 200 lei.

Perpendicularitatea Inaltimea in triunghi Concurenta inaltimilor intr-un triunghi

 Despre perpendicularitate si inaltimea intr-un triunghi

Dupa ce am definit notiunea de triunghi si am invatat elementele sale, dar si tipurile de triunghi precum si cum sa aratam ca doua triunghiuri sunt congruente, adica congruenta triunghiurilor, a venit vremea sa discutam despre
Perpendicularitatea, Inaltimea intr-un triunghi, Concurenta inaltimilor intr-un triunghi
Despre Perpendicularitate am mai auzit, dar haideti sa ne reamintim, astfel :
Definitie Doua drepte se numesc perpendiculare daca formeaza un unghi de 90^{0}.
Cand doua drepte sunt perpendiculare
g\perp d daca si numai daca m\left(\prec g, d\right)=90^{0}.
Acum definim inaltimea intr-un triunghi.
Definitie: Perpendiculara construita din varful triunghiului pe latura opusa se numeste inaltime.
Care este inaltimea intr-un triunghi
Redactarea simbolurilor
AD inaltime in triunghiul ABC, daca si numai daca AD\perp BC
Observatie: Punctul D se numeste piciorul inaltimii din A, iar BC este baza triunghiului, sau AD este inaltimea corespunzatoare laturii BC in triunghiul ABC.
Orice triunghi are trei inaltimi.
Concurenta inaltimilor intr-un triunghi
Teorema. Intr-un triunghi inaltimile sunt concurente, iar punctul de intersectie se numeste ortocentrul triunghiului care se noteaza cu H.
cate inaltimi putem duce intr-un triunghi
AD, BE, CF sunt inaltimi in \Delta ABC, daca si numai daca exista H, astfel incat AD\cap BE\cap BF=\left\{H\right\}
Observatie : In orice triunghi ascutitunghic inaltimea este situata in interiorul triunghiului.
Care sunt inaltimile inr-un triunghi ascutit unghic?
Scriem H\in Int \Delta ABC
In orice triunghi dreptunghic ortocentru coincide cu varful drept al triunghiului, deoarece doua dintre inaltimi sunt cele doua catete ale triunghiului.
Scriem H\in \Delta ABC
Care sunt inaltimile intr-un triunghi dreptunghic?
In orice triunghi obtuzunghic ortocentrul se afla in exteriorul triunghiului.
Scriem H\in Ext \Delta ABC.
Inaltimea intr-un triunghi obtuz
Problema

1) In triunghiul ABC construim inaltimea AM cu M\in \left[BC\right], stiind ca M este mijlocul laturii \left[BC\right], aratati ca triunghiul ABC este isoscel.
Demonstratie:
cum aratam ca un triunghi este isoscel

Daca M este mijlocul lui BC stim ca
\left[BM\right]\equiv\left[MC\right] (din ipoteza)
Stim ca AM este inaltime in triunghiul ABC, deci \prec AMB\equiv\prec AMC (deoarece AM este perpendiculara dusa din varful triunghiului pe latura BC, deci m\left(\prec AMB\right)=m\left(\prec AMC\right)=90^{0})
Dar mai stim si ca \left[AM\right]\equiv\left[AM\right] (latura comuna).
Deci avem :
\left[BM\right]\equiv\left[MC\right]  \\ \prec AMB\equiv\prec AMC  \\ \left[AM\right]\equiv\left[AM\right]\Rightarrow \Delta AMB\equiv \Delta AMC, de aici gasim si ca AB=AC si astfel triunghiul ABC este isoscel, deoarece am gasit ca are doua laturi egale.

Rezolvare probleme cu ecuatii clasa a VI-a

Dupa cum bine stiti am mai rezolvat probleme cu ecuatii, in clasa a V-a cu rezolvarea ecuatiilor in multimea numerelor naturale. Dar acum o sa invatam probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor in multimea numerelor rationale pozitive. Despre Multimea numerelor rationale pozitive am mai discutat, cei care nu va mai remintiti, cititi aici. Astfel ne reamintim etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuatiilor.

Pasi ca sa rezolvam probleme cu ecuatii

– Stabilim necunoscuta/necunoscutele si le notam

– Scriem datelor si relatiilor din problema pana la obtinerea ecuatiei/ecuatiilor

– Rezolvarea ecuatiei/ecuatiilor

– Interpretarea solutiei si formularea raspunsului la problema

– Proba Probleme cu ecuatii: Incepem cu o problema distractiva

1) Ma gandesc la un numar. Il adun cu 14,3. Rezultatul il inmultesc cu 2,5. Din noul rezultata scad 21,83 si obtin 20,17. Care este numarul la care m-am gandit?

Fie x- numarul la care m-am gandit x+14,3 numarul il adunam cu 14,3, apoi il inmultim cu 2,5

 

\left(x+14,3\right)\cdot 2,5 Acum din noul rezultat scad 21,83, deci obtinem:

\left(x+14,3\right)\cdot 2,5-21,83 si obtinem 20,17 \left(x+14,3\right)\cdot 2,5-21,83=20,17

Astfel dupa ce am obtinut ecuatia o rezolvam

\left(x+14,3\right)\cdot 2,5-21,83=20,17\Rightarrow \left(x+14,3\right)\cdot 2,5=20,17+21,83\Rightarrow \left(x+14,3\right)\cdot 2, 5=42,00\Rightarrow x+14,3=42:2, 5\Rightarrow x+14,3=420:25\Rightarrow x+14,3=16,8\Rightarrow x=16,8-14,3\Rightarrow x=2,5

Deci numarul la care m-am gandit este 2,5.

Acum efectuam proba :

\left(x+14,3\right)\cdot 2,5-21,83=20,17\Rightarrow \left(2,5+14,3\right)\cdot 2,5-21,83=16,8\cdot 2,5-21,83=42-21,83=20,17 ceea ce trebuie sa obtinem.

2) Diferenta a doua numere este 12,2, iar media lor aritmetica este egala cu 34,2. determinati numerele.

SolutieȘ

Fie a si b cele doa numere, astfel diferenta numerelor o scriem:

a-b=12,2 si media aritmetica a celor doua numere este 34,2 adica \frac{a+b}{2}=34,2,

Deci am obtinut ecuatiile:

a-b=12,2(**) si \frac{a+b}{2}=34,2\Rightarrow a+b=34,2\cdot 2\Rightarrow a+b=68,4 (**)

Din  (*) scoatem a si obtinem: a-b=12,2\Rightarrow a=12,2+b (***)

Si ca inlocuim in (**) obtinem:

12,2+b+b=68,4\Rightarrow 12,2+2b=68,4\Rightarrow 2b=68,4-12,2\Rightarrow 2b=56,2|:2\Rightarrow b=\frac{56,2}{2}\Rightarrow b=28,1

deci am gasit b=28,1

Acum ca sa aflam a inlocuim b in (***) si obtinem:

a=12,2+28,1\Rightarrow a=40,3 Si astfel am obtinut si a.

Acum efectuam proba, adica diferenta celor doua numere este 12,2 a-b=40,3-28,1=12,2

Iar media aritmetica a celor doua numere este 34,2, astfel

\frac{a+b}{2}=\frac{40,3+28,1}{2}=\frac{68,4}{2}=34,2.