Probleme cu unghiuri adiacene, unghiuri complementare si unghiuri suplementare

Dupa ce am invatat notiunile de unghiuri adiacente, unghiuri complementare, unghiuri complementare si despre bisectorea unui unghi, astazi o sa rezolvam probleme cu unghiuri in care apar aceste notiuni.
1) Daca \prec XOY si YOZ sunt unghiuri adiacente, \frac{m\left(\prec XOY\right)}{m\left(YOZ\right)}=\frac{2}{7}, iar bisectoarele lor formeaza un unghi de 45^{0}, aflati masurile unghiurilor \prec XOYsi \prec YOZ.
Solutie
bisectoare unui unghi
Din datele problemei am construit unghiul TOD (unghi format din bisectoarele celor doua unghiuri XOY si YOZ), stim ca m\left(\prec TOD\right)=45^{0}
Stim de asemenea ca
\frac{m\left(\prec XOY\right)}{m\left(YOZ\right)}=\frac{2}{7}\Rightarrow m\left(\prec XOY\right)=\frac{2}{7}\cdot m\left(\prec YOZ\right)
Stim ca daca OT este bisectoarea unghiului XOY rezulta ca m\left(\prec TOY\right)=\frac{1}{2}\cdot m\left(\prec XOY\right), de asemenea stim ca OD este bisectoarea unghiului YOZ rezulta ca m\left(\prec DOY\right)=\frac{1}{2}\cdot m\left(\prec YOZ\right),
Cum m\left(\prec TOD\right)=45^{0}\Rightarrow m\left(\prec TOY\right)+m\left(\prec YOD\right)=45^{0}\Rightarrow \frac{1}{2}\cdot m\left( \prec XOY\right)+\frac{1}{2}\cdot m\left(\prec YOZ\right)=45^{0}\Rightarrow \frac{m\left(\prec XOY\right)+m\left(\prec YOZ\right)}{2}=45^{0}\Rightarrow m\left(\prec XOY\right)+m\left(\prec YOZ\right)=90^{0}
Deci suma celor doua unghiuri este de 90 de grade
Dar stim ca  m\left(\prec XOY\right)=\frac{2}{7}\cdot m\left(\prec YOZ\right), inlocuind in ce am obtinut mai sus obtinem:
<br /> \frac{2}{7}\cdot m\left(\prec YOZ\right)+m\left(\prec YOZ\right)=90^{0}| \cdot 7<br /> \\2\cdot m\left(\prec YOZ\right)+7\cdot m\left(\prec YOZ\right)=90^{0}\cdot 7<br /> \\9 m\left(\prec YOZ\right)=630^{0}:9<br /> \\m\left(\prec YOZ\right)=70^{0}<br /> \\m\left(\prec XOY\right)=\frac{2}{7}\cdot m\left(\prec YOZ\right)=\frac{2}{7}\cdot 70^{0}=2\cdot 10^{0}=20^{0}<br />
Deci masura unghiului YOZ este de 70 de grade si masura unghiului XOY este de 20 de grade.
Important este sa stim cand doua unghiri sunt suplementare, coplementare sau cand sunt adiacente, sa stim definitia bisectoarei unui unghi si cum le aplicam in formule

cand douaunghiuri sunt complementare

Unghiuri adiacente, bisectoarea unui unghi, unghiuri suplementare si unghiuri complementare

Sa intelegem notiunile de unghiuri adiacente, unghiuri suplementare, unghiuri complementare si bisectoarea unui unghi. Incepem prin a defini notiunea de unghiuri adiacente, astfel:

Unghiuri adiacente

Def: Doua unghiuri proprii (unghiurile care nu sunt alungite si nu sunt nici nule)se numesc adiacente daca au o latura comuna si interioarele disjuncte (diferite, adica nu au aceiasi masura).

cand doua unghiuri sunt adiacente

Bisectoarea unui unghi

Def: Se numeste bisectoarea unui unghi, semidreapta cu originea in varful unghiului si care imparte unghiul in doua unghiuri congruente.

cum rezolvam problemele cu bisectoare
Unghiuri suplementare

Def: Doua unghiuri se numesc suplementare daca suma masurilor lor este egala cu 180^{0}.

cand doua unghiuri sunt suplementare
Unghiuri complementare

Def: Doua unghiuri se numesc complementare daca suma masurilor lor este egala cu 90^{0}.
cand douaunghiuri sunt complementare
Problema rezolvata pentru a intelege mai bine !

1) Unghiurile \prec AOB si \prec BOC sunt doua unghiuri adiacente si complementare. Aflati masurile lor stiind ca m\left(\prec AOB\right)=5 \cdot m\left(\prec BOC\right).

Solutie

Stim ca cele doua unghiuri sunt adiacente si complementare, deci scriem m\left(\prec AOB\right)+m\left(\prec BOC\right)= 90^{0}
Mai stim si ca m\left(\prec AOB\right)=5\cdot m\left(\prec BOC\right).
Inlocuind in prima relatie obtinem  5\cdot m\left(\prec BOC\right)+m\left(\prec BOC\right)=90^{0}\Rightarrow 6m\left(\prec BOC\right)=90^{0}\Rightarrow  \\m\left(\prec BOC\right)=90^{0}:6  \\m\left(\prec BOC\right)=15^{0}  \\m\left(\prec AOB\right)=5\cdot 15^{0}  \\m\left(\prec AOB\right)=65^{0}

Ca sa rezolvama problema de mai sus am tinut cont de faptul ca unghiurile sunt complementare, adica au masura de 90 de grade, dupa ce am scris suma celor doua unghiuri, am inlocuit unghiul AOB, cu notiunea pe care are o stim din ipoteza problemei, iar rezultatul obtinut l-am rezolvat ca si cum am fi rezolvat o ecuatie si am obtinut un unghi de 35 de grade si celalalt, adica complementul sau de 65 de grade.

Cel mai mic multiplu comun, multipli comuni pentru doua sau mai multe numere naturale, relatia dintre c.m.m.d.c. si c.m..m..m.c

Dupa ce am invatat despre cel mai mare divizor comun, astazi o sa discutam despre cel mai mic multiplu comun.
Pentru a afla cel mai mic multiplu comun pentru doua sau mai multe numere naturale procedam astfel:
-se descompun numerele in produs de factori primi (numere prime)
-se iau factorii comuni si necomuni o singura data la puterea cea mai mare si se inmultesc .
Cel mai mic multiplu comun a doua numere naturale a si b se noteaza [a,b].
Exemplu:
Sa se determine cel mai mic multiplu comun al numerelor:25, 60, 150
cel mai mic multiplu comun a trei numere naturale
<br /> 25=5^{2}<br /> \\60=2^{2}\cdot 3\cdot 5<br /> \\150=2\cdot 3\cdot 5^{2}<br /> \\\left[25, 60, 150\right]=2^{2}\cdot 3\cdot 5^{2}=4\cdot3\cdot 25=300
Observatie:
\left[0, n\right]=0 adica cel mai mic multiplu comun dinte 0 si orice numar natural este 0
Relatia dintre cel mai mare divizor comun si cel mai mic multiplu comun este:
Pentru numerele a,b\in N are loc relatia \left(a,b\right)\cdot\left[a,b\right]=a\cdot b
Exemplu:
Stiind ca a, b\in N, a\cdot b=10455 si \left[a,b\right]=123, aflati \left(a,b\right)
Solutie:
Stiind egalitatea de mai sus de la observatie
\left(a,b\right)\cdot\left[a,b\right]=a\cdot b, inlocuim cu datele oferite de problema si obtinem:
123\cdot\left(a,b\right)=10455|:123\Rightarrow \left(a,b\right)=10455:123 \Rightarrow \left(a,b\right)=85.
1) Aflati cel mai mic multiplu comun a urmatoarelor numere
a) \left[825, 375, 1350\right]=?
cel mai multiplu comun
<br /> 825=3\cdot 5^{2}\cdot 11<br /> \\375=3\cdot 5^{3}<br /> \\1350=2\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}<br /> \\\left[825, 375, 1350\right]=5^{3}\cdot 3^{3}\cdot2\cdot 11=125\cdot 22=550
Astfel cel mai important este sa invatam regulile de mai sus, adica dupa ce am descompus numerele in produs de numere prime si luam factorii comuni si necomuni o singura data la puterea cea mai mare.

Cel mai mare divizor comun, divizori comuni a doua sau mai multe numere naturale, numere prime intre ele

Dupa ce am invatat sa descompunem numerele naturale in produs de numere prime, adica in produs de factori primi,  astazi o sa invatam sa calculam cel mai mare divizor comun a doua sau mai multe numere naturale,sa gasim numere numere prime si divizorii comuni a doua sau mai multe numere naturale.
Pentru inceput trebuie sa stabilim ca cel mai mare divizor comun a doua sau mai multe numere naturale se noteaza astfel: \left(a,b\right), unde a si b sunt doua numere naturale.

Pentru a afla cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c) a doua sau mai multe numere naturale mai mari decat 1, procedem astfel:
– se descompun numerele in produs de puteri de numere prime
– se iau factori comuni, o singura data, la puterea cea mai mica si se inmultesc intre ei.
Exemplu:
1) Aflati cel mai mare divizor comun a numerelor
112 si 252
Solutie
112:2=56
56:2=28
28:2=14
14:2=7
7:7=1
iar
252:2=126
126:2=63
63:3=21
21:3=7
7:7=1
Deci 112=2^{4}\cdot 7
252=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 7
si cel mai mare divizor comun (112,252)=2^{2}\cdot 7=4\cdot 7=28
asa cum am zis ,am descompus numerele in produs de numere prime, iar apoi am luat factori comuni o singura data la puterea cea mai mica.
b) 420 si 169
420:2\cdot 5=42
42:2=21
21:3=7
7:7=1

Deci 112=2^{4}\cdot 7
252=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 7
si cel mai mare divizor comun (112,252)=2^{2}\cdot 7=4\cdot 7=28
asa cum am zis ,am descompus numerele in produs de numere prime, iar apoi am luat factori comuni o singura data la puterea cea mai mica.
Doua numere sunt prime daca au cel mai mare divizor comun 1.
Exemplu:
\left(324; 169\right)=1

Pozitii relative ale punctelor si ale dreptelor

Primele notiuni care le invatam la geometrie sunt punctul, dreapta si planul, care dupa cum bine stiti sunt notiunile preliminare si cele mai simple. Dat fiind faptul ca stim ce este punctul, dreapta si planul, astazi vorbim de pozitii relative ale punctelor si ale dreptelor.
Pozitia relativa a punctelor

Un punct poate sa apartina unei drepte sau poate sa nu apartina unei drepte
Punct care apartine unei drepte
A\in d si B\notin d

Axioma. Oricare ar fi doua puncte distincte exista o dreapta care le contine, adica prin doua puncte distincte trece o singura dreapta.
prin doua puncte distincte trece o dreapta

Doua sau trei puncte se numesc coliniare daca apartin aceleiasi drepte .Daca nu apartin aceleiasi drepte se numesc necoliniare.
In figura de mai sus punctele A si B sunt coliniare.
Pozitia relativa a dreptelor
Dreptele pot fi:
coplanare
– necoplanare
Dreptele coplanare sunt situate in acelasi plan, exista un plan care le contine pe toate.
Dreptele necoplanare nu au nici un punct in comun si nici nu sunt paralele .
Iar cele coplanare pot fi:
-paralele
– concurente
-confundate
Dreptele paralele sunt dreptele care nu se intalnesc niciodata, nu au nici un punct in comun. Notam d || g
Pozitia relativa a dreptelor
Dreptele concurente au un singur punct in comun, se intalnesc intr-un singur punct.Notam d\cap g={M}
Drepte concurente
Dreptele confundate au toate punctele comune.

Problema

1) Se considera un paralelipiped

PARALELIPIPED DREPTUNGHICa) Copiati si completati
i) \\AB\cap AA^{'}={A}
ii) \\AD\cap BB^{'}={\oslash}
iii) \\AD\cap A^{'}D^{'}={\oslash}.

b) Numiti trei drepte concurente
Solutie:
AA', AD, AB; \\AB, BC, BB'; \\AD, DD' DC au cate un punct in comun, prima punctul a
– a doua punctul B, iar a treia punctul D, dreptele sunt concurente daca au un punct in comun

Divizibilitatea numerelor naturale – divizori si multipli

Inca din clasa a V-a am introdus notiunea de divizibilitate  iar acum o sa vorbim, o sa ne reamintim divizibilitatea numerelor naturale, adica notiunea de divizori si multipli.

Def: Fie „a” si „b” doua numere naturale. Spunem ca a divide b si notam „a|b”, daca exista un numar natural „c” astfel incat b=a\cdot c sau spunem ca „a” este un divizor al lui „b”, daca exista un numar natural „c” astfel incat  b=a\cdot c . Matematic scriem: a,b \in N, a|b , daca \exists c\in N , unde N= multimea numerelor naturale, astfel incat b=a\cdot c

Exp:

2|6, deoarece exista un numar natural „c” astfel incat 6=2\cdot c (numarul natural ‘c’ este 3 ), deci 2 este un divizor al lui 6.

Obs: -Fie „n” un numar natural oarecare;  n|0 , deoarece exista un numar natural ‘c’ astfel incat  0=n\cdot c(numarul natural c este 0).
– 0|0, deoarece exista nu numar natural ‘c’ astfel incat sa se verifice relatia divizibilitatii.

Exercitii:
1)Determinati elementele multimii:
a)D_{14}
b)D_{18}
c) D_{24}
d) D_{14}\cap D_{18}
e) D_{14}\cap D_{24}
f) D_{18}\cap D_{24}
g) D_{14}\cap D_{18}\cap D_{24}
Solutie:

Daca suntem atenti la definitia divizibilitatii gasim divizorii lui 14 (divizorii lui 14 sunt acele numere care se impart exact fara rest), astfel :

a) D_{14}=\left\{1; 2; 7; 14\right\}, 1|14 deoarece exista un c=14 astfel incat 14=1\cdot 14 sau mai bine spus 14 se imparte exact la 1, restul se face asemanator.

b) D_{18}=\left\{1; 2; 3; 6; 9;18\right\}

c) D_{24}=\left\{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\right\}

d) D_{14}\cap D_{18}=\left\{1; 2\right\}, la intersectie luam partea comuna a celor doua multimi.

e) D_{14}\cap D_{24}=\left\{1; 2\right\}

f) D_{18}\cap D_{24}=\left\{1; 2; 3; 6\right\}

g) D_{14}\cap D_{18}\cap D_{24}=\left\{1; 2\right\}

2) Aratati ca numerele de forma x=15^{n+1}+3\cdot 15^{n}+3^{n+2}\cdot 5^{n} sunt divizibile cu 27, unde n\in N^{*}.

Solutie
Ca sa aratam ca e divizibil cu 27 trebuie sa gasim un numar de forma 27\cdot alta cantitate, astfel incercam sa scriem numarul nostru in asa fel incat sa putem da factor comun o anumita cantitate, in cazul de fata ca sa dam factor comun pe 15^{n}, trebuie sa mai lucram ultimul termen
3^{n+2}\cdot 5^{n}=3^{n}\cdot 3^{2}\cdot 5^{n}=3^{n}\cdot 5^{n}\cdot 3^{2}=\left(3\cdot 5\right)^{n}\cdot 9=15^{n}\cdot 9.

Astfel

x=15^{n+1}+3\cdot 15^{n}+15^{n}\cdot 9
x=15^{n}\left(15+3+9\right)
x=15^{n}\cdot 27

Deci numarul nostru este divizibil cu 27.

In cazul exercitiului de mai sus am folosit si regulile de calcul cu puteri care le-am invatat in clasa a V-a.

Deci ca sa rezolvam exercitii trebuie sa ne folosim si de cunostintele dobandite anterior. Incercati sa rezolvati singuri urmatorul exercitiu:

3) Aratati ca numerele de forma x=72\cdot 12^{n}+3^{n+3}\cdot 4^{n+2} sunt divizibile cu 63, unde n\in N^{*}.
Solutie:
x=72\cdot 12^{n}+3^{n}\cdot 3^{3}\cdot 4^{n}\cdot 4^{2}
Folosind regulile de calcul cu puteri obtinem ca:
x=72\cdot 12^{n}+\left(3\cdot 4\right)^{n}\cdot 3^{3}\cdot 4^{2}
Adica
x=72\cdot 12^{n}+12^{n}\cdot 27\cdot 16
Deci
x=72\cdot 12^{n}+12^{n}\cdot 432
Adica
x=12^{n}\left(72+432\right)
Asadar
x=12^{n}\cdot 504\Rightarrow x=12^{n}\cdot 63\cdot 8, deci este divizibil cu 63

Recapitulare clasa a VI-a Ecuatii,multimi si operatii cu numere naturale si rationale pozitive

Propunem un plan de recapitulare pentru clasa a VI-a, adica sa ne reamintim ce am invatat in clasa a V-a.
Astfel propunem urmatoarele teme:
-multimi
-operatii cu numere naturale si rationale pozitive
– ecuatii si inecuatii
Propun urmatoarele exercitii:
1) Se dau multimile  M=\left\{ x| x\in N^{*} \;\;\; si \;\;\; x\leq 9 \right\} ,
unde N^{*} multimea numerelor naturale fara zero
 T=\left\{ x|x\in M \;\; si \;\;x\;\; este \;\; par\right\}

Numarul de elemente al multimii M-T este:
Rezolvare
Multimea
<br /> M=\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right\}<br />
Multimea <br /> T=\left\{2,4,6,8\right\}<br /> .
Atunci
<br /> M-T=\left\{ 1,3,5,7,9 \right\}<br />
Ca sa rezolvam exercitiile cu multimi corect luam prima data prima multime si o citim. In cazul de fata pentru multimea M avem conjunctia „si” care dupa cum bine stiti trebuie sa tinem cont de ambele ipoteze ale exercitiului, x trebuie sa fie mai mic sau egal decat 9, dar x trebuie sa apartina si multimii numerelor naturale fara 0.

Acelasi lucru si pentru multimea T, aici x apartine multimii M care am aflat-o din prima parte a exercitiului, dar x trebuie sa fie si par.
Numarul de elemente al multimii M-T este: 5.

2) Numarul 2,56 transformat intr-o fractie ordinara este egal cu:
Rezolvare:
<br /> 2,56=\frac{256}{100}=\frac{64}{25}<br />
Cum transformam o fractie zecimala in una ordinara?
Dupa cum ati invatat scriem linia de fractie, punem numarul la numarator, in cazul de fata la noi 256 si la numitor 1 urmat de atatea zerouri cate cifre sunt dupa virgula, la noi doua zerouri.

3) Rezolvati in multimea numerelor naturale ecuatia:
<br /> 2\cdot(x+7)-14=28<br />
Rezolvare:
<br /> 2x+14-14=28 \Leftrightarrow<br /> 2x=28 \Leftrightarrow<br /> x=14<br /> .