Probleme rezolvate cu patrulaterul convex

Prezentam o problema care o rezolvam folosind cazurile de congruenta de la triunghiurile oarecare, problema cu ajutorul careia obtinem si o proprietate foarte importanta si anume:

Daca intr-un patrulater convex diagonalele se injumatatesc, atunci patrulaterul este paralelogram.

Ipoteza: ABCD-patrulater convex
[AC] intersectat [BD]={O}
[AO]=[OC]
[BO]=[OD]

Concluzie: ABCD-paralelogram

diagonelele intr-un paraleogram

Consideram triunghiurile AOB si COD. Stim din ipoteza ca [AO]\equiv [OC]
Si [BO]=[OD]
Dar mai observam si ca \widehat{AOB}\equiv\widehat{COD} ( unghiuri opuse la varf)
Deci obtinem ca triunghiul \Delta AOB\equiv\Delta COD (caz L.U.L)
De unde obtinem si ca [AB]\equiv[CD] (1)
Dar mai avem si triunghiurile AOD si COB. La fel din ipoteza stim ca
[AO]\equiv [OC]
Si [BO]=[OD]
Dar mai stim si ca  \widehat{AOD}\equiv\widehat{COB} (ca unghiuri opuse la varf)
Deci la fel cu cazul de congruenta L.U.L obtinem ca
\Delta AOD\equiv\Delta COB, adica obtinem ca AD=CB  (2)
Din (1) si (2), obtinem ca patrulaterul convex ABCD este paralelogram, conform Teoremei referitoare la laturi pentru paralelogram.
 
2. In paralelogramul ABCD se duc DN⊥AC,MB⊥AC, unde M,N∈(AC). Demonstrati ca MBDN este paralelogram.

cum aratam ca un patrulater convex este paralelogram

Stim ca MBND patrulater convex, dar mai stim si ca DM\perp AC si BN\perp AC si cu notiunile din clasa a VI a, stim ca DM||BN.
Dar mai avem si triunghiurile ADM si CBN, unde avem ca [AD]\equiv[BC]
Din ipoteza stim ca AB|| CD si AC secanta, astfel obtinem ca
\widehat{BCN}\equiv\widehat{DAM}( ca unghiuri alterne interne)
Astfel cu cazul de congruenta I.U obtinem ca \Delta ADM\equiv \Delta CBN, de unde obtinem si ca
[DM]\equiv[BN]
Iar cu reciproca a doua referitoare la laturi obtinem ca MBND paralelogram.

Cercul. Elemente in cerc Unghi la centru

Foarte important! La notiunile despre cerc pentru a rezolva probleme cat mai complexe trebuie sa stapanim cat mai bine notiunile teoretice. Astfel mai intai definim notiunea de raza.

Definitie: Se numeste raza segmentul care uneste centrul cercului cu un punct de pe cerc.  [AO] raza

Dar si notiunea de coarda.

Segmentul care uneste doua puncte de pe cerc se numeste coarda.
[CB] coarda

Coarda care trece prin centrul cercului se numeste diametrul cercului, iar capetele diametrului se numesc diametral opuse.
[CE], C si E diametral opuse
Portiunea dintr-un cerc determinata de doua puncte distincte ale cercului se numeste arc de cerc.
In figura e mai jos avem arcul de cerc BC.

elemtneltele cercului
Doua puncte distincte care nu sunt diametral opuse detrmina doua arce de cerc:
– arcul mic AB
– arcul mare AB, dar pentru a nu exista pericol de confuzie se foloseste inca un punct pentru arcul mare, de exemplu arcul mare ACB
cum arata un arc de cerc
Daca extremitatile unui arc de cerc sunt diamatral opuse, artunci arcul se numeste semicerc.

Punctele care detrmina capetele arcului de cerc se numesc capetele (extremitatile) arcului de cerc.

O alta notiune destul de interesanta este si unghiul la centru

Se numeste unghi la centru unghiul cu varful in centrul cercului. Notiune destul de importanta deoarece cu ajutorul masurii unghiului la centru puntem sa aflam si masura arcului mic cat si masura arcului mare.

Masura unui arc mic de cerc este egala cu masura unghiului la centru corespunzator.
Masura arcului mic AB se noteaza m\left(AB\right)=m\left(\widehat{AOB}\right)(masura arcului mic AB este egala cu masura unghiului la centru AOB)
unghiul la centru
Masura unui arc mare de cerc este egala cu diferenta dintre 360^{0} si masura unghiului la centru corespunzator.
Adica: m\left(ACB\right)=360^{0}-m\left(\widehat{AOB}\right)
Observatie. Trebuie sa avem grija sa nu confundam masura unui arc de cerc (exprimate in grade) cu lungimea arcului de cerc exprimat in unitati de lungime.
De exemplu daca avem doua sau mai multe cercuri concentrice (doua cercuri se numesc concentrice daca au aceiasi raza)
cum comparam masura unui arc de cerc cu lungimr=ea unui arc de cerc
Observam ca m(AB)=m(CD)=m\left(\widehat{AOB}\right)
Dar lungimile arcului de cerc sunt diferite adica AB\neq CD

Doua sau mai multe arce ale aceluiasi cerc se numesc arce congruente daca au aceiasi masura.
doua arce sunt congrunete daca au aceiasi masura
Adica, arcul AB este congruent cu arcul CD, daca \widehat{AOB}\equiv\widehat{COD}
Sau mai scriem si ca
AB\equiv CD\Leftrightarrow m\left(AB\right)\equiv m\left(CD\right)

Aplicatii !

Fie cercul de centru O si raza 4 cm si coarda [MN] o coarda de lungime 4\sqrt{2}\;\; cm. Calculati lungimile arcelor de cerc determinate de coarda [MN].

Demonstratie:

lungimile arcelor de cerc

Observam ca OM si ON sunt raze, cum stim ca OM=ON=4 cm si MN=4\sqrt{2}\;\; cm
Cu Reciproca Teoremei lui Pitagora obtinem ca OM^{2}+ON^{2}=MN^{2}
Adica triunghiul MNO estre dreptunghic in O. Adica m\left(\widehat{MON}\right)=90^{0}
Si astfel aflam ca masura arcului mic MN este de 90^{0} Iar masura arcului mare este de 360^{0}-m\left(\widehat{MON}\right)=360^{0}-90^{0}=270^{0}
Iar pentru a afla lungimea arcelor folosim formula
\frac{\pi\cdot u^{0}\cdot r}{180^{0}}, unde
u^{0} este masura arcului de cerc, r este raza cercului.
Astfel obtinem ca lungimea arcului mic MN este
\frac{\pi\cdot 4\cdot 90^{0}}{180^{0}}^{(90}=\frac{4\pi}{2}=2\pi
Asadar este foarte important sa cunoastem notiunile elementare ale cercului, deoarece constituie elementele esentiale in notiunile care vor fi introduse.

Model Teza clasa a vii a

Lucrare scrisa la matematica
Clasa a VII a
Semestrul al II-lea

Completati enunturile cu raspunsul corect:(40 puncte)
1. Rezultatul calculului \left(2+\sqrt{3}\right)+|4\sqrt{3}-7| este…….
2. In m\left(\widehat{A}\right)=90^{0}, m\left(\widehat{B}\right)=30^{0} si AC=3 cm, atunci BC=….
3.Daca un triunghi dreptunghic are catetele de lungime egala cu 3 cm, respectiv 4 cm, atunci lungimea ipotenuzei este de …… cm.
4. Solutiile reale ale ecuatiei 16x^{2}-9=0 sunt ….. si……
5. Ionel cheltuieste 30% din suma de bani pe care o avea si astfel ramane cu 84 de lei. Ionel aveam ….. lei
6. Daca a-b=5 si a^{2}-b^{2}=420, atunci valoarea sumei a+b este….
7. Aria unui triunghi dreptunghic ABC m\left(\widehat{A}\right)=90^{0} cu BC=10 cm si AB=8 cm este….
8. Descompunerea in factori a expresia x^{2}-xy-4+2y este……
9.Consideram A si B doua puncte pe un cerc de centru O si raza r=8 cm, astfel incat AB=8\sqrt{3}\;\; cm. Atunci masura arcului mic AB este…….

Subiectul II
La urmatoarele probleme se cer rezolvari complete

1. Aratati ca numarul a=\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\left(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}-\sqrt{48} este intreg
2. Rezolvati ecuatia 3\left(2x-1\right)-5\left(3x-1\right)=1
3. Calculati E=\sin 45^{0}\cdot \cos 30^{0}-\sin 30^{0}\cdot cos 45^{0}
4.Trapezul dreptunghic ABCD are AB||CD m\left(\widehat{A}\right)=90^{0} si AB=6 cm, BC=5 cm,, CD=2 cm
a) Aratati ca inaltimea trapezului este egala cu 3 cm
b) Perimetrul si aria trapezului, dar si \sin\left(\widehat{ABC}\right)
c) Calculati Perimetrul triunghiului MAB unde {M}=AD\cap BC

Probleme rezolvate cu Teorema lui Pitagora

Prezentam, din nou,  alte Probleme rezolvate cu Teorema lui Pitagora

1. In ∆PQR, PM perpendicular pe QR, M € (QR), PQ=20cm, QM=16cm, MR= 9cm. Demonstrati natura triunghiului PQR.

Stim ca PM\perp QR, astfel obtinem ca triunghiul PQM dreptunghic in M, iar daca aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul PQM obtinem: PQ^{2}=PM^{2}+QM^{2}\Rightarrow 20^{2}=PM^{2}+16^{2}\Rightarrow 400=PM^{2}+256\Rightarrow PM^{2}=400-256\Rightarrow PM^{2}=144\Rightarrow PM=\sqrt{144}=12\;\; cm

La fel si triunghiul PMR fiind dreptunghic aplicam Teorema lui Pitagora
PR^{2}=PM^{2}+MR^{2}\Rightarrow PR^{2}=12^{2}+9^{2}\Rightarrow PR^{2}=144+81\Rightarrow PR=\sqrt{225}\Rightarrow PR=15\;\; cm
Iar QR=QM+MR=16+9=25 cm.
reciproca lui Pitagora

Acum daca aplicam reciproca lui Pitagora obtinem: QR^{2}=QP^{2}+PR^{2}

Adica 25^{2}=20^{2}+15^{2}\Rightarrow 625=400+225
Deci triunghiul este dreptunghic in P.
Asadar obtinem figura:
Teorema lui Pitagora

2. a) Lungimea catetei unui triunghi dreptunghic isoscel este a. Aflati lungimea ipotenuzei.

Fie ABC un triunghi dreptunghic isoscel in care AB=AC=a. Astfel cu Teorema lui Pitagora obtinem BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\Rightarrow BC^{2}=a^{2}+a^{2}\Rightarrow BC^{2}=2a^{2}\Rightarrow BC=\sqrt{2a^{2}}\Rightarrow BC=a\sqrt{2}

Deci important sa retinem faptul ca ipotenuza intr-un triunghi dreptunghic isoscel cu catetele de lungime a este egala cu a\sqrt{2}
ipotenuza intr-un triunghi dreptunghic
b) Lungimea laturii unui patrat este de 10 cm. Aflati lungimea diagonalei patratului.
Demonstratie:

Stim ca in patrat toate laturile sunt egale astfel obtinem AB=BC=CD=A=10 cm
Observam ca triunghiul ADC este drepunghic in D si cu AD=DC=10 cm, obtinem ca triunghiul ADC este dreptunghic isoscel si cu cea ce am aratat mai sus obtinem ca AC=10\sqrt{2}, astfel diagonala patratului este egala cu 10\sqrt{2}\;\; cm

Sau cu Teorema lui Pitagora in triunghiul ADC obtinem AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}\Rightarrow AC^{2}=10^{2}+10^{2}\Rightarrow AC^{2}=100+100\Rightarrow AC=\sqrt{200}\Rightarrow AC=10\sqrt{2}\;\; cm
cum aflam diagonala intr-un patrat

c) Lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic isoscel este de 12 cm. Aflati lungimile catetelor.

Stim cu formula de mai sus ca ipotenuza intr-un triunghi dreptunghic isoscel de latura a este: Ip=a\sqrt{2}\Rightarrow 12=a\sqrt{2}\Rightarrow 12^{2}=\left(a\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow 144=a^{2}\cdot 2\Rightarrow a^{2}=144:2\Rightarrow a^{2}=72\Rightarrow a=\sqrt{72}\Rightarrow a=6\sqrt{2}

Deci obtinem catetele de lungime 6\sqrt{2}
Sau cu Teorema lui Pitagora obtinem:

Astfel consideram Triunghiul dreptunghic isoscel ABC, cu AB=AC=l, astfel daca plicam Teorema lui Pitagora obtinem: BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\Rightarrow 12^{2}=l^{2}+l^{2}\Rightarrow 2l^{2}=144\Rightarrow l^{2}=144:2\Rightarrow l^{2}=72\Rightarrow l=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\;\; cm
cum aflam catetele intr-un triunghi dreptunghic isoscel  daca stim ipotenuza
Asdar este foarte important sa memoram faptul ca ipotenuza intr-un triunghi dreptunghi isoscel de lungime a este egala cu a\sqrt{2}

Exercitii rezolvate cu sume de fractii

Prezentam cateva exercitii rezolvate cu sume de fractii, mai complicate se pare, dat fiind faptul ca sunt trimise de vizitatorii MatePedia.

1) Calculati: 400 supra 81 minus 399 supra 81 plus 398 supra 81 minus 397 supra 81 plus…. 2 supra 81 minus 1 supra 81. Adica s-ar scrie cam asa …

\frac{400}{81}-\frac{399}{81}+\frac{398}{81}-\frac{397}{81}+....+\frac{2}{81}-\frac{1}{81}=  \left(\frac{400}{81}-\frac{399}{81}\right)+\left(\frac{398}{81}-\frac{397}{81}\right)+....+\left(\frac{2}{81}-\frac{1}{81}\right)=\frac{400-399}{81}+\frac{398-397}{81}+...+\frac{2-1}{81}=

\frac{1}{81}+\frac{1}{81}+...+\frac{1}{81}=

\frac{1+1+...+1}{81}=

\frac{200\cdot 1}{81}=\frac{200}{81}

Observati ca pentru a calcula suma de mai sus am grupat termenii sumei cate 2 pentru a efectua diferenta, unde am obtinut o suma in care numaratorul este 1. Acum trebuie sa stabilim de cate ori apare termenul 1 si astfel efectuam impartirea > 400:2=200 (deoarece termenii de mai sus i-am grupat cate 2) si astfel am obtinut rezultatul de mai sus.

2) Pentru ce numa n\in N, avem

\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}=\frac{2010}{2011}

Pentru a calcula membrul drept rescriem suma \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{4\cdot 5}+...+\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}

Observati ca termenii de mai sus s-au redus ramanand doar primul termen si ultimul, astfel egalitatea de mai sus devine: ^{\left(n+1\right)}1-\frac{1}{n+1}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow \frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow \frac{n+1-1}{n+1}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow \frac{n}{n+1}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow 2010\left(n+1\right)=2011\cdot n\Rightarrow 2010\cdot n+2010=2011\cdot n\Rightarrow2011\cdot n -2010\cdot n=2010\Rightarrow n=2010

Deci numarul natural gasit este 2010.

3) Rezolvati ecuatia:

\frac{x-6}{2008}+\frac{x-2}{2012}=\frac{x-2008}{6}+\frac{x-2012}{2}

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus de preferat ar fi sa nu ne gandim sa gasim numitorul comun, sa amplificam si sa calculam cum am invatat, caci este o munca destul de grea si anevoioasa, astfel mai intai ar trebui sa ne gandim cum sa scriem fiecare numarator, astfel incat sa putem simplifica anumiti termeni. Astfel ecuatia rescriind-o obtinem: \frac{x-6}{2008}+\frac{x-2}{2012}=\frac{x-2008}{6}+\frac{x-2012}{2}\Rightarrow \frac{x-2014+2008}{2008}+\frac{x-2014+2012}{2012}=\frac{x-2014+6}{6}+\frac{x-2014+2}{2}\Rightarrow

Acum scriind suma de la numarator ca doua fractii obtinem urmatoarele fractii:

\frac{x-2014}{2008}+\frac{2008}{2008}+\frac{x-2014}{2012}+\frac{2012}{2012}=\frac{x-2014}{6}+\frac{6}{6}+\frac{x-2014}{2}+\frac{2}{2}\Rightarrow

Acum simplificand fiecare fractie obtinuta mai sus, obtinem:

\frac{x-2014}{2008}+\frac{1}{1}+\frac{x-2014}{2012}+\frac{1}{1}=\frac{x-2014}{6}+\frac{1}{1}+\frac{x-2014}{2}+\frac{1}{1}\Rightarrow

Observati ca cifra 1 se reduce, aparand atat in membrul stang cat si in membrul drept de 2 ori  si astfel se reduc: \frac{x-2014}{2008}+\frac{x-2014}{2012}=\frac{x-2014}{6}+\frac{x-2014}{2}\Rightarrow \frac{x-2014}{2008}+\frac{x-2014}{2012}-\frac{x-2014}{6}-\frac{x-2014}{2}=0\Rightarrow \left(x-2014\right)\cdot\left(\frac{1}{2008}+\frac{1}{2012}-\frac{1}{6}-\frac{1}{2}\right)=0

Observam ca \frac{1}{2008}+\frac{1}{2012}<\frac{1}{6}+\frac{1}{2}

Si obtinem x-2014=0\Rightarrow x=2014

4) Simplificati fractia: \frac{2+\left(2^{2013}+2^{2012}+2^{2011}+...+2\right)}{4^{1008}}

Mai intai calculam suma, dar putem sa o si rescriem astfel: 2^{2013}+2^{2012}+2^{2011}+...+2, folosind formula S_{n}=b_{1}\cdot \frac{q^{n}-1}{q-1}

Pentru cei care sunteti in calsa a IX stiti ca teremenii acestei sume sunt termenii unei progresii geometrice cu ratia: q=\frac{2^{2013}}{2^{2012}}=2, adica formula q=\frac{b_{n+1}}{b{n}}

Pentru cei din gimnaziu trebuie sa retineti formula de mai sus. Si  stim ca primul termen il notam cu b_{1}=2, iar q il obtinem observand la putere din cat in cat sunt termenii, iar baza se pastreaza. Observam ca mai sus avem puterile: 2013, 2012, 2011,....,1, 0

Astfel daca efectuam scaderea intre primii doi termeni obtinem 2013-2012=1 si baza pastrandu- se obtinem q=2^{1}=2

Astfel suma devine: S=2\cdot\frac{2^{2013}-1}{2-1}=2\cdot\frac{2^{2013}-1}{1}=2\cdot 2^{2013}-2\cdot 1

=2^{2014}-2

Iar fractia devine: \frac{2+2^{2014}-2}{4^{1008}}=\frac{2^{2014}}{\left(2^{2}\right)^{1008}}=\frac{2^{2014}}{2^{2\cdot 1008}}=\frac{2^{2014}}{2^{2016}}^{(2^{2014}}=\frac{2^{2014}:2^{2014}}{2^{2016}:2^{2014}}=\frac{2^{2014-2014}}{2^{2016-2014}}=\frac{2^{0}}{2^{2}}=\frac{1}{4}.

Observati ca mai sus numitorul l-am rescris astfel pentru a putea simplifica fractiile: 4^{1008}=\left(2^{2}\right)^{1008}=2^{2\cdot 1008}=2^{2016}, adica am folosit regulile de calcul cu puteri.

Iar la numaratori observati ca doi termeni sau redus.

Si astfel am obtinut rezultatul de mai sus.

Asadar este important ca la acest gen de exercitii sa ne uitam cu atentie inainte de a incepe sa le rezolvam si sa studiem toate posibilitatile pe care le avem, astfel incat sa o alegem pe cea mai corecta si cea mai usoara.

Cum calculam lungimea unor segmente cand stim un raport

1. Daca M apartine [AB] si AB=18 cm, calculati lungimile segmentelor [AM] si [MB] in situatiile:
a) AM supra MB=2supra 7
Solutie:
\frac{AM}{MB}=\frac{2}{7}\Rightarrow AM=\frac{2}{7}\cdot MB
Stim ca M\in [AB]
Astfel avem:
AB=AM+MB\Rightarrow 18=\frac{2}{7}MB+MB\Rightarrow 18=\frac{2}{7}MB+\frac{7}{7}MB\Rightarrow 18=\frac{9}{7}\cdot MB\Rightarrow MB=18:\frac{9}{7}\Rightarrow MB=18\cdot\frac{7}{9}^{(9}\Rightarrow MB=2\cdot\frac{7}{1}\Rightarrow MB=2\cdot 7=14\;\; cm
Si AM=AB-MB\Rightarrow AM=18-14=4\;\; cm.

cum calculam lungimea unor segmente
b) AM supra AB= 2 supra 3
Stim ca
\frac{AM}{AB}=\frac{2}{3}
Stim ca AB=18 cm
astfel obtinem:
\frac{AM}{18}=\frac{2}{3}\Rightarrow AM=\frac{2}{3}\cdot 18^{(3}=\frac{2}{1}\cdot 6\Rightarrow AM=2\cdot 6=12\;\; cm
Cum AM=12 cm
Obtinem:
AB=AM+MB\Rightarrow 18=12+MB\Rightarrow MB=18-12\Rightarrow MB=6 cm

cum calculam lungimea unor segmente

2. Daca punctul P apartine [AB] , astfel incat AP supra PB=3 supra 5, calculati
a) AP supra AB
b) PB supra AB
Solutie:
Stim ca:
\frac{AP}{PB}=\frac{3}{5}
Din raportul de mai sus obtinem:
\frac{AP}{3}=\frac{PB}{5}
Adica
\frac{AP}{3}=k\Rightarrow AP=3k
Dar si
\frac{PB}{5}=k\Rightarrow PB=5\cdot k
Astfel AB=AP+PB=3k+5k=8k
astfel raportul
\frac{AP}{AB}=\frac{3k}{8k}^{(k}=\frac{3}{8}
Si
\frac{PB}{AB}=\frac{5k}{8k}^{(k}=\frac{5}{8}

3. In triunghiul TLE, se iau punctele A apartine (TL), S apartine (TE), astfel incat AS\\ LE.

a) Daca TA=4 cm , AL=3 cm,TE=14 cm,atunci TS=?

 

Demonstratie:

probleme rezolvate cu teorema lui Thales

Stim ca AS||LE, deci cu Teorema lui Thales obtinem segmente proportionale:

\frac{TA}{TL}=\frac{TS}{TE}

Observati ca am folosit proportiile derivate pentru Teorema lui Thales.

Dar mai intai sa aflam TL, astfel TL=TA+AL\Rightarrow TL=4+3=7\;\; cm

Si obtinem egalitatea de rapoarte:

\frac{TA}{TL}=\frac{TS}{TE}\Rightarrow \frac{4}{7}=\frac{TS}{14}\Rightarrow 7\cdot TS=4\cdot 14\Rightarrow TS=\frac{4\cdot 14}{7}^{(7}=\frac{4\cdot 2}{1}=7

deci obtinem ca TS=8 cm

b) Daca TA=10 cm, TS=15 cm, SE=6 cm,atunci AL=?

Demonstratie:

probleme rezolvate cu Teorema lui Thales

Stim ca AS||LE, deci cu Teorema lui Thales, obtinem:

\frac{TA}{AL}=\frac{TS}{SE}\Rightarrow \frac{10}{AL}=\frac{15}{6}\Rightarrow 15\cdot AL=10\cdot 6\Rightarrow AL=\frac{10\cdot 6}{15}=\frac{60}{15}=4\;\; cm

Si astfel am obtinut AL=4 cm.

Observati ca este destul de important atunci cand aplicam Teorema lui Thales sa avem grija din ce varf pornim si daca folosim proportii derivate sau proportiile directe.

Probleme rezolvate cu teorema fundamentala a asemanarii

Astazi a venit vremea sa prezentam probleme care se rezolva cu teorema fundamentala a asemanarii dar si cu linia mijlocie intr-un trapez.

Sa incepem cu un exemplu de problema.

In triunghiul ABC se iau laturile AB=16 cm , BC =18 cm si AC=20 cm . Se duce dreapta DE paralela cu BC astfel incat triunghiul ADE si trapezul BDEC sa aiba acelasi perimetru . Aflati lungimea segmentului DE.

Ipoteza:

\Delta ABC

AB=16 cm, BC=18 cm, AC=20 cm

DE||BC

P_{\Delta ADE}=P_{BDEC}

Concluzie:

DE=?

Demonstratie:

cum aplicam teorema fundamentala a asemanaii

Stim ca  DE||BC, deci putem aplica Teorema fundamentala a asemanarii \Delta ADE\sim\Delta ABC

Adica \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}

\Rightarrow\frac{AD}{16}=\frac{AE}{20}=\frac{DE}{18}=k

Adica obtinem \frac{AD}{16}=k\Rightarrow AD=16k

\frac{AE}{20}=k\Rightarrow AE=20k

\frac{DE}{18}=k\Rightarrow DE=18k

Dar mai stim si ca: P_{\Delta ADE}=P_{BDEC}\Rightarrow AD+DE+AE=BD+DE+EC+BC\Rightarrow AD+AE=BD+DE+EC+BC-DE\Rightarrow AD+AE=BD+EC+BC\Rightarrow AD+AE=BD+EC+18

Si cu notiunile de mai sus obtinem: 16k+20k=BD+EC+18(1)

Dar stim ca AB=AD+DB\Rightarrow 16=16k+BD\Rightarrow BD=16-16k

Dar si AC=AE+EC\Rightarrow 20=20k+EC\Rightarrow 20-20k=EC

Si daca inlocuim in (1), obtinem: 16k+20k=16-16k+20-20k+18\Rightarrow 36k=54-36k\Rightarrow 36k+36k=54\Rightarrow 72k=54\Rightarrow k=\frac{54}{72}^{(9}=\frac{6}{8}^{(2}=\frac{3}{4}

Si astfel am obtinut: k=\frac{3}{4} si astfel obtinem:\frac{AD}{16}=k\Rightarrow AD=16k\Rightarrow AD=16\cdot\frac{3}{4}^{(4}=4\cdot\frac{3}{1}=12

\frac{AE}{20}=k\Rightarrow AE=20k\Rightarrow AE=20\cdot\frac{3}{4}^{(4}=5\cot\frac{3}{1}=15

\frac{DE}{18}=k\Rightarrow DE=18k\Rightarrow DE=18\cdot\frac{3}{4}^{(2}=9\cdot\frac{3}{2}=\frac{9\cdot 3}{2}=\frac{27}{2}=13,5

Deci am obtinut DE=13, 5

Sa mai vedem o problema.

2. Trapezul isoscel ABCD, AB||CD, are [AD]\equiv[DC]\equiv[BC] si m\left(\widehat{B}\right)=60^{0}. Daca lungimea liniei mijlocii a trapezului este egala cu 21 cm, atunci calculati perimetrul trapezului ABCD.

Demonstratie:

Stim ca linia mijlocie a trapezului este de 21 cm, deci cu teorema referitoare la linia mijlocie intr-un trapez obtinem:

l.m=\frac{B+b}{2}\Rightarrow 21=\frac{AB+DC}{2}\Rightarrow AB+DC=21\cdot 2\Rightarrow AB+DC=42 cm

Observam ca AD=BC, deci trapezul ABCD este isoscel, deci obtinem si ca m\left(\widehat{A}\right)=60^{0}

linia mijlocie intr-un trapez

Pentru a afla perimetrul trapezului construim perpendicularele di D pe AB si din C pe AB, astfel avem: DE\perp AB

Si CF\perp AB si obtinem:

cum aflam perimetrul unui trapez

 

Astfel in triunghiul ADE avem m\left(\widehat{A}\right)=60^{0}, m\left(\widehat{E}\right)=90^{0} si astfel obtinem m\left(\widehat{D}\right)=180^{0}-m\left(\widehat{A}\right)- m\left(\widehat{E}\right)\Rightarrow m\left(\widehat{D}\right)=180^{0}-60^{0}-90^{0}=30^{0}

Deci in triunghiul ADE aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, astfel obtinem AE=\frac{AD}{2}\Rightarrow 2\cdot AE=AD\Rightarrow DC=2AE

La fel si in triunghiul BCF avem m\left(\widehat{B}\right)=60^{0}, m\left(\widehat{F}\right)=90^{0} si astfel obtinem

m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}-m\left(\widehat{B}\right)- m\left(\widehat{F}\right)\Rightarrow m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}-60^{0}-90^{0}=30^{0}

Deci in triunghiul BCF aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, astfel obtinem BF=\frac{BC}{2}\Rightarrow 2\cdot BF=BC\Rightarrow DC=2BF

Stim ca AB=AE+EF+EB\Rightarrow AB=\frac{AD}{2}+EF+\frac{BC}{2}

Dar stim ca AD=DC=BC=x

Observam si ca: DCFE este dreptunghi, deci DC=EF

Si astfel obtinem: AB=\frac{x}{2}+x+\frac{x}{2}=\frac{2x}{2}+x=x+x=2x

Deci obtinem ca AB=2x

Stim de mai sus ca AB+DC=42\Rightarrow 2x+x=42\Rightarrow 3x=42\Rightarrow x=42:3\Rightarrow x=14

Deci obtinem AB=2\cdot x=2\cdot 14=28

Dar stim si ca AD=DC=BC=14\;\; cm

Astfel perimetrul trapezului este P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=28+14+14+14=28+14\cdot 3=28+42=70\;\; cm

Si astfel am obtinut ca perimetrul trapezului este de 70 cm.

cum aplicam teorema 30-60-90

Model teza clasa a vii a

Lucrare scrisa la matematica pe semestrul I

Nume:
Prenume
Subiectul I

0, 5 p 1.a)  Dintre numerele a=1,2(31) si b=1,2(3) mai mare este ……

0, 5 p b) Rezultatul calculului \left(-\frac{1}{3}\right)^{2}-0,(5)-\left(-1\frac{1}{3}\right):3 este egal cu …

0, 5 p 2. Fie ABC un triunghi si D\in \left(AB\right), E\in\left(AC\right), DE||BC. Daca \frac{AD}{DB}=\frac{3}{4}, atunci valoarea raportului \frac{EC}{AC} este egal cu …..

3. Rombul ABCD are m\left(\widehat{A}\right)=30^{0} si AB=36 cm.

0,5 p a) Distanta de la punctul B la dreapta CD este…

1 p b) Aria rombului este egala cu……

0, 5 p 4. Rezultatul calculului a=|1-\sqrt{3}|-\left(\sqrt{3}-2\right)

Subiectul II

1. Calculati

1 p a) \left(5\cdot \sqrt{0,02(7)}+\sqrt{4\frac{21}{25}}\right):0,1(4)-\sqrt{3\frac{1}{16}}

1 p b) \left(2\sqrt{6}+\sqrt{54}\right):\sqrt{6}-\left(8\sqrt{5}-\sqrt{45}\right):\sqrt{5}

1 p 2. Rezolvati ecuatia \left(3\frac{3}{4}-1\frac{1}{2}\right)\left(x-1\right)=6\frac{3}{4}

3. Fie ABCD un trapez dreptunghic, m\left(\widehat{A}\right)=m\left(\widehat{D}\right)=90^{0}, AB=8 cm, CD=4 cm, m\left(\widehat{ABC}\right)=45^{0}, iar M mijlocul lui [AB]

1 p a) Aratati ca triunghiul CMB este dreptunghic isoscel

1 p b) Aratati ca patrulaterul AMCD este patrat

0,5 p c) Calculati aria trapezului ABCD