Exercitii rezolvate cu ordinea efectuarii operatiilor

Prezentam un exercitiu rezolvat unde folosim ordinea efectuarii operatiilor si folosirea parantezelor.

\left\{0,2+\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{3} + \left(-\frac{1}{3}\right) :\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\right] :\left(-^{2)}\frac{2}{3}+^{3)}\frac{1}{2}\right)\right\}\cdot\left(\sqrt{-5}\right)^{2}

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus  respectam ordinea efectuarii operatiilor si folosirea parantezelor. Adica mai intai in paranteza dreapta efectuam ridicarea la putere prin folosirea regulilor de calcul cu puteri \left\{\frac{2}{10}^{(2}+\left[\frac{3^{2}}{2^{2}}\cdot\frac{2^{3}}{3^{3}}+\left(-\frac{1}{3}\right):\frac{2^{2}}{3^{2}}\right]:\left(-\frac{2\cdot 2}{6}+\frac{3\cdot 1}{6}\right)\right\}\cdot 5

Ca sa intelegem de ce \left(\sqrt{-5}\right)^{2}=\sqrt{-5}\cdot\sqrt{-5}=+5

Acum efectuam ridicarea la putere si obtinem \left\{\frac{1}{5}+\left[\frac{9}{4}\cdot\frac{8}{27}+\left(-\frac{1}{3}\right):\frac{4}{9}\right]:\left(-\frac{4}{6}+\frac{3}{6}\right)\right\}\cdot 5=    \left\{\frac{1}{5}+\left[\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{9}{4}^{(3}\right]:\left(\frac{-4+3}{6}\right)\right\}\cdot 5

Observati ca am mai efectuat anumite simplificari pentru a ne simplifica calculele, acum observam ca ne dispare paranteza rotunda, iar cea dreapta se transforma in rotunda si acolada in dreapta.

\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}\right):\left(-\frac{1}{6}\right) \right]\cdot 5=

Acum in prima paranteza aducem la acelasi numitor

Observat ca numitorul comun este 12 si obtinem \left[\frac{1}{5}+\left(\frac{8}{12}-\frac{9}{12}\right)\cdot\left(-\frac{6}{1}\right)\right]\cdot 5

Observati ca mai sus am efectuat si impartirea celor doua paranteze, adica prima fractie inmultita cu inversul celei de-a doua \left[\frac{1}{5}+\left(\frac{8-9}{12}\right)\cdot\left(-\frac{6}{1}\right)\right]\cdot 5=    \left[\frac{1}{5}+\left(-\frac{1}{12}\right)\cdot\left(-\frac{6}{1}^{(6}\right)\right]\cdot 5=    \left[\frac{1}{5}+\left(+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1}\right)\right]\cdot 5=    \left(^{2)}\frac{1}{5}+^{5)}\frac{1}{2}\right)\cdot 5=    \left(\frac{2\cdot 1}{10}+\frac{5\cdot 1}{10}\right)\cdot 5=\left(\frac{2}{10}+\frac{5}{10}\right)\cdot 5=\frac{2+5}{10}\cdot 5=\frac{7}{10}\cdot 5^{(5}=\frac{7}{2}\cdot 1=\frac{7}{2}

Si astfel am obtinut rezultatul \frac{7}{2}

2. Irina are de rezolvat 16 probleme de matematica . Poate sa rezolve in timp de doua zile repartizand un nr egal de probleme in fiecare zi ? Dar in trei zile ? Dar in patru ? Justificati.

Poate sa rezolve cele 16 probleme in doua zile si in fiecare zi acelasi numar de probleme, deoarece 16:2=8

Daca ar fi sa rezolve cele 16 probleme in 3 zile, nu se poate deoarece 16:3=5 rest 1, adica in 2 zile ar rezolva 5 probleme si in a treia zi ar rezolva 6 probleme.

Iar in patru zile poate sa rezolve problemele, adica in fiecare zi ar rezolva cate 4 probleme.

 

Exercitii rezolvate cu fractii zecimale si fractii ordinare

Prezentam cateva exercitii pe care le rezolvam cu ajutorul fractiilor zecimale si fractiilor ordinare

1. Scrieti 3 numere zecimale cuprinse intre 14,23 si 15,431.

Solutie:

Stim ca numerele zecimale, sau cum mai sunt numite si fractii zecimale, sunt cele cu virgula, deci in cazul acestui exercitiu trebuie sa scriem trei numere zecimale care sa fie mai mari decat 14,24 si mai mici decat 15,431, astfel  numerele zecimale  mai mari decat 14,23 si mai mici decat 15,431 sunt  14,25; 14,57; 15,428.

2. Stiind ca x+4\cdot y+2\cdot z=13  si 3\cdot x+2\cdot z=11, determinati x+y+z.

Ca sa aflam x+y+z trebuie sa ne folosim de cele doua relatii de mai sus

Astfel prima relatia de mai sus putem sa o scriem 4x-3x+4y+4z-2z pentru a ne putea folosi de relatia de mai sus, astfel daca comutam termenii intre ei obtinem:

4x+4y+4x-3x-2z=13\Rightarrow 4x+4y+4z-\left(3x+2z\right)=13

Dar cum stim din cea de-a doua relatie ca 3x+2z=11

Prima relatie devine 4x+4y+4z-11=13\Rightarrow 4x+4y+4z=13+11\Rightarrow 4x+4y+4z=24

Acum, daca in ultima relatie dam factor comun cifra 4 relatia devine 4\left(x+y+z\right)=24\Rightarrow x+y+z=24:4\Rightarrow x+y+z=6

Si astfel am obtinut ca suma x+y+z=6

Observati ca pentru a rezolva exercitiile de forma celor de mai sus trebuie sa ne folosim de ceea ce ne da exercitiul.

3. Calculati:

\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2} +\left(-\frac{5}{6}\right)-\frac{1}{3}

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus trebuie sa tinem cont de ordinea efectuarii operatiilor, astfel mai intai efectuam operatia de inmultire:

\frac{3}{4}-\frac{1\cdot 1}{4\cdot 2}+\left(-\frac{5}{6}\right)-\frac{1}{3}=\frac{3}{4}-\frac{1}{8}+\left(-\frac{5}{6}\right)-\frac{1}{3}=

Acum pentru a efectua calculele, mai intai aducem la acelasi numitor \frac{6\cdot 3}{24}-\frac{3\cdot 1}{24}+\left(-\frac{4\cdot 5}{24}\right)-\frac{8\cdot 1}{24}=    \frac{18}{24}-\frac{3}{24}+\left(-\frac{20}{24}\right)-\frac{1}{24}=\frac{18-3+\left(-20\right)-1}{24}=\frac{-6}{24}^{(6}=\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}

Cum aratam ca un patrulater este paralelogram

Fie ABCD un paralelogram de centru O iar E,F,G,H mijloacele segmentelor [OA] [OB] [ OC] şi respectiv [OD]. arătaţi că EFGH este paralelogram.

Demonstratie:

probleme rezolvate cu paralelogramul
Stim din ipoteza ca ABCD este paralelogram si cu proprietatile referitoare la diagonale intr-un paralelogram stim ca diagonalele au acelasi mijloc, daca nu va reaminti click aici

Astfel obtinem ca [AO]\equiv[CO]
Dar si [BO]\equiv[DO]

Tot din ipoteza stim ca E este mijlocul lui AO, deci avem AE=EO=\frac{AC}{2}
– F mijlocul lui BO, deci avem BF=FO=\frac{BO}{2}
– G mijlocul lui CO, deci obtinem ca CG=GO=\frac{CO}{2}
– H mijlocul lui DO, deci avem ca DH=HO=\frac{DO}{2}

Ca sa intelegem avem ca EO=\frac{AO}{2}\Rightarrow AO=2\cdot EO
Mai mult, GO=\frac{CO}{2}\Rightarrow CO=2\cdot GO
Cum stim de mai sus ca AO=CO\Rightarrow 2EO=2GO\Rightarrow EO=GO

Dar si FO=\frac{BO}{2}\Rightarrow BO=2\cdot FO
MAi mult HO=\frac{DO}{2}\Rightarrow 2\cdot HO=DO\Rightarrow DO=2\cdot HO
Dar stim de mai sus ca DO=BO\Rightarrow 2\cdot HO=2\cdot FO\Rightarrow HO=FO
Avem ca EO=GO, HO=FO
Deoarece diagonalele in patrulaterul EFGH se injumatatesc cu reciproca teoremei referitoare la diagonale obtinem ca EFGH este paralelogram, unde EG si HF sunt diagonale.

 

Cum demonstram ca un patrulater este paralelogram

Prezentam o problema pe care o rezolvam folosind notiunile invatate pana in acest moment, adica notiunea de patrulater convex, cum aflam masura unghiurilor intr-un patrulater convex, cum aratam ca un triunghi este triunghi isoscel, dar si cum aratam ca un patrulater este paralelogram. Adica cum demonstram ca un patrulater este paralelogram.

 

În patrulaterul convex ABCD măsurile unghiurilor A, B, C, D, sunt direct proporționale cu numerele 2,4,6 și 8.
a) Calculați măsurile unghiurilor patrulaterului ABCD
b) Fie [DE bisectoarea unghiului ADC, E € (AB).  Arătați că triunghiul ADE este isoscel.
c) Demonstrați că BCDE este paralelogram.

Demonstratie:

a) Pentru a afla masurile unghiurilor patrulaterului trebuie sa ne reamintim notiunea de marime direct proportionala, iar cei care nu va mai reamintiti click aici.

Astfel obtinem sirul de rapoarte:

\frac{m\left(\widehat{A}\right)}{2}= \frac{m\left(\widehat{B}\right)}{4}= \frac{m\left(\widehat{C}\right)}{6}= \frac{m\left(\widehat{A}\right)}{8}

Acum daca egalam fiecare raport cu o litera k obtinem:

\frac{m\left(\widehat{A}\right)}{2}=k\Rightarrow m\left(\widehat{A}\right)=2k

\frac{m\left(\widehat{B}\right)}{4}=k\Rightarrow m\left(\widehat{B}\right)=4k

\frac{m\left(\widehat{C}\right)}{6}=k\Rightarrow m\left(\widehat{C}\right)=6k

\frac{m\left(\widehat{D}\right)}{8}=k\Rightarrow m\left(\widehat{D}\right)=8k

Dar stim ca intr-un patrulater convex suma masurii unghiurilor este de 360^{0}

Astfel stim ca m\left(\widehat{A}\right)+m\left(\widehat{B}\right)+m\left(\widehat{C}\right)+m\left(\widehat{D}\right)=360^{0}\Rightarrow    2k+4k+6k+8k=360^{0}\Rightarrow 20k=360^{0}\Rightarrow k=360^{2}:20\Rightarrow k=18^{0}

Si astfel obtinem m\left(\widehat{A}\right)=2\cdot k=2\cdot 18^{0}=36^{0}

Iar m\left(\widehat{B}\right)=4\cdot k=4\cdot 18^{0}=72^{0}

Si m\left(\widehat{C}\right)=6\cdot k=6\cdot 18^{0}=108^{0}

Dar si m\left(\widehat{D}\right)=8\cdot k=8\cdot 18^{0}=144^{0}

unghiurile intr-un patrulater convex

Deci am aflat suma masurii unghiurilor patrulaterului.

Important ! Pentru a afla masura unghiurilor patrulaterului trebuie sa stim care este suma masurii unghiurilor intr-un patrulater.

b) Stim ca [DE este bisectoarea unghiului ADC, dar pentru a trasa in figura noastra bisectoarea sa ne reamintim mai intai ce inseamna bisectoarea intr-un unghi.

Definitie:

Semidreapta care imparte unghiul dat in doua unghiuri congrunete se numeste bisectoarea unui unghi.

Deci noi stim ca semidreapta [DE este bisectoarea unghiului ADC, dar cum din punctul anterior stim masura unghiului ADC, putem sa aflam si masura unghiului ADE, dar si masura unghiului EDC, astfel avem m\left(\widehat{ADE}\right)=m\left(\widehat{EDC}\right)=\frac{m\left(\widehat{ADC}\right)}{2}=\frac{144^{0}}{2}=72^{0}

Deci am aflat ca fiecare din unghiuri are masura de 72^{0}.

cum aratam ca un triunghi este isoscel

Observam ca ADE triunghi, dar din notiunile invatate in anii anteriori stim ca suma masurii unghiurilor intr-un triunghi este de 180^{0}

Deci in triunghiul ADE, avem: m\left(\widehat{DAE}\right)+m\left(\widehat{ADE}\right)+m\left(\widehat{AED}\right)=180^{0}\Rightarrow 36^{0}+72^{0}+m\left(\widehat{AED}\right)=180^{0}\Rightarrow 108^{0}+m\left(\widehat{AED}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{AED}\right)=180^{0}-108^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{AED}\right)=72^{2}

deci in triunghiul ADE, stim ca m\left(\widehat{AED}\right)=m\left(\widehat{ADE}\right)=72^{0}\Rightarrow \widehat{AED}\equiv\widehat{ADE}

Dar cu proprietatile de la triunghiul isoscel, stim ca:

-Daca intr-un triunghi unghiurile alaturate bazei sunt congruente, atunci triunghiul este isoscel.

Deci cum am aratat ca cele doua unghiuri sunt congrunete, rezulta ca triunghiul este isoscel, adica \Delta ADE isoscel,

cum sunt unghiurile intr-un triunghi isoscel

 

 

 

 

 

 

 

c) Acum sa demonstram ca BCDE este paralelogram

Observam ca in patrulaterul convex BCDE

m\left(\widehat{EDC}\right)=m\left(\widehat{EBC}\right)=72^{0}

Observam ca unghiul AEB este un unghi alungit, adica:

Stim ca m\left(\widehat{AEB}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{AED}\right)+m\left(\widehat{DEB}\right)=180^{0}\Rightarrow 72^{0}+m\left(\widehat{DEB}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{DEB}\right)=180^{0}-72^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{DEB}\right)=108^{0}.

deci cu masura unghiului gasit obtinem ca m\left(\widehat{DEB}\right)=m\left(\widehat{DCB}\right)=108^{0}\Rightarrow \widehat{DEB}\equiv\widehat{DCB}

Si cu teorema reciproca  referitoare la unghiuri intr-un paralelogram obtinem ca BCDE este paralelogram.

Stim ca daca intr-un patrulater convex unghiurile opuse sunt congruente, atunci patrulaterul este paralelogram.

 Aceasta a fost o problema rezolvata prin care am invatat cum demonstram ca un patrulater este paralelogram. Daca aveti probleme asemanatoare urmati tiparul de mai sus si cu siguranta le puteti rezolva.

Exercitii rezolvate cu aproximarea fractiilor zecimale

Sa invatam aproximarea fractiilor zecimale !

Astazi o sa va rezolvam un exercitiu in care trebuie sa aproximam fractiile zecimale atat la zecimi, sutimi cat si miimi, dar si cu ajutorul unui calculator sa aproximam anumiti radicali la fel ca si la fractiile zecimale.
cum aproximam fractiile zecimale
12,127\approx 12,10 (aproximare prin lipsa cu o zecime )
12,127\approx 12,20 (aproximare prin adaos cu o zecime)
-\sqrt{8}=-2,828
-2,828\approx -2,820 (aproximare prin lipsa cu o sutime)
-2,828\approx -2,830 (apoximare prin adaos cu o sutime)
7,1(68)\approx 7,1680 (aproximare prin lipsa cu o miime)
7,1(68)\approx 7,169 (aproximare prin adaos cu o miime)
\sqrt{27}\approx 5,1961

b) \sqrt{27}\approx 5,1961\approx 5,20(rotunjire cu o zecime)
\sqrt{27}\approx 5,1961\approx 5,20(rotunjire cu o sutime)
\sqrt{27}\approx 5,1961\approx 5,196(rotunjire cu o miime)

c) \sqrt{41}\approx 6,40312\approx 6,40(rotunjire cu o zecime)

\sqrt{41}\approx 6,40312\approx 6,400(rotunjire cu o sutime)
\sqrt{41}\approx 6,40312\approx 6,4030(rotunjire cu o miime)

d) \sqrt{19}\approx 4,3588\approx 4,40(rotunjire cu o zecime)

\sqrt{19}\approx 4,3588\approx 4,360(rotunjire cu o sutime)
\sqrt{19}\approx 4,3588\approx 4,3590(rotunjire cu o miime)

e) \sqrt{135}\approx 11,6189\approx 11,60(rotunjire cu o zecime)
\sqrt{135}\approx 11,6189\approx 11,620(rotunjire cu o sutime)
\sqrt{135}\approx 11,6189\approx 11,6190(rotunjire cu o miime)

f) \sqrt{226}\approx 15,0332\approx 15,00(rotunjire la zecimi)
\sqrt{226}\approx 15,0332\approx 15,030(rotunjire la sutimi)
\sqrt{226}\approx 15,0332\approx 15,0330(rotunjire la miimi)

Atentie in cazul aproximarii prin rotunjire:
-ultima cifra la care se face referire ramane neschimbata daca dupa ea urmeaza 0, 1, 2, 3, 4
– ultima cifra la care se face rotunjirea se mareste cu 1, daca dupa ea urmeaza 5, 6, 7, 8, 9.

Rezolvarea triunghiului dreptunghic Probleme rezolvate

In cadrul acestui articol prezentam doua probleme  pe care le rezolvam cu ajutorul Teoremei lui Pitagora, Teoremei inaltimii, dar si cu ajutorul Teoremei catetei.
Astfel in cazul primei probleme, avem un triunghi dreptunghic, stim o cateta, dar si raportul dintre lungimea proiectiei si ipotenuza. Si avem sa aflam lungimile proiectiilor, ipotenuza, o cateta, dar si inaltimea AD, dusa din varful unghiului A.

1) In triunghiul ABC,mA=90 grade, AD perpendiculara pe BC, AB=14cm si BD supra BC=1 supra 4 . Calculati BD,BC,CD,AC si AD
cum aflam lungimile proiectiilor intr-un triunghi dreptunghic
Stim ca:
\frac{BD}{BC}=\frac{1}{4}
Astfel obtinem:
BD=\frac{1}{4}\cdot BC
In cazul raportului pe care il avem din ipotenuza am scosa BD
Daca aplicam in triunghiul ABC dreptunghic in A, Teorema catetei obtinem:
AB^{2}=BD\cdot BC\Rightarrow 14^{2}=\frac{1}{4}\cdot BC\cdot BC\Rightarrow 14^{2}\cdot 4=BC^{2}\Rightarrow BC=\sqrt{14^{2}\cdot 4}\Rightarrow BC=14\cdot 2\Rightarrow BC=28
Iar
BD=\frac{1}{4}\cdot BC=\frac{1}{4}\cdot 28=\frac{28}{4}=7
Acum aflam CD, astfel avem:
CD=BC-BD\Rightarrow CD=28-7=21
Acum aflam AC, in triunghiul ABC aplicam Teorema lui Pitagora:
AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}\Rightarrow AC^{2}=28^{2}-14^{2}\Rightarrow AC^{2}=784-196\Rightarrow AC=\sqrt{588}=14\sqrt{3}
Iar AD este AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{14\cdot 14\sqrt{3}}{28}=\frac{1\cdot 14\sqrt{3}}{2}=\frac{7\sqrt{3}}{1}=7\sqrt{3}
Urmatoarea problema avem la fel un triunghi dreptunghic, avem inaltimea din varful unghiului A, dar problema ne ofera informatii si despre rapoartul celor doau proiectii. In cadrul acestei probleme stim aria triunghiului. Pornind de la aria triunghiului o sa aflam pentru inceput lungimea proiectiilor catetelor, lungimile catetei si lungimea inaltimii.

2.) In triunghiul ABC, mA=90 grade, AD perpendiculara pe BC, BD supra DC= 4 supra 9 si aria triunghiului este egala cu 3900cm patrati.Calculati:
a) lungimile proiectiilor catetelor pe ipotenuza:BD si DC ;
b) lungimile catetelor AB si AC ;
c) Lungimea inaltimii AD
Probleme rezolbvate cu Teorema cateteiTeorema lui Pitagora si Teorema inaltimii
Demonstratie:
Stim ca:
\frac{BD}{DC}=\frac{4}{9}, astfel obtinem BD=\frac{4}{9}\cdot DC
Mai stim si ca
A_{\Delta ABC}=3900 cm^{2}\Rightarrow \frac{AB\cdot AC}{2}=3900
Dar cu Teorema catetei stim ca:
AB=\sqrt{BD\cdot BC}
dar si
AC=\sqrt{CD\cdot BC}
Astfel obtinem:
\frac{\sqrt{BD\cdot BC}\cdot\sqrt{CD\cdot BC}}{1}=2\cdot 3900\Rightarrow
\frac{\sqrt{BD\cdot CD\cdot BC^{2}}}{1}=7800\Rightarrow BC\sqrt{BD\cdot DC}=7800\Rightarrow
BC\cdot\sqrt{\frac{4}{9}DC\cdot DC}=7800\Rightarrow BC\cdot \frac{2}{3}DC=7800\Rightarrow BC\cdot DC=7800\cdot\frac{3}{2}\Rightarrow BC\cdot DC=3900\cdot 3\rightarrow \left(BD+DC\right)\cdot DC=11700\Rightarrow\left(\frac{4}{9}DC+DC\right)\cdot DC=11700\Rightarrow \frac{13}{9}DC^{2}=11700\Rightarrow DC^{2}=11700\cdot \frac{9}{13}\Rightarrow DC^{2}=900\cdot 9\Rightarrow DC=\sqrt{900\cdot 9}\Rightarrow DC=30\cdot 3=90\;\; cm
Obsevati ca am folosit Teorema catetei pentru a afla lungimile proiectiilor catetelor pe ipotenuza.
Iar
BD=\frac{4}{9}\cdot DC=\frac{4}{9}\cdot 90=4\cdot 10=40\;\; cm
Deci am aflat lungimile proiectiilor.

Acum sa aflam lungimile catetelor
Stim ca
BC\cdot DC=11700
Dar stim cu Teorema inaltimii ca BC\cdot DC=AC^{2}

Astfel avem ca AC^{2}=11700\Rightarrow AC=\sqrt{11700}=30\sqrt{13}

Acum pentru a afla AB stim ca BC=BD+DC=90+40=130
Iar daca aplicam Teorema catetei obtinem ca
AB^{2}=BD\cdot BC\Rightarrow AB^{2}=40\cdot 130\Rightarrow AB=\sqrt{40\cdot 130}\Rightarrow AB=\sqrt{5200}\Rightarrow AB=20\sqrt{13}
Acum ca sa aflam lungimea inaltimii stim ca
AD=\sqrt{BD\cdot DC}=\sqrt{40\cdot 90}=\sqrt{3600}=60\;\; cm

Elemente de organizare a datelor Reprezentarea punctelor in plan cu ajutorul sistemelor de axe de coordonate Distanta dintre doua puncte in plan

Inca din clasele mai mici am definit notiunea de produs cartezia, notiune care ne  ajuta sa introduce notiuni noi, astfel Prousul sclar al multimilor nevide A si B este multimea perechilor ordonate (a, b), unde a\in A si b\in B: A\times B=\left\{\left(a,b\right)|a\in A, b\in B\right\} Atentie trebuie sa stim ca \left(a,b\right)\neq\left(b,a\right), la fel si A\times B\neq B\times A

Exemplu Daca A\left\{1,2,3\right\} si B=\left\{0,4\right\} Atunci A\times B=\left\{\left(1,0\right); \left(1,4\right); \left(2,0\right); \left(2,4\right); \left(3,0\right); \left(3,4\right)\right\}

Prin sistem de axe ortogonale intelegem figura formata din doua axe ale numerelor care sunt perpendiculare si care au un punct de intersectie numit origine. cum aratam un reper cartezian In figura de mai sus xOy este un sistem de axe ortogonale cu:

– originea O,

– axa Ox numita axa absciselor

– axa Oy numita axa ordonaltelor

Sistemul de axe ortogonale se mai numeste si sistem (reper) cartezian Planul in care se reprezinta sistemul cartezian este impartit in patru cadrane si au semnele dupa cum urmeaza:

– cadranul I (+,+)

– cadranul II (-,+)

– cadranul III (-,-)

– cadranul IV (+,-) sistem de axe ortogonale       Acum sa vedem cu reprezentam punctele in sistemul de axe ortogonale, astfel fie de exemplu

A\left(1,2\right); B\left(-1, 4\right); C\left(-2,-3\right); D\left(5,-3\right)reprezentarea punctelor in sistemul de axe ortogonale Observati ca atunci cand reprezrntam punctele trebuie sa tine cont de anumite reguli:

-sa avem aceiasi unitate de masura (alegem o unitate de masura in sistemul de axe ortogonale)

– prima coordonata a unui punct corespunde axei Ox, adica axa absciselor in czul nostru am avut A(1, 2), 1 corespunde axei Ox, valoarea pe care o ia x

– cea de-a doua valoare a punctului corespunde axei Oy, adica axei ordonate, in cazul nostu 2 se afla pe axa Oy

Trebuie sa tinem cont si de valorile negative pe care le iau puntele astfel de exemplu: C(-2,-3)

Am vazut ca un sistem de axe ortogonale este o figura formata din doua axe ale numerelor care sunt perpendiculare si care au un punct in comun.

Astfel -2 se afla tot pe axa absciselor, adica Ox dar spre – infinit, adica sensul negativ , in cadranul al doilea Iar -3 se afla pe axa ordonatelor, adica axa Oy, dar la fel  spre -infinit, in cadranul  al doilea

Distanta dintre doua puncte:

Fie punctele A\left(x_{A}, y_{A}\right) si B\left(x_{B}, y_{B}\right) reprezentate intr-un sistem de axe ortogonale xOy. aplicand teorema lui Pitagora intr-un triunghi dreptunghic a carui ipotenuza este segmentul AB, iar catetele sunt paralele cu axele de coordonate obtinem:

AB=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}

Mijlocul unui segment

Pentru oricare doua puncte A\left(x_{A}, y_{A}\right) si B\left(x_{B}, y_{B}\right), coordonatele mijlocului M al segmentului AB sunt x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} si y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}

Aplicatii:

1) Fie punctele A(2,1), B(-1,-3), C(0,-3), D(4,0),, reprezentati intr-un sistem de axe ortogonale. Si calculati:

a) Distantele AB, AC, CD

b) Determinati coordonatele mijlocului M al segmentului [AC] Solutie: Mai inati reprezentam punctele intr-un sistem de axe de coordonate: cum reprezentam punctele intr-un sistem de axe Cand am reprezentat punctul C observati ca l-am pus pe axa Oy, axa ordonatelor si se numeste punctul de abscisa 0 si ordonata -3, iar punctul D se afla pe axa Ox, axa absciselor si se numeste punctul cu ordonata 0.

Astfel de retinut daca abscisa este 0, punctul se afla pe axa ordonatelor, iar daca  ordonata este 0,  atunci punctul se afla pe axa absciselor

Acum ca sa calculam distanta dintre punctele A si B, folosim formula de mai sus, astfle:

AB=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{\left(-1-2\right)^{2}+\left(-3-1\right)^{2}}=\sqrt{\left(-3\right)^{2}+\left(-4\right)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

Acum calculam AC=\sqrt{\left(x_{C}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{C}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{\left(0-2\right)^{2}+\left(-3-1\right)^{2}}=\sqrt{\left(-2\right)^{2}+\left(-4\right)^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}

Iar CD=\sqrt{\left(x_{D}-x_{C}\right)^{2}+\left(y_{D}-y_{C}\right)^{2}} =\sqrt{\left(4-0\right)^{2}+\left[0-\left(-3\right)\right]^{2}}= \sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 distanta dintre doua puncte b) Acum sa aflam coordonatele mijlocului segmentului AC, astfel cu formula enuntata mai sus obtinem

M\left(x_{M}, y_{M}\right) Astfel x_{M}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{2+0}{2}=\frac{2}{2}=1

y_{M}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{1+\left(-3\right)}{2}=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1

Deci M\left(1,-1\right)

2) Stiind ca A(a,1), B(0,5), determinati numerele reale a pentru care AB=5.

Solutie:

Astfel stim ca

AB=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}\Rightarrow 5=\sqrt{\left(0-a\right)^{2}+\left(5-1\right)^{2}}\Rightarrow 5=\sqrt{\left(-a\right)^{2}+4^{2}}\Rightarrow 5=\sqrt{a^{2}+16}\Rightarrow 5^{2}=a^{2}+16\Rightarrow 25=a^{2}+16\Rightarrow 25-16=a^{2}\Rightarrow 9=a^{2}\Rightarrow a^{2}=9\Rightarrow a=\pm\sqrt{9}=\pm 3\Rightarrow a\in\left\{-3.3\right\}

3) Determinati coordonatele simetricului punctului A(1, 2) fata de punctul M(3,4).

Solutie:

cum aflam simetricul unui punct fata de un punct

Simetricul punctului A fata de M este punctul A'(x_{A'},y_{A'}) cu proprietatea ca

d\left(A,M\right)=d\left(M,A'\right),

adica M este mijlocul segmentului AA’, astfel avem ca

x_{M}=\frac{x_{A}+x_{A'}}{2}, y_{M}=\frac{y_{A}+y_{A'}}{2} Astfel avem ca x_{M}=\frac{x_{A}+x_{A'}}{2}\Rightarrow 3=\frac{1+x_{A'}}{2}\Rightarrow 3\cdot 2=1+x_{A'}\Rightarrow 6=1+x_{A'}\Rightarrow x_{A'}=6-1\Rightarrow x_{A'}=5 y_{M}=\frac{y_{A}+y_{A'}}{2}\Rightarrow 4=\frac{2+y_{A'}}{2}\Rightarrow 2\cdot 4=2+y_{A'}\Rightarrow 8=2+y_{A'}\Rightarrow 8-2=y_{A'}\Rightarrow 6=y_{A'}

Deci obtinem A'\left(5,6\right)

Aria poligoanelor studiate

Dupa cum bine stiti pana acum am discutat despre aria triunghiului, unde am invatat formlula de baza pentru un triunghi oarecare, dar si aria paralelogramului, aria dreptunghiului, aria rombului si aria patratului.
Astazi o sa discutam despre Aria poligoanelor studiate.
Incepem prin a defini o noua formula pentru aria triunghiului, nu de mult am invatat si functiile trigonometrice, din acest motiv acesta formula are legatura cu notiunile trigonometrice.
Astfel aria triunghiului se poate calcula cu formulele:
cum calculam aria unui triunghi oarecare
A_{\Delta ABC}=\frac{baza\cdot h}{2}=\frac{BC\cdot AA'}{2}
Deci aria triunghiului este egala cu semiprodusul dintre baza si inaltimea corespunzatoare bazei.

Dar mai exista si alta formula pentru aria unui triunghi, astfel daca stim intr-un triunghi oarecare doua laturi si unghiul format de cele doua laturi aplicam formula:
A_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin BAC}{2}=\frac{a\cdot b\cdot \sin A}{2}
Sau
A_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot BC\cdot \sin ABC}{2}=\frac{a\cdot c\cdot \sin B}{2}
Sau
A_{\Delta ABC}=\frac{AC\cdot BC\cdot \sin BCA}{2}=\frac{c\cdot b\cdot \sin A}{2}
Daca un triunghi ABC este dreptunghic aplicam formula
A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}, unde c_{1}, c_{2} sunt catetele triunghiului dreptunghic.

Daca triunghiul ABC este echilateral aplicam formula A_{\Delta ABC}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}, unde l este latura triunghiului.
Problema:
1) Fie ABC un triunghi isocel de baza BC=16 cm si inaltimea AD=6 cm. Calculati suma lungilor inaltimilor triunghiului.
Demonstratie:

Triunghiul ABC este isoscel de baza BC, cum stim baza, dar si inaltimea, putem afla lungimea segmentelor BD si DC, deoarece conform proprietatilor pentru triunghiul isocel, mediana, mediatoarea, bisectoarea si inaltimea corespunzatoare bazei coincid, deci AD este si mediana si astfel gasim ca

BD=DC=\frac{BC}{2}=\frac{16}{2}=8 cm

Acum in triunghiul ABD putem aplica Teorema lui Pitagora, astfel avem:
AB^{2}=BD^{2}+DA^{2}\Rightarrow AB^{2}=8^{2}+6^{2}\Rightarrow AB^{2}=6+4+36\Rightarrow AB=\sqrt{100}=10 cm
Cum AB=10 cm, gasim si ca AC=10 cm.
Acum sa aflam lungimea inaltimii BE, dusa din varful unghiului B pe latura opusa AC, astfel daca aflam aria triunghiului ABC de baza BC, gasim ca:
A_{\Delta BAC}=\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{16\cdot 6}{2}=\frac{8\cdot 6}{1}=48 cm^{2}
Acum daca calculam aria triunghiului ABC de baza AC gasim ca:
A_{\Delta ABC}=\frac{AC\cdot BE}{2}=\frac{10\cdot BE}{2}=5\cdot BE
Acum daca egalam cele doua arii care le-am gasit obtinem ca:
A_{\Delta BAC}=A_{\Delta ABC}\Rightarrow 48=5\cdot BE\Rightarrow BE=48:5\Rightarrow BE=9,6

Acum daca calculam lungimea inaltimii CF, la fel ca mai sus, gasim ca CF=9,6 cm
Astfel suma lungimi inaltimilor triunghiului este
6+9,6+9,6=25,2 cm
aria triunghiului isoscel
2) Fie ABCD un trapez dreptunghic cu m\left(\widehat{A}\right)=m\left(\widehat{D}\right)=90^{0}, AB=8 cm, BC=5 cm si CD=12 cm
Calculati aria trapezului

Demonstratie:
Ca sa aflam aria trapezului trebuie sa aflam inaltimea tapezului, astfel construim perpendiculara din B pe CD, astfel incat AD=BE, mai stim si ca AB=BE=8 cm, deci putem afla CE=CD-BE=12-8=4 cm
Deci in triunghiul dreptunghic BEC aplicam Teorema lui Pitagora
BE^{2}=BC^{2}-CE^{2}\Rightarrow BE^{2}=25-16\Rightarrow BE=\sqrt{9}=3 cm
Deci inaltimea trapezului este de 3 cm

Acum sa aflam aria trapezului
A_{\Delta ABCD}=\frac{\left(B+b\right)\cdot h_{trapez}}{2}=\frac{\left(AB+CD\right)\cdot AD}{2}=\frac{\left(8+12\right)\cdot 3}{2}=\frac{20\cdot 3}{2}=\frac{60}{2}=30\;\;cm^{2}
cum calculam aria trapezului dreptunghic?