Rezolvarea triunghiului dreptunghic cu functiile trigonometrice

Dupa ca am invatat sa aplicam Teorema lui Pitagora, adica sa rezolvam triunghiul dreptunghic cu ajutorul Teoremei lui Pitagora, Teoremei inaltimii, Teoremei catetei, a venit vremea sa invatam sa rezolvam Triunghiul dreptunghic cu ajutorul functiilor trigonometrice.

Astfel, pentru orice triunghi dreptunghic se definesc rapoartele sinus, cosinus, tangenta si cotangenta numite functiile trigonometrice.

cum aplicam functiile trigonometrice

Acum definim functia sinus pentru unghiul x ca fiind \sin x^{0}=\frac{cateta. opusa}{ipotenuza}=\frac{AC}{BC}

Functia cosinusului: \cos x^{0}=\frac{cateta, alaturata}{ipotenuza}=\frac{AB}{BC}

Functia tangenta \tan x^{0}=\frac{cateta. opusa}{cateta. alaturata}=\frac{AC}{AB}

Functia cotangenta x^{0}=\frac{cateta alaturata}{cateta. opusa}=\frac{AB}{AC}

Se observa ca \tan x^{0}=\frac{\sin x^{0}}{\cos x^{0}} dar si  functia cotangenta x^{0}=\frac{cos x^{0}}{\sin x^{0}} dar si

\sin^{2} x^{0}+\cos^{2} x^{0}=1

Important cand aplicam functiile trigonometrice este sa avem triunghi dreptunghic, deci functiile trigonometrice se aplica in triunghiurile dreptunghice.

Exemplu:

In triunghiul ABC m\left(\widehat{A}\right)=75^{0} si m\left(\widehat{B}\right)=60^{0}. Daca Ac=5\sqrt{6}, calculati perimetrul triunghiului ABC.

Demonstratie:

Observam ca triunghiul nu este dreptunghic, dar putem afla si masura unghiului C astfel:

m\left(\widehat{A}\right)+m\left(\widehat{B}\right)+m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}\Rightarrow
75^{0}+60^{0}+m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}-135^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{C}\right)=45^{0}

Acum construim perpendiculara din
cum aflam perimetrul unui triunghi
A pe BC, astfel obtinem doua triunghiuri dreptunghice, fie Ad\perp BC

Acum in triunghiul ACD aplicam cosinusul unghiului de 45 de grade

\cos 45^{0}=\frac{cateta.alaturata}{ipotenuza}\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{CD}{AC}\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{CD}{5\sqrt{6}}\Rightarrow CD=\frac{5\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}}{2}=\frac{5\cdot 2\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}

Observam ca masura unghiului C este de 45 de grade, masura unghiului D este de 90 de grade si astfel gasim si ca m\left(\widehat{CAD}\right)=45^{0}

Si astfel triunghiul ACD este dreptunghic isoscel , deci CD=AD=5\sqrt{3}

Acum, daca in triunghiul ADC aplicam sinusul unghiului B obtinem

\sin B=\frac{cateta. opusa}{ipotenuza}\Rightarrow \sin 60^{0}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{AB}\Rightarrow AB=\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=10
Acum daca aplicam \cos 60^{0}=\frac{BD}{AB}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{BD}{10}\Rightarrow BD=5\;\;cm

Deci BC=BD+DC=5\sqrt{3}+5

Astfel perimetrul triunghiului ABC este P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC=10+5\sqrt{6}+5\sqrt{3}+5=15+5\sqrt{6}+5\sqrt{3}=5\left(3+\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)

Deci daca nu avem triunghi dreptunghic construim perpendiculara dintr-un varf al unghiului pe latura opusa unghiului.

Fie triunghiul ABC dreptunghic in A.Daca BC =25 cm si sin B +sin C=1,4, aflati perimetrul triunghiului;

Demonstratie:
In triunghiul ABC aplicam
\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{AC}{25}
Dar si \sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{25}
Acum daca inlocuim in relatia de mai sus avem
\sin B+\sin C=1,4\Rightarrow \frac{AC}{25}+\frac{AB}{25}=1,4\Rightarrow \frac{AB+AC}{25}=1,4\Rightarrow AB+AC=25\cdot 1,4\Rightarrow AB+AC=35(1)
Acum, daca in triunghiul ABC aplicam Teorema lui Pitagora obtinem
AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\Rightarrow 25^{2}=\left(AB+AC\right)^{2}-2\cdot AB\cdot AC\Rightarrow 625=1125-2\cdot AB\cdot AC\Rightarrow 625-1125=-2\cdot AC\cdot AB\Rightarrow -2\cdot AB\cdot AC=-600\Rightarrow AB\cdot AC= 300\Rightarrow
Acum, daca scoatem din relaia (1) AB obtinem AB=35-AC si inlocuim in relatia de mai sus avem
AB\cdot AC=250\Rightarrow \left(35-AC\right)\cdot AC=300\Rightarrow 35\cdot AC-AC^{2}=300\Rightarrow -AC^{2}+35\cdot AC-300=0|\cdot \left(-1\right)\Rightarrow AC^{2}-35\cdot AC+300=0\Rightarrow AC^{2}-20\cdot AC-15\cdot AC+300=0\Rightarrow AC\left(AC-20\right)-15\left(AC-20\right)=0\Rightarrow \left(AC-20\right)\left(AC-15\right)=0
Deci gasim o data ca AC-20=0\Rightarrow AC=20 sau AC-15=0\Rightarrow AC=15
Acum aflam AB, astfel AB=35-AC\Rightarrow AB=35-15=20

Sau AB=35-AC=35-20=15
Acum daca efectuam proba obtinem
\sin B+\sin C=1,4\Rightarrow \frac{AC}{25}+\frac{AB}{25}=\frac{AB+AC}{25}=\frac{15+20}{25}=\frac{35}{25}=1,4
Deci se verifica.
Acum daca aplicam si Teorema lui Pitagora obtinem
AB^{2}+AC^{2}=25^{2}\Rightarrow 15^{2}+20^{2}=225+400=625
Deci se verifica.
Si astfel gasim ca perimetrul triunghiului este P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC=15+20+25=60
Deci AB=20 si AC=15
Sau AB=15 si AC=20

Cum aflam linia mijlocie intr-un trapez dreptunghic

Sa vedem cum putem afla linia mijlocie intr-un trapez, trapez dreptunghic !

In trapezul dreptunghic ABCD,AB perpendicular pe CD, m\left(\widehat{B}\right)=m\left(\widehat{C}\right)=90^{0} se stie ca DB este bisectoarea unghiului D si DB=12\sqrt{3} cm. Daca m\left(\widehat{A}\right)= 120^{0} sa se afle lungimea liniei mijlocii.

Demonstratie:

Stim ca \prec{A}=120^{0}, dar si \prec{B}\equiv\prec{C}=90^{0}

Deci m\left(\widehat{ADC}\right)=360^{0}-120^{0}-180^{0}=240^{0}-180^{0}=60^{0}

Cum DB este bisectoarea unghiului D gasim ca

m\left(\widehat{ADB}\right)=m\left(\widehat{BDC}\right)=\frac{60^{0}}{2}=30^{0}

Cum triunghiul BCD este dreptunghic putem aplica:

Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}

Astfel BC=\frac{BD}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\;\; cm

Acum construim perpendiculara din A pe CD, astfel obtinem ABCT dreptunghi, deci AT=6\sqrt{3}

Acum cu Teorema lui Pitagora in triunghiul BDC obtinem:

BD^{2}=BC^{2}+CD^{2}\Rightarrow CD^{2}=\left(12\sqrt{3}\right)^{2}-\left(6\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow CD=\sqrt{432-108}=\sqrt{324}=18\;\; cm

Daca in triunghiul ATD aplicam tangenta de 60 de grade obtinem:

\tan ADT=\frac{AT}{TD}\Rightarrow \tan 60^{0}=\frac{6\sqrt{3}}{TD}\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{6\sqrt{3}}{TD}\Rightarrow TD=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=6 cm Cum stim TD, putem afla CT=18-6=12 cm.

Dar ABCT dreptunghi si astfel gasim si ca AB=CT=12 cm.

Observam ca in triunghiul ADB m\left(\widehat{BAD}\right)=120^{0}, dar si ca m\left(\widehat{ADB}\right)=30^{0}, deci m\left(\widehat{ABD}\right)=30^{0} si astfel gasim ca triunghiul ABD isoscel, adica AB=AD=CT=12 cm.

Astfel construim perpendiculara din A pe BD, fie AO\perp BD, astfel in triunghiul ABO dreptunghic in O aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}

AO=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6 cm

Cum stim bazele trapezului putem afla linia mijlocie a trapezului.

 

cum aflam linia mijlocie intrun trapez

MN=\frac{AB+CD}{2}=\frac{12+6}{2}=\frac{18}{2}=9\;\; cm

Ecuatia de forma x^{2}=a unde a este un numar rational

Ecuatia de  forma x^{2}=a.

Pana in acest moment am discutat doar de ecuatia de gradul I, pe care am rezolvat-o fie in multimea numerelor naturale, fie in multimea numerelor rationale, fie in multimea numerelor intregi. Acum a venit vremea se discutam despre ecuatia de forma x^{2}=a unde a este un numar rational.

Astfel a rezolva o ecuatie de forma x^{2}=a, unde a\in Q, in multimea M\subset R inseamna a determina toate valorile x_{0}\in M pentru care propozitia x^{2}_{0}=a este adevarata.

Valorile pe care le gasim, daca le gasim, se numesc solutiile ecuatiei, iar multimea lor notata de regula cu S se numeste multimea solutiilor ecuatiei.

Pentru a rezolva ecuatia x^{2}=a presupune discutarea a trei cazuri:

Daca a<0, atunci ecuatia nu are solutii, astfel S=\Phi, deorece x^{2}\geq a\geq 0, pentru a numar real.

Daca a=0, atunci ecuatia se scrie x^{2}=0 si astfel ecuatia are o unica solutie x=0, deci S=\left\{0\right\}

Daca a>0 , atunci ecuatia se scrie x^{2}=a si are doua solutii reale si distincte:

x^{2}=a\Rightarrow x=\pm\sqrt{a}, deci x_{1}=\sqrt{a} si x_{2}=-\sqrt{a}, astfel S=\left\{-\sqrt{a}, \sqrt{a}\right\}.

Prezentam exemple prin care sa intelegem cea ce am spus mai sus:

1) Rezolvati ecuatiile:

a)4x^{2}=64

b) 3x^{2}+2=1^{2}+\left(-1\right)^{2}

c) 2x^{2}=1-\left(-1\right)^{2010}

Solutie:

a) 4x^{2}=64:4\Rightarrow x^{2}=64:4\Rightarrow x^{2}=16\Rightarrow x=\pm\sqrt{16}

Deci x_{1}=-\sqrt{16}=-4, dar si x_{2}=+\sqrt{16}=+4

Deci S=\left\{-4, 4\right\}

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus mai intai am impartit prin 4, atat in membrul stang cat si in membrul drept, ca sa aducem ecuatia la forma x^{2}=a, observam ca in cazul nostu a=16, deci mai mare decat 0. Deci ecuatia de mai sus are doua solutii rele si distincte si astfel am obtinut o radacina -4, iar cea de-a doua +4.

b) 3x^{2}+2=1^{2}+\left(-1\right)^{2}\Rightarrow 3x^{2}+2=1+1\Rightarrow 3x^{2}=2-2\Rightarrow 3x^{2}=0\Rightarrow x^{2}=0\Rightarrow x=0
Deci S=\left\{0\right\}

Observati ca sa rezolvam ecuatia de mai sus am efectuat mai intai operatia de ridicare la putere a numerelor naturla si inregi, apoi am adus ecuatia la forma generala, adica am scazut 2 atat din membrul stang cat si din membrul drept, si astfel am obtinut rezultatul 0, deci suntem in cazul al treilea pe care l-am prezentat mai sus. Astfel gasim ca ecuatia are solutia 0.

 

c) 2x^{2}=1-\left(-1\right)^{2010}\Rightarrow 2x^{2}=1-1\Rightarrow 2x^{2}=0\Rightarrow x^{2}=0\Rightarrow x=0

d) x^{2}=-2

In cazul ecuatiei de mai sus -2<0, deci suntem in primul caz care l-am prezentat mai sus si astfel obtinem ca ecuatia nu are solutii reale.

2) Rezolvati ecuatiile:

a) x^{2}-6x-16=0\Rightarrow x^{2}-8x+2x-16=0\Rightarrow x\left(x-8\right)+2\left(x-8\right)=0\Rightarrow \left(x-8\right)\cdot\left(x+2\right)=0

Si astfel obtinem

x-8=0\Rightarrow x=8

Dar si ca

x+2=0\Rightarrow x=-2

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus am folosit descompunerea in factori, astfel lam scris pe -6x ca fiind -8x+2x, astfel incat sa putem da factor comun si sa obtinem un produs de factori primi, apoi observati ca am obtinut factorul comun x-8 si astfel am obtinut un produs de factori primi.

Acum in cazul ecuatiei produsul fiind egal cu 0, atunci cel putin una din ecuatii este egal cu 0 si astfel am obtinut solutiile ecuatiei.

b) \left(x-3\right)^{2}-25=0\Rightarrow \left(x-3\right)-5^{2}=0\Rightarrow \left(x-3-5\right)\left(x-3+5\right)=0

si astfel solutiile ecuatiei sunt

x-3-5=0\Rightarrow x-8=0\Rightarrow x=8

Dar si x-3+5=0\Rightarrow x+2=0\Rightarrow x=-2

Si astfel am gasit solutiile ecuatiei.

Observati ca am folosit fomula de calcul prescutat a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right), unde in cazul nostru a=x-3, iar b=5

Putem sa rezolvam ecuatia si altfel astfel avem:

\left(x-3\right)^{2}-25=0\Rightarrow \left(x-3\right)^{2}=25\Rightarrow x-3=\pm\sqrt{25}

si astfel obtinem

x-3=-\sqrt{25}\Rightarrow x-3=-5\Rightarrow x=-5+3\Rightarrow x=-2

Dar si x-3=\sqrt{25}\Rightarrow x-3=5\Rightarrow x=5+3\Rightarrow x=8

Metoda a doua de rezolvare consta in faptul ca folosim rezolvarea ecuatiei x^{2}=a

Astfel \left(x-3\right)^{2} este considerat x^{2}, iar a=25, astfel  obtinem doua solutii ale ecuatiei iar restul este calcul.

 

Problema rezolvata cu ajutorul Teoremei fundamentale

Sa invatam sa rezolvam o problema cu ajutorul teoremei fundamentale :

Se da triunghiul ABC, AB=12cm, BC=18 cm, AC=15 cm, MN paralel cu BC, MN=12 cm, aflati AM si AN.

Demonstratie

Problema rezolvata T. F. A
Stim din ipoteza ca MN||BC
Deci, cu ajutorul teoremei fundamentale a asemanarii gasim ca
\Delta ABC\sim \Delta AMN
Astfe avem ca :
\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}
Daca luam egalitatea ultimelor doua rapoarte avem ca :
\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}\Rightarrow \frac{AN}{15}=\frac{12}{18}^{(6}\Rightarrow \frac{AN}{15}=\frac{2}{3}\Rightarrow AN=\frac{15\cdot 2}{3}^{(3}\Rightarrow AN=5\cdot 2\Rightarrow AN=10 cm.
Deci am gasit ca AN este egal cu 10 cm.
Acum pentru a afla AM luam egalitatea primelor doua rapoarte si gasim:
\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\Rightarrow \frac{AM}{12}=\frac{10}{15}\Rightarrow AM=\frac{12\cdot 10}{15}\Rightarrow AM=\frac{120}{15}\Rightarrow AM=8 cm.
Astfel am gasit si ca AM=8 cm.
Sau daca luam primul si ultimul raport gasim ca:
\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}\Rightarrow \frac{AM}{12}=\frac{12}{18}\Rightarrow AM=\frac{12\cdot 12}{18}\Rightarrow AM=\frac{144}{18}\Rightarrow AM= 8 cm.
Deci, este  important ca atunci cand avem intr-o problema un triunghi cu o dreapta  paralela cu cea de-a treia  si avem sa aflam lungimea unor segmente  sa stim si  enuntul Teoremei Fundamentale a Asemanarii dar si sa o aplicam.

Teorema inaltimii

Astazi o sa discutam despre Teorema inaltimii. Dar mai intai, ca sa stim sa aplicam teorema inaltimii, trebuie sa stim notiunea de ”proiectia ortogonala pe o dreapta”, astfel incepem prin a defini  aceasta notiune:

Definitie: Proiectia ortogonala a unui punct pe o dreapta este piciorul perpendicularei dusa din acel punct pe dreapta.

care este proiectia unui punct pe o dreapta

Astfel
pr_{d} A=A'  \\ A\notin d
si pr_{d} N=N', N\in d
Teorema: Proiectia unui segment pe o dreapta este un segment sau un punct.

care este proiectia unui segment pe o dreapta
Acum enuntam Teorema inaltimii

Teorema : Intr-un triunghi dreptunghic patratul lungimii inaltimii corespunzatoare ipotenuzei este egala cu produsul lungimii proiectiilor catetelor pe ipotenuza.

Sau
Intr-un triunghi dreptunghic lungimea inaltimii corespunzatoare ipotenuzei este media geometrica a lungimii proiectiilor catetelor pe ipotenuza.
Cum aplicam Teorema inaltimii
Cu notatile din figura avem:
AD^{2}=CD\cdot DC
Sau
AD=\sqrt{CD\cdot DC}
Lungimea inaltimii corespunzatoare ipotenuzei este raportul dintre produsul lungimilor catetelor si lungimea ipotenuzei.
AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}.

Problema

1) In triunghiul ABC cu m\left(\widehat{A}\right)=90^{0} si BC=20 cm. Daca masura unghiului dintre inaltimea si mediana duse din A este de 30^{0}, calculati lungimea inaltimii si aria triunghiului ABC.

Demonstratie:
Fie AD inaltimea, si AM mediana triunghiului duse din varful unghiului drept, deci unghiul care l-am format este
m\left(\widehat{DAM}\right)=30^{0}.
Teorema inaltimii
Dupa cum observati stim ca m\left(\widehat{DAM}\right)=30^{0}., dar mai stim si ca AD este inaltime, deci m\left(\widehat{ADM}\right)=90^{0} si astfel putem sa aflam si masura unghiului AMD, adica
m\left(\widehat{ADM}\right)+m\left(\widehat{DAM}\right)+m\left(\widehat{AMD}\right)=180^{0}\Rightarrow
90^{0}+30^{0}+m\left(\widehat{AMD}\right)=180^{0}\Rightarrow
m\left(\widehat{AMD}\right)=180^{0}-120^{0}\Rightarrow
m\left(\widehat{AMD}\right)=60^{0}
Dar stim ca AM este mediana in triunghiul dreptunghic ABC, deci putem aplica Teorema Medianei, adica
AM=\frac{BC}{2}=\frac{20}{2}=10, dar daca AM este medina stim si ca
BM=MC=10 cm dar si cu Teorema Medianei avem ca BM=MC=AM=10 cm.

Astfel gasim ca triunghiul AMC este isoscel, dar si triunghiul AMB este isoscel, cu un unghi de m\left(\widehat{AMB}\right)=60^{0} deci triunghiul AMB este echilateral, deci daca triughiul AMB este echilateral gasim ca AM=MB=AB=10 cm.
Dar mai stim si ca triunghiul AMC este isoscel, stim masura unghiului AMB, deci putem afla masura unghiului AMC, deoarece suma masurii unghiurilor pe o drepata este de 180^{0}, astfel avem
180^{0}=m\left(\widehat{BMA}\right)+m\left(\widehat{AMC}\right)\Rightarrow 180^{0}=60^{0}+m\left(\widehat{AMC}\right)\Rightarrow m\left(\widehat{AMC}\right)=180^{0}-60^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{AMC}\right)=120^{0}, dar mai stim si ca triunghiul AMC este isocel, deci gasim ca
m\left(\widehat{MAC}\right)=m\left(\widehat{MCA}\right)=\frac{180^{0}-120^{0}}{2}\Rightarrow m\left(\widehat{MAC}\right)=m\left(\widehat{MCA}\right)=30^{0}
Acum ca sa aflam DM in triunghiul DAM, aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}
DM=\frac{AM}{2}=\frac{10}{2}=5 cm
Observam ca m\left(\widehat{DAC}\right)=60^{0}
Deci stim ca BC=BD+DM+MC, noi trebuie sa aflam BD si DC, astfel avem
20=BD+5+10\Rightarrow BD=20-15\Rightarrow BD=5 cm, iar
DC=DM+MC=5+10\Rightarrow DC=15 cm
Stim ca triunghiul ABC este dreptunghic, deci putem aplica Teorema inaltimii
AD^{2}=BD\cdot DC\Rightarrow AD^{2}=5\cdot 15\Rightarrow AD=\sqrt{5\cdot 15}\Rightarrow AD=5\sqrt{3}
Deci inaltimea in triunghiul ABC este 15\sqrt{3}.
Acum ca sa aflam aria triunghiului ABC, aplicam formula pentru arie a unui triunghi
A_{\Delta ABC}=\frac{baza\cdot h}{2}=\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{20\cdot 15\sqrt{3}}{2}=10\cdot 15\sqrt{3}=150\sqrt{3}.
Altfel putem afla aria triunghiului daca aplicam formula pentru aria triunghiului dreptunghic, adica
A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}
Dar noi observam ca nu stim cateta AC.
Cateta AC o sa invatam sa o calculam cu Teorema catetei sau cu Teorema lui Pitagora, dar intr-un alt articol.

Problema simpla rezolvata cu cazurile de asemanare

Prezentam o problema simpla rezolvata cu cazurile de asemanare

Stabiliti daca triunghiurile ABC si EFT sunt asemenea in urmatoarele situatii:

a) m\left(\widehat{B}\right)=65^{0}; m\left(\widehat{C}\right)=70^{0}; m\left(\widehat{E}\right)=45^{0}; m\left(\widehat{F}\right)=65^{0}

Demonstratie:

Cazurile de asemanarea a triunghiurilor
In triunghiul ABC stim

m\left(\widehat{B}\right)=65^{0}; m\left(\widehat{C}\right)=70^{0}
Deci putem afla masura unghiului A, astfel avem
m\left(\widehat{A}\right)+m\left(\widehat{B}\right)+m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{A}\right)+65^{0}+70^{0}=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{A}\right)=180^{0}-135^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{A}\right)=45^{0}
In triunghiul EFT stim
m\left(\widehat{E}\right)=45^{0}; m\left(\widehat{F}\right)=65^{0}
Deci putem afla masura unghiului T
m\left(\widehat{E}\right)+m\left(\widehat{F}\right)+m\left(\widehat{T}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{T}\right)+45^{0}+65^{0}=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{T}\right)=180^{0}-110^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{T}\right)=70^{0}
Deci avem:
Cazul de asemanare u.u.u
Astfel avem ca:

m\left(\widehat{ABC}\right)=m\left(\widehat{EFT}\right)=65^{0}  \\m\left(\widehat{ACB}\right)=m\left(\widehat{ETF}\right)=70^{0}
Dar si ca
m\left(\widehat{BAC}\right)=m\left(\widehat{FET}\right)=45^{0}.
Deci cu cazul de asemanare u.u, \Delta ABC\sim\Delta EFT.

Linia mijlocie intr-un trapez

Dupa ce am discutat despre Linia mijlocie intr-un triunghi a venit vremea sa discuta si despre linia miljocie intr-un trapez. Dar mai intai sa definit notiunea de linie mijocie intr-un trapez.

Definitie: Segmentul care uneste mijloacele a doua laturi neparalele ale unui trapez se numeste linia mijlocie intr-un trapez.

Obsevati ca definitia de la linia mijlocie dintr-un triunghi se aseamana cu linia mijlocie intr-un trapez, diferenta o fac doar figurile geometrice si valoarea care o obtinem cand calculam linia mijlocie.
Care este linia mijlocie intr-un  trapez?
Teorema. Intr-un trapez linia mijlocie este paralela cu cele doua baze si masoara jumatate din suma celor doua baze.

Astfel stim ca ABCD trapez, EF linie mijlocie. Rezulta ca AB||EF||CD si ca EF=\frac{B+b}{2}=\frac{AB+CD}{2} unde AB este baza mare si CD- baza mica.

Teorema Intr-un trapez lungimea segmentului determinat de intersectiile liniei mijlocii cu diagonalele este egala cu jumatate din modului diferentei lungimilor bazei.
linia mijlocie intr-un trapez
ABCD trapez, EF linie mijlocie
AC\cap BD=\left\{O\right\}
Rezulta ca GH=\frac{|AB-CD|}{2}
Problema
1) In trapezul dreptunghic ABCD cu AB|| CD si AB>CD \left[AC\right]\equiv\left[BC\right], m\left(\prec B\right)=60^{0} se cunoaste lungimea segmentului care uneste mijloacele diagonalelor PQ= 8 cm. Aflati lungimile bazelor si perimetrul triunghiului ABC.
Ipoteza
ABCD trapez dreptunghic
AB|| CD, AB>CD
\left[AC\right]\equiv\left[BC\right], m\left(\prec B\right)=60^{0}
PQ=8 cm
Concluzie:
AB=?
CD=?
P_{\Delta ABC}=?
Demonstratie

Cum aplicam linia mijlocie intr-un triunghi Stim din ipoteza ca PQ= 8 cm

Conform teoremei de mai sus avem ca: PQ=\frac{AB-CD}{2}\Rightarrow AB-CD=16 cm\Rightarrow BE=16 cm, Deoarece stim ca AB=AE+EB\Rightarrow EB=AB-AE si cum AECD dreptunghi si AE=DC, astfel gasim si ca DC= 16 cm
Astfel am construit in triunghiul ABC inaltimea CE, stim ca unghiul B are 60^{0}, mai stim si ca unghiul E este de 90^{0}, si astfel gasim ca unghiul ECB este de 30^{0} si astfel aplicam teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, astfel obtinem ca
EB=\frac{BC}{2}\Rightarrow 2\cdot EB=BC\Rightarrow BC=2\cdot 16 cm\Rightarrow BC=32 cm
In triunghiul ABC stim ca AC=BC, dar mai stim si ca m\left(\prec B\right)=60^{0}, deci obtinem ca triunghiul ABC este echilateral, adica AB=AC=BC=32 cm.
Deci stim baza mare, acum trebuie sa aflam baza mica,
Acum stim ca AB=AE+EB, de unde obtinem
16=AE+8\Rightarrow AE=32-16\Rightarrow AE=16 cm
Mai stim ca ADCE este dreptunghi si astfel AE=DC.
Deci DC=16cm si astfel am gasit si baza mica, adica 16 cm.
Acum aflam perimetrul triunghiului ABC, cu stim ca AB=AC=BC=32 cm obtinem
P_{\Delta ABC}=3\cdot l=3\cdot 32=96 cm.

Problema rezolvata linia mijlocie intr-un trapez

Criterii de asemanare a triunghiurilor

Dupa cum bine stiti, despre triunghiuri asemenea am mai discutat intr-un articol anterior. Astazi o sa discutam despre Criterii de asemanare a triunghiurilor.
Va mai amintiti ca in clasa a VI-a am invatat congruenta triunghiurilor asemenea, Metoda triunghiurilor congruente, dar si Congruenta triunghiurilor dreptunghice.

La congruenta triunghiurilor stiti ca am invatat cele trei cazuri: L.U.L, L.L.L, U.L.U,iar la congruenta triunghiurilor dreptunghice am invatat urmatoarele cazuri:C.C, C.U, I.C, I.U, iar acum o sa discutam despre Criterii de asemanare a triunghiurilor
Incepem cu primul criteriu:
Criteriul u.u. Daca doua triunghiuri au doua unghiuri respectiv congruente, atunci ele sunt asemenea.
cum aplicam cazul U.U ?
Ipoteza:
\widehat{A}\equiv\widehat{A'}  \\ \widehat{B}\equiv\widehat{B'}
Concluzie: \Delta ABC\sim\Delta A'B'C'

Criteriul II de asemanare (Criteriul l.u.l)

Daca un triunghi are un unghi respectiv congruent cu unghiul altui triunghi si laturile care formeaza cele doua unghiuri sunt respectiv proportionale, atunci cele doua triunghiuri sunt asemenea.

Cum aplicam criteriul II de asemanare?
Ipoteza:
\widehat{A}\equiv\widehat{A'}  \\ \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}
Concluzie: \Delta ABC\sim\Delta A'B'C'

Criteriul III de asemanare (cazul l.l.l)

Daca doua triunghiuri au laturile respectiv proportionale, atunci ele sunt asemenea.
Cum aplicam criteriul III de asemanare?
Ipoteza
\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}
Concluzie
\Delta ABC\sim\Delta A'B'C'

Probleme

1) In triunghiul ABC se cunosc: AB=8 cm, BC=16 cm si AC=12 cm. Prelungim laturile \left[BA\right] si \left[CA\right] cu segmentele \left[AM\right] si \left[AN\right]  astfel incat A\in\left(BM\right) si A\in \left(CN\right) iar latex AM=4 cm$ si AN=6 cm

a) Aratati ca \Delta AMN\sim\Delta ABC

b) Calculati lungimea segmentului \left[MN\right]

Demonstratie:

Teorema fundamentala a asemanarii
Stim ca
\widehat{BAC}\equiv\widehat{MAN}(sunt unghiuri opuse la varf)
Si
\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\Rightarrow \frac{6}{12}^{(6}=\frac{4}{8}^{(4}\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Deci cu criteriul de asemanare II (cazul de asemabnare l.u.l) \Delta ABC\sim\Delta AMN
b) MN=?
Observam ca MN||BC, cu Teorema fundamentala a asemanarii avem ca
\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}
Luam

\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}\Rightarrow \frac{6}{12}^{(6}=\frac{MN}{16}\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{MN}{16}\Rightarrow MN=\frac{16}{2}\Rightarrow MN=8 cm.
Deci lungimea segmentului MN este 8 cm.
2) In triunghiul isoscel ABC, cu AB=AC, AB=36 cm, BC=12 cm, se duce bisectoarea BD a unghiului \widehat{ABC}, D\in\left(AC\right).Calculati lungimea segmentelor AD si DC. Stiind ca DE||AB, E\in\left(BC\right), calculati lungimea segmentului DE.
Demonstratie
Cum aplicam Teorema bisectoarei?
In triunghiul ABC aplicam Teorema bisectoarei, stim ca BD este bisectoare.
\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BC}\Rightarrow \frac{DA}{DC}=\frac{36}{12}\Rightarrow \frac{DA}{DC}=3\Rightarrow DA=3\cdot DC
Acum stim ca AC=36 cm
Adica
AC=AD+DC\Rightarrow 36=3\cdot DC+DC\Rightarrow 4DC=36 cm\Rightarrow DC=36:4\Rightarrow DC=9 cm.
Acum DA=3\cdot DC\Rightarrow DA=3\cdot 9\Rightarrow DA=27 cm.

b) Stim ca DE||AB rezulta cu Teorema fundamentala a asemanarii ca \Delta CED\sim\Delta CBA
Astfel avem
\frac{CE}{CB}=\frac{CD}{CA}=\frac{DE}{AB}\Rightarrow \frac{CD}{CA}=\frac{DE}{AB}\Rightarrow\frac{9}{36}=\frac{DE}{36}\Rightarrow DE=\frac{36\cdot 9}{36}\Rightarrow DE=9 cm
Acum sa enuntam Teorema bisectoarei
Intr-un triunghi o bisectoare determina pe latura opusa segmente proportionale cu laturile unghiului.
Ipoteza
\Delta ABC,,
[AD este bisectoarea unghiului \widehat{BAC}
Concluzie
\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}
Enuntul Teoremei bisectoarei