Exercitii operatii cu numere intregi

Astazi o sa rezolvam cat mai multe exercitii in care apar numerele intregi, adica operatii cu numere intregi:
1) Rezolvati ecuatia ax=b+53 pentru:

a=\left[\left(-3\right)^{13}\right]^{2}:\left(-2\right)^{23}+\left(-5\right)\cdot\left(-2\right)^{2}+\left(-1\right)^{2010}<br /> b=\left(1-2+3-4+5-6+...+9-10\right)+\left(+31\right)-\left(-5\right)^{2}
Calculam mai intai a si b, iar apoi ecuatia. Incepem prin a calcula a
a=\left(-2\right)^{26}:\left(-2\right)^{23}+\left(-5\right)\cdot 4+1<br /> \\a=\left(-2\right)^{26-23}+\left(-20\right)+1<br /> \\a=\left(-2\right)^{3}-20+1<br /> \\a=-8-20+1<br /> \\a =-27
iar
<br /> b=\left(1+3+5+...+9\right)-\left(2+4+6+...+10\right)+31-25<br /> \\b=\left(1+(2+1)+(4+1)+...+(8+1)\right)-2\left(1+2+3+...+5\right)+6<br /> \\b=\left(1+4\cdot 1+2\left(1+2+3+...+4\right)\right)-2\cdot\frac{5\cdot (5+1)}{2}+6<br /> \\b=\left(5+2\cdot\frac{4\cdot(4+1)}{2}\right)-5\cdot 6+6<br /> \\b=5+4\cdot 5-30+6<br /> \\b=5+20-30+6<br /> \\b=25-30+6<br /> \\b=-5+6<br /> \\b=1<br />
Calculand ax=b+53 \Rightarrow<br /> \\-27x=1+53<br /> \\-27x=54<br /> \\x=\frac{54}{-27}<br /> \\x=-2<br /> .
Deci am gasit solutia ecuatiei in care am efectuat operatii cu numere intregi.In curand si alte exercitii explicate cu operatii cu numere intregi vor fi postate pe site-ul  Mate Pedia.

Valoarea absoluta a unui numar rational, modulul unui numar rational, ordonarea numerelor rationale

Astazi o sa invatam despre valoarea absoluta a unui numar rational sau modulul unui numar rational si cum sa ordonam numerele rationale.
Astfel valarea absoluta a unui numar rational (modulul cum il stim) se noteaza astfel |x| si se defineste:
<br /> |x|=<br /> \\x,\;\; daca \;\; x>0<br /> \\0,\;\; daca \;\; x=0<br /> \\-x\;\; daca \;\; x<0<br />
Proprietatile numarului rational
<br /> |x|=0, daca si numai daca x=0
|x|\geq 0, pentru oricare  x\in Q
|x|=|-x|, pentru oricare  x\in Q
|xy|=|x|\cdot |y| , oricare  x, y\in Q

Ordonarea numerelor rationale
Dintre doua numere rationale diferite mai mare, este cel care este situat pe axa numereor la dreapta celuilalt.
a<b
Exp:
Ordonati crescator numerele
<br /> \\a=\frac{12}{5}<br /> \\b=\frac{12}{7}<br />
Reprezentam pe axa numerelor
Ordonarea numerelor rationale in exemple
sau le ordonam cum am invatat in clasa a VI-a daca numerele sunt pozitive, adica ne uitam la numitorul fractiilor daca avem acelasi numarator, iar daca impartim acelasi numarator la numitori diferiti si unul dintre numitori este mai mare si celalalt mai mic, atunci cel mai mare numar este cel care are numitorul mai mic (pentru ca il impartim la un numar mai mic).
Dintre doua numere rationale negative este mai mare cel care are modulul mai mic.
Exercitii
1) Scrieti in ordine crescatoare numerele:
<br /> -2,5; -7,3; 0; -1,5; +3,4; -2,8; +4,5; -5,3; -5,(8); +3,8(3); -8; -3\frac{1}{2}; 2\frac{1}{4}; 4; -\frac{3}{5}; \frac{6}{5}<br />
Ca sa ordonam numerele lucram fractiile:
<br /> \\-3\frac{1}{2}=-\frac{3\cdot 2+1}{2}=-\frac{7}{2}=-3,5<br />
transformat in fractie zecimala
<br /> \\2\frac{1}{4}=\frac{2\cdot 4+1}{4}=\frac{9}{4}=2,25<br /> \\-\frac{3}{5}=-0,6<br /> \\\frac{6}{5}=1,2<br />
am transformat fractiile ordinare in fractii zecimale.
Incepem prin a ordona crescator numerele:
<br /> -8< -7,3< -5,(8)< -5,8< -3\frac{1}{2}< -2,8< -2,5< -1,5< -\frac{3}{5}< 0< \frac{6}{5}< 2\frac{1}{4}< 3,4< 3,8(3)< 4< 4,5<br />
Daca le asezam pe axa numerelor rationale obsevam ca numerele rationale negative mai mari se duc spre ‘minus infinit’, iar cele pozitive se duc spre ‘plus infinit’. Si aplicam si faptul ca dintre doua numere rationale negative mai mare este cel care are valoarea absoluta (modulul) a numarului mai mica.
2) Aratati ca
<br /> \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{2011\cdot 2012}<1<br />
Incercam sa-l scriem fiecare fractie astfel incat sa ni se reduca anumiti termeni:
<br /> \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{2011\cdot 2012}=<br /> \\\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}=<br /> \\\frac{1}{1}-\frac{1}{2012}=<br /> \\\frac{2012-1}{2012}=\frac{2011}{2012}<1<br />
fractia \frac{2011}{2012}=0,9.... deci mai mica decat 1
Fractie subunitara.

Operatii cu numere intregi

Este foarte important sa intelegem operatiile cu numere intregi, din acest motiv prezentam astazi ordinea efectuarii operatiilor cu numere intregi. Chiar daca la prima vedere ni se pare greu sa intelegem cum se efectueaza exercitiile care contin numere intregi, cu mult exercitiu ajungem sa intelegem si mai mult sa ne si placa. O sa incepem cu cateva exercitii simple care contin operatii cu numere intregi:
1) Calculati
a) -7+4\cdot (-2)\\ -7-8= -15

Ca sa intelegem trebuie sa tinem cont de ordinea efectuarii operatiilor astfel prima data efectuam operatia de inmultire 4\cdot (-2), la numere intregi trebuie sa tinem cont de semn, adica produsul a doua numere de semne contrare ((-)\cdot (+)=(-)) este un numar negativ, astfel obtinem -8, iar pentru rezultatul final ca sa intelegem mai usor se da semnul comun celor doua numere si acestea se aduna (daca au acelasi semn).

b)  3-2\cdot\left\{5-3\cdot \left[4-(-2):(-1)\right]\right\}=3-2\cdot \left[5-3\cdot (4-2)\right]=
Astfel obtinem
3-2\cdot (5-3\cdot 2)=\\  3-2\cdot (5-6)=  3-2\cdot(-1)=  3+2=5
La fel ca si la primul exercitiu, trebuie sa tinem cont de ordinea efectuarii operatiilor, dar acest lucru il invatam din clasele primare, aici trebuie sa stim regula semnelor pentru inmultire si pentru adunare, adica:

<br /> \\(-)\cdot(-)=+<br /> \\(-)\cdot(+)=(-)<br /> \\(+)\cdot(-)=(-)<br /> \\(+)\cdot(+)=(+)

Exemple:
<br /> \\(-5)\cdot(-3)=+15<br /> \\(-5)\cdot(3)=-15<br /> \\(+5)\cdot(-3)=-15<br /> \\(+5)\cdot(+3)=15<br />

Exercitiu:

c) <br /> -256+14\cdot(-2)+(-10)^{2}+441:(+21)=<br /> \\-256-28+100+21=<br /> \\-284+121=-163<br /> . Trebuie sa avem grija la operatiile de ordinul III. In cazul de fata cand ridicam un numar negativ la un numar pozitiv obtinem tot un numar pozitiv.

d)(-7)^{5}\cdot(-7)^{12}:\left[(-7)^{3}\right]^{5}+13=<br /> \\(-7)^{5+12}:(-7)^{15}+13=<br /> \\(-7)^{17-15}+13=(-7)^{2}+13=49+13=62<br />

Astfel trebuie sa tinem cont de regulile de calcul cu puteri pentru a obtine rezultate corecte, iar cu mult exercitiu, rezolvarea exercitiilor nu mai e asa grea. Reguli care le-am invatat in clasa a v-a.

Numerele rationale Multimea numerelor rationale

Inca din clasa a V-a, si a VI-a ati invatat despre numerele rationale, doar pozitive, acum o sa invatam si despre multimea numerelor rationale negative, dar si multimea numerelor rationale. Ne reamintim ca in clasa a VI-a am invatat sa aducem doua fractii la acelasi numitor si astfel sa calculam mai usor fara sa le mai transformam in fractii zecimale. Astfel o sa ne reamintim cum se calculeaza doua sau maai multe fraactii cu numitorii diferiti:
Exemplu:
a) \frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{2\cdot 1+1\cdot 3}{4}=\frac{5}{4}
Astfel am gasit numitorul comun, care dupa cum bine va reamintiti se gaseste cel mai mic multiplu comun(c.m.m.m.c), adica se descompun numerele in produs de factori primi si se ia

Stiti ca numerele rationale le putem scrie sub forma unor fractii. Adica  \frac{a}{b}, iar daca ne aducem aminte din clasa a V-a \frac{a}{b}=a:b. Ne reamintim cum transformam o fractie ordinara in una zecimala si invers.
Din fractie ordinara in fractie zecimala imparteam numarul a la b, in ccazul de mai sus.
Exemplu
1) Transformati fractia ordinara in fractie zecimala
<br /> \frac{3}{4}=0,75
Adica am impartit numarul 3 la 4.
Multimea numerelor rationale pozitive o notam cu Q_{+}=\left\{ x | \exists a\in N^{*}, b\in N^{*}\;\;\; a.i \;\;\; x=\frac{a}{b} \right\} , unde  N^{*} dupa cum stiti este multimea numerelor naturale fara 0. Numerele a,b trebuie sa fie din multimea numerelor naturale fara zero.
Multimea numerelor rationale o notam cu Q= \left\{ x| \exists a \in Z, b\in Z^{*}\;\;\; a.i \;\;\; x=\frac{a}{b}\right\} , unde Z este multimea numerelor intregi, dupa cum bine stiti, adica contine si numerele pozitive dar si pe cele negative. Z=\left\{ -n,...,-3;-2;-1;0;1;2;3;...;n\right\} , iar Z^{*} reprezinta multimea numerelor intregi fara zero.
Dat fiind faptul ca am ne-am reamintit pana acum toate multimile pe care le-am invatat prezentam exercitii care ne ajuta sa intelegem mai bine notiunile pe care le-am prezentat:
1) Fie multimea
<br /> A=\left\{-\frac{2}{5};\frac{1}{2}; -\frac{2}{3}; -0,6; 0,(3); -7; \frac{1}{0,(3)}; \frac{1}{0,25}; -\frac{16}{8}; \frac{12}{2}; (-2)^{4}\right\}<br />
Calculati
<br /> \\ a) A\cap N
\\ b) A\cap Z
\\ c) A\cap Q\
Astfel
<br /> \\A\cap N =\left\{\frac{1}{0,(3)}; \frac{1}{0,25}; \frac{12}{2}; (-2)^{4}\right\}
\\A\cap Z =\left\{-7; \frac{1}{0,(3)}; \frac{1}{0,25}; -\frac{16}{8}; \frac{12}{2}; (-2)^{4}\right\}<br /> \\A\cap Q=\left\{ -\frac{2}{5}; \frac{1}{2}; 0,(3);-0,6;-7; -\frac{2}{3};\frac{1}{0,25}; \frac{1}{0,(3)}; -\frac{16}{8}; \frac{12}{2}; (-2)^{4} \right\} .
Obsevam ca multimea numrelor rationale contine si numerele intregi, si numerele naturale, dar si numerele rationale pozitive si negative.

D E LINIE MIJLOCIE IN TRIUNGHIUL ISOSCEL

Recapitulare clasa a VII-a Proprietatile triunghiului

Un rol important in clasa a VII-a o sa-l joace proprietatile triunghiului. Poate ati auzit ca ca anul acesta o sa invatati Teorema lui Pitagora, Teorema inaltimii, Teorema catetei. Ca sa putem intelege aceste trei teoreme trebuie sa stim proprietatile triunghiului. Incepem prin a ne reaminti cum se rezolva problemele si teoria pe care o folosim o sa o enuntam.
1) In triunghiul ABC isoscel de baza BC, D mijlocul laturii AC, E mijlocul laturii AB , iar DE=12 cm si perimetrul triunghiului ABC este egal cu 88 cm.
Calculati masura laturilor congruente ale triunghiului isoscel ABC.
Ip:
<br /> \Delta ABC isoscel AB=AC
BC baza
 D\in AC a.i AD=DC
E\in AB a.i AE=EB
 DE=12 cm
P_{\Delta ABC}=88 cm
Cz:
<br /> AB=?; AC=?<br />
Dem:D E LINIE MIJLOCIE IN TRIUNGHIUL ISOSCEL
<br /> P_{\Delta ABC}=88 cm
 AB+AC+BC=88 cm
\\DE– linie mijlocie, atunci
 DE=\frac{1}{2}\cdot BC \Rightarrow 12 cm =\frac{1}{2}BC \Rightarrow BC=24 cm.
 AB+AC+24=88 cm \Rightarrow AB+AC=88-24\Rightarrow AB+AC=64 cm<br />
Cum <br /> AB=AC\Rightarrow AB=AC=\frac{1}{2}\cdot 64\Rightarrow AB=AC=32 cm<br />
Important la problemele de geometrie sunt datele problemei pe care trebuie sa le inteledem deoarece o sa ne ajute la rezolvarea problemei.
De asemenea si figura este foarte important sa fie realizata corect.
In cazul nostru de fata stim ca D este mijlocul lui AC, iar E mijlocul lui AB.
Astfel daca ne reamintim din clasa a VI-a definitia liniei mijlocii(segmentul care uneste mijloacele a doua laturi ale uni triunghi se numeste linie mijlocie) si teorema care am invatat-o ( Orice linie mijlocie a unui triunghi:
– este paralela cu latura care nu are nici un punct in comun cu ea
– are lungimea egala cu jumatate din lungimea laturii paralela cu ea ). Ce aici obtine lungimea laturii BC=24 cm.
Cum stim ca perimetrul oricarei figuri geometrice este egal cu suma tuturor laturilor, obtinem  AB+AC=64 cm.
Stim de cand am invatat proprietatile triunghiului isoscel ca AB=AC (triunghiul isoscel are doua laturi egale) si atunci 64:2=32, deci AB=AC=32 cm.