Probleme rezolvate Calculul de distante si masuri de unghiuri

Prezentam probleme rezolvate cu distante si masuri de unghiuri, probleme care s-au dat la Evaluarea Nationala.

Paralelipipedul dreptunghic ACDA’B’C’D’ are AA'=3\sqrt{5}, AB=6 cm, BC=3 cm. Fie O mijlocul segmentului [BD], iar M mijlocul segmentului [AB].

a) Demonstrati ca OM\perp A'B

b) Calculati m\left(\widehat{(D'B,((ABC))}\right)

c) Calculati \tan(\widehat{(A'DM),(D'DM)})

Demonstratie:
cum aratam ca doua drepte sunt perpendiculare
Stim ca O este mijlocul lui [BD]
M este mijlocul lui [AB], atunci obtinem ca OM este linie mijlocie in triunghiul ABD, astfel obtinem OM||AD

Observam ca AB secanta, asadar \widehat{OMB}\equiv\widehat{DAB} (ca unghiuri corespondente), asadar obtinem m\left(\widehat{OMB}\right)=90^{0}, asadar obtinem ca OM\perp AB. Dar observam ca OM\perp AA', asadar OM\perp (A'AB). Daca OM\perp (A'AB), observam ca A'B\subset(A'AB) obtinem ca OM\perp A'B.

b) Pentru a afla masura unghiului unei drepte cu un plan calculam proiectia dreptei pe planul respectiv pr_{(ABC)}D'B

Ca sa aflam mai usor proiectia dreptei, calculam mai intai proiectia fiecarui punct pe planul respectiv, asadar:
pr_{(ABC)}D'=D
Si pr_{(ABC)}B=B

Asadar pr_{(ABC)}D'B=DB
asadar obtinem unghiul m\left(\widehat{(D'B,((ABC))}\right)=m\left(\widehat{D'B, DB}\right)=m\left(\widehat{D'BD}\right)

Astfel avem ca triunghiul D’BD este dreptunghic in D, stim ca DD'=AA'=3\sqrt{5}

Iar cu Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic ABD, putem afla BD, astfel avem ca DB^{2}=AD^{2}+AB^{2}\Rightarrow DB^{2}=3^{2}+6^{2}\Rightarrow DB^{2}=9+36\Rightarrow DB=\sqrt{45}\Rightarrow DB=3\sqrt{5}

Asadar observam ca DB=DD'=3\sqrt{5}, adica triunghiul DD’B este isoscel, de mai sus stiind ca este si dreptunghic, obtinem ca DD’B este dreptunghic isoscel, asadar m\left(\widehat{D'BD}\right)=45^{0}.

c) \tan(\widehat{(A'DM),(D'DM)})
Pentru a afla tangenta unghiului celor doua plane mai intai aflam intersectia celor doua plane, astfel avem ca (A'DM)\cap (D'DM)=\left\{DM\right\}

Fie P mijlocul segmentului [A’B’], iar S mijlocul segmentului [DM].

Observam ca in triunghiul A’DM, A’D=AM, iar S fiind mijlocul lui DM, obtinem ca A'S\perp DM, deoarece triunghiul A’DM fiind isoscel, iar S mijlocul bazei, obtinem ca A’S este si inaltime.
unghiul a doua plane
Acum pentru a afla perpendiculara din D’ pe DM, am luat P- mijlocul lui A’B’, si observam ca D’PMD este dreptunghi, astfel, fie N mijlocul lui [D’P], obtinem ca NS\perp DM, si astfel avem unghiul

\tan(\widehat{(A'DM),(D'DM)})=\tan(\widehat{A'S, NS})=\tan\widehat{A'SN}

Stim ca SN=NP=AA'=3\sqrt{5}, iar triunghiul ANS este dreptunghic in N.

Pentru a afla AN, observam ca triunghiul A’D’P este dreptunghic in A’, stim ca AD’=A’P=3 astfel cu teorema lui Pitagora obtinem D'P^{2}=3^{2}+3^{2}\rightarrow D'P^{2}=18\Rightarrow D'P=\sqrt{18}=3\sqrt{2}, aplicand teorema medianei, obtinem A'N=\frac{D'P}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}

Astfel avem ca \tan\widehat{A'SN}=\frac{A'N}{SN}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{3\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}:\frac{3\sqrt{5}}{1}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{2\cdot 5}=\frac{\sqrt{10}}{10}

Dreapta perpendiculara pe un plan. Problema rezolvata

Fie ABC un ∆ echilateral cu latura de 3 cm. În punctul A se construiește perpendiculara pe planul ∆ pe care se considera punctul D astfel incat AD=4 cm. Aflati perimetrul ∆DBC.

Cum triunghiul ABC este echilateral stim ca AB=AC=BC (triunghiul echilateral are toate laturile egale)

Stim ca DA\perp (ABC) astfel avem si ca DA\perp AB, adica m\left(\widehat{DAB}\right)=90^{0}. Si cu teorema lui Pitagora obtinem ca :

DB^{2}=DA^{2}+AB^{2}\Rightarrow DB^{2}=4^{2}+3^{2}\Rightarrow DB^{2}=16+9\Rightarrow DB=\sqrt{25}\Rightarrow DB=5 cm

Dar DA\perp AC de unde obtinem si ca m\left(\widehat{DAC}\right)=90^{0}. Adica cu teorema lui Pitagora in triunghiul  dreptunghic DAC obtinem:

DC^{2}=DA^{2}+AC^{2}\Rightarrow DC^{2}=4^{2}+3^{2}\Rightarrow DC^{2}=16+9\Rightarrow DC=\sqrt{25}\Rightarrow DC=5 cm

Asadar,  perimetrul triunghiului DBC este

P_{\Delta DBC}=DB+DC+BC=5+5+3=13 cm

dreapta-perpendiculara-pe-un-plan

Test geometrie clasa a VIII a

Fie cubul ABCDA’B’C’D’ cu muchia de 8 cm.
Desenati cubul
Determinati:
a) m\left(\widehat{AA'; BC}\right)
b)m\left(\widehat{AD'; BC}\right)
c) m\left(\widehat{AB'; CD'}\right)
d) m\left(\widehat{AA'; B'D'}\right)
e) m\left(\widehat{AA'; BD'}\right)
f) d(A', AB)
g) d(A',BC)
h) d(A',BD)
i) d(A,(BCC'))
j)d(A, (BDD'))
2. Fie piramida patrulatera regulata VABCD, cu toate muchiile de lungime 8 cm.
a) Desenati si notati o astfel de piramida
b) Determinati masura unghiului dintre dreptele VA si VC
c)Determinati masura unghiului dintre dreptele VA si AC
d) Calculati distanta de la V la BC
e) Calculati distanta de la V la (ABC)
f)Determinati masura unghiului dintre dreptele VD si BC
g) Determinati masura unghiului dintre dreptele AD si BC

Demonstratie:
a)….

Unghiul a doua drepte in spatiu. Problema rezolvata.

Despre unghiul a doua drepte in spatiu am scris aici. Astazi vom incerca sa aprofundam printr-o problema rezolvata si explicata.

Exemplu:

Fie cubul ABCDA’B’C’D’, cu AB= 2 cm. Calculati cosinusul unghiului dintre dreptele A'B si DO, unde \left\{O\right\}=BC^{'}\cap B^{'}C.
cum aflam unghiul a doua drepte in spatiu

Pentra a afla unghiul celor doua drepte notam cu P intersectia diagonalelor bazei A’B’C’D’, adica fie A'C'\cap B'D'=\left\{P\right\}unghiul a doua drepte in spatiu
Observam ca O este mijlocul segmentului BC’, dar si P mijlocul segmentului A’C’, deci PO e linie mijlocie in triunghiul A’BC’. Conform Teoremei de la linia mijlocie stim ca PO||A’B si PO=\frac{A'B}{2}

Astfel obtinem ca cosinusul unghiului dintre cele doua drepte este:
\cos\left(\widehat{DO,A'B}\right)=
\cos\left(\widehat{DO, PO}\right)=
\cos\left(\widehat{DOP}\right)

Pentru a afla cosinusul unghiului stim ca trebuie sa avem triunghi dreptunghic.
Dar mai intai sa vedem ce fel de triunghi avem. Stim ca PO=\frac{A'B}{2}
Cum A’B este diagonala in patratul A’B’AB, obtinem ca A'B=l\sqrt{2}=2\sqrt{2}
Astfel obtinem PO=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}

Pentru a afla DO, observam ca DC'=BC'=DB=2\sqrt{2}( diagonale in patratele DD’CC’; BB’CC’; ABCD), astfel obtinem ca triunghiul DBC’ este echilateral si cum O este mijlocul lui BC’, obtinm ca DO este mediana si cu proprietatea de la triunghiul echilateral obtinem ca DO este si inaltime in triunghiul echilateral DBC’.

Stim ca inaltimea intr-un triunghi echilateral este \frac{l\sqrt{3}}{2}, adica DO=\frac{DC'\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}\;\; cm
Acum pentru a afla DP, in triunghiul DD’P, dreptunghi in D’ aplicam Teorema lui Pitagora si obtinem DP^{2}=DD'^{2}+D'P^{2}\Rightarrow DP^{2}=2^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow DP^{2}=4+2\Rightarrow DP=\sqrt{6}

Observam ca DP=DO=\sqrt{6}, adica triunghiul DOP este isoscel de baza PO.

Acum, pentru a afla cosinusul unghiului, fie aplicam Teorema cosinusului, fie aplicam defintia care am invatat-o in claas a vii-a dar cu conditia sa avem triunghi dreptunghic.

Astfel cu Teorema cosinusului
DP^{2}=DO^{2}+PO^{2}-2\cdot DO\cdot PO\cdot\cos\left(\widehat{DOP}\right)\Rightarrow \left(\sqrt{6}\right)^{2}=\left(\sqrt{6}\right)^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\cdot \sqrt{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\cos\left(\widehat{DOP}\right)
Adica 6-6-2= -2\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}\cdot\cos\left(\widehat{DOP}\right)\Rightarrow \cos\left(\widehat{DOP}\right)=\frac{-2}{-2\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{12}}{12}=\frac{2\sqrt{3}}{12}^{(2}=\frac{\sqrt{3}}{6}

unghiul a doua drepte in spatiu
Acum pentru a afla cu notiunile din clasa a VII-a construim inaltimea din D pe PO, fie DM\perp PO, cum Triunghiul DMO dreptunghic in M si cum triunghiul DOP isoscel de baza PO, obtinem ca DM este si mediana, astfel obtinem MO=MP=\frac{PO}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}, deci in triunghiul dreptunghic DOM in M \cos\left(\widehat{DOP}\right)=\frac{cateta.\;\; alaturata}{ipotenuza}=\frac{OM}{DO}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}:\frac{\sqrt{6}}{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}}{2\cdot 6}=\frac{2\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{6}
unghiul a doua drepte in spatiu

Calculul de arii si volume in prisme

Dupa ce au fost introduse  notiunea de arie laterala, arie totala si volumul unei prisme, rezolvam probleme care in care avem sa calculam arii si volume in prisme diferite. Pentru cei care nu va mai reamintiti formulele pentru arii si volume click aici .

Dar in acest articol ne reamintim cum sa calculam masurii de unghiuri, dar si distanta de la un puncrt la o dreapta, cat si distanta de la un punct la un plan intr-o prisma regulata.

1. Un acvariu care are forma unui paralelipiped dreptunghic ABCDA’B’C’D’ fara capac, este confectionat din sticla. Se stie ca AB=50 cm, BC=30 cm si inaltimea este AA’=40 cm.

a) Aflati distanta dintre A si C’

b) Cati litri de apa trebuie sa punem in acvariu, pentru ca acesta sa se ridice la o inaltime egala de 30 cm?

c) Cate acvarii putem construi di 10 m^{2} de sticla?

Demonstratie:

diagonala intr-un paralelipiped
Astfel stin ca diagonala intr-un paralelipiped dreptunghic este
d_{paralelipiped}=\sqrt{L^{2}+l^{2}+h^{2}}=\sqrt{50^{2}+30^{2}+40^{2}}=\sqrt{2500+900+1600}=\sqrt{5000}=50\sqrt{2}\;\; cm
b) Mai intai calculam volulul acvariului cu inaltimea de 30 cm
V=A_{b}\cdot h=L\cdot l+\cdot h=50\cdot 30\cdot 30=45000\;\; cm^{3}
Dar stim ca 1 dm^{3}=1 l, foarte important pentru cei care sunteti in clasa a VIII sa tineti minte aceasta formula.
Astfel mai intai transformam din 45000 cm^{3}=45 dm^{3}=45 l
Asadar trebuie asa punem 45 l de apa pentru ca inatimea apei sa fie de 30 cm.
c) Pentru a afla cate acvarii putem construi, calculam mai intai suparafata unui acvariu si obtinem:
A_{Acvariu}=A_{l}+A_{b}=P_{b}\cdot h+L\cdot l=2\cdot \left(50+30\right)\cdot 40+50\cdot 30=2\cdot 80\cdot 40+1500=160\cdot 40+1500=6400+1500=7900\;\; cm^{2}
Astfel suprafata unui acvariu este de 7900\;\; cm^{2}=0,79\;\; m^{2}
Si din 10\;\; m^{2} obtinem 10\;\; m^{2}:0,79\;\; m^{2}=12, 65, adica 12 acvarii.
2. Consideram prisma triunghiulara regulata ABCA’B’C’, cu A_{l}=144\;\; cm^{2} si A_{t}=18\left(8+\sqrt{3}\right)\;\; cm^{2}
Calculati:
a) Lungimea inaltimii pismei
b) Volumul prismei

Demonstratie:
Stim ca A_{t}=A_{l}+2\cdot A_{b}\Rightarrow 18\left(8+\sqrt{3}\right)=144+2\cdot\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow 144+18\sqrt{3}-144=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 18\sqrt{3}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 2\cdot 18\sqrt{3}=l^{2}\sqrt{3}\Rightarrow l^{2}=2\cdot 18\Rightarrow l=\sqrt{36}\Rightarrow l=6\;\; cm
Acum ca stim lungimea laturii patratului putem sa aflam inaltimea astfel stim ca
A_{l}=P_{b}\cdot h\Rightarrow 3l\cdot h=144\Rightarrow 3\cdot 6\cdot h=144\Rightarrow 18\cdot h=144\Rightarrow h=144:18\Rightarrow h=8
si astfel am aflat si inaltimea prismei adica AA’=8 cm
b) Acum putem afla si volumul prismei, astfel avem
V=A_{b}\cdot h=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot 8=\frac{6^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot 8=36\sqrt{3}\cdot 2=72\sqrt{3}\;\; cm^{3}
Observati ca baz prismei triunghiulare regulate este un triunghi echilatera de unde am obtinut ca aria bazei este A_{b}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}

Asadar, este foarte important sa cunoastem notiunea de calcul de arii si volume in prisme, deoarece dupa cum bine observati aceste notiuni ne ajuta si in viata e zi cu zi.

Rezolvari subiecte Evaluarea Nationala 2015

subiecte evaluarea nationala 2015Demonstratie:
a) Stim ca aria unui dreptunghi este A_{dreptunghi}=L\cdot l=AB\cdot AD=150\cdot 100=15000\;\; m^{2}
Dar transformati in hectare obtinem
15 000:10000=1,5 ha
b)Triunghiul MNB isoscel

Stim ca M este mijlocul lui AD astfel avem ca AM=MD=\frac{100}{2}=50 m
Dar mai stim si ca DN=2\cdot NC
Dar stim ca DC=DN+NC\Rightarrow 150 m=2NC+NC\Rightarrow 3NC=150 m\Rightarrow NC=150:3\Rightarrow NC=50\;\; m
Si DN este egal cu DN=150-50=100
Triunghiul DMN este dretunghic in D si cu Teorema lui Pitagoram obtinem
MN^{2}=DM^{2}+DN^{2}\Rightarrow MN^{2}=100^{2}+50^{2}\Rightarrow MN^{2}=10000+2500\Rightarrow MN^{2}=12500\Rightarrow MN=\sqrt{12500}=10\cdot 5\sqrt{5}\Rightarrow MN=50\sqrt{5}
Dar si BN^{2}=BC^{2}+CN^{2}\Rightarrow BN^{2}=10000+2500\Rightarrow BN^{2}=12500\Rightarrow BN=\sqrt{12500}=10\cdot 5\sqrt{5}\Rightarrow BN=50\sqrt{5}
Astfel obtinem ca MN=BN=50\sqrt{5}\;\; m
Deci triunghiul MNB isoscel de baza MB.
c) Masura unghiului MN si NB.
m\left(\widehat{MN,NB}\right)=m\left(\widehat{MNB}\right)=
Stim ca Triunghiul MNB este isoscel de baza BM, astfel in triunghiul ABM aplicam Teorema luin Pitagora:
BM^{2}=AM^{2}+AB^{2}\Rightarrow BM^{2}=50^{2}+150^{2}\Rightarrow BM^{2}=2500+22500\Rightarrow BM^{2}=25000\Rightarrow BM=\sqrt{25000}=5\cdot 10\sqrt{10}=50\sqrt{10}
Astfel stim ca MN=BN=50\sqrt{5} si BM=50\sqrt{10}

si cu Reciproca Teoremai lui Pitagora obtinem BM^{2}=MN^{2}+BN^{2}\Rightarrow 25000=12500+12500
Astfel obtinem ca Triunghiul MNB este dreptunghic isoscel astfel avem ca m\left(\widehat{MNB}\right)=90^{0}

2. Observam ca avem o piramida patrulatera regulata, in care triunghiul VAD este isoscel si VM mediana, inaltime, mediatoare si bisectoare deci cu teorema lui Pitagora VM^{2}=VA^{2}-AM^{2}, unde AM=MD=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\;\; cm
Astfel VM^{2}=\left(3\sqrt{5}\right)^{2}-3^{2}\Rightarrow VM=\sqrt{45-9}\Rightarrow VM=\sqrt{36}=6\;\; dm
b) Pentru a afla cate grame de vopsea sunt necesare calculam aria laterala
A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}
stim ca
a_{p}=VM=6 cm
Astfel A_{l}=\frac{4\cdot 6\cdot 6}{2}=\frac{24\cdot 6}{2}=\frac{12\cdot 6}{1}=72\;\; dm^{2}
Stim ca pentru 1 dm^{2} se folosec 30 g vopsea, astfel trebuie 72\cdot 30 g=2160g
deci ne trebuie 2160 g
c) \sin\left(\widehat{(VAD),(VMB)}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}
Dupa cum stiti cand avem sa aflam masura unghiului dintre doua plane aflam intersectia celor doua plane, astfel stim ca daca doua plane au un puncte in comun ele au si o drepata in comun, astfel  (VAD)\cap(VBC)={V}
Astfel avem VM\perp AD; VM, AD\subset(VAD)
si construim VN\perp BC; VN, BC\subset(VBC)
Astfel avem sinusul unghiului \sin\left(\widehat{VN,VM}\right)=\sin\widehat{NVM}
Observam ca MN=DC=AB=6 dm
din a) stim si ca VM=6 dm, obtinem si ca VN=6 cm, deci triunghiul MVN este echilateral.
Astfel stim ca A_{\Delta MVN}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\; dm
Astfel mai stim si ca A_{\Delta}=\frac{MV\cdot NV\cdot \sin\widehat{MVN}}{2}=\frac{6\cdot 6\cdot\sin\widehat{MVN}}{2}=\frac{36\cdot\sin\widehat{MVN}}{2}=18\sin\widehat{MVN}
Astfel egaland ariile stim ca 18\sin\widehat{MVN}=9\sqrt{3}\Rightarrow \sin\widehat{MVN}=\frac{9\sqrt{3}}{18}=\frac{\sqrt{3}}{2}

Piramida triunghiulara regulata

Sa invatam despre Piramida triunghiulara regulata  printr-o rezolvare !

2. Fie piramida triunghiulara regulata SABC cu h=4 cm si volumul = 36√3 . Aflati :

a) latura bazei si aria laterala a piramidei
b) tangenta unghiului format de muchia SA cu planul bazei
c) distanta de la punctul O la planul (SBC)

Demonstratie:

a) Stim ca intr-o piramida triunghiulara regulata volumul este :

V=\frac{A_{b}\cdot h}{3}\Rightarrow 36\sqrt{3}=\frac{A_{b}\cdot 4}{3}\Rightarrow A_{b}\cdot 4=36\sqrt{3}\cdot 3\Rightarrow A_{b}=\frac{36\sqrt{3}\cdot 3}{4}^{(4}\Rightarrow A_{b}=9\sqrt{3}\cdot 3\Rightarrow A_{b}=27\sqrt{3}\;\; cm

Dar cum stim ca baza piramidei triunghiulare regulate este un triunghi echilateral obtinem A_{b}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}

Astfel obtinem: \frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3}\Rightarrow l^{2}\sqrt{3}=4\cdot 27\sqrt{3}\Rightarrow l^{2}=27\cdot 4\Rightarrow l=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\;\; cm

Deci obtinem ca latura patratului este l=6\sqrt{3}
unghiul unei drepte cu un plan Stim ca A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}
Stim ca P_{b}=3\cdot l=3\cdot 6\sqrt{3}=18\sqrt{3}
Acum trebuie sa aflam si apotema piramidei, astfel stim ca a_{p}^{2}=a_{b}^{2}+h^{2}

Dar stim ca a_{b}=\frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}\sqrt{3}}{6}=3

Deci cu informatile de mai sus avem ca: a_{p}^{2}=3^{2}+4^{2}\Rightarrow a_{p}^{2}=9+16\Rightarrow a_{p}=\sqrt{25}\Rightarrow a_{p}=5
Astfel obtinem ca A_{l}=\frac{18\sqrt{3}\cdot 5}{2}=9\sqrt{3}\cdot 5=45\sqrt{3}\;\; cm^{2}

b) \tan\left(\widehat{SA,(ABC)}\right)
Pentru a afla unghiul unei drepte cu un plan trebuie sa calculam
pr_{(ABC)}SA adica proiectia dreptei SA pe planul ABC
Asftel aflam mai intai: pr_{(ABC)}S=O
Dar si pr_{(ABC)}A=A
Astfel obtinem: pr_{(ABC)}SA=AO
Si obtinem: \tan\widehat{\left(SA,(ABC)\right)}=\tan\widehat{\left(SA, AO\right)}=\tan\widehat{SAO}

Cu triunghiul SAO este dreptunghic aplicam:
\tan\widehat{SAO}=\frac{cateta. opusa}{cateta. alaturata}=\frac{SO}{AO}=\frac{4}{6}^{(2}=\frac{2}{3}
Unde AO=\frac{l\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{3}=\frac{6\cdot 3}{3}=6
unghiul unei drepte cu un plan
Formulele pe care le-am enutat mai sus trebuie retiunte.

c) d\left(O,(SBC)\right)
Distanta de un punct la un plan este piciorul perpendicularei din punctul dat pe plan.
Observam ca OM\perp BC
Dar si SM\perp BC
Deci obtinem BC\perp (SMO)
Acum construim perpendiculara din O pe SM, adica, fie OD\perp SM, unde SM\subset (SBC)

Si cu Reciproca celor Trei perpendiculare obtinem: OD\perp (SBC)
Observam ca triunghiul SOM este dretunghic, deci cu Teorema inaltimii obtinem:

OD=\frac{OS\cdot OM}{SM}=\frac{4\cdot 3}{5}=\frac{12}{5}=2,4\;\; cm
distanta de la un punct la un plan

Cilindrul circular drept

Cilindrul circular drept face parte din categoria corpurilor rotunde, corpuri care in acest an scolar pentru elevii de clasa a VIII a joaca un rol destul de important, datorita faptului ca pentru Evaluarea Nationala apar probleme din acest capitol.
Incepem prin a desena un cilindru circular drept, a observa conventiile de desen, dar si notatiile precum si elementele componente, cat si cum calculam aria laterala, aria totala si volumul acestui corp.
elementele componente ale unui cilindru circular drept
Convetii de desen:
OA=OB=OA’=OB’=R (raza bazei sau raza cilindrului)
AB=A’B’= diametrul cercurilor de centru O si raza R.
AA’=G= generatoarea cilindrului
OO’=H= inatimea cilindrului.

Elementele cilindrului circular drept:
– bazele cilindrului cele 2 cercuri: C\left(O, R\right) si C\left(O', R'\right)
– dreptunghiul ABA’B’
– generatoarea G, care este egala cu muchia laterala, dar si inaltimea cilindrului, adica AA’=G=OO’=H

Generatoarea unui cilindru circular drept este egala cu muchia laterala a cilindrului
Inaltimea unui cilindru circular drept este egala cu distanta dintre cele doua baze ale cilindrului, care este egala si cu generatoarea cilindrului.
-OO’ se numeşte axa de rotaţie a cilindrului.

Cum calculam aria laterala, aria totala si volumul cilindrului drept.

Foarte important sa stim ca cilindrul circular drept are aspectul unei prisme, astfel stim ca formula generala a unei prisme pentru calculul ariei este:
A_{laterala}=P_{bazei}\cdot H
Stim ca baza cilindrului circular este un cerc, astfel avem P_{baza}=2\pi\cdot R
Astfel aria laterala este A_{laterala}=A_{l}=2\pi\cdot R\cdot H
Iar aria totala este: A_{totala}=A_{t}=A_{l}+2\cdot A_{B}
Aria bazei, cum o calculam.

Baza cilindrului circular este un cerc astfel avem ca aria cercului este:
A_{B}=\pi\cdot R^{2}
Astfel obtinem A_{t}=2\pi\cdot R\cdot H+2\cdot\pi\cdot R^{2}
deoarece H=G, adica inaltimea este egala cu generatoarea obtinem ca:
A_{t}=2\phi\cdot R\cdot G+2\cdot\phi\cdot R^{2}=2\phi \cdot R\left(G+R\right)
Iar volumul cilindrului circular drept este egal cu:
V=A_{B}\cdot H=\pi\cdot R^{2}\cdot H, dar putem sa scriem si V=\pi\cdot R^{2}\cdot G

Aplicatii:

Un cilindru circular drept are volumul V=150\pi\;\; cm^{3} si aria sectiunii axiale de 60\;\; cm^{2}. Determinati raza si generatoarea cilindrului.

Demonstratie:
Stim ca volumul unui cilindru circular drept este egla cu V=\pi\cdot R^{2}\cdot H
De unde obtinem: 150\;\; \pi=\pi\cdot R^{2}\cdot H\Rightarrow 150=R^{2}\cdot H
Stim de mai sus ca H=G, astfel obtinem: 150=R^{2}\cdot G
Dar mai stim si ca aria sectiunii axiale este egala cu 60, observam ca aria sectiunii axiale este dreptunghiul ABA’B’
Astfel stim ca A_{ABA'B'}=L\cdot l=G\cdot 2\cdot R
Astfel obtinem 60=G\cdot 2\cdot R\Rightarrow R\cdot G=60:2\Rightarrow R\cdot G=30\Rightarrow G=\frac{30}{R}

Dar mai stim si ca R^{2}\cdot G=150\Rightarrow R^{2}\cdot \frac{30}{R}=150\Rightarrow R\cdot 30=150\Rightarrow R=150:30\Rightarrow R=5\;\; cm
Si astfel am obtinut ca R=5 cm, iar pentru a afla G=\frac{30}{R}=\frac{30}{5}=6\;\; cm
Deci am obtinut ca G=6 cm, adica generatoarea are 6 cm.
probleme rezolvate cu cilindru circular drept
Prezentam o problema care a fost data la o testare nationala
2. Desenati un cilindru circular drept
Dreptunghiul ABCD este o sectiune axiala a cilindrului. Inaltimea cilindrului este de 12 cm, iar diametrul [AB] ala uneia dintre baze are lungimea de 10 cm.
b) Calculati aria laterala a cilindrului
c) Calculati volumul cilindrului
d) Aratati ca cel mai scurt drum intre A si C, parcurs pe suprafata laterala a cilindrului, are lungimea mai mica de 20 cm.
Demonstratie:
cum arata un cilindru circulart drept Stim ca AD= 12 cm si AB=10 cm, astfel obtinem R=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\;\; cm, deci raza cilindrului este de 5 cm.

b) Calculam aria laterala a cilindrului A_{l}=P_{b}\cdot H
Mai intai calculam perimetrul bazei, P_{B}=2\pi\cdot r=2\pi\cdot 5=10\pi
Iar stim ca H=AD=12 cm si aria laterala este: A_{l}=10\pi\cdot 12=120\pi\;\; cm^{2}

c) V=A_{B}\cdot H=\pi\cdot 5^{2}\cdot 12=\pi\cdot 25\cdot 12=300\;\;cm^{3}.

d) Daca desfasuram suprafata laterala a cilindrului circular drept, obtinem dreptunghiul BB'C'C pozitiile punctelor A si D pe desfasurare vor fi A' respectiv D'.
desfasuratea laterala a cilindrului circular drept
Astfel avem ca:
BB'=2\pi \cdot R=2\pi\cdot 5=10\pi si astfel obtinem
A'B'=\frac{BB'}{2}=\frac{10\pi}{2}=5\pi
Iar B'C'=BC=G=12 cm

Asadar cel mai scurt drum intre A si C parcurs pe suprafata laterala a cilindrului circular drept este egala cu lungimea segmentului A'C'=\sqrt{A'B'^{2}+B'C'^{2}}=\sqrt{\left(5\pi\right)^{2}+12^{2}}=\sqrt{25\pi^{2}+144}

Acum sa vedem daca A'C'<20
Astfel avem ca A'C'<20\Leftrightarrow\sqrt{25\pi^{2}+144}<20|^{2}\Leftrightarrow 25\pi{2}+144<400\Leftrightarrow 25\pi^{2}<400-144\Rightarrow 25\pi^{2}<256\pi^{2}<256:25\Leftrightarrow \pi^{2}<10,24
Acum stim ca 3,14\leq\pi\leq 3,15

Astfel consideram \pi=3,15 si obtinem
\left(3,15\right)^{2}=9,9225<10,24, deci cel mai scurt drum intre A si C este mai mic de 20 cm.