Probleme in care aflam muchia unui cub

Se considera cubul ABCDA’B’C’D’ si punctele M\in [AA'], N\in [CC'] astfel incat MA=2\cdot MA' si NC=\frac{CC'}{3}. Daca MN=\frac{5\sqrt{19}}{3}, calculati: lungimea muchiei cubului.

Demonstratie:

Pentru a efectua  corect corpul geometric cu notiunile din problema stim ca:

MA=2\cdot MA'

Dar mai stim si ca AA'=MA+MA'\Rightarrow AA'=2MA'+MA'\Rightarrow AA'=3MA'\Rightarrow MA'=\frac{AA'}{3}

Mai stim si ca NC=\frac{CC'}{3}\Rightarrow CC'=3\cdot NC

Si mai stim si ca CC'=CN+NC'\Rightarrow 3NC=CN+NC'\Rightarrow 3NC-NC=NC'\Rightarrow NC'=2NC

Stim ca cubul are toate muchiile egal astel avem ca AA'=AB=BC=l

Astfel avem ca MA'=\frac{l}{3}, dar si NC=\frac{l}{3}

De unde obtinem si ca: MA=2\cdot\frac{l}{3}=\frac{2l}{3}

Dar si NC'=2\cdot\frac{l}{3}=\frac{2l}{3}

latura unui cub
Astfel am obtinut patrulaterul ACNM, observati ca am construit diagonala AC, din notiunile pe care le avem stim ca AC=l\sqrt{2} (diagonala in patratul ABCD), observam ca m\left(\widehat{ACN}\right)=90^{0}, astfel construind si drepata AN, obtinem triunghiul dreptunghic ACN si aplicand Teorema lui Pitagora obtinem: AN^{2}=AC^{2}+NC^{2}\Rightarrow AN^{2}=\left(l\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\frac{l}{3}\right)^{2}\Rightarrow AN^{2}={9)}^2l^{2}+\frac{l^{2}}{9}\Rightarrow AN^{2}=\frac{18l^{2}+l^{2}}{9}\Rightarrow AN^{2}=\frac{19l^{2}}{9}\Rightarrow AN=\sqrt{\frac{19l^{2}}{9}}\Rightarrow AN=\frac{l\sqrt{19}}{3}

Dar construim si diagonala A’C’, dar si segmentul MC’
Si la fel ca si mai sus obtinem triunghiul dreptunghic A’MC’, unde MC'=\frac{l\sqrt{19}}{3}, daca aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic A’MC’
problema rezolvata cu cubul

 

Astfel avem triunghiurile: \Delta A'C'M si \Delta ACN triunghiuri dreptunghice in A’ respectiv C, unde gasim ca [AC]\equiv[A'C']

Dar mai avem si [AN]\equiv[CN]
Si cu cazul de congruneta de la trunghiurile dreptunghice obtinem ca:
\Delta A'C'M\equiv\Delta ACN
Si astfel obtinem ca [C'M]\equiv[AN] dar mai avem si:

\Delta ACM si \Delta A'C'N
[AC]\equiv[A'C']
Si [C'N]\equiv[AM]
Si cu cazul de congruneta C.C obtinem:
\Delta ACM\equiv\Delta C'A'N si obtinem [A'N]\equiv[CM]

latura unui cub
de unde obtinem si ca AN=MN, astfel avem ca \frac{l\sqrt{19}}{3}=\frac{5\sqrt{19}}{3}\Rightarrow l=5\;\; cm

Asadar muchia cubului este de 5 cm.

Calculul de distante si unghiuri

Prezentam rezolvarea unei probleme in care calculam distanta de la un punct la un plan, dar si distanta de la un punct la o dreapta, cat si masura unghiului diedru a doua plane.

Pe planul triunghiului dreptunghic ABC (m(<A)=90) cu AB =30 cm ,AC= 40cm, se ridica perpendiculara AP cu AP=8\sqrt{3}

Aflati:

a) distanta de la punctul P la dreapta BC
b) distanta de la punctul A la planul (PBC)
c)masura unghiului dietru format de planele (PBC)si(ABC)

Demonstratie:
Stim din ipoteza ca AP\perp (ABC), astfel in triunghiul dreptunghic ABC construim inaltimea AD, adica AD\perp BC
Stim ca AD\subset (ABC), deci cu Teorema celor trei perpendiculare rezulta ca si PD\perp BC si astfel distanta de la P la BC este PD d(P, BC)=PD

Dar mai intai aflam AD, stim ca triunghiul ABC este dreptunghic, deci mai intai aflam ipotenuza, adica BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\Rightarrow BC^{2}=30^{2}+40^{2}\Rightarrow BC=\sqrt{900+1600}\Rightarrow BC=\sqrt{2500}=50\;\; cm

Acum cu Teorema inaltimii in triunghiul dreptunghic ABC obtinem:
AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{30\cdot 40}{50}=\frac{30\cdot 4}{5}=\frac{6\cdot 4}{1}=24\;\; cm
Observati ca mai sus am efectuat cateva simplificari pentru a ne usura calculele.
Acum ca stim si AD si AP, in triunghiul dreptunghic PAB, aplicam Teorema lui Pitagora PD^{2}=PA^{2}+AD^{2}\Rightarrow PD=\left(8\sqrt{3}\right)^{2}+24^{2}\Rightarrow PD=\sqrt{64\cdot 3+576}\Rightarrow PD=\sqrt{192+576}=\sqrt{768}=16\sqrt{3}\;\; cm
cum aplicam Teorema celor trei perpendiculare

b) distanta de la punctul A la planul (PBC)

Observam ca PA\perp AB, Dar si PA\perp AC, stim si ca AD\perp BC
Astfel construim perpendiculara din A pe pe PD, astfel fie AE\perp PD, dar observam ca PD\subset(PBC), deci cu Reciproca celor trei perpendiculare obtinem ca AE\perp (PBC)

Deci avem ca d(A\left(PBC\right))=AE
Astfel stim ca triunghiul PAD este dreptunghic in A, deci cu Teorema inaltimii obtinem AE=\frac{PA\cdot AD}{PD}=\frac{8\sqrt{3}\cdot 24}{16\sqrt{3}}^{(16\sqrt{3}}=\frac{1\cdot 24}{2}=12\;\; cm
cum calculam distanta de la un punct la un plan

c)masura unghiului diedru format de planele (PBC)si(ABC)
Calculam mai intai intersectia celor doua plane:
(PBC)\cap (ABC)=BC
Astfel construim perpendicularele din P pe BC si din A pe BC
Astfel fie PD\perp BC
Si Ad\perp BC
Astfel avem unghiul m\left(\widehat{(PBC),(ABC)}\right)=m\left(\widehat{PD, AD}\right)=m\left(\widehat{PDA}\right)=

Cum triunghiul PAD este dreptunghic aplicam functiile trigonemetrice pentru a afla masura unghiului.
Astfel \sin\widehat{PDA}=\frac{PA}{PD}=\frac{8\sqrt{3}}{16\sqrt{3}}^{(8\sqrt{3}}=\frac{1}{2}=30^{0}
Deci masura unghiului dintre cele doua plane este de 30 de grade.

cum calculam masura unghiului a doua plane

Cum calculam aria proiectia unui triunghi

Prezentam o problema in ca calculam aria proectiei unui triunghi.

1. Un triunghi dreptunghic ABC are catetele AB= 3cm si AC = 4cm. Triunghiul ABC se proiecteaza pe planul alfa dupa triunghiul A’B’C’. Calculati aria triunghiului A’B’C’ in fiecare din cazurile :

a) m(unghiului((ABC),alfa))) = 60 de grade

b) aceeasi unghi 30 de grade

c) 45 de grade

  1. a) m(unghiului((ABC),alfa))) = 60 de grade

 

  1. b) aceeasi unghi 30 de grade

 

  1. c) 45 de grade

 

Stim ca

 

A_{\Delta A'B'C'}=A_{ABC}\cdot \cos m\left(\widehat{(ABC),\alpha}\right)

 

Dar mai intai aflam aria triunghiului ABC, astfel avem ca

 

A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}=\frac{3\cdot 4}{2}=3\cdot 2=6\;\; cm^{2}

 

Astfel

 

A_{\Delta A'B'C'}=A_{\Delta ABC}\cdot \cos 60^{0}=6\cdot\frac{1}{2}=3\;\; cm^{2}

b) A_{\Delta A'B'C'}=A_{ABC}\cdot \cos m\left(\widehat{(ABC),\alpha}\right)=6\cdot\cos 30^{0}=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\cdot\frac{\sqrt{3}}{1}=3\sqrt{3}\;\; cm^{2}

c)  A_{\Delta A'B'C'}=A_{ABC}\cdot \cos m\left(\widehat{(ABC),\alpha}\right)=6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\cdot\frac{\sqrt{2}}{1}=3\sqrt{2}\;\; cm^{2}

 

 

Probleme rezolvate cu unghiul diedru

Prezentam inca doua probleme in care calculam unghiul diedru a doua semiplane, pentru cei care nu va mai reamintiti cum se face dati click aici.

1.SABCD este piramida regulata cu varful in S si cu toate muchiile congruente.Determinati masura unghiului diedru format de semiplanele:

a) (ABS) si (ABD) ;

Mai intai aflam intersectia semiplanelor:

(ABS)\cap (ABD)=AB, adica muchia diedrului

cum calculam unghiul diedru

 

Fie O centrul bazei , iar N mijlocul segmentului AB, adica [AN]\equiv[NB], deoarece ABCD patrat  si AB=l , atunci AC=l\sqrt{2}

Observam ca triunghiul SAB este echilateral, deci rezulta ca SN\perp AB, SM\subset(SAB), ON\perp AB si ON\subset (ABD), deci

m\left(\widehat{(SAB),(ABD)}\right)=m\left(\widehat{SN, NO}\right)=m\left(\widehat{SNO}\right)

Cum triunghiul SON este dreptunghic in O, putem aplica functiile trigonometrice, dar mai intai aflam SM=\frac{l\sqrt{3}}{2} (inaltime in triunghiul echilateral SAB) OM=\frac{l}{2}(apotema bazei in piramida SABCD)

Si cu Teorema lui Pitagora aflam SO^{2}=SM^{2}-OM^{2}\Rightarrow SO^{2}=\left(\frac{l\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{l}{2}\right)^{2}\Rightarrow SO^{2}=\frac{3l^{2}}{4}-\frac{l^{2}}{4}\Rightarrow SO=\sqrt{\frac{2l^{2}}{4}}=\frac{l\sqrt{2}}{2}

Astfel, calculam \sin\widehat{SNO}=\frac{SO}{SN}=\frac{\frac{l\sqrt{2}}{2}}{\frac{l\sqrt{3}}{2}}=\frac{l\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{2}{l\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}

b) (BCS) si (BCA);

Observam ca: (BCS)\cap(BCA)=BC

La fel si mai sus triunghiul, in triunghiul SBC, ducem SM\perp BC, SM\subset(SBC),dar si OM\perp BC, OM\subset\left(BCA\right), astfel obtinem ca si mai sus m\left(\widehat{(BCS (BCA)}\right)=m\left(\widehat{SM,MO}\right)=m\left(\widehat{SMO}\right)

Dar la fel ca si mai sus triunghiul SMO este dreptunghic in O si obtinem
\sin\widehat{SMO}=\frac{SO}{SM}=\frac{\sqrt{6}}{3}

c)(SBA) si (SBC); (SBA)\cap(SBC)=SB

Astfel intersectia semiplanelor este dreapta SB, astfel ducem perpendiculara din A pe SB si din C pe SB.
cum calculam unghiul diedru a doua semiplane
Astfel avem AT\perp SB , AT\subset(SBA)
Dar si CT\perp SC, CT\subset(SBC)
Decin obtinem unghiul m\left(\widehat{(SBA),(SBC)}\right)=m\left(\widehat{AT,CT}\right)=m\left(\widehat{ATC}\right)
Stim ca AT si CT sunt inaltimii in triunghiurile echilaterale SBA si SBC, astfel obtinem CT=AT=\frac{l\sqrt{3}}{2}, deci obtinem triunghiul ATC isoscel.

Pentru a afla masura unghiului construim perpendiculara din T pe AC si cu teorema lui Pitagora aflam TO^{2}=TA^{2}-AO^{2}\Rightarrow TO^{2}=\frac{3l^{2}}{4}-\frac{2l^{2}}{4}\Rightarrow TO=\sqrt{\frac{l^{2}}{4}}=\frac{l}{2}
Acum construim si perpendiculara din A pe CT, adica AE, astfel pentru a afla AE stim ca: A_{\Delta TAC}=A_{\Delta CTA}\Rightarrow \frac{AC\cdot TO}{2}=\frac{CT\cdot AE}{2}\Rightarrow \frac{l}{2}\cdot \frac{l}{2}=\frac{l\sqrt{3}}{2}\cdot AE\Rightarrow \frac{l^{2}}{4}:\frac{l\sqrt{3}}{2}=AE\Rightarrow AE=\frac{l^{2}}{4}\cdot\frac{2}{l\sqrt{3}}=\frac{l}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{l\sqrt{3}}{6}

Astfel, daca aplicam functiile trigonometrice obtinem \sin\widehat{ATC}=\frac{AE}{AT}=
\frac{l\sqrt{3}}{6}\cdot\frac{2}{l\sqrt{6}}=
\frac{1\cdot 1}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=
\frac{\sqrt{3}}{9}
cum calculam unghiul diedru a doua semiplane

d) (SAB) si (SAD).
La fel obtinem si pentru unghiul de mai sus.

O piramida triunghiulara regulata are inaltimea de trei cm si latura bazei de 4 cm . Calculeaza aria unei fete laterale si masura diedrului format de o fata cu planul bazei.

Demonstratie:
Stim ca in VABC VO inaltime, adica VO=3 cm si AB=4 cm
Stim ca fetele laterale sunt triunghiuri isoscele, deci in triunghiul VBC construim perpendiculara VM, adica inaltimea in triunghiul isoscel VAC, stim ca VO=3 cm si a_{b}=OM=\frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{4\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{3}

Astfel in triunghiul dreptunghic VOM aplicam Teorema lui Pitagora,
VM^{2}=VO^{2}+OM^{2}\Rightarrow VM^{2}=3^{2}+\frac{4\cdot 3}{9}\Rightarrow VM=\sqrt{9+\frac{4}{3}}\Rightarrow VM=\sqrt{\frac{27+4}{3}}=\sqrt{\frac{31}{3}}=\frac{\sqrt{31\cdot 3}}{3}=\frac{\sqrt{93}}{3}.

Astfel aria A_{\Delta VBC}=\frac{BC\cdot VM}{2}=\frac{4\cdot\frac{\sqrt{93}}{3}}{2}=2\cdot\frac{\sqrt{93}}{3}=\frac{2\sqrt{93}}{3}\;\; cm^{2}

Dar avem si sa calculam m\left(\widehat{(VBC),(ABC)}\right)
(VBC)\cap (ABC)=BC
Deci ducem perpendicularele din V pe BC si din A pe BC si obtinem: VM\perp BC, VM\subset (VBC)
Dar si AM\perp BC, AM\subset(ABC)
Si obtinem unghiul m\left(\widehat{VM, AM}\right)=m\left(\widehat{VMA}\right)=m\left(\widehat{VMO}\right)
Stim ca OM=\frac{2\sqrt{3}}{3}

Deci putem aplica \tan\widehat{VMO}=\frac{VO}{OM}=\frac{3}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}=3:\frac{2\sqrt{3}}{3}=3\cdot\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}
unghiul a doua plane

Probleme rezolvate cu Teorema impartirii cu rest si cu Teorema celor Trei perpendiculare

Inca cateva probleme rezolvate cu teorema impartirii cu rest si teorema celor trei perpendiculare, rezolvate special pentru vizitatorii nostri.

1. Suma a 2 numere este 568. Aflati numerele stiind ca restul impartirii celui mai mare la cel mai mic este 28 si catul 14.

Rezolvare.

Notam cu x primul numar si y cel de-al doilea numar.

Astfel formam ecuatiile: x+y=568 suma a doua numere este 568, cu x>y

x:y, c=14\;\; si r=28

Deci cu teorema impartirii cu rest obtinem: x=14\cdot y+28=14y+28 cu r<I, adica r<y

Astfel daca inlocuim in prima ecuatie obtinem: 14y+28+y=568\Rightarrow 15y=568-28\Rightarrow 15y=540\Rightarrow y=540:15\Rightarrow y=36

Si x=14\cdot y+28=14\cdot 36+28=504+28=532

Deci cel mai mare numar este: 532 si cel mai mic numar este 36.

2. Determinati fractia a supra b, stiind ca este egala cu7 supra 5 si ca a ori b =1260

Solutie

Stim ca: \frac{a}{b}=\frac{7}{5}

Si a\cdot b=1260

Astfel avem \frac{a}{b}=\frac{7}{5}\Rightarrow a=\frac{7b}{5}

Astfel daca inlocuim in cea de-a doua ecuatie obtinem:

a\cdot b=1260\Rightarrow \frac{7b}{5}\cdot b=1260\Rightarrow \frac{7}{5}\cdot b^{2}=1260\Rightarrow b^{2}=1260:\frac{7}{5}\Rightarrow b^{2}=1260\cdot\frac{5}{7}^{(7}\Rightarrow b^{2}=180\cdot\frac{5}{1}\Rightarrow b^{2}=900\Rightarrow b^{2}=30^{2}\Rightarrow b=30

Iar a\cdot b=1260\Rightarrow a\cdot 30=1260\Rightarrow a=1260:30\Rightarrow a=42

Astfel am obtinut a=42 si b=30.

3. In centrul O al unui dreptunghi se ridica perpendiculara pe planul dreptunghiului, pe care se ia punctul M. Laturile dreptunghiului au lungimile de 10 cm, respectiv 18 cm, iar OM=12 cm. Calculati distantele de la punctul M la laturile dreptunghiului.

cum calculam distanta de la un punct la o dreapta
Stim ca MO\perp {ABCD}
Deci MO\perp (ABC)
Si ON\perp BC

Mai mult, ON, BC\subset\left(ABC\right)
Cu teorema celor trei perpendiculare obtinem MN\perp BC si astfel am obtinut ca d(M, BC)=MN
Astfel triunghiul MON este dreptunghic in O.
Mai stim si ca, O este centrul dreptunghiului, adica O este mijlocul lui AC, dar si ON||DC, deci ON este linia mijlocie in triunghiul ABC astfel obtinem:
ON=\frac{DC}{2}=\frac{18}{2}=9\;\; cm astfel in triunghiul MON, obtinem: MN^{2}=MO^{2}+ON^{2}\Rightarrow MN^{2}=12^{2}+9^{2}\Rightarrow MN=\sqrt{144+81}\Rightarrow MN=\sqrt{225}=15 cm

Stim si ca (ADC)
OP\perp AD
Si cu Teorema celor trei perpendiculare: MP\perp AD
La fel ca mai sus OP este linie mijlocie in triunghiul ADC si cu teorema lui Pitagora obinem MP=15 cm.
cum calculam distanta de la un punct la o dreapta
Si astfel obtinem ca d\left(M,AD\right)=MP=MN=15 cm
Pentru a afla d(M,AB)
Stim ca MO\perp(ABCD)\Rightarrow MO\perp(ABC)
Construim OQ\perp AB

Stim si ca OQ, AB\subset(ABC)
Deci cu Teorema celor trei perpendiculare obtinem:
MQ\perp AB
Si astfel obtinem: d(M, AB)=MQ
Stim ca O mijlocul lui AC si OQ||BC, deci cu Teorema liniei mijlocii obtinem OQ linie mijlocie OQ=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\;\; cm

Deci in triunghiul MOQ aplicam Teorema lui Pitagora
MQ^{2}=MO^{2}+OQ^{2}\Rightarrow MQ^{2}=12^{2}+5^{2}\Rightarrow MO=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\;\; cm
La fel obtinem si pentru d(M, DC)=MQ.

cum calculam distanta de la un punct la o dreapta

Cum calculam lungimea unor segmente cand stim un raport

1. Daca M apartine [AB] si AB=18 cm, calculati lungimile segmentelor [AM] si [MB] in situatiile:
a) AM supra MB=2supra 7
Solutie:
\frac{AM}{MB}=\frac{2}{7}\Rightarrow AM=\frac{2}{7}\cdot MB
Stim ca M\in [AB]
Astfel avem:
AB=AM+MB\Rightarrow 18=\frac{2}{7}MB+MB\Rightarrow 18=\frac{2}{7}MB+\frac{7}{7}MB\Rightarrow 18=\frac{9}{7}\cdot MB\Rightarrow MB=18:\frac{9}{7}\Rightarrow MB=18\cdot\frac{7}{9}^{(9}\Rightarrow MB=2\cdot\frac{7}{1}\Rightarrow MB=2\cdot 7=14\;\; cm
Si AM=AB-MB\Rightarrow AM=18-14=4\;\; cm.

cum calculam lungimea unor segmente
b) AM supra AB= 2 supra 3
Stim ca
\frac{AM}{AB}=\frac{2}{3}
Stim ca AB=18 cm
astfel obtinem:
\frac{AM}{18}=\frac{2}{3}\Rightarrow AM=\frac{2}{3}\cdot 18^{(3}=\frac{2}{1}\cdot 6\Rightarrow AM=2\cdot 6=12\;\; cm
Cum AM=12 cm
Obtinem:
AB=AM+MB\Rightarrow 18=12+MB\Rightarrow MB=18-12\Rightarrow MB=6 cm

cum calculam lungimea unor segmente

2. Daca punctul P apartine [AB] , astfel incat AP supra PB=3 supra 5, calculati
a) AP supra AB
b) PB supra AB
Solutie:
Stim ca:
\frac{AP}{PB}=\frac{3}{5}
Din raportul de mai sus obtinem:
\frac{AP}{3}=\frac{PB}{5}
Adica
\frac{AP}{3}=k\Rightarrow AP=3k
Dar si
\frac{PB}{5}=k\Rightarrow PB=5\cdot k
Astfel AB=AP+PB=3k+5k=8k
astfel raportul
\frac{AP}{AB}=\frac{3k}{8k}^{(k}=\frac{3}{8}
Si
\frac{PB}{AB}=\frac{5k}{8k}^{(k}=\frac{5}{8}

3. In triunghiul TLE, se iau punctele A apartine (TL), S apartine (TE), astfel incat AS\\ LE.

a) Daca TA=4 cm , AL=3 cm,TE=14 cm,atunci TS=?

 

Demonstratie:

probleme rezolvate cu teorema lui Thales

Stim ca AS||LE, deci cu Teorema lui Thales obtinem segmente proportionale:

\frac{TA}{TL}=\frac{TS}{TE}

Observati ca am folosit proportiile derivate pentru Teorema lui Thales.

Dar mai intai sa aflam TL, astfel TL=TA+AL\Rightarrow TL=4+3=7\;\; cm

Si obtinem egalitatea de rapoarte:

\frac{TA}{TL}=\frac{TS}{TE}\Rightarrow \frac{4}{7}=\frac{TS}{14}\Rightarrow 7\cdot TS=4\cdot 14\Rightarrow TS=\frac{4\cdot 14}{7}^{(7}=\frac{4\cdot 2}{1}=7

deci obtinem ca TS=8 cm

b) Daca TA=10 cm, TS=15 cm, SE=6 cm,atunci AL=?

Demonstratie:

probleme rezolvate cu Teorema lui Thales

Stim ca AS||LE, deci cu Teorema lui Thales, obtinem:

\frac{TA}{AL}=\frac{TS}{SE}\Rightarrow \frac{10}{AL}=\frac{15}{6}\Rightarrow 15\cdot AL=10\cdot 6\Rightarrow AL=\frac{10\cdot 6}{15}=\frac{60}{15}=4\;\; cm

Si astfel am obtinut AL=4 cm.

Observati ca este destul de important atunci cand aplicam Teorema lui Thales sa avem grija din ce varf pornim si daca folosim proportii derivate sau proportiile directe.

Teza clasa a VIII model Semestrul I

                                                Lucrare scrisa la matematica pe semestrul I

Nume:
Prenume:

Subiectul I

1. Rezultatul calculului \left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{8} este……

2. Daca multimea A=\left\{x\in N^{*}||\frac{2x-1}{3}|< 5\right\}, atunci cel mai mare numar natural din multimea A este…..

3. Media geometrica a numerelor  a=\frac{2}{\sqrt{3}+1}+3-\sqrt{3} si b=\frac{2}{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}+\left(2+\sqrt{2}\right)^{2} este egala cu ….

4. Scris sub forma de fractie ordinara ireductibila, numarul 0,08(3) este egal cu …

5. Rezultatul calculului 3\sqrt{48}-4\sqrt{12} este egal cu ….

6. Cubul ABCDA’B’C’D’ are muchia de lungime egala cu 8 cm.

a)  Determinati masura unghiului dintre dreptele AC si A’D’, m\left(\widehat{B'C, DC'}\right), precum si m\left(\widehat{AB',\left(ABC\right)}\right), \sin\left(\widehat{BD',\left(ABC\right)}\right)

b) Distanta de la punctul A’ la dreapta BC’

c) Lungimea diagonalei cubului

Subiectul II

1.a) Calculati \frac{20}{\sqrt{12}-\sqrt{2}}-\sqrt{6}\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)-|\sqrt{2}-2|

b)  Aratati ca numarul x=\left(\frac{2}{\sqrt{20}+3\sqrt{2}}\right)-|3\sqrt{2}-2\sqrt{5}|+\sqrt{\left(-4\right)^{2}} este este patrat perfect.

2. Fie E\left(x\right)=\left(x-1-\frac{x^{2}-1}{x+2}\right):\frac{x-1}{x+2}

a) Determinati valorile lui x pentru care expresia este bine definita

b) Aduceti expresia la forma cea mai simpla

c) Determinati valorile intregi a, pentru care \frac{6}{x+1}\cdot E(a) este numar intreg

3. Consideram tetraedrul ABCD de varf A, cu lungimea lui AB=8 cm

a) Calculati lungimea proiectiei segmentului AB pe planul (BCD)

b) Calculati distanta de la A la CD

c) Calculati distanta  de la A la planul (BCD)

d) Determinati sinusul unghiului dintre dreapta AB si planul (BCD)

Solutie:

1. Ca sa aflam rezultatul calculului folosim formulele de calcul prescurtat ar si scoaterea factorilor e sub radicali:

\left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{8}=\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 1+1^{2}+2\cdot 2\sqrt{2}=8-4\sqrt{2}+1+4\sqrt{2}=9

Deci rezultatul calculului este 9.

2. Ca sa aflam cel mai mare element al multimii, mai intai aflam carui interval apartine elementul x

|\frac{2x-1}{3}|<5\Rightarrow -5<\frac{2x-1}{3}<5|\cdot 3\Rightarrow -15\cdot 3<2x-1<15|+1\Rightarrow -15+1<2x-1+1<15+1\Rightarrow -14<2x<16|:2\Rightarrow -7<x<8

Ca sa rezolvam moului de mai sus am tinut cont de regula

|x|<a\Rightarrow -a<x<a

Iar la inegalitatea gasita, am inmultit cu 3 pentru a obtine o inegalitate cu numitorul 1, apoi am adunat cifra 1 pentru toata inegalitatea si nu in ultimul rand am impartit printr-un 2 si astfel am obtinut intervalul x\in \left(-7, 8\right), adica multimea, dar frara elementul 0, deoarece

x\in N^{*}

A=\left\{1,2, 3, 4, 5, 6, 7\right\}

Deci cel mai mare element al multimii este 7.

3. Ca sa calculam media geometrica a numerelor mai intai calculam numerele:

a=\frac{2}{\sqrt{3}+1}+3-\sqrt{3}=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}+3-\sqrt{3}=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}+3-\sqrt{3}=\sqrt{3}-1+3-\sqrt{3}=2

Acum calculam b

b=\frac{2}{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}+\left(2+\sqrt{2}\right)^{2}=\frac{2}{2+2\cdot \sqrt{2}\cdot 1+1^{2}}+4+2\cdot 2\cdot \sqrt{2}+2=\frac{2}{2+2\sqrt{2}+1}+6+4\sqrt{2}=\frac{2}{3+2\sqrt{2}}+6+4\sqrt{2}=\frac{2\left(3-\sqrt{2}\right)}{3^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}+6+4\sqrt{2}=\frac{6-4\sqrt{2}}{9-8}+6+4\sqrt{2}=6-4\sqrt{2}+6+4\sqrt{2}=6+6=12

Observati ca in cazul exercitiului de mai sus am folosit formulele de calcul prescurtat \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}, dar si rationalizarea  numitorilor de forma \sqrt{a}+b.

Iar media geometrica a numarelor este:

M_{g}=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{2\cdot 12}=\sqrt{2\cdot 2^{2}\cdot 3}=2\sqrt{6}

Observati ca am scos factorii de sub radicali.

4. Cum transformam fractia zecimala in fractie ordinara 0,08(3)=\frac{83-8}{900}=\frac{75}{900}^{(15}=\frac{75:15}{900:15}=\frac{5}{60}^{(5}=\frac{5:5}{60:5}=\frac{1}{12}

Si am obtinut o fractie ordinara ireductibila.

5. Ca sa aflam rezultatul calculului mai intai scoatem factorii de sub radicali

3\sqrt{48}-4\sqrt{12}=3\sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 3}-4\sqrt{2^{2}\cdot 3}=3\cdot 2\cdot 2\sqrt{3}-4\cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}-8\sqrt{2}=4\sqrt{3}

 

Teza clasa a VIII a matematica MODEL

                                                Lucrare scrisa la matematica pe semestrul I

Nume:
Prenume:

Subiectul I

1. Rezultatul calculului \left(\frac{2}{\sqrt{3}}+1\right)^{2}+\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2} este……

2. Daca multimea A=\left\{x\in R|-3<1-2x\leq 5\right\}, atunci cel mai mare numar intreg din multimea A este…..

3. Media geometrica a numerelor  a=|4-\sqrt{20}| si b=|\sqrt{12}-4|+|\sqrt{12}+6| este egala cu ….

4. Scris sub forma de fractie zecimala, numarul \frac{81}{125} este egal cu …

5. Rezultatul calculului \sqrt{\left(2-\sqrt{8}\right)^{2}}-2\sqrt{2} este egal cu ….

6. Cubul ABCDA’B’C’D’ are muchia de lungime egala cu 4 cm.

a)  Determinati masura unghiului dintre dreptele AC si A’D’, m\left(\widehat{B'C, DC'}\right), precum si m\left(\widehat{AB',\left(ABC\right)}\right), \sin\left(\widehat{BD',\left(ABC\right)}\right)

b) Distanta de la punctul A’ la dreapta BC’

c) Lungimea diagonalei cubului

Subiectul II

1.a) Calculati \frac{20}{\sqrt{12}-\sqrt{2}}-\sqrt{6}\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)-|\sqrt{2}-2|

b)  Aratati ca numarul x=\left(\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{3}-1}\right):\frac{2}{\sqrt{7}-1} este natural

2. Fie E\left(x\right)=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right):\frac{2x+6}{x^{2}+3x}

a) Determinati valorile lui x pentru care expresia este bine definita

b) Aduceti expresia la forma cea mai simpla

c) Determinati valorile intregi a, pentru care 6\cdot E(a) este numar intreg

3. Consideram tetraedrul ABCD de varf A

a) Calculati lungimea proiectiei segmentului AB pe planul (BCD)

b) Calculati distanta de la A la CD

c) Calculati distanta  de la A la planul (BCD)

d) Determinati sinusul unghiului dintre dreapta AB si planul (BCD)