Operatii cu numere reale > Exercitii

Inainte de a efectua operatii cu numere reale trebuie sa stim care sunt numerele reale, notate R, este formata din reuniunea multimii numerelor rationale cu multimea numerelor irationale. In mod asemanator, R^{*}=R-\left\{0\right\}, adica avem sirul de incluziuni: N\subset Z\subset Q\subset R

Operatiile care putem sa le efectuam cu numerele reale sunt asemanatoare cu operatiile pe care le-am invatat pana acum, adica:

Adunarea numerelor reale

Scaderea numerelor reale

Inmultirea a doua numere reale

Impartirea a doua numere reale

Inversul unui numar real

Ridicarea la putere a numerelor reale

Dar si calculele cu radicali cat si regulile de calcul cu radicali.

In efectuarea operatiilor sus mentionate trebuie sa tinem cont de ordinea efectuarii operatiilor, adica:

-Mai intai efectuam operatiile de gradul III, adica ridicarea la putere a numerelor reale

-Apoi operatiile de gradul II, adica inmultirile si impartirile in ordinea in care apar

-Si nu in ultimul rand operatiile de gradul I, adunarile si scaderile in ordinea in care apar

Acum sa rezolvam cateva exercitii cu numere reale.

1. Efectuatii calculele:

a) (-7+5)\cdot\left(-16:4+12:3\right)

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus, mai intai efectuam operatia de adunare in prima paranteza dintre doua numere intregi folosind regulile de calcul, apoi efectuam impartirile in cea de-a doua paranteza, astfel obtinem:

(-2)\cdot\left(-4+4\right)=0

Dupa ce am efectuat impartirile am obtinut aceleasi numere, dar de semne contrare, de unde obtinem rezultatul 0.

b) 2\sqrt{24}\left(\frac{3}{\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)

Ca sa rezolvam exercitul de mai sus, mai intai scoatem factorii de sub radicali, dar si rationalizam, astfel obtinem:

2\sqrt{2^{2}\cdot 2\cdot 3}\left(\frac{3\sqrt{6}}{6}-\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}}\right)=2\cdot 2\sqrt{6}\left(\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)=

Apoi ca sa putem efectua calculele, aducem la acelasi numitor in paranteza rotunda si efectuam calculele 4\sqrt{6}\left(\frac{3\sqrt{6}-2\sqrt{6}}{6}\right) .

De unde obtinem un numar produsul a doua numere in care putem sa efectuam o simplificare prin 6, deoarece stim ca \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}=6 si astfel obtinem rezultatul 4.

=4\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{6}}{6}=\frac{4\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}{6}=\frac{4\cdot 6}{6}^{(6}=\frac{4\cdot 1}{1}=4

c) \frac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}+\frac{2}{3+\sqrt{7}}

Ca sa rezolvam acest exercitiu, mai intai rationalizam numitorii, astfel devine :

\frac{5\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{2\left(3-sqrt{7}\right)}{3^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}

Apoi efectuam calculele:

\frac{5\sqrt{7}+5\sqrt{2}}{7-5}+\frac{2\cdot 3-2\cdot \sqrt{7}}{9-7}=\frac{5\sqrt{7}+5\sqrt{2}}{2}+\frac{6-2\sqrt{7}}{2}=

Cum avem acelasi numitor, putem efectua calculele:

\frac{5\sqrt{7}+5\sqrt{2}+6-2\sqrt{7}}{2}=\frac{3\sqrt{7}+5\sqrt{2}+6}{2}

d) \left(\sqrt{0,(2)}+\frac{\sqrt{8}}{3}\right):0,(5)-\left(\sqrt{4\frac{1}{2}}\right)^{-1}=

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus mai intai transformam fractiile zecimale periodice simple in fractii ordinare, dar introducem si intregii in fractii pe unde se poate:

\left(\sqrt{\frac{2}{9}}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\right):\frac{5}{9}-\left(\sqrt{\frac{4\cdot 2+1}{2}}\right)^{-1}=

Deci avem: \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot\frac{9}{5}-\left(\sqrt{\frac{9}{2}}\right)^{-1}=

Observati ca am scos si factorii de sub radicali, iar in urmatorul pas extragem radicalii pe unde se poate  \left(\frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot\frac{9}{5}-\left(\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}\right)^{-1}

Astfel obtinem: \left(\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot\frac{9}{5}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}=\frac{3\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{9}{5}-\frac{\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}\cdot\frac{9}{5}-\frac{\sqrt{2}}{3}=^{3)}\frac{9\sqrt{2}}{5}-^{5)}\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{27\sqrt{2}}{15}-\frac{5\sqrt{2}}{15}=\frac{27\sqrt{2}-5\sqrt{2}}{15}=\frac{22\sqrt{2}}{15}

Probleme rezolvate recapitulare clasa a 8 a Partea 2

Partea a doua

probleme rezolvate pentru clasa a viii a

 

1. b)Cum rezolvam in multimea numerelor reale ecuatia?
\frac{\left(x-2\right)^{2}}{2}+{2)}^x\left(x-1\right)=\frac{3x\left(x-5\right)}{2}+^{2)}12
Mai intai aducem in ambii membrii la acelasi numitor, astfel ecuatia devine:
\frac{\left(x-2\right)^{2}+2x\left(x-1\right)}{2}=\frac{3x\left(x-5\right)+2\cdot 12}{2}
Cum avem acelasi numitor putem egala numaratorii, astel ecuatia devine:
\left(x-2\right)^{2}+2x\left(x-1\right)=3x\left(x-5\right)+24\Rightarrow x^{2}-4x+4+2x^{2}-2x=3x^{2}-15x+24\Rightarrow 3x^{2}-6x+4=3x^{2}-15x+24\Rightarrow 3x^{2}-3x^{2}-6x+15x=24-4\Rightarrow 9x=20\Rightarrow x=\frac{20}{9}
Apoi doar am aplicat formulele de calcul prescurtat si am efectuat calculele, de unde am obtinut solutia ecuatiei x=\frac{20}{9}

3. In cazul acestei probleme avem un triunghi dreptunghic in care stim doar mediana si cosinusul unui unghi, astfel cu teorema medianei stim ca

cum aflam inaltimea intr-un triunghi dreptunghic problema rezolvata cu teorema lui Pitagora

 

AM=\frac{1}{2}\cdot BC\Rightarrow 6\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot BC\Rightarrow BC=12\sqrt{3}

Cum stim ipotenuza triunghiului dreptunghic putem sa aflam o cateta deoarece:

\cos B=\frac{cateta\;\; alaturata}{ipotenuza}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{AB}{12\sqrt{3}}\Rightarrow AB=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\;\; cm^{2}

Cum stim o cateta si ipotenuza putem sa aflam cu teorema lui Pitagora cealalta cateta:

AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}\Rightarrow AC^{2}=\left(12\sqrt{3}\right)^{2}-\left(6\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow AC^{2}=144\cot 3-36\cdot 3\Rightarrow AC^{2}=432-108\Rightarrow AB=\sqrt{324}=18\;\; cm

Deci putem afla perimetrul

P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC=18\sqrt{3}+18

b) Ca sa aflam aria unui triunghi dreptunghic stim ca

A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{18\cdot 6\sqrt{3}}{2}=\frac{9\cdot 6\sqrt{3}}{1}=54\sqrt{3}\;\; cm^{2}

c) Acum ca sa aflam cat la suta din aria triunghiului ADC reprezinta ABD, mai intai afla aria ficarui triunghi, dar mai intai inatimea triunghiului ABC

h=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{18\cdot 6\sqrt{3}}{12\sqrt{3}}=\frac{18\cdot 1}{2}=9

si cu inaltimea triunghiului ABC o stim AD=9, stim ca avem doua triunghiuri dreotunghice deci putem aplica formula

A_{\Delta ABD}=\frac{BD\cdot AD}{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot 9}{2}

Ca sa aflam BD stim ca \cos B=\frac{1}{2}, deci masura unghiului B este de 60 de grade si unghiul C este de 30 de grade.

Stim ca triunghiul ABM este isoscel cu un unghi de 60 de grade deci echilateral, deci si masura unghiului AMB este de 60 e grade

Astel in triunghiul

ADM stim ca m\left(\widehat{D}\right)=90^{0}

Deci obtinem ca

m\left(\widehat{DAM}\right)=30^{0}

deci in triunghiul ADM dreptunghic in D, aplicam teorema 30-60-90

DM=\frac{1}{2}\cdot AM=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{3}=3\sqrt{3}

Astfel BD=BM-DM=6\sqrt{3}-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}

Iar DC=DM+MC=3\sqrt{3}+6\sqrt{3}=9\sqrt{3}\;\; cm

deci acum putem afla aria fiecarui triunghi

A_{\Delta ABD}=\frac{BD\cdot AD}{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot 9}{2}=\frac{27\sqrt{3}}{2}

Dar si

A_{\Delta ADC}=\frac{AD\cdot DC}{2}=\frac{9\cdot 9\sqrt{3}}{2}=\frac{81\sqrt{3}}{2}

Iar acum trebuie sa aflam

p\% A_{\Delta ABD}=A_{\Delta ADC}\Rightarrow p\% \frac{27\sqrt{3}}{2}=\frac{81\sqrt{3}}{2}\Rightarrow p\%27\sqrt{3}=81\sqrt{3}\Rightarrow p\%=\frac{81\sqrt{3}}{27\sqrt{3}}=\frac{3}{1}\Rightarrow p=3\%

Exercitii recapitulative clasa a 8 a rezolvate Partea 1

Am primit spre rezolvare un test pentru clasa a 8 a.  O sa il rezolvam in doua articole deoarece este destul de mult de scris.

Primul exercitiu fiind foarte simplu nu l-am mai rezolvat. Daca totusi aveti neclaritati cu privire la el sau la alt punct din test, lasati-ne un mesaj pe pagina de Facebook.

Partea 1. De la punctele 2 la 9.

probleme rezolvate pentru clasa a viii a
2. Daca -6 este solutie a ecuatiei, atunci ecuatia devine:

2\left(-6+3a\right)+5=11

Iar acum rezolvam ecuatia pe care am obtinut-o

2\left(-6+3a\right)=11-5\Rightarrow 2\left(-6+3a\right)=6|:2\Rightarrow -6+3a=3\Rightarrow 3a=3+6\Rightarrow 3a=9\Rightarrow a=3

Deci am obtinut a=3

Iar varianta corecta este B.

3. In cazul acestui exercitiu avem doua expresii, iar pentru a-l aduce la forma simplificata, folosim formulele de calcul prescurtat:

\left(-x+3\right)^{2}+4\left(x+1\right)=\left(-x\right)^{2}-2\cdot x\cdot 3+3^{2}+4\cdot x+4\cdot 1=    x^{2}-6x+9+4x+4=x^{2}-2x+13

Deci am folosit formula de calcul prescurtat:

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}

unde a=x si b=3

Iar raspunsul care l-am gasit este C.

4. Stim ca x+y=2\sqrt{2} si x^{2}+y^{2}=2, iar acum trebuie sa calculam media geometrica a numerelor x si y, cu ajutorul formulei de calcul prescurtat \left(x+y\right)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}

Dar cu informatiile de mai sus obtinem:

\left(2\sqrt{2}\right)^{2}=2^{2}+2\cdot xy\Rightarrow

8=4+2\cdot xy\Rightarrow 2\cdot xy=8-4\Rightarrow 2\cdot xy=4\Rightarrow

xy=4:2\Rightarrow xy=2

Iar media gemoetrica a numerelor x si y este M_{g}=\sqrt{xy}=\sqrt{2}

Deci litera corecta este D.

5. Stim ca triunghiul este dreptunghic, mai stim si ca inaltimea triunghiului este de 12 cm, adica in cazul figurii noastre AD=12 cm, dar mai stim si lungimea proiectiei unei catete pe ipotenuza, adica BD=16 cm

cum aplicam Teorema inaltimii

Astfel din teorema inaltimii obtinem

AD^{2}=BD\cdot DC\Rightarrow 144=16\cdot DC\Rightarrow DC=144:16\Rightarrow DC=9\;\; cm

Iar lungimea ipotenuzei este BC=BD+DC=16+9=25

deci aria triunghiului este A_{ABC}=\frac{baza\cdot h}{2}=\frac{25\cdot 16}{2}=25\cdot 8=150\;\; cm^{2}

Iar raspunsul gasit este D.

6. In cazul acestei probleme stim ca avem un punct exterior unui cerc, iar punctul este situat la o distanta de 40 cm fata de centrul cercului, dar mai stim si raza cercului care este de r=24 cm

Fie B punctul de intersectie intre cerc si dreapta care are un singur punct in comun cu cercul.

Stim din teoremele care le-am invatat in clasa a VII a ca Tangenta la un cerc este perpendiculara pe raza in punctul de tangenta.

Astfel avem ca masura unghiului m\left(\widehat{B}\right)=90^{0}

tangenta la un cerc

Deci in triunghiul ABO aplicam Teorema lui Pitagora

AB^{2}=AO^{2}-OB^{2}\Rightarrow AB^{2}=40^{2}-24^{2}\Rightarrow AB^{2}=1600-576\Rightarrow AB^{2}=1024\Rightarrow AB=\sqrt{1024}=32

deci distanta din punctul a la cerc este de 32 cm, iar raspunsul gasit este B.

7. Stim ca DE||BC, deci putem aplica Teorema fundamentala a asemanarii:

\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}

Iar noi trebuie sa aflam perimetrul triunghiului ADE, stim din ipoteza AD, mai trebuie sa aflam AE si DE

cum aplicam teorema fundamentala a asemanarii

Astfel avem

\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\Rightarrow \frac{12}{36}=\frac{AE}{12}\Rightarrow AE=\frac{12\cdot 12}{36}=\frac{144}{36}=4

Deci AE=4 cm

Acum ca sa aflam DE stim ca

\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}

\Rightarrow \frac{12}{36}=\frac{DE}{30}\Rightarrow DE=\frac{30\cdot 12}{36}\Rightarrow DE=\frac{360}{36}=10

Cum stim si DE, putem afla perimetrul triunghiului

P_{\Delta ADE}=AD+AE+DE=12+4+10=26\;\; cm

Iar raspunsul gasit este C.

8. Stim ca perimetrul unui triunghi isoscel este de 108 cm, iar linia mijlocie paralela cu baza este de 24 cm, iar noi trebuie sa aflam aria triunghiului ADE

Stim ca linia mijlocie intr-un triunghi este paralela cu baza si masoara jumatate din cea de-a treia latura:

adica DE=\frac{1}{2}\cdot BC\Rightarrow 24=\frac{1}{2}\cdot BC\Rightarrow BC=48 cm

Cum stim baza putem sa aflam si cele doua laturi deoarece triunghiul ABC este isoscel, adica P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC\Rightarrow 108=AB+AC+48\Rightarrow AB+AC=108-48\Rightarrow AB+AC=60

Dar cum stim ca AB=AC, obtinem

2\cdot AB=60\Rightarrow AB=30 cm=AC

Ca sa aflam aria triunghiului trebuie sa stim inaltimea triunghiului ABC, astfel ducem din A inaltimea perpendiculara pe baza BC

cum calculam linia mijlocie intr-un triunghi
Astfel fie AD\perp BC
Stim ca BC=48 cm , cum AD este inaltime corespunzatoare bazei, rezulta ca AD este si mediana deci BD=DC=24 cm.
Deci in triunghiul ADC, aplicam teorema lui Pitagora:
AD^{2}=AC^{2}-BD^{2}\Rightarrow AD^{2}=30^{2}-24^{2}\Rightarrow AD=\sqrt{900-576}=\sqrt{324}=18
Deci acum ca stim si inaltimea putem afla aria triunghiului
A_{\Delta ABC}=\frac{baza\cdot h}{2}=\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{48\cdot 18}{2}=\frac{24\cdot 18}{1}=432\;\; cm^{2}
Iar raspunsul corec este D.

9. Trebuie sa aflam solutiile unei ecuatii
x\left(x+1\right)\leq\left(x-3\right)^{2}\Rightarrow x^{2}+x\leq x^{2}-2\cdot x\cdot 3+3^{2}\Rightarrow x^{2}+x\leq x^{2}-6x+9\Rightarrow x^{2}-x^{2}+x+6x\leq 9\Rightarrow 7x\leq 9\Rightarrow x\leq\frac{9}{7}
Ca sa rezolvam inecuatia de mai sus in membrul drept am folosit formula de calcul prescurtat \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}, am trecut apoi necunoscutele in membrul drept si cunoscutele in membrul stang, am efectuat calculele si am gasit solutia ecuatiei.
Deci solutia inecuatiei este:
x\in\left\{0, 1, 2,3 ...\frac{9}{7}\right\} dar noi trebuie sa afla solutia inecuatiei in multimea numerelor naturale este:
x\in\left\{0,1\right\} deci rezultatul gasit este C.

Exercitiu rezolvat cu rapoarte algebrice

Aceasta rezolvare este pentru unul dintre voi care a trimis mesaj in care spunea ca este URGENT !!! de rezolvat. Totusi niciun MULTUMESC nu era atasat la finalul mailului. Iata ca a trecut o saptamana si contrar asteptarilor nu l-am lasat de izbeliste si l-am rezolvat. Este ultimul exercitiu pe care il rezolvam fara sa indeplineasca termenii noi de rezolvare pe care ii vedeti scrisi foarte citet in pagina REZOLVARI.

 Si cum astazi incep scolile va uram si noi mult succes si multe note de 10.

Asadar in acest articol prezentam un exercitiu rezolvat cu rapoarte algebrice
cum simplificam un raport

In cadrul acestui exercitiu trebuie sa simplificam o fractie algebrica, dar si sa calculam valoarea unei fractii algebrice.
Asadar avem fractia algebrica de mai jos pe care trebuie sa o simplificam:
\frac{x^{2}+x-6}{x+3}=\frac{x^{2}+3x-2x-6}{x+3}=\frac{x\left(x+3\right)-2\left(x+3\right)}{x+3}=\frac{\left(x+3\right)\cdot\left(x-2\right)}{x+3}^{(\left(x+3\right)}=\frac{1\cdot \left(x-2\right)}{1}=x-2
Ca sa simplificam fractia algebrica de mai sus, observam ca am scris termenul din mijloc, adica x, ca diferenta a doua numere, adica 3x-2x, iar apoi am dat factor comun intre primii doi termeni pe x, iar in ultimi doi cifra 2, iar apoi din rezultatul obtinut am dat factor comun pe (x+3) si apoi am simplificat si am obtinut rezultatul x-2.
b) Acum ca sa calculam valoarea fractiei algebrice pentru x=2,012, ne folosim de rezultatul obtinut de la punctul a.
Deoarece stim ca \frac{x^{2}+x-6}{x+3}=x-2
Adica calculam:
x-2=2,012-2=0,012

Exercitii rezolvate cu aproximarea fractiilor zecimale

Sa invatam aproximarea fractiilor zecimale !

Astazi o sa va rezolvam un exercitiu in care trebuie sa aproximam fractiile zecimale atat la zecimi, sutimi cat si miimi, dar si cu ajutorul unui calculator sa aproximam anumiti radicali la fel ca si la fractiile zecimale.
cum aproximam fractiile zecimale
12,127\approx 12,10 (aproximare prin lipsa cu o zecime )
12,127\approx 12,20 (aproximare prin adaos cu o zecime)
-\sqrt{8}=-2,828
-2,828\approx -2,820 (aproximare prin lipsa cu o sutime)
-2,828\approx -2,830 (apoximare prin adaos cu o sutime)
7,1(68)\approx 7,1680 (aproximare prin lipsa cu o miime)
7,1(68)\approx 7,169 (aproximare prin adaos cu o miime)
\sqrt{27}\approx 5,1961

b) \sqrt{27}\approx 5,1961\approx 5,20(rotunjire cu o zecime)
\sqrt{27}\approx 5,1961\approx 5,20(rotunjire cu o sutime)
\sqrt{27}\approx 5,1961\approx 5,196(rotunjire cu o miime)

c) \sqrt{41}\approx 6,40312\approx 6,40(rotunjire cu o zecime)

\sqrt{41}\approx 6,40312\approx 6,400(rotunjire cu o sutime)
\sqrt{41}\approx 6,40312\approx 6,4030(rotunjire cu o miime)

d) \sqrt{19}\approx 4,3588\approx 4,40(rotunjire cu o zecime)

\sqrt{19}\approx 4,3588\approx 4,360(rotunjire cu o sutime)
\sqrt{19}\approx 4,3588\approx 4,3590(rotunjire cu o miime)

e) \sqrt{135}\approx 11,6189\approx 11,60(rotunjire cu o zecime)
\sqrt{135}\approx 11,6189\approx 11,620(rotunjire cu o sutime)
\sqrt{135}\approx 11,6189\approx 11,6190(rotunjire cu o miime)

f) \sqrt{226}\approx 15,0332\approx 15,00(rotunjire la zecimi)
\sqrt{226}\approx 15,0332\approx 15,030(rotunjire la sutimi)
\sqrt{226}\approx 15,0332\approx 15,0330(rotunjire la miimi)

Atentie in cazul aproximarii prin rotunjire:
-ultima cifra la care se face referire ramane neschimbata daca dupa ea urmeaza 0, 1, 2, 3, 4
– ultima cifra la care se face rotunjirea se mareste cu 1, daca dupa ea urmeaza 5, 6, 7, 8, 9.

Subiecte posibile Evaluarea Nationala Matematica

Subiectul II
1. Desenati o prisma patrulatera regulata ABCDA’B’C’D’
2. Aflati trei numere naturale consecutive impare, stiind ca daca suma lor se imparte la 8 obtinem catul 15 si restul 3.
3. Cate numere de forma \bar{4ab} sunt divizibile cu 41.
4. Consideram functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=\left(2a+3\right)x-3a+2. Stiind ca graficul lui f contine punctul A\left(-1,-6\right) se cere:
a) Aratati ca a=1 si reprezentati grafic functia obtinuta
b) Determinati punctul de pe graficul functiei f care are abscisa egala cu un sfert din ordonata.
5. Se considera expresia E\left(x\right)=\left(\frac{2x}{x-1}-\frac{x}{x+1}\right):\frac{x^{2}+3x^{2}}{x^{3}+2x^{2}+x}, unde x\in R-\left\{-3,-1,0,1\right\}. Aduceti expresia data la forma cea mai simpla.
Solutie:
1. Mai intai desenam prisam patrulatera regulata ABCDA’B’C’D’
Cum desenam o prisma patrulater regulata
2. Cum aflam trei numere naturale consecutive impare? cand avem anumite conditii in ipoteza. In primul rand folosim teorema impartirii cu rest, dar trebuie sa mai tinem cont ca avem si numere naturale impare consecutive, astfel fiem numerele impare consecutive:
n, n+2, n+4
Stim ca suma numerelor se imparte la 8, astfel suma lor este
n+n+2+n+4=3n+6
Suma lor se imparte la 8
\left(3n+6\right):8 se obtine q=15 si restul r=3
Astfel folosim Teorema impartirii cu rest:
3n+6=15\cdot 8+3
Acum rezolvam ecuatia:
3n+6=15\cdot 8+3\Rightarrow 3n+6=120+3\Rightarrow 3n+6=123\Rightarrow 3n=123-6\Rightarrow 3n=117\Rightarrow n=117:3\Rightarrow n=39
Deci am gasit n=39 si este un numar impar.
Deci primul numar este 39, acum sa aflam si celelate 2 numere.
n+2=39+2=41
Dar si
n+4=39+4=43
Deci numerele impare consecutive sunt 39,41,43
Acum daca efectuam proba obtinem:
39+41+43=123
Acum daca impartim
123:8 obtinem catul q=15si restul r=3
3. Cum gasim numerele de form \bar{4ab} devizibile cu 41
Cautam numerel divizibile 41 intre 400\;\; si\;\; 499
Observam ca numarul 41 este un numar prim, deci numerele divizibile trebuie sa fie de form 41\cdot x
Iar daca luam pentru x=10 obtinem 41\cdot 10=410 divizibil cu 41, deci primul numar este: 410, deci a=1 si b=0
Pentru x=11 obtinem 41\cdot 11=451divizibil cu 41, al dolile numar divizibil cu 41 este 451, astfel a=5 si b=1
Pentru x=12 obtinem 41\cdot 12=492 divizibil cu 41, al treilea numar divizibil cu 41 este 492, astfel a=9 si b=2.
Deci avem trei numere divizibile cu 41 de forma \bar{4ab}
Pentru x=13 obtineam un numar mai mare decat 4ab si astfe nu se mai indeplinea conditia aceasta, la fel si pentru x<10 se obtinea un numar mai mic decat de forma 4ab. 4. a) Pentru a obtine a=1 stim ca $latex A\left(-1,-6\right)$ apartine graficului functiei, astfel avem ca: $latex f\left(-1\right)=-6\Rightarrow \left(2a+3\right)\cdot\left(-1\right)-3a+2=-6\Rightarrow -2a-3-3a+2=-6\Rightarrow-5a-1=-6\Rightarrow -5a=-6+1\Rightarrow -5a=-5\Rightarrow a=1$ Pentru a=1 sa reprezentam grafic functia, astfel obtinem functia: $latex f\left(x\right)=\left(2\cdot 1+3\right)x-3\cdot 1+2\Rightarrow f\left(x\right)=\left(2+3\right)x-3+2=5x-1$ DEci functia obtinuta este $latex f\left(x\right)=5x-1$ Acum reprezentam grafic functia: Astfel avem $latex G_{f}\cap Ox$ avem ca $latex f\left(x\right)=0\Rightarrow 5x-1=0\Rightarrow 5x=1\Rightarrow x=\frac{1}{5}$ Deci avem $latex A\left(\frac{1}{5}, 0\right)$ Acum calculam $latex G_{f}\cap Oy$, astfel calculam $latex f\left(0\right)=5\cdot 0-1=0-1=-1$ Deci $latex B\left(0,-1\right)$ Acum reprezentam grafic functia. reprezentarea grafica a functie
b) Acum trebuie sa determinam punctul de pe graficul functie f care are absscisa egala cu un sfer de ordonata.
Astfel fie punctul M\left(x,y\right), dar stim ca abscisa este egala cu un sfert de ordonata, astfel avem ca
x=\frac{1}{4}\cdot y, astfel obtinem acum M\left(\frac{1}{4}y,y\right)
astfel obtinem ca:
f\left(\frac{1}{4}y\right)=y\Rightarrow 5\cdot \frac{1}{4}y-1=y\Rightarrow \frac{5y}{4}-1=y\Rightarrow \frac{5y}{4}-y=1\Rightarrow \frac{5y-4y}{4}=1\Rightarrow\frac{y}{4}=1\Rightarrow y=4
Iar x=\frac{1}{4}\cdot y=\frac{1}{4}\cdot 4=1
Deci obtinem
M\left(1,4\right)
5. Cum aducem expresia la forma cea mai simpla, astfel avem ca:
E\left(x\right)=\left(\frac{2x}{x-1}-\frac{x}{x+1}\right):\frac{x^{2}+3x^{2}}{x^{3}+2x^{2}+x}, unde x\in R-\left\{-3,-1,0,1\right\}
Mai intai in partanteza rotuda aducem la acelasi numitor:
E\left(x\right)=\left(\frac{2x\left(x+1\right)-x\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right):\frac{x^{2}\left(x+3\right)}{x\left(x^{2}+2x+1\right)}
E\left(x\right)=\frac{2x^{2}+2x-x^{2}+x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\cdot\frac{x\left(x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(x+3\right)}
E\left(x\right)=\frac{x^{2}+3x}{x-1}\cdot\frac{x\left(x+1\right)}{x^{2}\left(x+3\right)}
E\left(x\right)=\frac{x\left(x+3\right)}{x-1}\cdot \frac{x\left(x+1\right)}{x^{2}\left(x+3\right)}
E\left(x\right)=\frac{x^{2}\left(x+3\right)\left(x+1\right)}{x^{2}\left(x+1\right)\left(x+3\right)}^{(x^{2}\left(x+3\right)}
Dupa ce am adus la acelasi numitor in paranteza rotunda, am efectuat calculele si am efectuat impartirea celor doua fractii, adica am inmultit prima fractie cu inversul celei de-a doua, iar apoi am simplificat, unde observati ca am adus expresia la forma cea mai simpla.

E\left(x\right)=\frac{x+1}{x-1}

b) determinati valorile lui x\in Z, pentru care E\left(x\right)\in Z
Stim ca E\left(x\right)\in Z\Rightarrow \frac{x+1}{x-1}\in Z

Mai intai punem conditia ca numitorul divide numaratorul si obtinem:
$latex\left(x-1\right)|\left(x+1\right)$
Astfel rescriid raportul obtinem:

\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}^{(\left(x-1\right)}+\frac{2}{x-1}=\frac{1}{1}+\frac{2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}

Astfel punand conditia ca numitorul divide numaratorul obtinem:
x-1|2
Si scriind divizorii intreigi ai lui 2 avem:
D_{2}=\left\{\pm 1; \pm 2\right\}
Astfel egaland numitorul cu fiecare divizor obtinem:

x\in\left\{-1; 0; 2; 3\right\}

Trunchiul de piramida regulata

Dupa ce am invatat sa calculam aria laterala, aria totala si volumul unei piramide a venit vremea sa invatam sa calculam aria laterala, aria totala si volumul la trunchiul de piramida regulata.

Astfel prin sectionarea unei piramide triunghiulare VABC cu planul (A’B’C’) paralel cu planul bazei (ABC)  se obtine o piramida VA’B’C’  asemenea cu piramida VABC.

Poliedrul obtinut prin indepartarea piramidei VA’B’C’ se numeste trunchiul de piramida triunghiular.

In cazul in care piramida initiala este regulata, trunchiul obtinut se numeste triunchi de piramida regulata.

Astfel pentru a calcula aria laterala intr-un trunchi de piramida regulata aplicam formula A_{l}=\frac{\left(P_{b}+P_{B}\right)\cdot a_{t}}{2}

Unde P_{b} este perimetrul bazei mici al trunchiului de piramida

P_{B} este perimetrul bazei mari a trunchiului de piramida

Observati ca acum avem doua baze, baza mare si baza mica, a trunchiului de piramida regulata.

a_{t} este apotema triunchiului  (reprezinta distanta dintre muchiile celor doua baze).

Acum A_{t}=A_{l}+A_{b}+A_{B} unde A_{b} este aria  bazei mici al trunchiului de piramida care se poate afla fie cu formulele pe care le stim in functie de ce baza avem, fie cu urmatoarea formula: A_{b}=\frac{P_{b}\cdot a_{b}}{2}, unde a_{b} este lungimea apotemei bazei  mici P_{B} este aria bazei mari a trunchiului de piramida, care se poate afla fie cu formulele pe care le stim in functie de ce baza avem, fie cu urmatoarea formula:

A_{B}=\frac{P_{B}\cdot a_{B}}{2}, unde a_{B} este lungimea apotemei bazei  mari

Acum sa enuntam formula pentru  volumul unui trunchi de piramida :

V=\frac{h}{3}\cdot\left(A_{B}+A_{b}+\sqrt{A_{B}\cdot A_{b}}\right)

unde h= inaltimea in trunchiul de piramida

Iar  apotema trunchiului putem sa o aflam cu formula:

a_{t}^{2}=h^{2}+\left(a_{B}-a_{b}\right)^{2}
trunghiul de piramida triunghulara regulata

Prezentam o problema prin care aplicam notiunile prezentate mai sus:

Un trunchi de piramida patrulatera regulata provine din piramida P si are V=\frac{608\sqrt{3}}{3}\;\; cm^{3},\;\; l=8\;\; cm\;\; h=2\sqrt{3}. Calculati:

a) lungimea laturii bazei mari

b) apotema trunchiului

c) aria laterala

d) Volumul piramidei intiale

Demonstratie:

cum aflam aria unui trunghi de pramida regulata

Stim volumul

Deci V=\frac{h}{3}\left(A_{B}+A_{b}+\sqrt{A_{b}\cdot A_{B}}\right)\Rightarrow
\frac{608\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\left(L^{2}+8^{2}\sqrt{8^{2}\cdot L^{2}}\right)\Rightarrow
\frac{608\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\left(L^{2}+64+8L\right)\Rightarrow
\frac{608\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{3}{2\sqrt{3}}=L^{2}+8L+64\Rightarrow 304=L^{2}+8L+64\Rightarrow L^{2}+8L-304+64=0\Rightarrow L^{2}+8L-240=0

Observam ca am obtinut o ecuatie de gradul al II-lea, deci calculam
\Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot c=64-4\cdot a\cdot\left(-240\right)=64+960=1024

Acum L_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-8+\sqrt{1024}}{2\cdot 1}=\frac{-8+32}{2\cdot 1}=\frac{24}{2}=12\;\; cm

Iar L_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-8-\sqrt{1024}}{2\cdot 1}=\frac{-8-32}{2\cdot 1}=\frac{-40}{2}=-20\;\; cm

Si cum lungimea unui segment nu poate fi mai mica ca 0 rezulta ca L=12 cm.

b) Din formulele de mai sus a_{t}=h^{2}+\left(a_{B}-a_{b}\right)^{2}
In cazul figurii de mai sus MM’ este apotema trunchiului dar sa aflam
a_{B}=\frac{L}{2}\frac{12}{2}=6

Iar a_{b}=\frac{l}{2}=\frac{8}{2}=4 cm
Acum putem afla apotema trunchiului a_{t}^{2}=\left(2\sqrt{3}\right)^{2}+\left(6-4\right)^{2}\Rightarrow a_{t}^{2}=12+4\Rightarrow a_{t}=\sqrt{16}=4 cm

c) A_{l}=\frac{\left(P_{B}+P_{b}\right)\cdot a_{t}}{2}
Dar mai intai sa aflam perimetrul bazei mari
P_{B}=4\cdot L=4\cdot 12=48 cm
P_{b}=4\cdot l=4\cdot 8=32 cm

Astfel A_{l}=\frac{\left(48+32\right)\cdot 4}{2}=\frac{80\cdot 4}{2}=\frac{320}{2}=160\;\;\;cm^{2}

d) V_{P}= volumul piramidei V_{P}=\frac{A_{B}\cdot h_{piramida}}{3}
Dar noi nu stim inaltimea piramidei ,astfel avem: VABCD\sim VA''B'C'D'

Astfel au loc relatiile \frac{AB}{A'B'}=\frac{VO}{VO'}=\frac{VA}{VA'}
Din primele doua relatii obtinem \frac{12}{8}=\frac{VO'+OO'}{VO'}\Rightarrow \frac{3}{2}=\frac{VO'+2\sqrt{3}}{VO'}\Rightarrow 3VO'=2VO'+4\sqrt{3}\Rightarrow VO'=4\sqrt{3}

Astfel VO=VO'+OO'=4\sqrt{3}+2\sqrt{3}=6\sqrt{3}

Astfel V_{P}=\frac{144\cdot 6\sqrt{3}}{3}=\frac{144\cdot 2\sqrt{3}}{1}=288\sqrt{3}\;\; cm^{3}

Probleme rezolvate cu piramide Aria laterala Aria totala si volumul

Prezentam mai multe probleme rezolvate cu piramide, cu aria laterala, aria totala si volumul, dar si distanta de la un punct la un plan, sinusul unghiului a doua plane:

1) Un tetraedru regulat ABCD, are AB=6 cm. Calculati:

a) Aria totala a tetraedrului

b) Volumul tetraedrului

c) d\left(B,\left(ACD\right)\right)

d) \sin\left(\widehat{\left(ABC\right),\left(ACD\right)}\right)

Demonstratie:

cum arata un tetraedru regulat

A_{t}=A_{l}+A_{b}

Calculam aria laterala a tetraedrului A_{l}=P_{b}\cdot a_{p}=3\cdot l\cdot a_{p}=3\cdot 6\cdot a_{p}
Acum calculam apotema piramidei.

Stim ca fetele laterale ale unui tetraedru regulat sunt triunghiuri echilaterale, deci apotema piramidei este si inaltime in triunghiul ACD, si stim ca inaltimea intr-un triunghi echilateral este h_{\Delta ACD}=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.

Deci a_{p}=3\sqrt{3}
Si astfel aria laterala este A_{l}=18\cdot 3\sqrt{3}=54\sqrt{3}cm.
Acum aflam aria bazei, stim ca baza este triunghi echilateral, deci A_{\Delta BCD}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{6^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}cm.
Iar aria totala este A_{t}=A_{l}+A_{b}=54\sqrt{3}+9\sqrt{3}=63\sqrt{3}\;\; cm^{2}.
Acum sa aflam volumul Tetraedrului
Dar mai intai aflam inaltimea tetraedrului, stim apotema piramidei, acum aflam apotema bazei a_{b}=\frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}
Acum in triunghiul VOM aplicam Teorema lui Pitagora h^{2}=a_{p}^{2}-a_{b}^{2}\Rightarrow VO^{2}=VM^{2}-OM^{2}\Rightarrow VO^{2}=\left(3\sqrt{3}\right)^{2}-\sqrt{3}^{2}\Rightarrow VO=\sqrt{27-3}\Rightarrow VO=\sqrt{24}\Rightarrow VO=2\sqrt{6},
V=\frac{A_{b}\cdot h}{3}=\frac{9\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}}{3}=\frac{3\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}}{1}=6\sqrt{18}=6\cdot 3\sqrt{2}=18\sqrt{2}\;\; cm^{3}.
cum aflam inaltimea si apotema piramidei intr-un tetraedru
b) Acum sa aflam distanta de la punctul B la planul ACD, astfel :
Stim ca distanta de la un punct la un plan este proiectia punctului din punctul dat pe plan.
d\left(B,\left(ACD\right)\right)=BN
Observam ca BN\perp AM  \\ AM\subset\left(ACD\right)\Rightarrow Bn\perp\left(ACD\right)

Acum sa afla lungimea segmentului BN.
Stim ca AB=6 cm, BM=AM=3\sqrt{3}, deoarece la fel ca si AM, BM este inaltime in triunghiul echilateral BCD.
Deci observam ca triunghiul BCD este isoscel si astfel ca sa afla lungimea segmentului BM, calculam de doua ori aria triunghiului AMB, odata considerand baza AM, iar apoi considerand baza BM.

A_{\Delta ABM}=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{BM\cdot AO}{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}}{2}=\frac{6\sqrt{18}}{2}=\frac{3\sqrt{18}}{1}=3\cdot 3\sqrt{2}=9\sqrt{2} cm^{2}
Acum aflam A_{\Delta BAM}=\frac{AM\cdot BN}{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot BN}{2}
Acum daca egalam cele doua arii gasim ca A_{\Delta ABM}=A_{\Delta BAM}\Rightarrow  9\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot BN}{2}\Rightarrow 2\cdot 9\sqrt{2}=3\sqrt{3}\cdot BN\Rightarrow  18\sqrt{2}=3\sqrt{3}\cdot BN\Rightarrow BN=\frac{18\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}\Rightarrow BN=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\Rightarrow BN=\frac{6\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{6}\;\;cm.
d) \sin{\widehat{\left(ABC\right),\left(ACD\right)}}

Masura unghiului a doua plane
Observam ca AC este muchia comuna celor doua plane si astfel ducem perpendiculara din B pe AC si din D pe AC si astfel gasim ca BP\perp AC  \\ BP, AC\subset\left(ABC\right)  \\DP\perp AC,  DP, AC\subset\left(ACD\right)

Si astfel gasim \sin{\widehat{\left(ABC\right),\left(ACD\right)}}=\sin{\widehat{BP, DP}}=\sin{\widehat{BPD}}
Acum trebuie sa aflam ce valoare are sinusul unghiului.
Observam ca BP si PD sunt inaltimi in triunghiurile echilaterale BAC si DAC, astfel gasim ca BP=PD=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3} cm.
Stim ca BD=6 cm
Deci triunghiul BPD este isoscel.

Acum, ca sa aflam sinusul unghiului, trebuie sa avem triunghi dreptunghic, deci trebuie sa ducem perpendiculara din B pe DP, si astfel gasim sinusul unghiului:
Fie BQ\perp PD,
Dar ca sa aflam sinusul unghiului trebuie sa stim BQ
Astfel ducem o noua perpendiculara din P pe BD, adica PF\perp BD
Acum calculam PF PF^{2}=BP^{2}-BF^{2}\Rightarrow PF^{2}=\left(3\sqrt{3}\right)^{2}-3^{2}\Rightarrow PF^{2}=27-9\Rightarrow PF=\sqrt{18}\Rightarrow PF=3\sqrt{2} cm.
Stim ca BF=3 deoarece BF=\frac{BD}{2} (intr-un triunghi isoscel mediana, mediatoarea, inaltimea corespunzatoare bazei coincide), deci BF este si mediana.
Acum putem afla A_{\Delta PBD}=\frac{BD\cdot PF}{2}=\frac{6\cdot 3\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}

Acum calculam si aria A_{\Delta PBD}=\frac{PD\cdot BQ}{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot BQ}{2}
Egalam cele doua arii si gasim:
A_{\Delta PBD}=A_{\Delta PBD}\Rightarrow 9\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot BQ}{2}\Rightarrow 2\cdot 9\sqrt{2}=3\sqrt{3}\cdot BQ\Rightarrow BQ=\frac{18\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{6}
Deci gasim ca BQ=2\sqrt{6} cm
Acum putem aplica functiile trigonometrice \sin{\widehat{BPQ}}=\frac{BQ}{BP}=\frac{2\sqrt{6}}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.

sinusul unghiului dintre doua plane
Astfel :
Aria laterala a unui tetraedru regulat este A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}=\frac{3l\cdot\frac{l\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{3l^{2}\sqrt{3}}{4}.
Aria totala A_{t}=A_{l}+A_{b}=\frac{3l^{2}\sqrt{3}}{4}+\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{4l^{2}\sqrt{3}}{4}=l^{2}\sqrt{3}.
V=\frac{A_{b}\cdot h}{2}=\frac{\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h}{2}=\frac{l^{2}\sqrt{3}\cdot h}{8}.
Stim ca tetraedrul regulat este un caz particular de pirmida.
Tetraedrul regulat are toate fetele laterale triunghiuri echilaterale, dar si baza este tot triunghi echilateral.