Exercitii-intervale in R

Astazi o sa efectuam cat mai multe exercitii intervale in R :
1) Se considera multimile:
<br /> \\A=\left\{x\in R|-2\leq x<3\right\}<br /> \\B=\left\{x\in R| -4<x\leq 1\right\}
a) Scrieti multimile A si B sub forma de interval
b) Determinati urmatoarele multimi
<br /> \\ C=\left\{x| x\in A\;\; si \;\;x\in B\right\}<br /> \\D=\left\{x| x\in A\;\; si \;\; x\in N^{*}\right\}<br /> \\E=\left\{x| x\in B\;\; si \;\; x\in Z^{*}\right\}<br /> \\F=\left\{x| x\in A\;\; si \;\; x\in B\right\}
Solutie:
<br /> \\A=[-2; 3)<br /> \\B=(-4;1]<br /> \\C=\left\{ -2; -1; 0; 1;\right\} sau ca interval [-2, 1]
\\D=\left\{1; 2\right\}<br /> \\E=\left\{-3; -2; -1; 1\right\}<br /> \\F=\left\{-2; -1; 0; 1\right\}
2) Calculati:
<br /> A\cup B; A\cap B; A-B; B-A<br /> \\A=\left\{x\in R|-1<\frac{3x+7}{2}\leq 11\right\}<br /> \\B=\left\{x\in R|-2\leq \frac{5x+9}{8}<3\right\}<br />
Solutie
Trebuie sa gasim multimile astfel daca inmultim
<br /> -1<\frac{3x+7}{2}\leq 11 |\cdot 2<br /> cu 2 o sa avem o inegalitate fara numitor, astfel obtinem:
<br /> \\-2<3x+7\leq 22 (-7)<br /> \\-2-7<3x+7-7\leq 22-7<br /> \\-9< 3x\leq 15 |:3<br /> \\-3<x\leq 5<br /> A=\left\{-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\right\}<br />
Sau daca scrise sub forma de interval elementele multimii
<br /> A=(-3; 5]<br />
iar pentru multimea B luam
<br /> -2\leq \frac{5x+9}{8} \\-2\cdot 8\leq 5x+9<3\cdot 8<br /> \\-16\leq 5x+9< 24 (-9)<br /> \\-16-9\leq 5x+9-9<24-9<br /> \\-25\leq 5x \\-5\leq x< 3<br /> \\ B=\left\{-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2\right\},
iar daca scriem sub forma de interval obtinem:
<br /> B=[-5; 3)<br />
Calculam acum <br /> \\A\cup B=\left\{-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\right\}<br /> \\A\cap B=\left\{ -1; 0; 1; 2\right\}<br /> \\A-B=\left\{3; 4; 5\right\}<br /> \\B-A=\left\{-5; -4; -3;\right\}
iar daca scriem sub forma de interval obtinem:
<br /> \\A\cup B=[-5; 5]<br /> \\A\cap B=(-3; 3)<br /> \\A-B=[3; 5]<br /> \\B-A=[-5; -3]<br /> .
Deci trebuie sa rezovam cat mai multe exercitii intervale in R ca sa le intelegem mai bine.

Piramida triunghiulara, tetraedrul: descriere si reprezentare

Asa cum am promis intr-un articol , o sa discutam si despre piramida triunghiulara si tetraedru.
Dupa cum am invatat la piramida patrulatera baza este un paralelogram (baza poate fi patrat, romb, dreptunghi), in cazul piramidei triunghiulare baza asa cum v-ati dat seama este un triunghi (echilatera, isoscel, dreptunghic), iar daca piramida este triunghiular regulata, baza este triunghi echilateral, iar pentru piramida patrulater regulata baza este patrat.

Def: Tetraedrul este determinat de patru puncte necoplanare, numite varfuri.
Reprezentare
Tetraedru- reprezentare
Dupa cum am vorbit si la piramida patrulatera, vorbim si despre elementele componente:
-muchiile bazei: AB, AC, BC
-muchiile laterale: VA, VB, VB
-planul bazei (ABC)
-fetele laterale \Delta VBC; \Delta VAC; \Delta VAB
Aceleasi componente le avem si pentru piramida triunghiular regulata.
Diferenta dintre piramida triunghiular regulata si tetraedru este ca: tetraedrul are toate muchiile congruente, adica si muchiile bazei si muchiile laterale sunt congruente, deci fetele laterale si fetele bazei sunt triunghiuri echilaterale, iar la piramida triunghiular regulata baza este triunghi echilateral, iar fetele laterale sunt triunghiuri isoscele, muchiile laterale sunt congruente.
La fel ca si la piramida patrulater regulata, piramida triunghiular regulata are si ea: apotema piramidei, apotema bazei, inaltimea.
Def: Apotema piramidei triunghiulare este distanta de la varful piramidei la o muchie a bazei a_{p}
Apotema bazei piramidei triunghiulare este distanta de la centrul cercului circumscris bazei triunghiului echilateral la o muchie a bazei a sa a_{b}.
Inaltimea intr-o piramida triunghiular regulata este distanta de la varful piramidei la punctul de intersectie al mediatoarelor (centrul cercului circumscris).
apotema piramidei, apotema bazei, inaltimea

Problema
1) Piramida regulata VABC are baza triunghiular echilateral cu aria de 36\sqrt{3}. Daca m(\prec VAB)=30^{0}, aflati aria triunghiului VAB.
Ip:
VABC piramida triunghiular regulata
A_{\Delta ABC}=36\sqrt{3}
\\m(\prec VAB)=30^{0}
Cl:
A_{\Delta VAB}=?
Dem:
Piramida triunghiulara
Cum baza piramidei este triunghi echilateral si mai stim si aria sa, aflam latura triunghiului echilteral din aria triunghiului ABC, astfel stim din clasa a VII-a ca aria intr-un triunghi echilateral este \frac{l^{2}\sqrt{3}}{4},iar pentru triunghiul din problema noastra A_{\Delta ABC}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow 36\sqrt{3}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow 36\sqrt{3}\cdot 4=l^{2}\sqrt{3}\Rightarrow 36\cdot 4=l^{2}\Rightarrow l=\sqrt{36\cdot 4}\Rightarrow l=6\cdot 2 \Rightarrow l=12 cm, in prima parte pentru a afla latura triunghiului echilateral am folosit proprietatea fundamentala a proportiilor ( intr-o proportie produsul mezilor este egal cu produsul extremilor). Dupa ce am aflat latura bazei piramidei si stim ca baza este triunghi echilateral rezulta ca piramida este triunghiular regulata , deci fetele laterale sunt triunghiuri isoscele, stiind m(\prec VAB)=30^{0}\;\; si\;\; \Delta VAB isoscel, constrim inaltimea VD, pentru a putea aplica Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0} sau functiile trigonometrice, stim ca AD=6 cm, deoarece intr-un triunghiului isoscel medianele, mediatoarele, inaltimile corespunzatoare bazei coincid, deci la noi VD este si mediana, de unde aflam AD.
Inaltimea pe o fata laterala intr-o piramida

Daca aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0} nu putem sa aflam nimic deoarece nu stim nici ipotenuza, nici cateta care se opune unghiului de 30^{0}, deci aplicam functiile trigonometrice
cos 30^{0}=\frac{cat. alaturata}{ipotenuza}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AD}{VA}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{VA}\Rightarrow VA\sqrt{3}=12\Rightarrow VA=\frac{12}{\sqrt{3}}\Rightarrow VA=\frac{12\sqrt{3}}{3}\Rightarrow VA=4\sqrt{3} cm.
Baza o stim, ca sa aflam aria trebuie sa mai aflam si inaltimea, astfel stiind VA, aplicam Teorema lui Pitagora pentru a afla inamtimea sau Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, noi o sa aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, iar voi incercati cu teorema lui Pitagora deci  VD=\frac{VA}{2}\Rightarrow VD=\frac{4\sqrt{3}}{2}\Rightarrow VD=2\sqrt{3} cm.
Deci aria triunghiului VAB este:
A_{\Delta VAB}=\frac{baza \cdot h}{2}=\frac{AB\cdot VD}{2}=\frac{12\cdot 2\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3} cm.
Deci imprtant la aceste probleme sunt notiunile pe care le-am invatat pana acum.

Interval deschis la stanga inchis la dreapta

Intervale in R

Exercitiile cu intervale in R probabil le-ati mai intalnit si in alte clase, dar sub alta forma. De exemplu cand rezolvam inecuatiile obtineam multimea solutiilor ceva de genul x\geq 3, adica scriam x\in\left\{4,5,6,7......\right\}, dar acest lucru puteam sa-l scriem si sub alta forma astfel x\in \left(3; +\infty\right), ceea ce inseamna ca am scris solutia inecuatiei sub forma de interval, acesta ar fi un interval nemarginit.

Dar daca aveam doua inecuatii si trebuia sa scriem partea comuna a solutiilor, adica intersectia celor doua solutii, intersectia o putem scrie si sub forma interval, adica operatii cu intervale, dar despre asta o sa vorbim in alt articol.

Mai sus am mentionat notiunea de interval nemarginit,dar mai exista si intervale marginite, astfel definim:

Intervalele marginite sunt: intervale inchise si intervalele deschise
Fie a si b doua numere reale cu a\leq b.
Prin intervalul inchis \left[a, b\right] intelegem multimea A=\left\{x\in R| a\leq x\leq b\right\}, interval inchis adica tot timpul a trebuie sa fie mai mic sau egal decat x mai mic sau egal decat b tot timpul. Matematic scriem x\in \left[a,b\right]. Numerele a si b se numesc capetele intervalului sau extremitatile intervalului.

Exp:
Scrieti sub forma de interval multimea:
 A=\left\{x\in R|-5\leq x\leq 0\right\}
Solutia:x\in\left[-5; 0\right], reprezentand pe axa numerelor reale obtinem:
Interval inchis
Intervale deschise

Fie a si b doua numere reale cu  a<b.
Prin interval deschis \left(a,b\right) intelegem multimea A=\left\{x\in R| a<x<b\right\}, intervalul deschis, adica tot timpul ‘a’ trebuie sa fie mai mic strict decat ‘b’ tot timpul.
Obs: Diferenta dintre intervalul inchis si intervalul deschis este ca intervalul deschis nu-si contine capetele intervalului. Matematic scriem \left(a,b\right)\cup \left\{a,b\right\}=\left[a, b\right]
Exp: B=\left\{x\in R| -4<x<1\right\}

Solutia
x\in \left(-4; 1\right), deci daca este strict mai mic avem interval deschis, iar daca reprezentam pe axa numerelor reale obtinem:
Intervalul deschis al multimii B

Dar in afara de intervalele cu extremitatile dechise si inchise mai exista si intervale inchise la stanga deschise la dreapta si invers, astfel definim intervalul deschis la stanga inchis la dreapta:
<br /> \left(a,b\right]=\left\{x\in R| a<x\leq b\right\}<br /> , adica intervalul de mai sus nu-l contine pe ‘a’, dar il contine pe ‘b’.
Exp:
C=\left\{x\in R| 0<x\leq 4\right\}, atfel intervalul nostru este x\in \left(0;4\right]. Reprezentarea pe axa numerelor reale este:
Interval deschis la stanga inchis la dreapta

Iar intervalul inchis la stanga si deschis la dreapta il definim astfel:
\left[a,b\right)=\left\{x\in R| a\leq x<b\right\},
Adica x ‘se plimba’ in interval, iar intervalul de mai sus il contine pe ‘a’, dar nu-l contine pe’b’.
Exemplu:
D=\left\{x\in R| -4\leq x < 1\right\}, astfel intervalul nostru este: x\in \left[-4, 1\right). Reprezentarea pe axa numerelor reale este:
Interval inchis la stanga si deschis la dreapta.

Iar despre intervale nemarginite si mai multe exercitii o sa discutam in alt articol.
Deci ca sa intelegem foarte bine intervalele trebuie sa stim cum le definim si cum le reprezentam, deoarece mai tot timpul la Evaluarea Nationala apare cate un exercitiu in care sunt implicate intervale in R.

Numere reale, Multimi de numere

Acum ca am trecut de Evaluarea initiala o sa invatam, de fapt o sa aprofundam, notiunea de numere reale.
Stim inca din clasa a VII-a ca N\subset Z\subset Q\subset R. Unde
N= multimea numerelor reale
Z= multimea numerelor intregi
Q= multimea numerelor rationale
R= multimea numerelor reale
Ca sa intelegem fiecare multime si ce elemente contine trebuie sa stim cum definim fiecare multime:
<br /> N=\left\{0; 1; 2; 3; ...; n...\right\}
Obs: N^{*} este multimea numerelor naturale fara zero si o definim ca:
N^{*}=\left\{1; 2; 3; 4; ...n;...\right\}.
Obsrevam ca  N^{*}\subset N.
Multimea numerelor intregi (Z) se defineste astfel:
Z=\left\{...;-n; ...; -2; -1; 0; 1; 2;...;n\right\}
La fel ca si la multimea numerelor naturale definim multimea numerelor intregi fara zero
Z^{*}=\left\{...; -n;...; -2; -1; 1; 2;...; n;...\right\}.
Astfel Z^{*}\subset Z, dar stim si ca  N\subset Z.
Multimea numerelor rationale (Q) se defineste astfel:
Q=\left\{\frac{a}{b}| a\in Z, b\in Z^{*}\right\}
Deoarece daca b=0, atunci fractia nu ar mai avea sens.
La fel cum exista N^{*}, Z^{*} asa exista si  Q^{*}=Q-{0} numita multimea numerelor rationale fara zero.
Multimea numerelor irationale ( R-Q ) este multimea numerelor care se scrie de obicei sub forma de radical.
Multimea numerelor reale(R) este reuniunea multimii numerelor rationale cu multimea numerelor irationale.
Exercitii:
1) Fie multimea  A=\left\{\frac{8}{-4}; \sqrt{0,(4)}; \frac{-15}{-3}; -\sqrt{12}; \sqrt{0,(2)}; \sqrt{4}; 3; \sqrt{5\frac{4}{9}}\right\}
Determinati multimile
 A\cap N; A\cap Z; A\cap Q; A\cap\left(R-Q\right); A-Z; A-Q; A-R
Astfel:
<br /> \\A\cap N=\left\{\frac{-15}{-3}; \sqrt{4}; 3\right\}
\\ A\cap Z=\left\{\frac{8}{-4}; \frac{-15}{-3}; +\sqrt{4}; 3\right\}
\\A\cap Q=\left\{\frac{8}{-4}; \frac{-15}{-3}; +\sqrt{4}; 3; \sqrt{0,(4)}; \sqrt{5\frac{4}{9}}\right\}
\\ A\cap\left(R-Q\right)= \left\{-\sqrt{12}; \sqrt{0,(2)}\right\}
\\A-Z=\left\{-\sqrt{12}; \sqrt{0,(4)}; \sqrt{0,(2)}; \sqrt{5\frac{4}{9}}\right\}
\\A-Q=\left\{\sqrt{12}; \sqrt{0,(2)}\right\}
\\ A-R=\oslash.
Ca sa vedem mai usor fiecare numar in ce multime se afla, incercam ca pe fiecare numar in parte sa-l lucram, adica sa-l aducem la forma cea mai simpla. De exemplu in exercitiul nostru:
\frac{8}{-4}=-2 daca simplificam prin 4
\sqrt{0,(4)}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{9}, prima data transformam fractia zecimala periodica simpla in fractie ordianara si apoi folosim regulile de calcul ale radicalilor.
\sqrt{12}=2\sqrt{3}, am scos factorul (2) de sub radical
\sqrt{5\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{49}{9}}=\frac{7}{3}, introducem intregul in fractie, iar apoi extragem radicalul, dupa ce folosim regulile de calcul cu puteri.
Deci ca sa rezolvam acest tip de exercitiu pe langa faptul ca trebuie sa stim fiecare multime, cum o definim, trebuie sa stim si regulile de calcul cu radicali (scoaterea factorilor de sub radical, introducerea factorilor sub radical), introducerea intregilor in fractii, simplificarea unei fractii printr-un numar.

Recapitulare geometrie evaluarea initiala clasa a VIII-a

In clasa a VII-a  profesorul vostru a insistat foarte mult sa invatati Teorema lui Pitagora, Teorema inaltimii, Teorema catetei. Poate v-ati intrebat de ce! Pentru ca o sa va ajute foarte mult in clasa a VIII-a si la Evaluarea Nationala.
Ca sa putem sa le folosim trebuie sa ne reamintim enunturile, dar si cum ne ajuta sa rezolvam problemele pentru geometrie evaluarea initiala.
1) In triunghiul dreptunghic ABC  m(\prec A)=90^{0}, AD\bot BC , D\in (BC) si AM mediana <br /> M\in (BC), AB<BC, AB=16 cm.
a) Calculati aria si perimetrul triunghiului ABC
b) Inaltimea dusa din varful unghiului drept
Ip:
\Delta ABC<br /> m(\prec A)=90^{0}, AD\bot BC , D\in (BC)
AM mediana
<br /> M\in (BC), AB<BC, AB=16 cm, m(\prec DAM)=30^{0}.
Cz:
A_{\Delta ABC}=?<br /> P_{\Delta ABC}=?

Dem:
b
<br /> \\m(\prec DAM)=30^{0}<br /> \\AD\bot BC \Rightarrow m(\prec ADM)=90^{0}<br /> \\ m(\prec ADM)+m(\prec DAM)+m(\prec AMD)=180^{0} \Rightarrow<br /> \\90^{0}+30^{0}+m(\prec AMD)=180^{0}\Rightarrow<br /> \\120^{0}+m(\prec AMD)=180^{0} \Rightarrow<br /> \\m(\prec AMD)=180^{0}-120^{0}\Rightarrow<br /> \\ m(\prec AMD)=60^{0}=m(\prec BMA)<br />
<br /> \\ m(\prec BMC)=180^{0}<br /> \\m(\prec BMC)=m(\prec BMA)+m(\prec AMC)\Rightarrow<br /> \\ 180^{0}=60^{0}+ m(\prec AMC)\Rightarrow<br /> \\ m(\prec AMC)=120^{0}<br /> .
Cum AM mediana constatam ca triunghiul AMC  isoscel, avand un unghi de
<br /> 120^{0}celelalte doua alaturate bazei o sa aiba  60^{0}:2=30^{0}. Rezulta ca  m(\prec ACB)=30^{0}. Stiind ca AB=16 cm. Putem sa aplicam fie Teorema  30^{0}-60^{0}-90^{0}, fie functiile trigonometrice. Daca aplicam Teorema  30^{0}-60^{0}-90^{0} obtinem BC=32 cm.
Acum, aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul ABC, obtinem AC.
<br /> \\BC^{2}=AB^{2}+AC^{2} \Rightarrow<br /> \\1024=256+AC^{2}\Rightarrow<br /> \\ 1024-256=AC^{2}\Rightarrow<br /> \\768=AC^{2}\Rightarrow<br /> \\AC=\sqrt{768}<br />
Daca scoatem factorii de sub radical obtinem AC=16\sqrt{3}
Astfel
<br /> P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC<br /> \\=16+32+16\sqrt{3}=<br /> \\= 48+16\sqrt{3}=<br /> \\16(3+\sqrt{3}).
Aria triunghiului, aplicam formula bine cunoscuta pentru triunghiul dreptunghic
<br /> A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}=<br /> \\\frac{16\cdot 16\sqrt{3}}{2}=<br /> \\\frac{256\sqrt{3}}{2}<br /> \\ 128\sqrt{3} cm^{2}.
b) inaltimea in triunghiul ABC o calculam cu formula(atentie numai in cazul in care triunghiul este dreptunghic, acelasi lucru si daca vrem sa aplicam functiile trigonometrice, triunghiul unde aplicam trebuie sa fie dreptunghic)
<br /> AD=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}=<br /> \\\frac{16\cdot 16\sqrt{3}}{32}=<br /> \\\frac{256\sqrt{3}}{32}=<br /> \\8\sqrt{3}

Recapitulare pentru clasa a VIII-a. Evaluarea initiala

Acum ca am ajuns in clasa a VIII-a si stim ca peste cateva luni vine Evaluarea Nationala. La evaluarea initiala trebuie sa stim clasa a VII-a, care joaca un rol important pentru examen. Propun sa recapitulam din clasa a VII- a Calculul algebric. Incepem cu cateva exemple:
1 Efectuati calculele:
a)  (x+1)^{2}-x(x+5)=<br /> x^{2}+2x+1-x^{2}-5x=<br /> -3x+1<br />
Astfel in prima paranteza am aplicata formula de calcul prescurtat care am invatat-o prima data in clasa a VII-a <br /> (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, unde a=x si b=1, iar pentru paranteza a doua aplicam distributivitatea inmultirii fata de adunare( adica inmultim pe x cu fiecare termen din paranteza, dar trebuie sa tinem cont de semn, adica semnul din fata parantezei schimba toate semnele din acest motiv avem -5x), dupa ce am terminat distributivitatea vedem ce termeni asemenea avem in cazul nostru  x^{2} se reduce, iar alti termeni care ii avem asemenea sunt  -5x+2x =-3, daca ne uitam la regula semnelor .
2 Aflati solutia ecuatiilor
1)  2(x+2)+\sqrt{x^{2}-4x+4}=2x+9 \Leftrightarrow<br /> 2x+4+\sqrt{(x-2)^{2}}=2x+9 \Leftrightarrow<br /> 2x+4+|x-2|=2x+9 \Leftrightarrow<br /> 2x+4+x-2=2x+9 \Leftrightarrow<br /> 3x+2=2x+9 \Leftrightarrow<br /> x=7
si
2x+4-(x-2)=2x+9 \Leftrightarrow<br /> 2x+4-x+2=2x+9 \Leftrightarrow<br /> x+6=2x+9 \Leftrightarrow<br /> x-2x=9-6 \Leftrightarrow<br /> -x=3 \Leftrightarrow<br /> x=-3<br /> s={-3;7}<br />
Procedeul de calcul:
am desfintat prima paranteza cu ajutorul distributivitatii inmultirii fata de adunare, apoi incercam sa-l scriem expresia de sub radical ca un numar la puterea a doua, deoarece stiim ca  \sqrt{a^{2}}=|a|, astfel  x^{2}-4x+4 la o privire atenta vedem ca este parte a doua a formulei de calcul prescurtat a^{2}-2ab+b^{2} putem considera  x^{2}=a^{2}, 4 putem sa-l scriem ca  2^{2}, adica b=2 si astfel putem scrie radicalul ca  (x^{2}-2)^{2}, astfel \sqrt{(x^{2}-2)^{2}}=|x-2|. Stiim din clasa a VI-a ca
|a|=<br /> \\ a,\;\;\; daca\;\; a>0<br /> \\-a\;\;\; daca \;\;a<0<br />
astfel |x-2|=<br /> \\ x-2,\;\;\; daca\;\;\; x-2>0 \Rightarrow x>2<br /> \\-(x-2)\;\;\; daca x-2<0\;\;\; \Rightarrow x<2<br />
astfel ecuatia se imparte in doua ramuri:in prima ecuatie pentru partea pozitiva, adica x+2 gasim termeni asemenea (trecem necunoscutele in stanga si cunoscutele in dreapta ) facem calculele si obtinem solutia ecuatiei. Acelasi lucru si pentru partea negativa cu o mica exceptie adica luam -(x-2), trebuie sa avem grija la semnul din fata parantezei.