Rezolvare subiecte Evaluarea Nationala 2015

La subiectul I

1. Tinand cont de ordinea efectuarii operatiilor, efectuam mai intai inmultirea si apoi scaderea, deci rezultatul este 0.

subiecte Evaluarea Nationala

2. Solutie

Dupa cum stim din calsele mai mici a este un extrem astfel a=\frac{4\cdot 3}{2}=\frac{12}{2}=6

3. Cel mai mare numar natural care apartine intervalului [1, 5] este 5, deoarece avem un interval inchis la ambele capatete si dupa cum bine stiti se ia si ultimul element daca avem un interval inchis.

4. Perimetrul unui Patrat este 4\cdot l, stiind ca latura este de 6 cm, atunci P_{ABCD}=4\cdot 6=24 cm

5.  Masura unghiului dintre dreptele AB si BF este m\left(\widehat{AB, BF}\right)=m\left(\widehat{ABF}\right)=90^{0}

Deoarece observam ca triunghiul ABF este dreptunghic in B.

6. Numarul elevilor care au obtinut nota 10 este egal cu 3.

Subiectul II

1. Paralelipipedul dreptunghic - Copy - Copy
2. Multipli lui 40 de doua cifre sunt
M_{40}=\left\{40, 80\right\}
Deci media aritmetica este
M_{a}=\frac{40+80}{2}=\frac{120}{2}=60
3. Notam cu x suma de bani
Stim ca in prima zi a cheltuit 30% din suma
Iar in a a doua zi restul de 35 de lei.
Astfel avem ecuatia x-30%\cdot x-35=0\Rightarrow x-\frac{30}{100}\cdot x=35\Rightarrow \frac{100x}{100}-\frac{30x}{100}=35\Rightarrow \frac{70x}{100}=35\Rightarrow \frac{7x}{10}=35\Rightarrow x=\frac{35\cdot 10}{7}=\frac{350}{7}=50\;\;lei
Iar in prima zi a cheltuit
\frac{30}{100}\cdot 50=\frac{1500}{100}=15\;\; lei
4. Avem functia liniara f:R\rightarrow R, f(x)=x+2
a) f(-2)=-2+2=0
b) Acum pentru a calcula graficul functie, stim ca
G_{f}\cap OX
y=0 si
f\left(x\right)=0\rightarrow x+2=0\Rightarrow x=-2
Deci avem primul punctu A(-2,0)
Iar G_{f}\cap OY
Avem x=0\rightarrow f(0)=2
Deci punctul B(0,2)
graficul functie Evaluarea nationala
5. Trebuie sa aratam ca expresia E(x)=-1
Asfel avem
E(x)=\frac{(x-7)(x+7)}{x(x-7)}-\frac{2x+7}{x(x+1)}\cdot\frac{x+1}{1}
Observati ca am folosit formula de calcul prescurtat a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)
Astfel expresia devine
E(x)=\frac{x+7}{x}-\frac{2x+7}{x}=\frac{x+7-2x-7}{x}=frac{-x+0}{x}=\frac{-x}{x}=-1

Probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor in multimea numerelor intregi

Dupa ce am invatat sa rezolvam ecuatii si inecuatii in multimea numerelor intregi, dupa cum bine stiti vine vremea sa invatam sa rezolvam si probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor in multimea numerelor intregi.
De rezolvat probleme cu ajutorul ecuatiilor am mai invatat si in clasele mai mici diferenta este ca atunci am invatt sa rezolvam in multimea numerelor naturale sau rationale pozitive, iar acum si pentru numerele intregi.
Dar mai intai sa ne reamintim cu rezolvam ecuatiile si incuatiile in Z.
Rezolvati ecuatiile:
a) -2x+3=-9\rightarrow -2x+3-3=-9-3\Rightarrow -2x=(-9)+(-3)\Rightarrow -2x=-12\Rightarrow x=(-12):(-3)\Rightarrow x=4
Obserervati ca mai intai am scazut din ambii membri termenul liber 3, iar apoi am efectua impartirea numerelor intregi.
b) Notiunea noua care am mai invatat-o la numere intregi a fost modulul sau valoarea absoluta a unui numar intreg, asadar rezolvam si o ecuatie cand avem si modulul unei expresii.
2|2x+1|=8|:2\Rightarrow |2x+1|=8:2\Rightarrow |2x+1|=4
Observati ca in ambii membrii am impartit printr-un 2.
Dar de la  definitia modulului stim ca
|x|=x,\;\;\; daca\;\; x>0, astfel ecuatia devine
2x+1=4\Rightarrow 2x=4-1\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac{3}{2}, si observam ca ecuatia nu are solutii in Z
Dar mai stim si ca
|x|=-x,\;\; daca\;\; x<0
Astfel ecuatia devine
-(2x+1)=4\Rightarrow -2x-1=4\Rightarrow -2x=4+1\Rightarrow -2x=5\Rightarrow x=\frac{5}{-2}\Rightarrow x=-\frac{5}{2}, la fel ca si mai sus ecuatia nu are solutii in Z.
2.Rezolvati inecuatiile in Z.
a) -5x+10\leq -12x+31
Observam ca nu avem o ecuatie de forma ax+b\leq c, deci trebuie sa o aducem la forma de mai sus, astfel avem
-5x+12x\leq 31-10\Rightarrow 7x\leq 21\Rightarrow x\leq 21:7\rightarrow x\leq 3, asadar solutiile inecuatiei sunt
x\in\left\{3, 2, 1, 0,-1, -2,.....,...\right\}
Dar avem si ineciatii de forma
|2x-1|\leq 5
Ca sa rezolvam inecuatia in care apare si modulul trebue sa tinem cont de regula
|x|\leq a\Rightarrow -a\leq x\leq a
Asadar inecuatia devine
-5\leq 2x-1\leq 5|+1\Rightarrow -5+1\leq 2x-1+1\leq 5+1\Rightarrow -4\leq 2x\leq 6|:2\Rightarrow -4:2\leq 2x:2\leq 6:2\Rightarrow -2\leq x\leq 3
Asadar solutia inecuatiei se afla intere numere -2 si 3, adica
x\in\left\{3, 2, 1, 0, -1, -2\right\}
Dar avem si inecuatii de forma
|2x-5|\geq 7
Regula pentru rezolvarea inecuatiilor de aceasta forma este:
|x|\leq a\Rightarrow x\leq a, dar si -a\leq x
Astfel avem:
2x-5\leq 7\Rightarrow 2x\leq 7+5\Rightarrow 2x\leq 12\Rightarrow x\leq 12:2\Rightarrow x\leq 6, deci solutia inecuatiei este:x\in\left\{6, 5, 4, 3, 2,.....,\right\}
Dar mai avem de rezolvat si inecuatia:
-7\leq 2x-5\Rightarrow 2x-5\geq -7\Rightarrow 2x\geq -7+5\Rightarrow 2x\geq -2\Rightarrow x\geq -2:2\Rightarrow x\geq -1
Adica solutia inecuatiei este x\in\left\{-1, 0, 1, 2, 3,....,...\right\}
Iar daca efectuam inetersectia celor doua inecuatii
\left\{6, 5, 4, 3, 2,.....,\right\}\cap \left\{-1, 0, 1, 2, 3,....,...\right\}=\left\{6, 5, 4, 3, 2, 1,0, -1\right\}
Adica x\in Z\ \left\{ 5, 4, 3, 2, 1,0, \right\}
Dar reintorcandu-ne la cea ce noi vrem sa discutam
Adica probleme care se rezolvam cu ajutorul ecuatiilor in Z.
dupa cum am zis probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor am mai rezolvat, dar acum ne reamintim etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru a rezolva problemele cu ajutorul ecuatiilor in Z:
– alegem necunoscuta, de cele mai multe ori alegem ca necunoscuta ceea ce ni se cere in problema
– scriem datele problemei in functie de necunoscuta aleasa
– punem problema in ecuatie
– rezolvam ecuatia
– verificam si interpretam rezultatul
Exemplu
1. Daca inmultim un numar cu 3, iar rezultatul il adunam cu 40, obtinem -260. Aflati numarul.
Solutie:
notam cu x numarul necunoscut
formam ecuatia
3\cdot x+40=-260
dupa ce am forma ecuatia rezolvam ecuatia:
3x=-260-40\Rightarrow 3x=-300\Rightarrow x=-300:2\Rightarrow x=-10
Deci numarul gasit este -100.
2.Tatal, mama si fiul au impreuna 96 de ani.Tata este cu 8 ani mai in varsta decat mama, iar fiul este cu 20 de ani mai tanar decat mama. aflati cati ani are fiecare.

Solutie:

Notam cu

– x varsta tatalui

– y varsta mamei

– y varsta fiului

Astfel avem ecuatia x+y+z=96 Tatal, mama si fiul au impreuna 96 de ani.

x=8+y Tatal este cu 8 ani mai in vatsta

z=y-20

astfel boservati ca in cazul de fata avem trei ecuatii cu trei necunoscute, daca inlocuim in prima ecuatie obtinem

8+y+y+y-20=96\Rightarrow 3y-12=96\Rightarrow 3y=96+12\Rightarrow 3y=108\Rightarrow y=108:3\Rightarrow y=36

Deci am obtinut ca mama are 36 ani, iar tata

x=8+y\Rightarrow x=8+36\Rightarrow x=44, adica tata are 44 ani, iar fiul z=y-20\Rightarrow z=36-20\Rightarrow z=16

Asadar este foarte important sa cunoastem etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru a rezolva probleme, dar si sa stim sa rezolvam ecuatii in multimea numerelor intregi.

 

Probleme rezolvate cu functiile trigonometrice

Prezentam o problema pe care o rezolvam cu ajutorul functiilor trigonometrice, dar si probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor

Rombul ABCD are latura AB=10 cm .Daca tg unghiului \tan\widehat{BAC}=\frac{3}{4} ,determinati lungimile diagonalelor .

Demonstratie:

Stim ca diagonalele intr-un romb sunt perpendiculare astfel avem ca: AC\cap BD=\left\{O\right\}

Dar si AC\perp BD

Deci avem ca: \Delta BAO este dreptunghic in O, adica putem aplica  functiile trigonometrice 

\tan\widehat{BAC}=\tan\widehat{BAO}=\frac{BO}{AO}\Rightarrow \frac{3}{4}=\frac{BO}{AO}\Rightarrow BO=\frac{3}{4}\cdot AO

Dar cu Teorema lui Pitagora avem ca:

AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}\Rightarrow 10^{2}=AO^{2}+\left(\frac{3}{4}\cdot AO\right)^{2}\Rightarrow AO^{2}+\frac{9}{16}AO^{2}=100\Rightarrow \frac{16}{16}AO^{2}+\frac{9}{16}AO^{2}=100\Rightarrow \frac{25}{16}AO^{2}=100\Rightarrow AO^{2}=100:\frac{25}{16}\Rightarrow AO^{2}=100\cdot\frac{16}{25}\Rightarrow AO^{2}=4\cdot 16\Rightarrow AO=\sqrt{4\cdot 16}=2\cdot 4\Rightarrow AO=8\;\; cm

Iar AC=2\cdot AO=2\cdot 8=16

cum  aplicam functiile trigonometriceIar BO=\frac{3}{4}\cdot 8=\frac{3\cdot 8}{4}=\frac{24}{4}=6\;\; cm

Iar BD=2\cdot BO=2\cdot 6=12\;\; cm

2. Petre citeste o carte in 3 zile.In prima zi  el citeste de 2 ori mai mult decat in a doua zi , iar in a treia zi citeste jumatate din numarul de pagini citite in a doua zi . Cartea are 56 de pagini. Afla cate pagini a citit elevul in fiecare zi.

Solutie:

Notam cu x numarul de pagini citite in a doua zi:

In prima zi  citeste: 2x

In a trei zi citeste \frac{x}{2}

Astfel avem: 2x+x+\frac{x}{2}=56\Rightarrow \frac{4x}{2}+\frac{2x}{2}+\frac{x}{2}=56\Rightarrow

\frac{7x}{2}=56\Rightarrow x=56:\frac{7}{2}\Rightarrow

x=56\cdot\frac{2}{7}\Rightarrow x=8\cdot 2=16

Deci in a doua zi 16 pagini.

Iar in prima zi 2\cdot x=2\cdot 16=32

Iar in a treia zi \frac{x}{2}=\frac{16}{2}=8

3. Suma a 5 nr consecutive este egala cu 5 sa sa afle nr

Solutie:

Fie n, n+1, n+2, n+3, n+4 numerele consecutive

n+n+1+n+2+n+3+n+4=5

De unde obtinem: 5n+10=5
Adica obtinem  5n=5-10
Adica
5n=-5
Iar n=-1
Adica primul numar este -1
Al doilea numar este: n+1=-1+1=0
Al treilea numar este n+2=-1+2=1
Al patrulea n+3=-1+3=2
Iar la V lea n+4=-1+4=3
Deci numerele sunt: -1; 0; 1; 2; 3;

Model Teza clasa a vii a

Lucrare scrisa la matematica
Clasa a VII a
Semestrul al II-lea

Completati enunturile cu raspunsul corect:(40 puncte)
1. Rezultatul calculului \left(2+\sqrt{3}\right)+|4\sqrt{3}-7| este…….
2. In m\left(\widehat{A}\right)=90^{0}, m\left(\widehat{B}\right)=30^{0} si AC=3 cm, atunci BC=….
3.Daca un triunghi dreptunghic are catetele de lungime egala cu 3 cm, respectiv 4 cm, atunci lungimea ipotenuzei este de …… cm.
4. Solutiile reale ale ecuatiei 16x^{2}-9=0 sunt ….. si……
5. Ionel cheltuieste 30% din suma de bani pe care o avea si astfel ramane cu 84 de lei. Ionel aveam ….. lei
6. Daca a-b=5 si a^{2}-b^{2}=420, atunci valoarea sumei a+b este….
7. Aria unui triunghi dreptunghic ABC m\left(\widehat{A}\right)=90^{0} cu BC=10 cm si AB=8 cm este….
8. Descompunerea in factori a expresia x^{2}-xy-4+2y este……
9.Consideram A si B doua puncte pe un cerc de centru O si raza r=8 cm, astfel incat AB=8\sqrt{3}\;\; cm. Atunci masura arcului mic AB este…….

Subiectul II
La urmatoarele probleme se cer rezolvari complete

1. Aratati ca numarul a=\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\left(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}-\sqrt{48} este intreg
2. Rezolvati ecuatia 3\left(2x-1\right)-5\left(3x-1\right)=1
3. Calculati E=\sin 45^{0}\cdot \cos 30^{0}-\sin 30^{0}\cdot cos 45^{0}
4.Trapezul dreptunghic ABCD are AB||CD m\left(\widehat{A}\right)=90^{0} si AB=6 cm, BC=5 cm,, CD=2 cm
a) Aratati ca inaltimea trapezului este egala cu 3 cm
b) Perimetrul si aria trapezului, dar si \sin\left(\widehat{ABC}\right)
c) Calculati Perimetrul triunghiului MAB unde {M}=AD\cap BC

Piramida triunghiulara regulata

Sa invatam despre Piramida triunghiulara regulata  printr-o rezolvare !

2. Fie piramida triunghiulara regulata SABC cu h=4 cm si volumul = 36√3 . Aflati :

a) latura bazei si aria laterala a piramidei
b) tangenta unghiului format de muchia SA cu planul bazei
c) distanta de la punctul O la planul (SBC)

Demonstratie:

a) Stim ca intr-o piramida triunghiulara regulata volumul este :

V=\frac{A_{b}\cdot h}{3}\Rightarrow 36\sqrt{3}=\frac{A_{b}\cdot 4}{3}\Rightarrow A_{b}\cdot 4=36\sqrt{3}\cdot 3\Rightarrow A_{b}=\frac{36\sqrt{3}\cdot 3}{4}^{(4}\Rightarrow A_{b}=9\sqrt{3}\cdot 3\Rightarrow A_{b}=27\sqrt{3}\;\; cm

Dar cum stim ca baza piramidei triunghiulare regulate este un triunghi echilateral obtinem A_{b}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}

Astfel obtinem: \frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3}\Rightarrow l^{2}\sqrt{3}=4\cdot 27\sqrt{3}\Rightarrow l^{2}=27\cdot 4\Rightarrow l=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\;\; cm

Deci obtinem ca latura patratului este l=6\sqrt{3}
unghiul unei drepte cu un plan Stim ca A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}
Stim ca P_{b}=3\cdot l=3\cdot 6\sqrt{3}=18\sqrt{3}
Acum trebuie sa aflam si apotema piramidei, astfel stim ca a_{p}^{2}=a_{b}^{2}+h^{2}

Dar stim ca a_{b}=\frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}\sqrt{3}}{6}=3

Deci cu informatile de mai sus avem ca: a_{p}^{2}=3^{2}+4^{2}\Rightarrow a_{p}^{2}=9+16\Rightarrow a_{p}=\sqrt{25}\Rightarrow a_{p}=5
Astfel obtinem ca A_{l}=\frac{18\sqrt{3}\cdot 5}{2}=9\sqrt{3}\cdot 5=45\sqrt{3}\;\; cm^{2}

b) \tan\left(\widehat{SA,(ABC)}\right)
Pentru a afla unghiul unei drepte cu un plan trebuie sa calculam
pr_{(ABC)}SA adica proiectia dreptei SA pe planul ABC
Asftel aflam mai intai: pr_{(ABC)}S=O
Dar si pr_{(ABC)}A=A
Astfel obtinem: pr_{(ABC)}SA=AO
Si obtinem: \tan\widehat{\left(SA,(ABC)\right)}=\tan\widehat{\left(SA, AO\right)}=\tan\widehat{SAO}

Cu triunghiul SAO este dreptunghic aplicam:
\tan\widehat{SAO}=\frac{cateta. opusa}{cateta. alaturata}=\frac{SO}{AO}=\frac{4}{6}^{(2}=\frac{2}{3}
Unde AO=\frac{l\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{3}=\frac{6\cdot 3}{3}=6
unghiul unei drepte cu un plan
Formulele pe care le-am enutat mai sus trebuie retiunte.

c) d\left(O,(SBC)\right)
Distanta de un punct la un plan este piciorul perpendicularei din punctul dat pe plan.
Observam ca OM\perp BC
Dar si SM\perp BC
Deci obtinem BC\perp (SMO)
Acum construim perpendiculara din O pe SM, adica, fie OD\perp SM, unde SM\subset (SBC)

Si cu Reciproca celor Trei perpendiculare obtinem: OD\perp (SBC)
Observam ca triunghiul SOM este dretunghic, deci cu Teorema inaltimii obtinem:

OD=\frac{OS\cdot OM}{SM}=\frac{4\cdot 3}{5}=\frac{12}{5}=2,4\;\; cm
distanta de la un punct la un plan

Probleme rezolvate cu Teorema lui Pitagora

Prezentam, din nou,  alte Probleme rezolvate cu Teorema lui Pitagora

1. In ∆PQR, PM perpendicular pe QR, M € (QR), PQ=20cm, QM=16cm, MR= 9cm. Demonstrati natura triunghiului PQR.

Stim ca PM\perp QR, astfel obtinem ca triunghiul PQM dreptunghic in M, iar daca aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul PQM obtinem: PQ^{2}=PM^{2}+QM^{2}\Rightarrow 20^{2}=PM^{2}+16^{2}\Rightarrow 400=PM^{2}+256\Rightarrow PM^{2}=400-256\Rightarrow PM^{2}=144\Rightarrow PM=\sqrt{144}=12\;\; cm

La fel si triunghiul PMR fiind dreptunghic aplicam Teorema lui Pitagora
PR^{2}=PM^{2}+MR^{2}\Rightarrow PR^{2}=12^{2}+9^{2}\Rightarrow PR^{2}=144+81\Rightarrow PR=\sqrt{225}\Rightarrow PR=15\;\; cm
Iar QR=QM+MR=16+9=25 cm.
reciproca lui Pitagora

Acum daca aplicam reciproca lui Pitagora obtinem: QR^{2}=QP^{2}+PR^{2}

Adica 25^{2}=20^{2}+15^{2}\Rightarrow 625=400+225
Deci triunghiul este dreptunghic in P.
Asadar obtinem figura:
Teorema lui Pitagora

2. a) Lungimea catetei unui triunghi dreptunghic isoscel este a. Aflati lungimea ipotenuzei.

Fie ABC un triunghi dreptunghic isoscel in care AB=AC=a. Astfel cu Teorema lui Pitagora obtinem BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\Rightarrow BC^{2}=a^{2}+a^{2}\Rightarrow BC^{2}=2a^{2}\Rightarrow BC=\sqrt{2a^{2}}\Rightarrow BC=a\sqrt{2}

Deci important sa retinem faptul ca ipotenuza intr-un triunghi dreptunghic isoscel cu catetele de lungime a este egala cu a\sqrt{2}
ipotenuza intr-un triunghi dreptunghic
b) Lungimea laturii unui patrat este de 10 cm. Aflati lungimea diagonalei patratului.
Demonstratie:

Stim ca in patrat toate laturile sunt egale astfel obtinem AB=BC=CD=A=10 cm
Observam ca triunghiul ADC este drepunghic in D si cu AD=DC=10 cm, obtinem ca triunghiul ADC este dreptunghic isoscel si cu cea ce am aratat mai sus obtinem ca AC=10\sqrt{2}, astfel diagonala patratului este egala cu 10\sqrt{2}\;\; cm

Sau cu Teorema lui Pitagora in triunghiul ADC obtinem AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}\Rightarrow AC^{2}=10^{2}+10^{2}\Rightarrow AC^{2}=100+100\Rightarrow AC=\sqrt{200}\Rightarrow AC=10\sqrt{2}\;\; cm
cum aflam diagonala intr-un patrat

c) Lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic isoscel este de 12 cm. Aflati lungimile catetelor.

Stim cu formula de mai sus ca ipotenuza intr-un triunghi dreptunghic isoscel de latura a este: Ip=a\sqrt{2}\Rightarrow 12=a\sqrt{2}\Rightarrow 12^{2}=\left(a\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow 144=a^{2}\cdot 2\Rightarrow a^{2}=144:2\Rightarrow a^{2}=72\Rightarrow a=\sqrt{72}\Rightarrow a=6\sqrt{2}

Deci obtinem catetele de lungime 6\sqrt{2}
Sau cu Teorema lui Pitagora obtinem:

Astfel consideram Triunghiul dreptunghic isoscel ABC, cu AB=AC=l, astfel daca plicam Teorema lui Pitagora obtinem: BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\Rightarrow 12^{2}=l^{2}+l^{2}\Rightarrow 2l^{2}=144\Rightarrow l^{2}=144:2\Rightarrow l^{2}=72\Rightarrow l=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\;\; cm
cum aflam catetele intr-un triunghi dreptunghic isoscel  daca stim ipotenuza
Asdar este foarte important sa memoram faptul ca ipotenuza intr-un triunghi dreptunghi isoscel de lungime a este egala cu a\sqrt{2}

Marimi invers proportionale

Marimile direct proportionale, dar si marimile invers proportionale joaca un rol important in in viata de zi cu zi. Despre marimi direct proportionale am mai vorbit, pentu cei care nu isi mai amintesc click aici.

Astfel acum definim notiunea de marimi invers proportionale:

Definitie: doua marimi se numesc invers proportionale, daca atunci cand una creste (scade) de un numar de ori, atunci cealalta se micsoreaza (creste) de acelasi numar de ori.

Exemplu:
Numarul de muncitori si numarul de zile in care finalizeaza lucrarea.
astfel avem:
Numaru muncitori                                      Numar zile
8                                                                      6
16                                                                    3
4                                                                    12

Din tabelul de mai sus avem ca
\frac{8}{16}=\frac{3}{6}; \frac{16}{4}=\frac{12}{3}; \frac{8}{4}=\frac{12}{6}
cu ajutorul exemplului de mai sus obtinem:

Proprietatile marimilor invers proportionale:

Raportul a doua valori din prima marime este egala cu inversul raportului valorilor corespunzatoare din cealalta marime.

Produsul valorilor corespunzatoare din cele doua marimi este constant.

Definitie: Fiind date doua multimi

A=\left\{a_{1}, a_{2},...,a_{n}\right\} si B=\left\{b_{1}, b_{2},...,b_{n}\right\}, spunem ca intele elementele acestor multimi exista o dependenta invers proportionala (adica sunt invers proportionale), daca \frac{a_{1}}{\frac{1}{b_{1}}}=\frac{a_{2}}{\frac{1}{b_{2}}}=...=\frac{a_{n}}{\frac{1}{b_{n}}} sau a_{1}\cdot b_{1}=a_{2}\cdot b_{2}=...=a_{n}\cdot b_{n}.

Aplicatii:

1. Aflati numerele rationale pozitive a, b, c invers proportionale cu 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3} daca

10ab-10ac-bc=1,76

Solutie: Numerele \left\{a, b, c\right\} invers proportionale cu \left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right\}, daca \frac{a}{\frac{1}{1}}=\frac{b}{\frac{1}{\frac{1}{2}}}=\frac{c}{\frac{1}{\frac{1}{3}}}=k

Ca sa ne fie mai usor le-am egalat cu k, si obtinem:

\frac{a}{\frac{1}{1}}=k\Rightarrow a=1\cdot k=k

Astfel obtinem si \frac{b}{\frac{1}{\frac{1}{2}}}=k\Rightarrow b=\frac{1}{\frac{1}{2}}\cdot k=2\cdot k

Dar si \frac{c}{\frac{1}{\frac{1}{3}}}=k\Rightarrow c=\frac{1}{\frac{1}{3}}\cdot k=3\cdot k

Mai stim si ca 10\cdot k\cdot 2k+10\cdot k\cdot 3k-2k\cdot 3k=1,76\Rightarrow 20k^{2}+30k^{2}-6k^{2}=1,76\Rightarrow 44k^{2}=1,76\Rightarrow k^{2}=1,76:44\Rightarrow k^{2}=0,04\Rightarrow k^{2}=\left(0,2\right)^{2}\Rightarrow k=0,2. Astfel obtinem : a=0,2

Acum aflam b=2\cdot k=2\cdot 0,2=0,4

Si c=3\cdot k=3\cdot 0,2=0,6

Asadar este foarte important sa intelegem notiunea de marime invers proportionala, cat si marimi direct proportionale, notiuni care sunt folositoare si in rezolvarea problemelor dein viata de zi cu zi.

Cilindrul circular drept

Cilindrul circular drept face parte din categoria corpurilor rotunde, corpuri care in acest an scolar pentru elevii de clasa a VIII a joaca un rol destul de important, datorita faptului ca pentru Evaluarea Nationala apar probleme din acest capitol.
Incepem prin a desena un cilindru circular drept, a observa conventiile de desen, dar si notatiile precum si elementele componente, cat si cum calculam aria laterala, aria totala si volumul acestui corp.
elementele componente ale unui cilindru circular drept
Convetii de desen:
OA=OB=OA’=OB’=R (raza bazei sau raza cilindrului)
AB=A’B’= diametrul cercurilor de centru O si raza R.
AA’=G= generatoarea cilindrului
OO’=H= inatimea cilindrului.

Elementele cilindrului circular drept:
– bazele cilindrului cele 2 cercuri: C\left(O, R\right) si C\left(O', R'\right)
– dreptunghiul ABA’B’
– generatoarea G, care este egala cu muchia laterala, dar si inaltimea cilindrului, adica AA’=G=OO’=H

Generatoarea unui cilindru circular drept este egala cu muchia laterala a cilindrului
Inaltimea unui cilindru circular drept este egala cu distanta dintre cele doua baze ale cilindrului, care este egala si cu generatoarea cilindrului.
-OO’ se numeşte axa de rotaţie a cilindrului.

Cum calculam aria laterala, aria totala si volumul cilindrului drept.

Foarte important sa stim ca cilindrul circular drept are aspectul unei prisme, astfel stim ca formula generala a unei prisme pentru calculul ariei este:
A_{laterala}=P_{bazei}\cdot H
Stim ca baza cilindrului circular este un cerc, astfel avem P_{baza}=2\pi\cdot R
Astfel aria laterala este A_{laterala}=A_{l}=2\pi\cdot R\cdot H
Iar aria totala este: A_{totala}=A_{t}=A_{l}+2\cdot A_{B}
Aria bazei, cum o calculam.

Baza cilindrului circular este un cerc astfel avem ca aria cercului este:
A_{B}=\pi\cdot R^{2}
Astfel obtinem A_{t}=2\pi\cdot R\cdot H+2\cdot\pi\cdot R^{2}
deoarece H=G, adica inaltimea este egala cu generatoarea obtinem ca:
A_{t}=2\phi\cdot R\cdot G+2\cdot\phi\cdot R^{2}=2\phi \cdot R\left(G+R\right)
Iar volumul cilindrului circular drept este egal cu:
V=A_{B}\cdot H=\pi\cdot R^{2}\cdot H, dar putem sa scriem si V=\pi\cdot R^{2}\cdot G

Aplicatii:

Un cilindru circular drept are volumul V=150\pi\;\; cm^{3} si aria sectiunii axiale de 60\;\; cm^{2}. Determinati raza si generatoarea cilindrului.

Demonstratie:
Stim ca volumul unui cilindru circular drept este egla cu V=\pi\cdot R^{2}\cdot H
De unde obtinem: 150\;\; \pi=\pi\cdot R^{2}\cdot H\Rightarrow 150=R^{2}\cdot H
Stim de mai sus ca H=G, astfel obtinem: 150=R^{2}\cdot G
Dar mai stim si ca aria sectiunii axiale este egala cu 60, observam ca aria sectiunii axiale este dreptunghiul ABA’B’
Astfel stim ca A_{ABA'B'}=L\cdot l=G\cdot 2\cdot R
Astfel obtinem 60=G\cdot 2\cdot R\Rightarrow R\cdot G=60:2\Rightarrow R\cdot G=30\Rightarrow G=\frac{30}{R}

Dar mai stim si ca R^{2}\cdot G=150\Rightarrow R^{2}\cdot \frac{30}{R}=150\Rightarrow R\cdot 30=150\Rightarrow R=150:30\Rightarrow R=5\;\; cm
Si astfel am obtinut ca R=5 cm, iar pentru a afla G=\frac{30}{R}=\frac{30}{5}=6\;\; cm
Deci am obtinut ca G=6 cm, adica generatoarea are 6 cm.
probleme rezolvate cu cilindru circular drept
Prezentam o problema care a fost data la o testare nationala
2. Desenati un cilindru circular drept
Dreptunghiul ABCD este o sectiune axiala a cilindrului. Inaltimea cilindrului este de 12 cm, iar diametrul [AB] ala uneia dintre baze are lungimea de 10 cm.
b) Calculati aria laterala a cilindrului
c) Calculati volumul cilindrului
d) Aratati ca cel mai scurt drum intre A si C, parcurs pe suprafata laterala a cilindrului, are lungimea mai mica de 20 cm.
Demonstratie:
cum arata un cilindru circulart drept Stim ca AD= 12 cm si AB=10 cm, astfel obtinem R=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\;\; cm, deci raza cilindrului este de 5 cm.

b) Calculam aria laterala a cilindrului A_{l}=P_{b}\cdot H
Mai intai calculam perimetrul bazei, P_{B}=2\pi\cdot r=2\pi\cdot 5=10\pi
Iar stim ca H=AD=12 cm si aria laterala este: A_{l}=10\pi\cdot 12=120\pi\;\; cm^{2}

c) V=A_{B}\cdot H=\pi\cdot 5^{2}\cdot 12=\pi\cdot 25\cdot 12=300\;\;cm^{3}.

d) Daca desfasuram suprafata laterala a cilindrului circular drept, obtinem dreptunghiul BB'C'C pozitiile punctelor A si D pe desfasurare vor fi A' respectiv D'.
desfasuratea laterala a cilindrului circular drept
Astfel avem ca:
BB'=2\pi \cdot R=2\pi\cdot 5=10\pi si astfel obtinem
A'B'=\frac{BB'}{2}=\frac{10\pi}{2}=5\pi
Iar B'C'=BC=G=12 cm

Asadar cel mai scurt drum intre A si C parcurs pe suprafata laterala a cilindrului circular drept este egala cu lungimea segmentului A'C'=\sqrt{A'B'^{2}+B'C'^{2}}=\sqrt{\left(5\pi\right)^{2}+12^{2}}=\sqrt{25\pi^{2}+144}

Acum sa vedem daca A'C'<20
Astfel avem ca A'C'<20\Leftrightarrow\sqrt{25\pi^{2}+144}<20|^{2}\Leftrightarrow 25\pi{2}+144<400\Leftrightarrow 25\pi^{2}<400-144\Rightarrow 25\pi^{2}<256\pi^{2}<256:25\Leftrightarrow \pi^{2}<10,24
Acum stim ca 3,14\leq\pi\leq 3,15

Astfel consideram \pi=3,15 si obtinem
\left(3,15\right)^{2}=9,9225<10,24, deci cel mai scurt drum intre A si C este mai mic de 20 cm.