Simetria fata de o dreapta

Majoritatea uita notiunea de simetria fata de o dreapta, adica simetricul unui punct fata de o dreapta sau, mai mult, unui dintre voi stiti ce inseamna dar nu stiti sa o construiti. Astfel stim de la simetria unui punct fata de un punct ca:
Simetricul unui punct A fata de un punct O este punctul B cu proprietatea ca distanta de la A la O este egla cu distanta de la B la O, cu alte cuvinte ca O este mijlocul segmentului AB.
CUM DESENAM SIMETRICUL UNUI PUNCT FATA DE UN PUNCT

si notam: S_{O}A=B sau S_{O}B=A
Dar noi astazi o sa discutam despre simetria unui punct fata de o dreapta.

Definitie: Doua punct A si B se numesc simetrice fata de o dreapta d, daca dreapta d este mediatoarea segmentului [AB].
cum arata simetria unui punct fa
Observatie: Daca doua puncte sunt simetrice in raport cu o dreapta atunci fiecare dintre ele este simetricul celuilalt fata de dreapta data.
La fel ca mai sus notam S_{d}A=B si citim simetricul punctului A fata de dreapta d este punctul B. Astfel daca avem
S_{d}A=B\Rightarrow d\perp AB, d\cap AB={O}, [OA]\equiv[OB]
Aplicatii: Fie D un punct pe ipotenuza [BC] in triunghiul dreptunghic ABC. Notam cu E, respectiv F simetricele punctului D fata de AB, respectiv AC. Aratati ca:

a) punctele E, A, F sunt coliniare
b) EF=2\cdot AD

Demonstratie:
Fie DE\cap AB=\left\{M\right\} si DF\cap AC=\left\{P\right\}
Si in dreptunghiul AMDP construim diagonala AD
Astfel avem triunghiurile \Delta AMD si \Delta AME
Astfel avem [AM]\equiv[AM] (latura comuna)
[MD]\equiv [ME] (E erste simetricul lui D fata de AB)
\widehat{AMD}\equiv\widehat{AME}

Deci cu cazul de congruenta L.U.L \Delta AMD\equiv\Delta AME de unde obtinem ca \widehat{MAD}\equiv\widehat{MAE}
Dar si \Delta APD si \Delta APF adica avem [AP]\equiv[AP](latura comuna)
[PD]\equiv[PF](F este simetricul lui D fata de dreapta AC)
Dar si \widehat{APF}\equiv\widehat{APD}
Si cu cazul de congruente L.U.L obtinem ca \Delta APD\equiv\Delta APF
de unde obtinem ca \widehat{PAD}\equiv\widehat{PAF}

Si astfel avem ca m\left(\widehat{EAF}\right)=m\left(\widehat{EAM}\right)+m\left(\widehat{MAD}\right)+m\left(\widehat{DAP}\right)+m\left(\widehat{PAF}\right)=2\cdot\left(m\left(\widehat{MAD}\right)+m\left(\widehat{PAD}\right)\right)=2\cdot 90^{0}=180^{0}, deci punctele F, A, E sunt coliniare.
simetria unui punct fata de o dreapta

b) EF=2\cdot AD
Observam ca EF=EA+AF
Mai sus am demonstrat ca \Delta AEM\equiv\Delta ADM, de unde obtinem si ca [AE]\equiv[AD]
Dar mai stim si ca \Delta APD\equiv\Delta APF, adica [AD]\equiv[AF]
Si astfel obtinem EF=AE+AF=AD+AD=2\cdot AD, ceea ce trebuia sa demonstram.
2. Daca C\notin AB si D este simetricul punctului C fata de AB, aratati ca \Delta ABC\equiv\Delta ABD
Demonstratie:

Fie AB\cap CD=\left\{O\right\}
Astfel consideram triunghiurile:
\Delta AOC si \Delta AOD dreptunghice, deoarece AB mediatoarea dreptei CD
[AO]\equiv[AO] (latura comuna)
[CO]\equiv[DO](D este simetricul lui C fata de dreapta AB)
Astfel obtinemn cu cazul C.C ca
\Delta AOC\equiv\Delta AOD so obtinem ca [AC]\equiv[AD] (1)
Acum consideram triunghiurile:
\Delta COB si \Delta DOB, dreptunghice, deoarece AB mediatoarea dreptei CD si avem:
[CO]\equiv[DO] (deoarece D simetricul lui C fata de AB)
[BO]\equiv[BO](latura comuna) si cu cazul de congruneta C.C obtinem ca
\Delta COB\equiv\Delta DOB, de unde obtinem si ca [CB]\equiv[DB] (2)
Astfel avem triunghiurile:
\Delta ABC si \Delta ABD
Stim ca [AC]\equiv[AD] (din (1))
Dar si [CB]\equiv[DB] (din (2))
Si observam ca [aB]\equiv[AB] (latura comuna) si astel cu cazul de congruenta de la la truighiuri oarecare L.L.L obtinem ca \Delta ABC\equiv\Delta ABD.
cum arata simetricul unui punct fata de o dreapta
Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de simetricul unui punct fata de un punct, dar si simetria unui punct fata de o dreapta, notiuni care sunt destul de importante, constituind baza pentru ceea ce v-a urma.

Bisectoarea unui unghi Proprietatea bisectoarei

Despre bisectoarea unui unghi am mai invatat si in primul semestru la capitolul Unghi. Dar acum discutam si de proprietatea bisectoarei, cat si despre concurenta bisectoarelor intr-un triunghi, deoarece dupa cum am mai spus si intr-un alt articol, bisectoarea este una din liniile importante intr-un triunghi.

Astfel reamintindu-ne definitia bisectoarei spunem ca:

Definitie: Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea in varful unghiului, interioara unghiului si care care imparte  unghiul in doua unghiuri.

cum rezolvam problemele cu bisectoare

Proprietatile bisectoarei:
Un punct interior unui unghi este situat la egala distanta de laturile unghiului daca si numai daca apartine bisectoarei acelui unghi.
punctele interioare ale unui unghi
Avem in ipoteza [OZ bisectoare unghiului \widehat{XOY}
M\in [OZ

Concluzie: d(M, OX)=d(M, OY)

Astfel stim ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei din punctul dat pe drepata respectiva.

Stim ca [OZ este bisectoarea unghiului \widehat{XOY}, astfel avem:
\widehat{XOZ}\equiv\widehat{YOZ}
Mai stim si ca MA\perp[OX, A\in [OX\Rightarrow d\left(M, OX\right)=MA
Dar si MB\perp[OY, B\in [OY\Rightarrow d\left(M, OY\right)=MB
Iar in triunghiurile MAO si MBO, avem m\left(\widehat{MAO}\right)=m\left(\widehat{MBO}\right)=90^{0}, adica avem triunghiuri dreptunghice.
Mai stim si ca [MO]\equiv[MO](latura comuna)
Dar si \widehat{MOA}\equiv\widehat{MOB}
Deci cu cazul de congruenta de la triunghiurile dreptunghice I.U, avem ca
\Delta MAO\equiv\Delta MBO de unde obtinem ca [MA]\equiv[MB], adica d(M, OX)=d(M, OY)

locul geometric al bisectoarei unui unghi
Bisectoarea unui unghi este locul punctelor situate la egala distanta de laturile unui triunghi.

Teorema. Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente. Punctul de intersectie al bisectoarelor este situat la distanta egala de laturile triunghiului se noteaza cu I. Punctul de concurenta al bisectoarelor se numeste centrul cercului inscris.

Centrul inscris in triunghi este cercul care este tangent la laturile triunghiului, adica are in comun un singur punct cu fiecare latura a triunghiului.

cum arata bisectoarele intr-un triunghi
Observati ca AA’, BB’ si CC’ sunt bisectoare in triunghiul ABC, adica
– AA’ bisctoarea unghiului \widehat{BAC}
– BB’ bisctoarea unghiului \widehat{ABC}
– CC’ bisctoarea unghiului \widehat{ACB}
Iar punctul de intersectie il notam cu I, numit centrul cercului inscris.
cum se noteaza punctul de intersectie al bisectoarelor
Aplicatii:

In triunghiul \Delta ABC avem: D\in(BC), E\in(AC), F\in(AB) astfel incat AD\perp BC, \widehat{ABE}\equiv\widehat{CBE}, \widehat{ACF}\equiv\widehat{BCF}, BE\cap CF\cap AD=\left\{I\right\}. Aratati ca [AB]\equiv[AC]
Demonstratie:

Observam ca [BE si [CF sunt bisectoarele unghiurilor \widehat{ABC}, \widehat{ACB} dar si BE\cap CF\cap AD=\left\{I\right\}, atunci obtinem si ca [AD este bisectoarea unghiului \widehat{BAC}, adica obtinem ca:
\widehat{BAD}\equiv\widehat{CAD}
Astfel consideram triunghiurile: \Delta BAD si \Delta CAD
unde am gasit ca:

\widehat{BAD}\equiv\widehat{CAD}
[AD]\equiv[AD] (latura comuna)
Dar si \widehat{BDA}\equiv\widehat{CDA} (deoarece AD\perp BC, adica formeaza un unghi de 90^{0})
Si cu cazul de congruneta U.L.U, obtinem ca \Delta BAD\equiv\Delta CAD, de unde obtinem si ca [AB]\equiv[AC] ceea ce trebuia sa demonstram.

bisectoarea unui unghi intr-un triunghi

Probleme in care aflam muchia unui cub

Se considera cubul ABCDA’B’C’D’ si punctele M\in [AA'], N\in [CC'] astfel incat MA=2\cdot MA' si NC=\frac{CC'}{3}. Daca MN=\frac{5\sqrt{19}}{3}, calculati: lungimea muchiei cubului.

Demonstratie:

Pentru a efectua  corect corpul geometric cu notiunile din problema stim ca:

MA=2\cdot MA'

Dar mai stim si ca AA'=MA+MA'\Rightarrow AA'=2MA'+MA'\Rightarrow AA'=3MA'\Rightarrow MA'=\frac{AA'}{3}

Mai stim si ca NC=\frac{CC'}{3}\Rightarrow CC'=3\cdot NC

Si mai stim si ca CC'=CN+NC'\Rightarrow 3NC=CN+NC'\Rightarrow 3NC-NC=NC'\Rightarrow NC'=2NC

Stim ca cubul are toate muchiile egal astel avem ca AA'=AB=BC=l

Astfel avem ca MA'=\frac{l}{3}, dar si NC=\frac{l}{3}

De unde obtinem si ca: MA=2\cdot\frac{l}{3}=\frac{2l}{3}

Dar si NC'=2\cdot\frac{l}{3}=\frac{2l}{3}

latura unui cub
Astfel am obtinut patrulaterul ACNM, observati ca am construit diagonala AC, din notiunile pe care le avem stim ca AC=l\sqrt{2} (diagonala in patratul ABCD), observam ca m\left(\widehat{ACN}\right)=90^{0}, astfel construind si drepata AN, obtinem triunghiul dreptunghic ACN si aplicand Teorema lui Pitagora obtinem: AN^{2}=AC^{2}+NC^{2}\Rightarrow AN^{2}=\left(l\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\frac{l}{3}\right)^{2}\Rightarrow AN^{2}={9)}^2l^{2}+\frac{l^{2}}{9}\Rightarrow AN^{2}=\frac{18l^{2}+l^{2}}{9}\Rightarrow AN^{2}=\frac{19l^{2}}{9}\Rightarrow AN=\sqrt{\frac{19l^{2}}{9}}\Rightarrow AN=\frac{l\sqrt{19}}{3}

Dar construim si diagonala A’C’, dar si segmentul MC’
Si la fel ca si mai sus obtinem triunghiul dreptunghic A’MC’, unde MC'=\frac{l\sqrt{19}}{3}, daca aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic A’MC’
problema rezolvata cu cubul

 

Astfel avem triunghiurile: \Delta A'C'M si \Delta ACN triunghiuri dreptunghice in A’ respectiv C, unde gasim ca [AC]\equiv[A'C']

Dar mai avem si [AN]\equiv[CN]
Si cu cazul de congruneta de la trunghiurile dreptunghice obtinem ca:
\Delta A'C'M\equiv\Delta ACN
Si astfel obtinem ca [C'M]\equiv[AN] dar mai avem si:

\Delta ACM si \Delta A'C'N
[AC]\equiv[A'C']
Si [C'N]\equiv[AM]
Si cu cazul de congruneta C.C obtinem:
\Delta ACM\equiv\Delta C'A'N si obtinem [A'N]\equiv[CM]

latura unui cub
de unde obtinem si ca AN=MN, astfel avem ca \frac{l\sqrt{19}}{3}=\frac{5\sqrt{19}}{3}\Rightarrow l=5\;\; cm

Asadar muchia cubului este de 5 cm.

Cateva probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor

Prezentam cateva probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor. Pentru cei care nu stiti care sunt etapele pe care trebuie sa le parcurgem in rezolvatea problemelor click aici

Sa se afle 4 nr. consecutive impare, stiind ca, daca la suma lor marita de 8 ori se adauga 280 ,se obtine 2008 .

Solutie:

Consideram numerele naturale  impare: n, n+2, n+4, n+6

Si formam ecuatia: \left(n+n+2+n+4+n+6\right)\cdot 8+280=2008

Iar acum rezolvam ecuatia mai sus formata:

\left(4n+12\right)\cdot 8=2008-280\Rightarrow \left(4n+12\right)\cdot 8=1728\Rightarrow 4n+12=1728:8\Rightarrow 4n+12=216\Rightarrow 4n=216-12\Rightarrow 4n=204\Rightarrow n=204:4\Rightarrow n=51

Deci primul numar impar este 51, cel de-al doilea este n+2=51+2=53

Cel de-al treilea numar este n+4=51+4=55

Iar cel de=al patrulea n+6=51-6=57

Asadar numerele impare consecutive sunt 51; 53; 55; 57

 2. Consideram numerele in baza zece \bar{abc}\;\; \bar{cba}in care stim ca diferenta dintre numarul initial si rasturantul sau este 297, stiind ca b=3, aflati a si c.

Solutie: abc-cba=297,

Rescriind ecuatia  de mai sus obtinem: 100\cdot a+10\cdot b+1\cdot c-\left(c\cdot 100+10\cdot b+1\cdot a\right)=297

Stiind ca b=3 obtinem 100a+10\cdot 3+c-100c-10\cdot 3-a=297\Rightarrow 99a+30-99c-30=297\Rightarrow 99a-99c=297\Rightarrow 99\left(a-c\right)=297\Rightarrow a-c=297:99\Rightarrow a-c=3

Deci diferenta dintre primul numar si ultimul este 3, dar trebuie sa tinem cont si de faptul ca a, c\neq 0, dar si a<c

Pentru a=4, obtinem 4-c=3\Rightarrow 4-3=c\Rightarrow c=1

Asadar obtinem numarul 431

Iar rasturnatul sau este 134

Acum sa vedem daca se verifica 431-134=297

Deci se verifica.

Pentru a=5, obtinem 5-c=3\Rightarrow c=5-3=2

Si numarul gasit este 532 si rasturnatul sau este 235

La fel ca mai sus efectuam scaderea pentru a vedea daca se verifica 532-235=297

Deci se verifica.

Si asa mai departe pentru a=6, 7, 8, 9

 3. Cu 6 ani in urma varsta ficei era egala cu 0,2 din varsta mamei iar peste 9 ani varsta ficei va fi 0,5 din varsta pe care o va avea mama. Cati ani are fiecare in prezent?

Solutie:

Notam cu x varsta fiicei si cu y varsta mamei, astfel formam ecuatiile: x-6=0,2\cdot\left(y-6\right) (Cu 6 ani in urma varsta ficei era egala cu 0,2 din varsta mamei).

x+9=0,5\cdot\left(y+9\right) ( peste 9 ani varsta ficei va fi 0,5 din varsta pe care o va avea mama)

Astfel am obtinut doua ecuatii pe care incercam sa le rezolvam x-6=0,2\left(y-6\right)\Rightarrow x=\frac{2}{10}\left(y-6\right)+6\Rightarrow x=\frac{1}{5}\left(y-6\right)+6

Observati ca in prima ecuatie am scos necunoscuta x in functie de y pentru a putea inlocui in cea de-a doua ecuatie pentru a afla y, dar am transformat dintr-o fractie zecimala in fractie ordinara simplificand pe unde am putut, astfel inlocuind in cea de-a doua ecuatie obtinem: x+9=0,5\left(y+9\right)\Rightarrow \frac{1}{5}\left(y-6\right)+6+9=\frac{5}{10}\left(y+9\right)\Rightarrow \frac{1}{5}\left(y-6\right)+15=\frac{1}{2}\left(y+9\right)\Rightarrow ^{5)}\frac{y+9}{2}-^{2)}\frac{y-6}{5}=15\Rightarrow \frac{5\left(y+9\right)}{10}-\frac{2\left(y-6\right)}{10}=15\Rightarrow\frac{5y+45-2y+12}{10}=15\Rightarrow \frac{3y+57}{10}=15\Rightarrow 3y+57=150\Rightarrow 3y=150-57\Rightarrow 3y=93\Rightarrow y=93:3\Rightarrow y=31

Deci mama are 31 de ani, iar fiica: x=\frac{1}{5}\left(y-6\right)+6\Rightarrow x=\frac{1}{5}\left(31-6\right)+6\Rightarrow x=\frac{1}{5}\cdot 25+6\Rightarrow x=5+6=11

Asadar fiica are 11 ani.

 4. Trei frati au primit impreuna 130 de lei.dupa ce primul a cheltuit doua treimi din partea sa. Al doilea a cheltuit trei sferturi din partea sa, iar al treilea a cheltuit doua cincimi din partea sa. Cei trei frati au ramas cu suma egala de bani. Ce suma de bani exprimata in lei a primit fiecare dintre frati?
Solutie:
 Stim ca impreuna cei trei frati au 130 lei adica
– suma primului frate o notam cu x
-suma celui de-al   doilea frate cu y
– suma celui de-al treilea frate cu z
Astfel formam prima ecuatie:
x+y+z=130
 – x-\frac{2}{3}\cdot x=y-\frac{3}{4}\cdot y=z-\frac{2}{5}\cdot z\Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{3z}{5}
Astfel avem ca:
\frac{1}{3}\cdot x=k\Rightarrow x=3\cdot k
\frac{y}{4}\cdot y=k\Rightarrow y=4\cdot k
Si \frac{3}{5}\cdot z=k\Rightarrow z=\frac{5}{3}\cdot k
Astfel daca inlocuim in prima ecuatie obtinem:
3\cdot k+4\cdot k+\frac{5}{3}\cdot k=130\Rightarrow 7k+\frac{5k}{3}=130\Rightarrow \frac{21k+5k}{3}=130\Rightarrow \frac{26k}{3}=130\Rightarrow k=\frac{130\cdot 3}{26}=\frac{390}{26}\Rightarrow k=15
Astfel primul a avut x=3\cdot k=3\cdot 15=45\;\; lei
Cel de-al doilea y=4\cdot 15=60\;\; lei
Iar cel de-al treilea z=\frac{5}{3}\cdot k=\frac{5}{3}\cdot 15=5\cdot 5=25 \;\; lei

Mediana in triunghi Concurenta medianelor unui triunghi

Liniile importante in triunghi joaca un rol crucial in rezolvarea problemelor, astfel intr-un triunghi liniile importante sunt: mediana, mediatoarea,bisectoarea si inaltimea,  ,dar si mediana

Astfel, astazi, discutam despre mediana si incepem prin a defini notiunea de mediana:

Definitie: Segmentul care uneste un varf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse se numeste mediana.

cum definim mediana intr-un triunghi
Trebuie sa stim ca intr-un triunghi putem sa ducem trei mediane.
Daca construiti toate cele trei mediane intr-un triunghi o sa observati ca medianele sunt concurente, iar punctul lor de intersectie se noteaza cu G, numit centru de greutate al triunghiului.
cum sunt medianele intr-un triunghi
Deci e important sa retinem urmatoarea teorema :

Teorema. Medianele unui triunghi sunt concurente, iar punctul de intersectie se noteaza cu G, numit centru de greutate al triunghiului, fiind situat la doua treimi fata de varf si o treime fata de baza.

Astfel avem: \Delta ABC si avem AM\cap BN\cap CP=\left\{G\right\}, adica sunt concurente si punctul de intersectie se noteaza cu G.
Si mai stim si ca:
AG=\frac{2}{3}\cdot AM
BG=\frac{2}{3}\cdot BN
CG=\frac{2}{3}\cdot CP
Atentie intr-un triunghi oarecare medianele sunt concurente, dar nu si congruente (adica nu au aceiasi lungime)

Mai stimisi ca:
GM=\frac{1}{3}\cdot AM
GN=\frac{1}{3}\cdot BN
GP=\frac{1}{3}\cdot CP

Aplicatii:
1. Fie \Delta ABC, in care avem [AB]\equiv[AC], iar [BM], [CP] mediane. Aratati ca [BM]\equiv[CP].
Astfel avem in ipoteza
Ipoteza: \Delta ABC

[AB]\equiv[AC]
[BM], [CP] mediane.

Concluzie
[BM]\equiv[CP]].
Demonstratie:
medianele intr-un triunghi isoscel
Astfel consideram triunghiurile:
\Delta ABM si \Delta ACP, in care stim ca
[AB]\equiv[AC] (din ipoteza, deoarece triunghiul ABC isoscel)
[AM]\equiv[AP](cum [AB]\equiv [AC], obtinem ceea ce am spus)
Dar si \widehat{BAM}\equiv\widehat{CAP}

Deci cu cazul de congruneta L.U.L, obtinem ca \Delta ABM\equiv\Delta ACP si astfel obtinem si ca [BM]\equiv [CP].

Deci trebuie sa remarcam ca medianele corespunzatoare laturilor congruente intr-un triunghi isoscel sunt congruente.

Nu acelasi lucru putem sa-l spunem si despre mediana corespunzatoare bazei intr-un triunghi isoscel.

Probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor

Alina si Dan au impreuna 22 ani .Daca Dan ar fi de doua ori mai in varsta , tot i-ar mai trebui un an ca sa aiba de patru ori mai putin decat Alina . Sa se afle varstele celor doi copii . Multumesc !

Solutie:

Notam cu

– x varsta Alinei

– y varsta Dan

Astfel formam ecuatiile:

x+y=22 (Alina si Dan au impreuna 22 ani.)

2\cdot y+1=x:4 Dan ar fi de doua ori mai in varsta , tot i-ar mai trebui un an ca sa aiba de patru ori mai putin decat Alina.

Astfel avem ecuatile:

x+y=22

2y+1=\frac{x}{4}\Rightarrow 4\cdot\left(2y+1\right)=x\Rightarrow x=4\cdot 2y+4\cdot 1\Rightarrow x=8y+4

Astfel inlocuid in prima ecuatie obtinem:

8y+4+y=22\Rightarrow 9y+4=22\Rightarrow 9y=22-4\Rightarrow 9y=18\Rightarrow y=18:9\Rightarrow y=2

Deci Dan are 2 ani.

Iar Alina x=8\cdot 2+4\Rightarrow x=16+4\Rightarrow x=20

Deci Alina are 20 ani.

 

Calculul de distante si unghiuri

Prezentam rezolvarea unei probleme in care calculam distanta de la un punct la un plan, dar si distanta de la un punct la o dreapta, cat si masura unghiului diedru a doua plane.

Pe planul triunghiului dreptunghic ABC (m(<A)=90) cu AB =30 cm ,AC= 40cm, se ridica perpendiculara AP cu AP=8\sqrt{3}

Aflati:

a) distanta de la punctul P la dreapta BC
b) distanta de la punctul A la planul (PBC)
c)masura unghiului dietru format de planele (PBC)si(ABC)

Demonstratie:
Stim din ipoteza ca AP\perp (ABC), astfel in triunghiul dreptunghic ABC construim inaltimea AD, adica AD\perp BC
Stim ca AD\subset (ABC), deci cu Teorema celor trei perpendiculare rezulta ca si PD\perp BC si astfel distanta de la P la BC este PD d(P, BC)=PD

Dar mai intai aflam AD, stim ca triunghiul ABC este dreptunghic, deci mai intai aflam ipotenuza, adica BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\Rightarrow BC^{2}=30^{2}+40^{2}\Rightarrow BC=\sqrt{900+1600}\Rightarrow BC=\sqrt{2500}=50\;\; cm

Acum cu Teorema inaltimii in triunghiul dreptunghic ABC obtinem:
AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{30\cdot 40}{50}=\frac{30\cdot 4}{5}=\frac{6\cdot 4}{1}=24\;\; cm
Observati ca mai sus am efectuat cateva simplificari pentru a ne usura calculele.
Acum ca stim si AD si AP, in triunghiul dreptunghic PAB, aplicam Teorema lui Pitagora PD^{2}=PA^{2}+AD^{2}\Rightarrow PD=\left(8\sqrt{3}\right)^{2}+24^{2}\Rightarrow PD=\sqrt{64\cdot 3+576}\Rightarrow PD=\sqrt{192+576}=\sqrt{768}=16\sqrt{3}\;\; cm
cum aplicam Teorema celor trei perpendiculare

b) distanta de la punctul A la planul (PBC)

Observam ca PA\perp AB, Dar si PA\perp AC, stim si ca AD\perp BC
Astfel construim perpendiculara din A pe pe PD, astfel fie AE\perp PD, dar observam ca PD\subset(PBC), deci cu Reciproca celor trei perpendiculare obtinem ca AE\perp (PBC)

Deci avem ca d(A\left(PBC\right))=AE
Astfel stim ca triunghiul PAD este dreptunghic in A, deci cu Teorema inaltimii obtinem AE=\frac{PA\cdot AD}{PD}=\frac{8\sqrt{3}\cdot 24}{16\sqrt{3}}^{(16\sqrt{3}}=\frac{1\cdot 24}{2}=12\;\; cm
cum calculam distanta de la un punct la un plan

c)masura unghiului diedru format de planele (PBC)si(ABC)
Calculam mai intai intersectia celor doua plane:
(PBC)\cap (ABC)=BC
Astfel construim perpendicularele din P pe BC si din A pe BC
Astfel fie PD\perp BC
Si Ad\perp BC
Astfel avem unghiul m\left(\widehat{(PBC),(ABC)}\right)=m\left(\widehat{PD, AD}\right)=m\left(\widehat{PDA}\right)=

Cum triunghiul PAD este dreptunghic aplicam functiile trigonemetrice pentru a afla masura unghiului.
Astfel \sin\widehat{PDA}=\frac{PA}{PD}=\frac{8\sqrt{3}}{16\sqrt{3}}^{(8\sqrt{3}}=\frac{1}{2}=30^{0}
Deci masura unghiului dintre cele doua plane este de 30 de grade.

cum calculam masura unghiului a doua plane

Exercitii rezolvate cu sume de fractii

Prezentam cateva exercitii rezolvate cu sume de fractii, mai complicate se pare, dat fiind faptul ca sunt trimise de vizitatorii MatePedia.

1) Calculati: 400 supra 81 minus 399 supra 81 plus 398 supra 81 minus 397 supra 81 plus…. 2 supra 81 minus 1 supra 81. Adica s-ar scrie cam asa …

\frac{400}{81}-\frac{399}{81}+\frac{398}{81}-\frac{397}{81}+....+\frac{2}{81}-\frac{1}{81}=  \left(\frac{400}{81}-\frac{399}{81}\right)+\left(\frac{398}{81}-\frac{397}{81}\right)+....+\left(\frac{2}{81}-\frac{1}{81}\right)=\frac{400-399}{81}+\frac{398-397}{81}+...+\frac{2-1}{81}=

\frac{1}{81}+\frac{1}{81}+...+\frac{1}{81}=

\frac{1+1+...+1}{81}=

\frac{200\cdot 1}{81}=\frac{200}{81}

Observati ca pentru a calcula suma de mai sus am grupat termenii sumei cate 2 pentru a efectua diferenta, unde am obtinut o suma in care numaratorul este 1. Acum trebuie sa stabilim de cate ori apare termenul 1 si astfel efectuam impartirea > 400:2=200 (deoarece termenii de mai sus i-am grupat cate 2) si astfel am obtinut rezultatul de mai sus.

2) Pentru ce numa n\in N, avem

\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}=\frac{2010}{2011}

Pentru a calcula membrul drept rescriem suma \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{4\cdot 5}+...+\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}

Observati ca termenii de mai sus s-au redus ramanand doar primul termen si ultimul, astfel egalitatea de mai sus devine: ^{\left(n+1\right)}1-\frac{1}{n+1}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow \frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow \frac{n+1-1}{n+1}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow \frac{n}{n+1}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow 2010\left(n+1\right)=2011\cdot n\Rightarrow 2010\cdot n+2010=2011\cdot n\Rightarrow2011\cdot n -2010\cdot n=2010\Rightarrow n=2010

Deci numarul natural gasit este 2010.

3) Rezolvati ecuatia:

\frac{x-6}{2008}+\frac{x-2}{2012}=\frac{x-2008}{6}+\frac{x-2012}{2}

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus de preferat ar fi sa nu ne gandim sa gasim numitorul comun, sa amplificam si sa calculam cum am invatat, caci este o munca destul de grea si anevoioasa, astfel mai intai ar trebui sa ne gandim cum sa scriem fiecare numarator, astfel incat sa putem simplifica anumiti termeni. Astfel ecuatia rescriind-o obtinem: \frac{x-6}{2008}+\frac{x-2}{2012}=\frac{x-2008}{6}+\frac{x-2012}{2}\Rightarrow \frac{x-2014+2008}{2008}+\frac{x-2014+2012}{2012}=\frac{x-2014+6}{6}+\frac{x-2014+2}{2}\Rightarrow

Acum scriind suma de la numarator ca doua fractii obtinem urmatoarele fractii:

\frac{x-2014}{2008}+\frac{2008}{2008}+\frac{x-2014}{2012}+\frac{2012}{2012}=\frac{x-2014}{6}+\frac{6}{6}+\frac{x-2014}{2}+\frac{2}{2}\Rightarrow

Acum simplificand fiecare fractie obtinuta mai sus, obtinem:

\frac{x-2014}{2008}+\frac{1}{1}+\frac{x-2014}{2012}+\frac{1}{1}=\frac{x-2014}{6}+\frac{1}{1}+\frac{x-2014}{2}+\frac{1}{1}\Rightarrow

Observati ca cifra 1 se reduce, aparand atat in membrul stang cat si in membrul drept de 2 ori  si astfel se reduc: \frac{x-2014}{2008}+\frac{x-2014}{2012}=\frac{x-2014}{6}+\frac{x-2014}{2}\Rightarrow \frac{x-2014}{2008}+\frac{x-2014}{2012}-\frac{x-2014}{6}-\frac{x-2014}{2}=0\Rightarrow \left(x-2014\right)\cdot\left(\frac{1}{2008}+\frac{1}{2012}-\frac{1}{6}-\frac{1}{2}\right)=0

Observam ca \frac{1}{2008}+\frac{1}{2012}<\frac{1}{6}+\frac{1}{2}

Si obtinem x-2014=0\Rightarrow x=2014

4) Simplificati fractia: \frac{2+\left(2^{2013}+2^{2012}+2^{2011}+...+2\right)}{4^{1008}}

Mai intai calculam suma, dar putem sa o si rescriem astfel: 2^{2013}+2^{2012}+2^{2011}+...+2, folosind formula S_{n}=b_{1}\cdot \frac{q^{n}-1}{q-1}

Pentru cei care sunteti in calsa a IX stiti ca teremenii acestei sume sunt termenii unei progresii geometrice cu ratia: q=\frac{2^{2013}}{2^{2012}}=2, adica formula q=\frac{b_{n+1}}{b{n}}

Pentru cei din gimnaziu trebuie sa retineti formula de mai sus. Si  stim ca primul termen il notam cu b_{1}=2, iar q il obtinem observand la putere din cat in cat sunt termenii, iar baza se pastreaza. Observam ca mai sus avem puterile: 2013, 2012, 2011,....,1, 0

Astfel daca efectuam scaderea intre primii doi termeni obtinem 2013-2012=1 si baza pastrandu- se obtinem q=2^{1}=2

Astfel suma devine: S=2\cdot\frac{2^{2013}-1}{2-1}=2\cdot\frac{2^{2013}-1}{1}=2\cdot 2^{2013}-2\cdot 1

=2^{2014}-2

Iar fractia devine: \frac{2+2^{2014}-2}{4^{1008}}=\frac{2^{2014}}{\left(2^{2}\right)^{1008}}=\frac{2^{2014}}{2^{2\cdot 1008}}=\frac{2^{2014}}{2^{2016}}^{(2^{2014}}=\frac{2^{2014}:2^{2014}}{2^{2016}:2^{2014}}=\frac{2^{2014-2014}}{2^{2016-2014}}=\frac{2^{0}}{2^{2}}=\frac{1}{4}.

Observati ca mai sus numitorul l-am rescris astfel pentru a putea simplifica fractiile: 4^{1008}=\left(2^{2}\right)^{1008}=2^{2\cdot 1008}=2^{2016}, adica am folosit regulile de calcul cu puteri.

Iar la numaratori observati ca doi termeni sau redus.

Si astfel am obtinut rezultatul de mai sus.

Asadar este important ca la acest gen de exercitii sa ne uitam cu atentie inainte de a incepe sa le rezolvam si sa studiem toate posibilitatile pe care le avem, astfel incat sa o alegem pe cea mai corecta si cea mai usoara.