Aplicatii la logaritmi

Prezentam anumite exercitii cu logaritmi, exercitii care apar la examenul de Bacalaureat.

  1. Demonstrati ca \log_{2}3\cdot\log_{3}5\cdot\log_{5}8=3

Observam ca in cazul exercitiului de mai sus nu avem aceeasi baza, asadar incercam sa aducem la aceeasi baza.

Stim ca \log_{a}A=\frac{\log_{b}A}{\log_{b}a}
\log_{3}[5]=\frac{\log_{2}5}{\log_{2}3}

Dar si \log_{5}[8]=\frac{\log_{2}8}{\log_{2}5}

Rescriind exercitiul cu ce am gasit obtinem:
\log_{2}3\cdot\frac{\log_{2}5}{\log_{2}3}\cdot\frac{\log_{2}8}{\log_{2}5}

Observam ca simplificam pe diagonala si obtinem 1\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{\log_{2}8}{1}=\log_{2}8=3

In cazul exercitiului de mai sus, totul a constat in a aduce logaritmii la aceeasi baza.

2. Demonstrati ca \log_{4}9=\log_{8}27

Solutie:
Luam fiecare logaritm in parte si incercam sa-l rezolvam, astfel avem: \log_{4}9=\log_{4}3^{2}=2\cdot\log_{4}3

Am folosit regula \log_{a}A^{n}=n\cdot\log_{a}A, unde A>0 , a>0, a\neq 1

Dar putem folosi si regula \log_{a^{n}}A=\frac{1}{n}\log_{a}A.
Asadar obtinem 2\cdot\log_{4}3=2\cdot\log_{2^{2}}3=2\cdot\frac{1}{2}\log_{2}3=\log_{2}3.

Iar pentru \log_{8}27=\log_{2^{3}}3^{3}=3\cdot\frac{1}{3}\cdot\log_{2}3=\log_{2}3
Astfel obtinem ca \log_{2}3=\log_{2}3\Rightarrow \log_{4}9=\log_{8}27.
3. Sa se demonstreze ca numarul A=\left(\sqrt{11}\right)^{\log_{12}144}+\log_{2}32-\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} este natural.

Solutie:
Calculam mai intai logaritmii, astfel obtinem:
A=\left(\sqrt{11}\right)^{2}+5-\left(3^{-1}\right)^{-2}

Observam ca pentru \frac{1}{3}=3^{-1}, am folosit regula \frac{1}{a}=a^{-1}

Asadar A=2+5-3^{(-1)\cdot(-2)}
Adica A=2+3+3^{2}, adica A=5+9\Rightarrow A=14\in N.
Pentru cei care nu stiu sa calculeze logartimul dintr-un numar click aici.

Adica pentru \log_{2}32, logaritmul numarului 2 este puterea la care trebuie ridicat 2, pentru a obtine 32, astfel avem ca 2^{5}=32, asadar rezultatul este 5.

4. Demonstrati ca A=\log_{2}(5+\sqrt{7})+\log_{2}(5-\sqrt{7})-2\log_{2}3 este intreg.

Solutie:

Folosind proprietatile logaritmilor obtinem:

A=\log_{2}[(5+\sqrt{7})\cdot(5-\sqrt{7})]-2\log_{2}3

Folosind formula de calcul prescurtat (a-b)\cdot(a+b)=a^{2}-b^{2}, obtinem:

A=\log_{2}[5^{2}-(\sqrt{7})^{2}]-2\log_{2}3

Efectuand calculele obtinem A=\log_{2}(25-7)-2\log_{2}3

Adica A=\log_{2}18-2\log_{2}3\Rightarrow A=\log_{2}3^{2}-2\log_{2}3\Rightarrow A=2\log_{2}3-2\log_{2}3\Rightarrow A=0\in Z.

5. Sa se arate ca log_{2}432=4+3a, unde a=log_{2}3

Descompunad pe 432 obtinem 432=2^{4}\cdot 3^{3}

Asadar avem ca \log_{2}432=\log_{2}(2^{4}\cdot 3^{3}), folosind proprietatile radicalilor obtinem:

\log_{2}(2^{4}\cdot 3^{3})=\log_{2}2^{4}+\log_{2}3^{3}=4\cdot\log_{2}2+3\cdot\log_{2}3=4\cdot 1+3\cdot a=4+3a,unde stim ca a=\log_{2}3.

6.  Demonstrati ca \log_{2\sqrt{2}}3\sqrt{3}=\log_{2}3

Solutie

Luand membrul stang obtinem ca:

\log_{2\sqrt{2}}3\sqrt{3}

Si mai intai introducand factorii sub radicali obtinem: 2\sqrt{2}=\sqrt{2^{2}\cdot 2}=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{8}=8^{\frac{1}{2}}, dar si 3\sqrt{3}=\sqrt{27}=27^{\frac{1}{2}}. asadar obtinem:

\log_{8^{\frac{1}{2}}}27^{\frac{1}{2}}, folosind proprietatile radicalilor obtinem: \frac{1}{2}\cdot\log_{8^{\frac{1}{2}}}27=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac{1}{2}}\log_{8}27=

\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{1}\log_{2^{3}}3^{3}=\frac{2}{2}\log_{2^{3}}3^{3}=

1\cdot 3\log_{2^{3}}3=

\frac{3}{3}\log_{2}3=\log_{2}3, adica ceea ce trebuia sa demonstram.

 

 

 

 

 

 

Grupuri de matrice Grupuri de permutari Grupuri Zn

Dupa ce am introdus notiunea de Grup, introducem alte notiuni noi si anume Grup de matrice, Grup de permutari si Grup Z_{n}. Asadar incepem cu:

Grup de matrice.

Fie n\in N^{*} si M_{n}(C) multimea matricelor patratice de ordin n cu elemente numere complexe.

Stim din clasa a XI a ca multimea  M_{n}(C) impreuna cu  adunarea matricelor este asociativa, comutativa si admite element neutru matricea O_{n}, dar si element simetrizabil, asadar stim ca (M_{n}(C), +) este un grup comutativ.

Despre inmultirea matricelor stim ca este un monoid necomutativ, adica este asociativa si admite elementul neutru I_{n}.

Grupul liniar general de grad n

Fie A\in M_{n}(C). Stim ca matricea A este inversabila in monoidul (M_{n}(C), \cdot) daca si numai daca det A\neq 0. Iar multimea unitatilor monoidului se noteaza Gl_{n}(C)=\left\{    A\in M_{n}(C)| det (A)\in C^{*}\right\}

Asadar  perechea (GL_{n}(C), \cdot) este un grup necomutativ, numit  grup liniar general de grad n peste C.

Definitie:

Matricea A\in M_{n}(C) se numeste matrice ortogonala daca A^{t}\cdot A=I_{n}, iar multimea matricelor ortogonale se noteaza O_{n}(C).

Grupul permutarilor

Inca din clasa a X a la capitolul „Combinatorica” s-a definit notiunea de permutare. Stim ca permutarea unei multimi M=\left\{1, 2, 3, ...., n\right\} este multimea ordonata cu cate n elemente ce se poate alcatui cu elementele multimii M. Numarul elementelor multimii este n! si se citeste n factorial.

Exemplu:

Permutarile multimii {1, 2, 3} sunt: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3),(2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1), asadar fiecarei permutari putem face sa ii corespunda o functie bijectiva, adica functia care asociaza numarului k\in \left\{1, 2, 3\right\}, elementul aflat in permuatare pe locul k.

Asadar celor sase permutari le corespund cele 6 functii bijective definite pe {1,2 ,3} cu valori in {1, 2, 3} si avem corespondentele:

(1, 2, 3)\rightarrow {1, 2, 3}; (1, 2, 3)\rightarrow (1, 3, 2); (1, 2, 3)\rightarrow (2, 1, 3); (1, 2, 3)\rightarrow (2, 3, 1); (1, 2, 3)\rightarrow (3, 1, 2); (1, 2, 3)\rightarrow (3, 2, 1)

Definitie!

Fie n\in N^{*},  se numeste permutare a multimii M=\left\{1, 2, 3,...., n\right\} orice functie bijectiva definita pe M cu valori in M.

S_{n}=\left\{1, 2, 3,...,n\right\}, multimea permutarilor de gradul n.

Stim ca S_{n}=n! elemente.

Observatie!!!  Permutarile de obicei se noteaza cu ajutorul alfabetului grecesc.

Daca compunem doua functii bijective obtinem tot o functie bijectiva, asadar compunerea permutarilor este lege de compozitie.

Exemplu:

S_{2}=2!=2, adica avem doua permutari

(1, 2)\rightarrow (1,2), dar si (1, 2)\rightarrow (2, 1).

Compunerea permutarilor

Oricare doua permutari din multimea S_{n} se pot compune dupa procedeul de compunere a functiilor.

Astfel stim ca daca compunem doua functii bijective obtinem tot o functie bijectiva, asadar compunerea permutarilor este lege de compozitie.

Pentru simplitate se obisnuieste ca la compunerea permutarilor sa nu se mai foloseasca semnul, adica \alpha\circ \beta=\alpha\beta

Exemplu:

\alpha=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}

Si \beta=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}

Atunci \alpha\beta=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \alpha(\beta(1)) & \alpha(\beta(2))  &\alpha(\beta(3))  \end{pmatrix}

Asadar obtinem \alpha\beta=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \alpha(3) & \alpha(2)  &\alpha(1)  \end{pmatrix}

Adica \alpha\beta=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1  & 2  \end{pmatrix}

Stim din clasa a IX a, compunerea functiilor este asociativa, dar nu este comutativa, si astfel avem: \beta\alpha=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \beta(\alpha(1)) & \beta(\alpha(2))  &\beta(\alpha(3))  \end{pmatrix}

Asadar obtinem \beta\alpha=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \beta(2) & \beta(1)  &\beta(3)  \end{pmatrix}

Adica \beta\alpha=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3  & 1  \end{pmatrix}

Asadar compunerea permutarilor nu este comutativa.

In multimea permutarilor de grad n, un rol important il joaca e=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & .....& n \\ 1 & 2  & 2 & .....& n \end{pmatrix}, numit permutarea identica.

Teorema. Fie  n\in N^{*} si S_{n} multimea permutarilor de grad n, atunci (S_{n}, \circ) este un grup numit grupul permutarilor de grad n. Daca n\geq 3, atunci (S_{n}, \circ) este un grup necomutativ.

Grupul Z_{n}

Fie n\in N^{*}, stim ca Z_{n}=\left\{\widehat{0},\widehat{1},\widehat{2}, ....,\widehat{n-1}\right\} numita multimea claselor de resturi modulo n. Pe multimea Z_{n} s-au definit operatiile de adunare si inmultire a claselor de resturi modulo n.

Astfel (Z_{n}, +) este grup abelian numit grupul aditiv al claselor de resturi modulo n, iar (Z_{n},\cdot) este monoid comutativ.

Si U(Z_{n})=\left\{\widehat{k}|(n, k)=1\right\}– numita multimea elementelor inversabile din Z_{n}, adica numerele n si k sunt prime intre ele (cel mai mare divizor comun este 1).

Astfel obtinem ca (U(Z_{n}), \cdot ) este grup comutativ, numit grupul multiplicativ al claselor de resturi modulo n.

Variante BAC M1

Propunem spre rezolvare un exercitiu de analaiza matematica in care calculam primitiva unei functii, limita unei primitive, dar si o integrala mai complicata, astfel:

Fie functia f:R\rightarrow R f\left(x\right)=\frac{\sin x}{1+cos^{2}x}

a) Calculati \int f\left(x\right) dx

b) Fie F:R\rightarrow R, o primitiva a functiei f, calcuati \lim_{x\to 0}{\frac{F(x)-F(0)}{x^{2}}}

c) Calcuati \int_{0}^{2\pi} x\cdot f(x)dx

Solutie:

a) Variante BAC M1 ! Integrala devine \int f\left(x\right) dx=\int\frac{\sin x}{1+cos^{2}x}dx

Ca sa rezolvam integrala folosim Metoda schimbarii de variabile. Cei care nu va mai reamintiti click aici. Astfel notam \cos x=t

Iar pentru a afla dx, derivam  egalitatea de mai sus in functie de dx dar si in functie de dt \left(\cos x\right)^{'} dx=t^{'} dt\Rightarrow -\sin x dx=dt\Rightarrow \sin x dx=-dt

Astfel integrala devine \int \frac{-dt}{1+t^{2}}=-\frac{1}{1}\arctan\frac{t}{1}=-\arctan\frac{\cos x}{1}+C=-\arctan(\cos x)+C

Mai sus am folosit formula de la integralele uzuale \int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C

b) Variante BAC M1 ! Stiind ca F este o primitiva a functie f , observam ca cu informatiile de la punctul a)  stim ca F(x)=-\arctan(\cos x)+C si limita devine:

\lim\limits_{x\to 0}{\frac{F{x}-F(0)}{x^{2}}}=

Dar mai intai calculam F(0)=-\arctan(cos 0)=-\arctan 1=0

Astfel limita devine \lim\limits_{x\to 0}{\frac{-\arctan{\cos x}-0}{x^{2}}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{-\arctan{\cos x}}{x^{2}}}=\frac{0}{0}

Observati ca suntem in cazul de nedeterminare 0/0, astfel cu regula lui L’ Hospital avem ca \lim\limits_{x\to 0}{\frac{\left(-arctan(\cos x)\right)^{'}}{\left(x^{2}\right)^{'}}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{f(x)}{2x}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{f^{'}(x)}{2}}=

Mai mai intai calculam f^{'}(x)^=\frac{\cos x\left(1+\cos^{2}x\right)-\sin x\left(-2\cos x\cdot\sin x\right)}{\left(1+\cos^{2} x\right)^{2}}=\frac{cos x+cos^{3} x+2\cos x\sin^{2} x}{\left(1+\cos^{2}x\right)}

Pentru x=0 derivata devine f^{'}(0)=\frac{1+1+0}{\left(1+1\right)^{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}

Adica limita devine: \lim\limits_{x\to 0}{\frac{\frac{1}{2}}{2}}=\frac{1}{4}

c) Variante BAC M1 ! Integrala devine \int^{2\pi}_{0}x\cdot f(x)dx=\int^{2\pi}_{0}x\cdot\frac{\sin x}{1+\cos^{2}x} dx=\int^{2\pi}_{0}=\frac{x\sin x}{1+\cos^{2}x}dx=

Pentru a rezolva integrala facem schimbarea de variabila

t=2\pi-x\Rightarrow -x=t-2\pi\Rightarrow x=2\pi-t

Si obtinem (t)^{'}dt=(2\pi-x)^{'}dx\Rightarrow dt=-dx

Iar capetele intervalului devin x=0\Rightarrow t=2\pi-0=2\pi

Iar pentru x=2\pi\Rightarrow t=2\pi-2\pi=0

Astfel integrala devine \int^{0}_{2\pi}\left(2\pi-t\right)f\left(2\pi-t\right)\left(-dt\right)=\int_{0}^{2\pi}\left(2\pi-t\right)f\left(2\pi-t\right)dt=2\pi\int^{2\pi}_{0}f\left(2\pi-t\right)dt-\int^{2\pi}_{0}t\cdot f\left(2\pi-t\right) dt

Dar stim ca f\left(2\pi-t\right)=\frac{\sin(2\pi-t)}{1+\cos^{2}(2\pi-t)}

Dar stim ca \sin(2\pi -t)=\sin 2\pi\cdot\cos t-\cos 2\pi\sin t=-(-1)\cdot \sin t=-\sin t dar si \cos(2\pi -t)=\cos 2\pi \cos t+\sin 2\pi\sin t=\cos t astfel f(2\pi-t)=\frac{-\sin t}{1+\cos^{2}t}

Si integrala devine 2\pi\int^{2\pi}_{0}\frac{-\sin t}{1+\cos^{2}t}(-dt)-\int^{2\pi}_{0}\frac{t\cdot (-\sin t)}{1+\cos^{2}t} (-dt)

 

Astfel integrala devine: \int_{0}^{2\pi}x\cdot f(x)dx=2\pi\int^{2\pi}_{0}\frac{\sin t}{1+\cos^{2}t}dt-\int^{2\pi}_{0}\frac{t\cdot \sin t}{1+\cos^{2}t} dt
\Rightarrow \int^{2\pi}_{0}x\cdot f(x)dx=\frac{1}{2}\cdot 2\pi\int^{2\pi}_{0}\frac{\sin t}{1+\cos^{2} t}dt=-\pi\arctan(cos t)|^{2\pi}_{0}=

-\pi\left(arctan(cos 2\pi)-arctan(cos 0)\right)=-\pi\left(arctan 1-arctan 1\right)=0

 

Cum sa recapitulam mai usor pentru Simulare Bacalaureat

Vreti sa aflati cum sa recapitulam mai usor pentru Simulare Bacalauret?

Raspunsul ar fi ca ar trebui sa incepem prin a ne reaminti temele pe care le avem pentru aceste examen, iar noi propunem sa incepem cu clasa a IX a. Asadar primul capitol ari fi progresiile, atat aritmetice cat si geometrice. Pentru cei care nu va mai reamintiti ce inseamna click aici.

Iar acum rezolvam cateva exercitii care s-au dat la examenele de Bacalaureat.

1. Intr-o progresie aritmetica \left(a_{n}\right){n\geq 1} avem a_{2}=7 si a_{10}=15. Calculati a_{2015}

Solutie: Cu formula teremnului general stim ca:

a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r

Adica a_{2}=a_{1}+\left(2-1\right)\cdot r\Rightarrow 7=a_{1}+1\cdot r\Rightarrow a_{1}+r=7

Dar si a_{10}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 15=a_{1}+\left(10-1\right)\cdot r\Rightarrow a_{1}+9\cdot r=15

Astfel am obtinut inca o relatie, din cele doua relatii obtinem: a_{1}+r=7\Rightarrow a_{1}=7-r

Iar daca inlocuim in cea de-a doua relatie obtinem: a_{1}+9r=15\Rightarrow 7-r+9r=15\Rightarrow 8r=15-7\Rightarrow 8r=8\Rightarrow r=1

Astfel obtinem a_{1}=7-r\Rightarrow a_{1}=7-1\Rightarrow a_{1}=6

Astfel obtinem a_{2015}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r=6+\left(2015-1\right)\cdot 1=6+2014\cdot 1=6+2014=2020

2. Calculati suma 1+4+7+10+13+...+28+31

Observam ca termenii sumei sunt 1, 4, 7, 10, 13…,28,31

Adica teremenii consecutivi ai unei progresii aritemtice in care a_{1}=1, a_{2}=4,...,a_{n}=31

Astfel putem calcula r=a_{n+1}-a_{n}, adica r=a_{2}-a_{1}=4-1=3

Astfel am obtinut ratia r=3

Iar pentru a afla suma de mai sus calculam

S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right)\cdot n}{2}

Dar mai intai trebuie sa aflam cati termeni are suma si folosim formula termenului general: a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 31=1+\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow 31-1=\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow \left(n-1\right)\cdot 3=30\Rightarrow n-1=30:3\Rightarrow n-1=10\Rightarrow n=10+1\Rightarrow n=11

Deci suma de mai sus are 11 termeni si cu formula de mai sus obtinem: S_{11}=\frac{\left(1+31\right)\cdot 11}{2}=\frac{32\cdot 11}{2}=16\cdot 11=176

3. Determinati numarul  real x, pentru care numerele 2, x+2 si 10 sunt teremenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Solutie: Stim ca un sir de numere a_{1}, a_{2}, a_{3} sunt in progresie aritmetica, daca

a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}( adica trei termeni sunt in progresie aritmetica, daca teremnul din mijloc este media aritmetica a celorlalte doua)

x+2=\frac{2+10}{2}\Rightarrow x+2=\frac{12}{2}\Rightarrow x+2=6\Rightarrow x=6-2\Rightarrow x=4

4. Fie \left(a_{n}\right)_{n\geq 1} o progresie aritmetica de ratie r=2 in care a_{3}+a_{4}=8. Determinati a_{1}.

Solutie: Cu formula termenului general obtinem:

a_{3}=a_{1}+\left(3-1\right)\cdot r\Rightarrow a_{3}=a_{1}+2\cdot 2\Rightarrow a_{3}=a_{1}+4

Iar a_{4}=a_{1}+\left(4-1\right)\cdot r\Rightarrow a_{4}=a_{1}+3\cdot 2\Rightarrow a_{4}=a_{1}+6

Astfel daca inlocuim in relatia de mai sus obtinem: a_{3}+a_{4}=8\Rightarrow a_{1}+4+a_{1}+6=8\Rightarrow 2a_{1}+10=8\Rightarrow 2\cdot a_{1}=8-10\Rightarrow 2\cdot a_{1}=-2\Rightarrow a_{1}=-2:2\Rightarrow a_{1}=-1

Polinoame ireductibile

Introducem notiunea de polinom ireductibil peste un corp comutativ K.

Din scoala gimnaziala vi s-a introdus notiunea de ireductibil, adica fractie ireductibila ( fractia nu se mai poate simplifica), asemenea putem intelege si ca un polinom se numeste ireductibil daca nu se poate scrie ca produs de doua  sau mai multe polinoame.

Dar aratam in continuare ca polinomele ireductibile au in aritmetica inelului  K[X], rolul pe care il au numerele prime in aritmetica lui Z.

Definitie: Fie K un corp comutativ si f\in K[X], grad f=n>0. Spunem ca polinomul f este ireeductibil peste K, daca nu exista g, h\in K[X], astfel incat: f=g\cdot h, cu grad g<n si grad h<n

In caz contrar spunem ca polinomul  f este ireductibil.

Proprietati:

1. Orice polinom f\in K[X] de grad 1 este ireductibil peste K.

Exemple de polinoame ireductibile :

2X-3\in Q[X] este ireductibil peste Q

X+\sqrt{2}\in R[X] este ireductibil peste R.

3X+2\in Z_{5}[X] este ireductibil peste Z_{5}

2. Daca un polinom f\in K[X], grad\;\; f=n>1este ireductibil peste K, atunci f\left(a\right)=\neq 0, oricare ar fi a\in K, adica polinomul f nu are radacini in K.

Dar si reciproca :

Daca grad\;\; f=n este egal cu 2 sau 3 si f\left(a\right)\neq 0, \forall a\in K, atunci f este ireductibi peste K.

Exemple:

a) Polinomul X^{2}-2\in Q[X] este ireductibil peste Q

Intr-adevar, dar ar fi reductibil peste Q, ar insemna ca exista r\in Q, astfel incat r^{2}-2=0, de unde obtinem r^{2}=2\Rightarrow r=\pm\sqrt{2} si obtinem \sqrt{2}\in Q, contradictie.

Dar polinomul X^{2}-2\in R[X] este ireductibil peste R, pentru ca X^{2}-2=0\Rightarrow X^{2}=2\Rightarrow X=\pm \sqrt{2}

Adica polinomul putem sa-l scriem X^{2}-2=\left(X-\sqrt{2}\right)\cdot\left(X+\sqrt{2}\right), cu X-\sqrt{2}\in R[X] si X+\sqrt{2}\in R[X].

Important e sa stim multimile de numere.

In contiuare vom determina polinoamele ireductibile peste corpul C al numerelor complexe, si peste corpul R al numerelor reale, astfel vom folosi Teorema fundamentala a algebrei.

Teorema:

Oricare ar fi f\in C[X], grad\;\; f>0, exista z\in C, astfel incat f\left(z\right)=0, astfel spus orice polinom de grad mai mare sau egal decat 1, avand coeficienti complecsi admite cel putin o radacina complexa.

Observatie. Singurele polinoame ireductibile peste C sunt polinoamele de gradul I din C[X].

Teorema. Daca z este o radacina complexa a polinomului f\in R[X], atunci si \overline{z} este o radacina a lui f.

Observatie: Singurele polinoame ireductibile peste corpul R, al numerelor reale sunt:

– polinoamele de gradul  intai:aX+b, a,b\in R, a\neq 0

– polinoamele de gradul al doilea: aX^{2}+bX+c, cu a\b, c\in R, a\neq 0, b^{2}-4\cdot a\cdot c<0(adica cele care nu au radacini reale).

Aplicatii:

1. Fie polinoamele:

f, g\in R[X], f=\left(X^{2}+X+1\right)^{9}, g=X^{2}+1

a) Aratati ca g|f

b) Stabiliti daca polinomul g este ireductibil peste R.

c)  Stabiliti daca polinomul g este ireductibil peste C.

d) Stabiliti daca polinomul f este ireductibil peste R.

e)  Stabiliti daca polinomul f este ireductibil peste C.

Solutie:

a) Stim ca g\left(X\right)=0\Rightarrow X^{2}+1=0\Rightarrow X^{2}=-1\Rightarrow X^{2}=i^{2}\Rightarrow X=\pm\sqrt{i^{2}}\Rightarrow X=\pm i

Astfel polinomul g\left(X\right)=\left(X-i\right)\cdot\left(X+i\right).

Astfel polinomul g|f, daca si numai daca:

f\left(i\right)=0\Rightarrow \left(i^{2}+i+1\right)^{0}=0

f\left(-i\right)=0\Rightarrow\left[\left(-i\right)^{2}+\left(-i\right)+1\right]^{9}=0

b) g=X^{2}+1

Daca calculam \Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot c=0^{2}-4\cdot 1\cdot 1=-4<0

Cum \Delta<0, polinomul este ireductibil in R[X].

c) g=X^{2}+1=\left(X+i\right)\cdot\left(X-i\right), deci polinomul g este reductibil peste C.

d) f=\left(X^{2}+X+1\right)^{9}

Astfel, ecuatia x^{2}+x+1=0

Calculam \Delta =1^{2}-4\cdot 1\cdot 1=-3, deci polinomul este ireductibil peste R.

e) Acum sa vedem daca este sau nu ireductibil peste C

Stim ca \Delta=-3 deci obtinem x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-1+\sqrt{3i^{2}}}{2\cdot 1}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}

Si x_{2}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}

Deci polinomul f=\left[\left(X-\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)\cdot\left(X-\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right)\right]^{9}=\left[\left(X-\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\right)\cdot\left(X+\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)\right]^{9}, deci este reductibil peste C.

Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de polinom ireductibil peste anumite corpuri.

 

Ecuatia unei drepte care trece prin doua puncte distincte

Prezentam noi probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor, dar si cum calculam ecuatia unei drepte care trece prin doua puncte distincte, cat si exercitii simple pentru clasa a IV a. Pe deasupra mai prezentam si exercitii rezolvate cu progresii aritmetice, adica aflarea primilor n termeni ai unei progresii aritmetice.

Prima problema.

Mihai si fratele lui au impreuna 21 de ani. Varsta lui Mihai reprezina patru supra trei din varsta fratelui sau. Cati ani au fiecare?

Solutie:

Notam cu x varsta lui Mihai si y varsta fratelui sau

Astfel obtinem ecuatia:

x+y=21 (Mihai si fratele lui au 21 de ani)

x=\frac{4}{3}\cdot y

Astfel daca inlocuim cea de-a doua ecuatie in prima obtinem:

\frac{4}{3}\cdot y+y=21|\cdot 3\Rightarrow 4y+3y=21\cdot 3\Rightarrow 7y=63\Rightarrow y=63:7\Rightarrow y=9

Deci am obtinut ca fratele sau are varsta de 9 ani

Iar Mihai x=\frac{4}{3}\cdot y=\frac{4}{3}\cdot 9=\frac{4\cdot 9}{3}=\frac{36}{3}=36:3=12

Deci Mihai are 12 ani.

2. Calculati 1320:40+5x(15+17+2×4)-(200+480:160)=

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus trebuie sa tinem cont de ordinea efectuarii operatiilor si folosirea parantezelor, astfel mai intai in parantezele rotunde efectuam operatiile de inmultire si impartire 1320:40+5\cdot\left(15+17+8\right)-\left(200+3\right)=

33+5\cdot 40-203=33+200-203=233-203=30

3. Sa se determine ecuatia dreptei care contine pct. A(2,3) si B(-3,-2)

Ca sa determinam ecuatia dreptei care trece prin punctele A si B, mai intai ne reamintim formula invatata in clasa a X a, adica ecuatia carteziana a dreptei care trece prin doua puncte distincte A\left(x_{A}, y_{A}\right) si B\left(x_{B}, y_{B}\right) este

\frac{x-x_{A}}{x_{B}-x{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}

Iar in cazul nostru obtinem \frac{x-2}{-3-2}=\frac{y-3}{-2-3}\Rightarrow \frac{x-2}{-5}=\frac{y-3}{-5}\Rightarrow x-2=y-3\Rightarrow x-2-y+3=0\Rightarrow x-y+1=0

4. Determinati nr. natural de trei cifre scrise in baza zece care impartite la 38 dau restul 7

Solutie:

Consideram numarul natural de trei cifre scrise in baza zece

abc

Stim ca numerele impartite la 38 dau restul 7.

Astfel cu teorema impartirii cu rest obtinem:

abc:38, obtinem c=catul si r=7

Astfel avem abc=38\cdot c+7, dar tebuie sa tinem cont si de conditia r<I, aica restul mai mic ca impartitorul.

Pentru c=1, obtinem numarul abc=38\cdot 1+7=38+7=45, dar numarul gasit este de trei cifre, iar numerele pe care noi le cautam sunt de trei cifre, astfel numerele noastre sunt cuprinse intre 100<abc<999

Pentru c=3, obtinem numarul:

abc=38\cdot 3+7=114+7=121

Pentru c=4 si obtinem abc=38\cdot 4+7=152+7=159

Pentruc=5 si obtinem abc=38\cdot 5+7=190+7=197

………………………

Pentru c=26, obtinem abc=38\cdot 26+7=988+7=995

5. Rezolvati ecuatia

5x+3x(2-4)=8

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus efectuam calculele din paranteza rotunda: 5x+3x\cdot\left(-2\right)=8\Rightarrow 5x-6x=8\Rightarrow -x=8\Rightarrow x=-8

6. Calculati suma

S = 8+11+14+…+44

Ca sa calculam suma de mai sus, observam mai intai ca sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice, astfel mai intai aflam ratia progresiei aritmetice:

8, 11, 14,…, 44

astfel ratia este r=11-8=3

Acum sa aflam cati termeni are suma pentru a o putea calcula, iar pentru asta folosim formula termenului general de la progresiile aritmetice si obtinem:

a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 44=8+\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow 44-8=\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow 36=\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow 36:3=n-1\Rightarrow 12=n-1\Rightarrow n=12+1\Rightarrow n=13

Deci avem 13 termeni ai sumei si stim ca a_{1}=8, fiind primul termen a_{n}=44 fiind ultimul termen, iar suma termenilor se calculeaza cu formula

S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right)\cdot n}{2} (suma primilor n termeni)

In cazul nostru S_{13}=\frac{\left(8+44\right)\cdot 13}{2}=\frac{52\cdot 13}{2}=\frac{26\cdot 13}{1}=338

Deci obtinem ca 8+11+14+...+44=338

Exercitii rezolvate cu grupuri

Un exercitu rezolvat de urgenta pentru un prieten Mate Pedia

Exercitiul de rezolvat:

1. Pe R se definesc legile de compozitie „x” si „o” astfel:

x*y=x+y-6

xoy=xy-6x-6y+42

a.) Rezolvati ecuatia xox=36*1

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus mai intai calculam

x\circ x=x\cdot x-6x-6x+42\Rightarrow x\circ x=x^{2}-12x+42

Observati ca pentru a calcula x\circ x am folosit prima lege de compozitie, iar x a luat valoarea lui  x, iar cel de-al doilea x a luat valoarea lui y

Dar calculam si 36*1=36+1-6\Rightarrow 37-6=31

Mai sus am folosit cea de-a doua lege de compozitie, unde x ia valoarea lui 36 si 1 valoarea lui y

Acum ecuatia devine: x\circ x=36*1\Rightarrow x^{2}-12x+42=31\Rightarrow x^{2}-12x+42-31=0\Rightarrow x^{2}-12x+11=0

Observam ca am obtinut o ecuatie de gradul al doilea si calculam

\Delta=\left(-12\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 11=144-44=100

Si obtinem x_{1}=\frac{-\left(-12\right)+\sqrt{100}}{2}=\frac{12+10}{2}=\frac{22}{2}=11

Dar si x_{2}=\frac{-\left(-12\right)-\sqrt{100}}{2}=\frac{12-10}{2}=\frac{2}{2}=1

b.) Aratati ca legea de compozitie „*” este comutativa

Ca sa aratam ca legea de compozitie este comutativa calculam

x*y=y*x, \forall x, y\in R

Adica: x*y=x+y-6

x*y=y*x\Rightarrow x+y-6=y+x-6

Stim ca adunarea numerelor reale este comutativa si astfel obtinem ca legea de compozitie de mai sus este comutativa.

c.) Determinati elementul neutru al legii de compozitie „*”

Stim ca e\in R si trebuie sa calculam x*e=e*x=x

Cum legea de compozitie este comutativa este suficient sa calculam doar x*e=x\Rightarrow x+e-6=x\Rightarrow e-6=x-x\Rightarrow e-6=0\Rightarrow e=6

La fel obtinem si pentru e*x=x\Rightarrow e+x-6=x\Rightarrow e-6=x-x\Rightarrow e-6=0\Rightarrow e=6

Deci obtinem ca elementul neutru al legii de compozitie este 6.

d.) Gasiti simetricul lui 2014 in raport cu legea de compozitie „*”

Ca sa gasim simetricul lui 2014, notam simetricul sau cu x si calculam:

x*2004=e unde e este elementul neutru al legii de compozitie.

Si obtinem: x=-2002

Si astfel am obtinut ca simetricul lui 2014 este -2002

si dupa cum am spus si mai sus este suficient sa calculam:

e.) Demonstrati ca xo(y*z)=(xoy)*(xoz) oricare ar fi x,y,z apartin lui R.

Solutie:

Acum trebuie sa demonstram distributivitatea celei de-a doua legi in functie de prima. Astfel calculam mai intai x\circ\left(y*z\right)=x\circ\left(y+z-6\right)\Rightarrow x\left(y+z-6\right)-6x-6\left(y+z-6\right)+42=xy+xz-6x-6x-6y-6z+36+42=xy+xz-12x-6y-6z+78 (1)

Observati ca mai sus am folosit ambele legi.

Iar acum calculam: x\circ y=xy-6x-6y+42

Dar si x\circ z=xz-6x-6z+42

Si acum: \left(x\circ y\right)*\left(x\circ z\right)=\left(xy-6x-6y+42\right)*\left(xz-6x-6z+42\right)=    xy-6x-6y+42+xz-6x-6z+42-6=xy+xz-12x-6y-6z+84-6=xy+xz+12x-6y-6z+78(2)

Din (1) si (2) observam ca cele doua relatii se verifica.