Cum sa recapitulam mai usor pentru Simulare Bacalaureat

Vreti sa aflati cum sa recapitulam mai usor pentru Simulare Bacalauret?

Raspunsul ar fi ca ar trebui sa incepem prin a ne reaminti temele pe care le avem pentru aceste examen, iar noi propunem sa incepem cu clasa a IX a. Asadar primul capitol ari fi progresiile, atat aritmetice cat si geometrice. Pentru cei care nu va mai reamintiti ce inseamna click aici.

Iar acum rezolvam cateva exercitii care s-au dat la examenele de Bacalaureat.

1. Intr-o progresie aritmetica \left(a_{n}\right){n\geq 1} avem a_{2}=7 si a_{10}=15. Calculati a_{2015}

Solutie: Cu formula teremnului general stim ca:

a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r

Adica a_{2}=a_{1}+\left(2-1\right)\cdot r\Rightarrow 7=a_{1}+1\cdot r\Rightarrow a_{1}+r=7

Dar si a_{10}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 15=a_{1}+\left(10-1\right)\cdot r\Rightarrow a_{1}+9\cdot r=15

Astfel am obtinut inca o relatie, din cele doua relatii obtinem: a_{1}+r=7\Rightarrow a_{1}=7-r

Iar daca inlocuim in cea de-a doua relatie obtinem: a_{1}+9r=15\Rightarrow 7-r+9r=15\Rightarrow 8r=15-7\Rightarrow 8r=8\Rightarrow r=1

Astfel obtinem a_{1}=7-r\Rightarrow a_{1}=7-1\Rightarrow a_{1}=6

Astfel obtinem a_{2015}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r=6+\left(2015-1\right)\cdot 1=6+2014\cdot 1=6+2014=2020

2. Calculati suma 1+4+7+10+13+...+28+31

Observam ca termenii sumei sunt 1, 4, 7, 10, 13…,28,31

Adica teremenii consecutivi ai unei progresii aritemtice in care a_{1}=1, a_{2}=4,...,a_{n}=31

Astfel putem calcula r=a_{n+1}-a_{n}, adica r=a_{2}-a_{1}=4-1=3

Astfel am obtinut ratia r=3

Iar pentru a afla suma de mai sus calculam

S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right)\cdot n}{2}

Dar mai intai trebuie sa aflam cati termeni are suma si folosim formula termenului general: a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 31=1+\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow 31-1=\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow \left(n-1\right)\cdot 3=30\Rightarrow n-1=30:3\Rightarrow n-1=10\Rightarrow n=10+1\Rightarrow n=11

Deci suma de mai sus are 11 termeni si cu formula de mai sus obtinem: S_{11}=\frac{\left(1+31\right)\cdot 11}{2}=\frac{32\cdot 11}{2}=16\cdot 11=176

3. Determinati numarul  real x, pentru care numerele 2, x+2 si 10 sunt teremenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Solutie: Stim ca un sir de numere a_{1}, a_{2}, a_{3} sunt in progresie aritmetica, daca

a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}( adica trei termeni sunt in progresie aritmetica, daca teremnul din mijloc este media aritmetica a celorlalte doua)

x+2=\frac{2+10}{2}\Rightarrow x+2=\frac{12}{2}\Rightarrow x+2=6\Rightarrow x=6-2\Rightarrow x=4

4. Fie \left(a_{n}\right)_{n\geq 1} o progresie aritmetica de ratie r=2 in care a_{3}+a_{4}=8. Determinati a_{1}.

Solutie: Cu formula termenului general obtinem:

a_{3}=a_{1}+\left(3-1\right)\cdot r\Rightarrow a_{3}=a_{1}+2\cdot 2\Rightarrow a_{3}=a_{1}+4

Iar a_{4}=a_{1}+\left(4-1\right)\cdot r\Rightarrow a_{4}=a_{1}+3\cdot 2\Rightarrow a_{4}=a_{1}+6

Astfel daca inlocuim in relatia de mai sus obtinem: a_{3}+a_{4}=8\Rightarrow a_{1}+4+a_{1}+6=8\Rightarrow 2a_{1}+10=8\Rightarrow 2\cdot a_{1}=8-10\Rightarrow 2\cdot a_{1}=-2\Rightarrow a_{1}=-2:2\Rightarrow a_{1}=-1

Ecuatia unei drepte care trece prin doua puncte distincte

Prezentam noi probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor, dar si cum calculam ecuatia unei drepte care trece prin doua puncte distincte, cat si exercitii simple pentru clasa a IV a. Pe deasupra mai prezentam si exercitii rezolvate cu progresii aritmetice, adica aflarea primilor n termeni ai unei progresii aritmetice.

Prima problema.

Mihai si fratele lui au impreuna 21 de ani. Varsta lui Mihai reprezina patru supra trei din varsta fratelui sau. Cati ani au fiecare?

Solutie:

Notam cu x varsta lui Mihai si y varsta fratelui sau

Astfel obtinem ecuatia:

x+y=21 (Mihai si fratele lui au 21 de ani)

x=\frac{4}{3}\cdot y

Astfel daca inlocuim cea de-a doua ecuatie in prima obtinem:

\frac{4}{3}\cdot y+y=21|\cdot 3\Rightarrow 4y+3y=21\cdot 3\Rightarrow 7y=63\Rightarrow y=63:7\Rightarrow y=9

Deci am obtinut ca fratele sau are varsta de 9 ani

Iar Mihai x=\frac{4}{3}\cdot y=\frac{4}{3}\cdot 9=\frac{4\cdot 9}{3}=\frac{36}{3}=36:3=12

Deci Mihai are 12 ani.

2. Calculati 1320:40+5x(15+17+2×4)-(200+480:160)=

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus trebuie sa tinem cont de ordinea efectuarii operatiilor si folosirea parantezelor, astfel mai intai in parantezele rotunde efectuam operatiile de inmultire si impartire 1320:40+5\cdot\left(15+17+8\right)-\left(200+3\right)=

33+5\cdot 40-203=33+200-203=233-203=30

3. Sa se determine ecuatia dreptei care contine pct. A(2,3) si B(-3,-2)

Ca sa determinam ecuatia dreptei care trece prin punctele A si B, mai intai ne reamintim formula invatata in clasa a X a, adica ecuatia carteziana a dreptei care trece prin doua puncte distincte A\left(x_{A}, y_{A}\right) si B\left(x_{B}, y_{B}\right) este

\frac{x-x_{A}}{x_{B}-x{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}

Iar in cazul nostru obtinem \frac{x-2}{-3-2}=\frac{y-3}{-2-3}\Rightarrow \frac{x-2}{-5}=\frac{y-3}{-5}\Rightarrow x-2=y-3\Rightarrow x-2-y+3=0\Rightarrow x-y+1=0

4. Determinati nr. natural de trei cifre scrise in baza zece care impartite la 38 dau restul 7

Solutie:

Consideram numarul natural de trei cifre scrise in baza zece

abc

Stim ca numerele impartite la 38 dau restul 7.

Astfel cu teorema impartirii cu rest obtinem:

abc:38, obtinem c=catul si r=7

Astfel avem abc=38\cdot c+7, dar tebuie sa tinem cont si de conditia r<I, aica restul mai mic ca impartitorul.

Pentru c=1, obtinem numarul abc=38\cdot 1+7=38+7=45, dar numarul gasit este de trei cifre, iar numerele pe care noi le cautam sunt de trei cifre, astfel numerele noastre sunt cuprinse intre 100<abc<999

Pentru c=3, obtinem numarul:

abc=38\cdot 3+7=114+7=121

Pentru c=4 si obtinem abc=38\cdot 4+7=152+7=159

Pentruc=5 si obtinem abc=38\cdot 5+7=190+7=197

………………………

Pentru c=26, obtinem abc=38\cdot 26+7=988+7=995

5. Rezolvati ecuatia

5x+3x(2-4)=8

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus efectuam calculele din paranteza rotunda: 5x+3x\cdot\left(-2\right)=8\Rightarrow 5x-6x=8\Rightarrow -x=8\Rightarrow x=-8

6. Calculati suma

S = 8+11+14+…+44

Ca sa calculam suma de mai sus, observam mai intai ca sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice, astfel mai intai aflam ratia progresiei aritmetice:

8, 11, 14,…, 44

astfel ratia este r=11-8=3

Acum sa aflam cati termeni are suma pentru a o putea calcula, iar pentru asta folosim formula termenului general de la progresiile aritmetice si obtinem:

a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 44=8+\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow 44-8=\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow 36=\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow 36:3=n-1\Rightarrow 12=n-1\Rightarrow n=12+1\Rightarrow n=13

Deci avem 13 termeni ai sumei si stim ca a_{1}=8, fiind primul termen a_{n}=44 fiind ultimul termen, iar suma termenilor se calculeaza cu formula

S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right)\cdot n}{2} (suma primilor n termeni)

In cazul nostru S_{13}=\frac{\left(8+44\right)\cdot 13}{2}=\frac{52\cdot 13}{2}=\frac{26\cdot 13}{1}=338

Deci obtinem ca 8+11+14+...+44=338

Probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor

Sa mai rezolvam niste probleme pentru dragii nostrii vizitatori.

1. David are un numar de jucarii. Triplul jumatatii acestui numar micsorat cu jumatatea jumatatii numarului respectiv devine 20. Cate jucarii are David?

Rezolvarea problemei:

Notam numarul jucariilor cu x
Si formam ecuatia: 3\cdot x\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot x=20
Asadar avem ecuatia: \frac{3x}{2}-\frac{x}{4}=20|\cdot 4\Rightarrow \frac{3x}{2}\cdot 4-\frac{x}{4}\cdot 4=20\cdot 4\Rightarrow 3x\cdot 2-x=80\Rightarrow 6x-x=80\Rightarrow 5x=80\Rightarrow x=80:5\Rightarrow x=16
Deci numarul jucariilor lui David este 16.

Acum efectuam proba: \frac{3x}{2}=\frac{3\cdot 16}{2}=\frac{48}{2}=48:2=24 triplul jumatatii acestui numar
Micsorat cu jumatatea jumatatii numarului respectiv 24-\frac{1}{4}\cdot 16=24-\frac{16}{4}=24-16:4=24-4=20 devine 20, ceea ce se verifica.

2. S = 8+11+14+…+44
Observam ca termenii sumei se afla in progresie aritmetica.
Ca sa calculam suma de mai sus folosim progresiile aritmetice:
Astfel avem ca: a_{1}=8, a_{2}=11.... a_{n}=44
Mai intai aflam ratia, astfel avem : r=a_{2}-a_{1}=11-8=3
Dar cu formula termenului general stim ca a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 44=8+\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow \left(n-1\right)\cdot 3=44-8\Rightarrow \left(n-1\right)\cdot 3=36\Rightarrow n-1=36:3\Rightarrow n-1=12\Rightarrow n=12+1\Rightarrow n=13

Deci stim ca in suma avem 13 termenii, iar in progresie aritmetica suma primilor n termenii este S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right)\cdot n}{2}
Dar noi cum avem 13 termenii, obtinem S_{13}=\frac{\left(a_{1}+a_{13}\right)\cdot 13}{2}=\frac{\left(8+44\right)\cdot 13}{2}=\frac{52\cdot 13}{2}=\frac{676}{2}=338

Asadar suma primilor 13 termenii este 338.
Deci suma S=8+11+14+…+44=338

Aplicatii trigonometrice in geometria plana

O  aplicatie a trigonometriei in geometria plana o reprezinta rezolvarea triunghiurilor.

Astfel fie ABC un triunghi. Numerele a=BC, b=AC, c=AB  si A=m\left(\widehat{BAC}\right), B=m\left(\widehat{ABC}\right), C=m\left(\widehat{ACD}\right), care sunt elementele triunghiului.

Triunghiul ABC este bine determinat daca se cunosc elementele sale.

A rezolva un triunghi inseamna a determina elementele triunghiului cunoscand trei dintre acestea.

Astfel avem mai multe cazuri de congruente:

a) Rezolvarea triunghiului dreptunghic cand se cunosc laturile (cazul de congruenta L.L.L)

In acest caz elementele cunoscute sunt a,b, c si elementele necunoscute sunt A, B, C.

Astfel din teorema cosinusului avem ca:

cum aplicam teorema cosinusuluiBC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A\Rightarrow a^{2}=

c^{2}+b^{2}-2\cdot c\cdot b\cdot\cos A\Rightarrow

a^{2}-c^{2}-b^{2}=-2\cdot c\cdot b\cdot \cos A\Rightarrow

\cos A=\frac{a^{2}-c^{2}-b^{2}}{-2\cdot c\cdot b}\Rightarrow

\cos A=\frac{\left(-a^{2}+c^{2}+b^{2}\right)}{-2\cdot c\cdot b}

\Rightarrow \cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}

La fel obtinem pentru

\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}

Dar si

cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}, relatii care conduc la aflarea unghiurilor triunghiului cand stim laturile.

b) Rezolvarea triunghiului cand se cunosc doua unghiuri si o latura comuna (cazul de congruenta U.L.U)

In acest caz elementele cunoscute sunt, de exemplu: a, B, C si elementele necunoscute sunt b, c, A.

Teorema sinusului

In acest caz ca sa aflam masura unghiului , stim ca

A+B+C=180^{0}

In cazul de mai sus

A=180^{0}-B-C sau A=\pi-B-C, iar din teorema sinusului obtinem ca:

\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}

Astfel obtinem ca

b=\frac{a\cdot \sin B}{\sin A}=\frac{a\sin B}{\sin\left(B+C\right)}

c) Rezolvarea triunghiului cand se cunosc doua laturi si unghiul cuprins intre ele (cazul de congruenta L.U.L)

In acest ca putem sa aplicam Teorema cosinusului pentru a afla cea de-a treia latura si Teorema sinusului pentru a afla unghiurile pe care le cunoastem.

Aplicatii:

1) Fie triunghiul  ABC, calculati lungimea laturii [BC], stiind ca m\left(\widehat{A}\right)=60^{0}, AB=4\;\; cm\;\; AC=6\;\; cm

Demonstratie:

aplicatii cu teorema cosinusului

Observati ca suntem in cazul de congruenta  L.U.L. Astfel daca in triunghiul ABC aplicam Teorema cosinusului obtinem :

BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos\widehat{A}\Rightarrow

BC^{2}=4^{2}+6^{2}-2\cdot 4\cdot 6\cdot \cos 60^{0}

\Rightarrow BC^{2}=16+36-48\cdot\frac{1}{2}

\Rightarrow BC^{2}=52-24=28\Rightarrow BC=\sqrt{28}\Rightarrow BC=2\sqrt{7}

Fie ABC un triunghi dreptunghic in A si CB=26 cm, \sin B=\frac{12}{13}. Aflati Perimetrul triunghiului ABC

Demonstratie

Stim ca triunghiul ABC este dreptunghic in A, deci putem aplica notiunile trigonometrice invatate in clasele la mici, astfel avem ca:

 

cum aplicam functiile trigonometriceastfel avem ca:

\sin B=\frac{12}{13}\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{12}{13}\Rightarrow \frac{AC}{26}=\frac{12}{13}\Rightarrow 13\cdot AC=26\cdot 12\Rightarrow AC=\frac{26\cdot 12}{13}=\frac{2\cdot 12}{1}=24\;\; cm

Acum daca aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic ABC, gasim ca:

AB^{2}=BC^{2}-AC^{2}\Rightarrow AB^{2}=26^{2}-24^{2}\Rightarrow AB^{2}=676-576\Rightarrow AB^{2}=100\Rightarrow AB=\sqrt{100}\Rightarrow AB=10\;\; cm

 

Astfel

P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC=10+24+26=34+26=60

3) Rezolvati triunghiul ABC in cazul:

R=4\;\; cm; A=\frac{2\pi}{3}, C=\frac{\pi}{12}

Observati ca in cazul de sus stim doua unghiuri, iar intr-un triunghi suma masurii unghiurilor este de \pi

Astfel avem ca

A+B+C=\pi\Rightarrow \frac{2\pi}{3}+B+\frac{\pi}{12}=\pi\Rightarrow B=\pi-\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{12}\Rightarrow B=\frac{12\cdot \pi-4\cdot 2\pi-1\cdot \pi}{12}\Rightarrow B=\frac{12\pi-8\pi-\pi}{12}=\frac{3\pi}{12}^{(3}=\frac{\pi}{4}

Deci B=\frac{\pi}{4}

Acum in triunghiul ABC putem aplica Teorema sinusului:

\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}=2\cdot R\Rightarrow    \frac{BC}{\sin \frac{2\pi}{3}}=\frac{AB}{\sin \frac{\pi}{12}}=\frac{AC}{\sin\frac{\pi}{4}}=2\cdot 4

Astfel stim ca

\frac{AC}{\sin\frac{\pi}{4}}=2\cdot 4\Rightarrow \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=8\Rightarrow AC=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 8\Rightarrow AC=4\sqrt{2}

Dar acum stim si ca

\frac{AB}{\sin\frac{\pi}{12}}=8\Rightarrow AB=\sin \frac{\pi}{12}\cdot 8(*)

Dar mai intai sa aflam \sin \frac{\pi}{12}=\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{3}\cdot \cos\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{4}\cdot \cos\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

Acum daca inlocuim in (*), obtinem ca:

AB=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\cdot 8=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{1}\cdot 2=2\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)

Acum ca sa aflam BC, stim ca

\frac{BC}{sin\frac{2\pi}{3}}=8\Rightarrow BC=\sin\frac{2\pi}{3}\cdot 8=(**)

Dar mai intai calculam

\sin\frac{2\pi}{3}

Observati ca suntem in cadranul II, deci face reducerea la primul cadran si obtinem:

\sin\frac{2\pi}{3}=\sin\left(\pi-\frac{2\pi}{3}\right)=\sin\frac{3\pi-2\pi}{3}=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}

Deci in (**) obtinem ca:

BC=\sin\frac{2\pi}{3}\cdot 8=\sin\frac{\pi}{3}\cdot 8=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 8=4\sqrt{3}

 

Teorema sinusului

Cum rezolvam inecuatiile de gradul al doilea

Sa vedem, inca o data, cum rezolvam inecuatiile de gradul al doilea !

O aplicatie a semnului functiei de gradul al doilea f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c,a,b, c\in R, a\neq 0 o reprezinta rezolvarea inecuatiei ax^{2}+bx+c\leq 0,\left(geq, <,1.\right), a\neq 0.
Rezolvarea unei astfel de inecuatii revine la a determina multimea solutiilor, pentru acesta se studiaza semnul functiei de gradul al doilea, dupa care se alege solutia inecuatiei.
Exemplu:
1) Sa se rezolve inecuatia si sa se interpreteze geometric rezultatele:
a) -2x^{2}+4x+6\geq 0
Astfel consideram functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=-2x^{2}+4x+6
Astfel stim ca
f\left(x\right)=\Rightarrow -2x^{2}+4x+6=0
Astfel
\Delta=4^{2}-4\cdot\left(-2\right)\cdot 6=16+48=64
Astfel ecuatia are solutiile
x_{1}=\frac{-4+\sqrt{64}}{2\cdot\left(-2\right)}=\frac{-4+8}{-4}=\frac{4}{-4}=-1
Dar si
x_{2}=\frac{-4-\sqrt{64}}{2\cdot\left(-2\right)}=\frac{-4-8}{-4}=\frac{-12}{-4}=3
Acum realizam tabelul de semn pentru functia f.
cum rezolvam inecuatia de gradul al doilea
Din tabelul functie observam ca x\in\left[-1;3\right]
Deoarece functia f este pozitiva pe intervalul de mai sus.
b) \frac{x^{2}-3x-4}{4x-x^{2}}
Solutie:
Mai intai stabilim omeniul de existenta al functie astfel punem conditia ca:
4x-x^{2}\neq 0\Rightarrow x\left(x-4\right)\neq 0
Astfel fie
x\neq 0
Sau
x-4\neq 0\Rightarrow x\neq 4
Deci domeniul de existenta este:
D=R-\left\{0,4\right\}(adica numitorul trebuie sa fie diferit de 0.)
Acum ca sa aflam solutia inecuatiei consideram functiile
f,g:R\rightarrow R si
f\left(x\right)=x^{2}-3x-4
Acum rezolvam ecuatia
f\left(x\right)=0\Rightarrow x^{2}-3x-4=0
Astfel
\Delta=\left(-3\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-4\right)=9+16=25
Acum
x_{1}=\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4
x_{2}=\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{3-5}{2}=\frac{-2}{2}=-1

Dar si
g\left(x\right)=4x-x^{2}
Adica
g\left(x\right)=0\Rightarrow 4x-x^{2}=0\Rightarrow x=0
Sau
4-x=0\Rightarrow x=4
Acum realizam tabelul celor doua functii si astfel afla solutia inecuatiei:
cum aflam solutia unei inecuatii de gradul al doilea
Din tabelul celor doua functii reiese ca solutia inecuatiei este S=[-1,0)

Daca nu ati inteles cum se rezolva inecuatiile de gradul al doilea va asteptam sa ne trimiteti si alte exercitii pentru a va ajuta sa le rezolvati. Accesati pagina REZOLVARI !

Reprezentarea grafica a functiei de gradul al doilea

Pana acum am invatat sa reprezentam grafic functia de gradul inai, acum o sa invatam reprezentarea grafica a functiei de gradul al doilea.
Astfel consideram functia
f:R\rightarrow R,f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c, a,b, c\in R, a\neq 0
Pentru reprezentarea geometrica a graficului functiei de gradul al doilea se parcurg urmatorii pasi:

1. Se calculeaza mai intai punctul de intersectie cu axele de coordonate:
a) G_{f}\cap Ox=\left\{A\left(x_{1}, 0\right),B\left(x_{2},0\right)\right\}
Se rezolva ecuatia de gradul al doilea f\left(x\right)=0
Daca \Delta>0 punctele de intersectie sunt A\left(x_{1}, 0\right) si B\left(x_{2},0\right) unde x_{1}, x_{2} sunt solutiile reale ale ecuatiei de mai sus.
Daca \Delta=0 punctul de intersecite este A\left(\frac{-b}{2\cdot a},0\right)
Daca \Delta<0 nu existe puncte de intersectie. In acest caz graficul functiei este deasupra axei Ox, daca a>0 si graficul functiei este dedesubtul axei Ox, daca a<0.
b) Se calculeaza G_{f}\cap Oy=\left\{C\left(0,c\right)\right\}

2.Punctul de extrem al graficul functie este V\left(\frac{-b}{2\cdot a}, \frac{-\Delta}{4\cdot a}\right)
Daca a>0, punctul V este punct de minim
Daca a<0, punctul V este punct de maxim.

3. Curba G_{f} este simetric fata de dreapta x=\frac{-b}{2\cdot a}

4. Multimea valorilor functiei f este:

Daca a>0 Im f=\left[-\frac{\Delta}{4\cdot a},+\infty\right)
Daca a 5. Aspectul geometric al curbei este:
Daca a>0, aspectul este convex
Daca a<0, aspectul este concav

Exemplu:
1) Sa se reprezinte grafic functia f:R\rightarrow R in cazul
a) f\left(x\right)=x^{2}-4x-12
Observam mai intai ca in cazul ecuatiei de mai sus a=1, b=-4, c=-12
1. Calculam, mai intai G_{f}\cap Ox=\left\{A\left(6,0\right),B\left(-2,0\right)\right\}
Rezolvam ecuatia f\left(x\right)=0\Rightarrow x^{2}-4x-12=0
Astfel avem:
\Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot c=\left(-4\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-12\right)=16+48=64
x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{4\cdot a}=\frac{4+\sqrt{64}}{2\cdot 1}=\frac{4+8}{2}=\frac{12}{2}=6
Astfel avem A\left(6,0\right)
x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{4\cdot a}=\frac{4-\sqrt{64}}{2\cdot 1}=\frac{4-8}{2}=\frac{-4}{2}=-2
si avem B\left(-2,0\right)
Acum calculam
G_{f}\cap Oy=\left\{C\left(0,-12\right)\right\}
f\left(0\right)=0^{2}-4\cdot 0-12=-12
Punctul de extrem al graficului functiei este
V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)=V\left(\frac{-\left(-4\right)}{2\cdot 1},-\frac{64}{4\cdot 1}\right)=V\left(2,-16\right)
Curba este simetrica fata de drepata x=-\frac{b}{2\cdot a}=-\frac{-4}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2
Acum realizam tabelul de valori:
tabelul de valori pentru functia de gradul al doilea
Acum trasam graficul functiei:

cum trasam graficul functiei de gradul al doilea
b) f\left(x\right)=-x^{2}+4x-4
Calculam
G_{f}\cap Ox=\left\{A\left(2,0\right)\right\}
Rezolvam ecuatia: \left(x\right)=0\Rightarrow -x^{2}+4x-4=0
Astfel avem:
\Delta =16-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-4\right)=16-16=0
Deci obtinem
x_{12}=\frac{-b}{2\cdot a}=\frac{-4}{2\cdot\left(-1\right)}=\frac{-4}{-2}=2
Astfel avem A\left(2,0\right)
Acum
G_{f}\cap Oy=\left\{B\left(0,-4\right)\right\}
Astfel calculam:
f\left(0\right)=-0^{2}+4\cdot 0-4=-4
Punctul de extrem al graficului:
V\left(-\frac{4}{2\cdot\left(-1\right)},-\frac{0}{4\cdot 1}\right)=V\left(\frac{-4}{-2},0\right)=V\left(2,0\right)

Trasam tabelul de valori:
graficul functiei de gradul  al doilea
Acum trasam graficul functiei f:
graficul unei functii

c) f\left(x\right)=x^{2}+x+2
Solutie
Calculam mai intai
G_{f}\cap Ox
Astfel
f\left(x\right)=0\Rightarrow x^{2}+x+2=0
Calculam
\Delta =1^{2}-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7

Deci \Delta=-7<0 ecuatia nu are solutii reale, astfel ca nu existe puncte de intersectie.
Observam ca a=1>0, in acest caz graficul functiei este deasupra axei Ox
Acum calculam
G_{f}\cap Oy=\left\{A\left(0,2\right)\right\}
Calculam:
f\left(0\right)=2
Calculam Punctul de extrem al graficului functiei:
V\left(-\frac{1}{2\cdot 1}, -\frac{-7}{4\cdot 1}\right)=V\left(-\frac{1}{2},\frac{7}{4}\right)
Curba este simetrica fata de dreapa x=-\frac{1}{2\cdot 1}=-\frac{1}{2}
Calculam si
f\left(-2\right)=\left(-2\right)^{2}-2+2=4+0=4
ecuatia de gradul al doilea

Aplicatii ale trigonometriei in geometria plana Produsul scalar doi vectori

Astazi o sa invatam cum ne ajuta functiile trigonometrice in rezolvarea problemelor din geometria plana.

Astfel incepem cu produsul scalar a doi vectori.

Definitie: Se numeste produsul scalar a doi vectori \vec{a} si \vec{b} numarul \vec{a}\cdot\vec{b} egal cu produsul modulelor vectorilor inmultit cu cosinusul unghiului celor doi vectori.

\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos{a,b}

Iar cosinusul unghiului celor doi vectori este: \cos{a, b}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}

Proprietati:

1) Produsul scalar a doi vectori este nul, daca  unul dintre vectori este nul sau daca cei doi vectori sunt ortogonali.

2)  Daca \vec{a}, \vec{b} sunt vectori nenuli, atunci \vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b}=0

Expresia analitica a produsului sclar este:

Fie \left(O,i,j\right) un reper cartezian. In acest reper vectorii \vec{a} si \vec{b} se descompun sub forma:

\vec{a}=a_{x}\vec{i}+a_{y}\vec{j} si \vec{b}=b_{x}\vec{i}+b_{y}\vec{j}

Deoarece \vec{i}\cdot\vec{i}=1,\vec{j}\cdot\vec{j}=1,\vec{i}\cdot\vec{j}=\vec{j}\cdot\vec{i}=0

\vec{a}\cdot\vec{b}=\left(a_{x}\vec{i}+a_{y}\vec{j}\right)\cdot\left(b_{x}\vec{i}+b_{y}\vec{j}\right)= a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y} (expresia analitica a produsului scalar).

Acum doi vectori nenuli \vec{a}=a_{x}\vec{i}+a_{y}\vec{j} si \vec{b}=b_{x}\vec{i}+b_{y}\vec{j} sunt perpendiculari daca si numai daca a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}=0

Iar cosinusul unghiurilor a doi vectori in functie de coordonatele acestora este \cos{\widehat{\vec{a}, \vec{b}}}=\frac{a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}}{\sqrt{a^{2}_{x}+a^{2}_{y}}\cdot \sqrt{b^{2}_{x}+b^{2}_{y}}}

Daca stim coordonatele a doua puncte putem afla mai usor distanta dintre doua puncte.

Teorema. Fie A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2},y_{2}\right) puncte in reperul cartezian \left(O,\vec{i}, \vec{j}\right)

Atunci AB=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}

Teorema cosinusului.  Intr-un triunghi ABC au loc egalitatile AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos C

Sau

BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A

Sau AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B

Teorema sinusurilor.  Intr-un triunghi oarecare au loc egalitatile \frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R unde R este raza.

Prezentam anumite exercitii prin care aplicam notiunile prezentate mai sus:

1) Sa se determine m\in R pentru care vectorii a, si b sunt perpendiculari:

a) \vec{a}=2\vec{i}+\vec{j}, \vec{b}=\left(m+1\right)\vec{i}+2\vec{j}

Observam ca vectorii sunt exprimati sub forma analitica.

Astfel vectorii a si b sunt perpendiculari daca

2\cdot\left(m+1\right)+1\cdot 2=0\Rightarrow 2m+2+2=0\Rightarrow 2m+4=0\Rightarrow m=\frac{-4}{2}=-2

\vec{a}=\left(m^{2}+3\right)\vec{i}+m\vec{j}, b=\vec{i}-4\vec{j}

Astfel punem conditia ca \left(m^{2}+3\right)\cdot 1+m\cdot\left(-4\right)=0\Rightarrow m^{2}+3-4m=0\Rightarrow m^{2}-4m+3=0

Observati ca am obtinut o ecuatie de gradul al II-lea.

Astfel calculam Delta \Delta =\left(-4\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4

Deci m_{1}=\frac{4+\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3

Dar si m_{2}=\frac{4-\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1

Deci m\in\left\{1,3\right\}

2) Fie ABC un triunghi. Sa se arate ca \vec{AB}\cdot\vec{AC}+\vec{BA}\cdot\vec{BC}+\vec{CA}\cdot\vec{CB}=\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)
Demonstratie:
cum demonstram o egalitate in mod vectorial
Daca aplicam relatia lui Chasles obtinem ca:
\vec{BC}=\vec{BA}+\vec{AC}\Rightarrow \vec{BC}=-\vec{AB}+\vec{AC}\Rightarrow \vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}

Daca ridicam relatia de mai sus la patrat obtinem:
\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}|^{2}\Rightarrow \vec{BC}^{2}=\left(\vec{AC}-\vec{AB}\right)^{2}\Rightarrow \vec{BC}=\vec{AC}^{2}-2\vec{AB}\cdot\vec{AC}+\vec{AB}^{2}\Rightarrow 2\cdot\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\vec{AC}^{2}+\vec{AB}^{2}-\vec{BC}^{2}\Rightarrow 2\cdot \vec{AB}\cdot\vec{AC}=b^{2}+a^{2}-c^{2}\Rightarrow \vec{AB}\cdot\vec{AC}=\frac{1}{2}\left(b^{2}+a^{2}-c^{2}\right)(1)

Analog pentru \vec{BA}\cdot\vec{BC}=\frac{1}{2}\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)(2)

Dar si \vec{CA}\cdot\vec{CB}=\frac{1}{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)(3)
Din (1), (2) si (3) obtinem \vec{AB}\cdot \vec{AC}+\vec{BA}\cdot\vec{BC}+\vec{CA}\cdot\vec{CB}=\frac{1}{2}\left(b^{2}+a^{2}-c^{2}\right)+\frac{1}{2}\left(c^{2}+b^{2}-a^{2}\right)+\frac{1}{2}\left(c^{2}+b^{2}-a^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(b^{2}+a^{2}-c^{2}+c^{2}+b^{2}-a^{2}+c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(b^{2}+c^{2}+a^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)

3) Sa se determine unghiul vectorilor:
\vec{a}=2\vec{i}-\vec{j},\vec{b}=\vec{i}+2\vec{j}
Ca sa afla unghiul vectorilor folosim formula:
\cos\widehat{\left(\vec{a},\vec{b}\right)}=\frac{a_{x}\cdot b_{x}+a_{y}\cdot b_{y}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}\cdot\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}=\frac{2\cdot 1+\left(-1\right)\cdot 2}{\sqrt{2^{2}+\left(-1\right)^{2}}\cdot\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\frac{2-2}{\sqrt{4+1}\cdot\sqrt{1+4}}=\frac{0}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{0}{5}=0
deci obtinem ca
\cos\widehat{\left(\vec{a},\vec{b}\right)}=0
De unde obtinem ca cos \frac{\pi}{2}=0\Rightarrow m\left(\widehat{a,b}\right)=\frac{\pi}{2}=90^{0}

Deci masura unghiului dintre cei doi vectori este de 90^{0}

Functiile trigonometrice ale unei sume si ale unei diferente de unghiuri

Astazi o sa invatam sa calculam Functiile trigonometrice ale unei sume si ale unei diferente de unghiuri, astfel

Teorema. Pentru oricare numere reale x si y au loc egalitatatile:

\cos{\left(x+y\right)}=\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot\sin y    \\ \cos{\left(x-y\right)}=\cos x\cdot\cos y+\sin x\cdot\sin y    \\ \ sin{\left(x+y\right)}=\sin x\cdot\cos y+\sin y\cdot \cos x    \\ \sin{\left(x-y\right)}=\sin x\cdot\cos y-\sin y\cdot\cos x

Consecinta:

Au loc relatiile:

\cos{\left(x+x\right)}=\cos x\cdot cos x-\sin x\cdot \sin x=\cos^{2} x-\sin^{2} x

Deci gasim ca \cos{ 2x}=\cos^{2} x-\sin^{2} x

Dar mai stim si ca: \sin{2x}=\sin{\left(x+x\right)}=\sin x\cdot \cos x+\sin x\cdot\cos x=2\sin x\cos x

Astfel avem ca: \sin{2x}=2\sin x\cos x

Pentru x\in R, unde R este multimea numerelor reale.

Teorema fundamentala a trigonometriei

cos^{2} x+\sin^{2} x=1

Observati ca cu ajutorul Teoremei fundamentale a trigonometriei, daca scoatem \sin^{2} x=1-\cos^{2} x obtinem

\cos{2x}=\cos^{2} x-\sin^{2} x=\cos^{2} x-\left(1-cos^{2} x\right)=cos^{2} x-1+\cos^{2} x=2\cos^{2} x-1

Sau

Daca scoatem din Teorema fundamentala a trigonometriei $latex \cos^{2} x=1-\sin^{2} x$ obtinem:

\cos{2x}=\cos^{2} x-\sin^{2} x=1-\sin^{2} x-\sin^{2} x=1-2\sin^{2} x

Exemplu:

Sa se calculeze  \cos{\left(a+b\right)}, \cos{\left(a-b\right)} daca:

a) \sin a=\frac{3}{5}, \sin b=\frac{5}{13}, a,b\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)

Observati ca stim sin a si sin b, deci trebuie sa aflam cos a si cos de b, pentru ca

cos{\left(a+b\right)}=\cos a\cdot \cos b-\sin a\cdot sin b

Astfel cu ajutorul Teoremei fundamentale a trigonometriei avem ca:

cos^{2} a+\sin^{2} a=1\Rightarrow \cos^{2} a+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=1\Rightarrow \cos^{2} a+\frac{9}{25}=1\Rightarrow \cos^{2} a=1-\frac{9}{25}\Rightarrow\cos^{2} a=\frac{25-9}{25}\Rightarrow cos^{2}=\frac{16}{25}\Rightarrow \cos a=\pm\sqrt{\frac{16}{25}}\Rightarrow \cos a=\pm\frac{4}{5}

In cazul nostru a\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right), deci cosinusul este pozitiv, astfel gasim ca \cos a=\frac{4}{5}

Acum sa aflam cos b

Stim ca \cos^{2} b+\sin^{2} b=1\Rightarrow \cos^{2} b+\left(\frac{5}{13}\right)^{2}=1\Rightarrow \cos^{2} b=1-\frac{25}{169}\Rightarrow \cos^{2} b=\frac{169-25}{169}\Rightarrow \cos^{2} b=\frac{144}{169}\Rightarrow cos b=\pm\sqrt{\frac{144}{169}}\Rightarrow \cos b=\pm\frac{12}{13}

Stim ca b\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right), deci cos b=\frac{12}{13}

Acum sa calculam \cos{\left(a+b\right)}=\cos a\cdot cos b-\sin a\cdot \sin b=\frac{4}{5}\cdot\frac{12}{13}-\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{13}=\frac{48}{65}-\frac{15}{65}=\frac{33}{65}

Acum calculam \cos{\left(a-b\right)}=\cos a\cdot cos b+\sin a\cdot \sin b=\frac{4}{5}\cdot\frac{12}{13}+\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{13}=\frac{48}{65}+\frac{15}{65}=\frac{63}{65}

Putem sa calculam si

\sin\left(a+b\right)=\sin a\cdot \cos b+\sin b\cdot\cos a=\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{5}{13}\cdot \frac{4}{5}=\frac{36}{65}+\frac{20}{65}=\frac{36+20}{65}=\frac{56}{65}.

b) \tan a=\frac{3}{4}, \cos b=\frac{5}{13}, a, b\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)

Cu teorema fundamentala a trigonometriei stim ca :

\cos^{2} b+\sin^{2} b=1\Rightarrow \left(\frac{5}{13}\right)^{2}+\sin^{2} b=1\Rightarrow \sin^{2} b=1-\frac{25}{169}\Rightarrow \sin^{2} b=\frac{169-25}{169}\Rightarrow \sin b=\pm\sqrt{\frac{144}{169}}\Rightarrow \sin b=\pm\frac{12}{13}

Cum b\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)\Rightarrow \sin b=\frac{12}{13}

Stim sin b, cos b, deci trebuie sa aflam sin a, cos a.

Stim ca \tan a=\frac{3}{4}

Mai stim si ca \tan a=\frac{\sin a}{\cos a}\Rightarrow \sin a=\tan a\cdot\cos a

Iar cu teorema fundamentala a trigonometriei stim ca:

\sin^{2} a+\cos^{2} a=1\Rightarrow \tan^{2} a\cdot\cos^{2} a +cos^{2} a=1\Rightarrow

\cos^{2}\left(\tan^{2} a+1\right)=1\Rightarrow \cos^{2} a=\frac{1}{\tan^{2} a+1}\Rightarrow

\cos a=\pm\sqrt{\frac{1}{\tan^{2} a+1}}\Rightarrow

\cos a=\pm\frac{1}{\sqrt{\tan^{2} a+1}}

Noi stim ca

a\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right), deci \cos a=\frac{1}{\sqrt{\tan^{2} a+1}}

Deci gasim

\cos a=\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{9}{16}+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{9+16}{16}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}}=\frac{1}{\frac{5}{4}}=\frac{4}{5}

Acum sa aflam sin a

Stim ca \sin^{2} a+\cos^{2} a=1\Rightarrow \sin^{2} a+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=1\Rightarrow \sin^{2} a=1-\frac{16}{25}\Rightarrow \sin^{2} a=\frac{25-16}{25}\Rightarrow \sin a=\pm\sqrt{\frac{4}{25}}=\pm\frac{2}{5}

Cum a\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) deci \sin a=\frac{2}{5}

Acum calculam \cos{\left(a+b\right)}=\cos a\cdot\cos b-\sin a\cdot \sin b=\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{13}-\frac{2}{5}\cdot\frac{12}{13}=\frac{20}{65}-\frac{24}{65}=\frac{20-24}{65}=-\frac{4}{65}

Iar \cos{\left(a-b\right)}=\cos a\cdot\cos b+\sin a\cdot \sin b=\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{13}+\frac{2}{5}\cdot\frac{12}{13}=\frac{20}{65}+\frac{24}{65}=\frac{20+24}{65}=\frac{44}{65}