Inecuatia de forma ax+b<0 studiate pe R sau pe intervale de numere

Dupa cum bine stiti  inca din generala am invatat cum sa gasim solutia unei inecuatii, dar astazi o sa invatam sa gasim solutia la inecuatia de forma ax+b<0 studiate pe R sau pe intervale de numere.

Astfel mai intai definim notiunea de inecuatie:

Definitie: O inegalitate de forma ax+b\leq 0 \left(\geq, <,>\right), unde a, b\in R si a\neq 0 se numeste inecuatia de gradul I cu o necunoscuta pe o anumita multime.

Exemplu:

1) Sa se rezolve inecuatiile in R:

a) 5-15x\geq 0

b) |3x-2|\leq-2

Solutie:

5-15x\geq 0|-5\Rightarrow -15x\geq -5|\cdot\left(-1\right)\Rightarrow 15x\leq 5|:5\Rightarrow x\leq\frac{1}{3}\Rightarrow x\in \left(-\infty, \frac{1}{3}\right].

Ca sa rezolvam inecuatia de mai sus am scazut 5 atat din membrul stang cat si la membrul drept, apoi am inmultit cu -1 fiecare membru al inecuatiei, schimband atat semnul cat si sensul inegalitatii si impartim fiecare membru prin 5 si astfel am obtinut solutia inecuatiei.

Sau altfel rezolvam inecuatia:

Consideram functia:

f\left(x\right)=5-15x

Acum studiem semnul functiei:

Astfel avem:

f\left(x\right)=0\Rightarrow 5-15x=0\Rightarrow 15x=5|\Rightarrow x=\frac{1}{3}

Acum tabelul de semn este:

semnul functiei de gradul I
Astfel pe intervalul \left(-\infty, \frac{1}{3}\right) functia f\left(x\right) are semnul -, deci solutia inecuatiei este x\in\left(-\infty,\frac{1}{3}\right].
b) |3x-2|\leq-2

Ca sa rezolvam inecuatia de mai sus consideram functia f:R\rightarrow R:

f\left(x\right)=3x-2 si scriem tabelul functiei:

Astfel

f\left(x\right)=0\Rightarrow 3x-2=0\Rightarrow 3x=2\Rightarrow x=\frac{2}{3}

cum stabilim semnul unei functii
Astfel cautam solutiile inecuatiei pe intervalul
\left(-\infty\frac{2}{3}\right] si \left(\frac{2}{3}; +\infty\right)
Daca x\in\left(-\infty,\frac{2}{3}\right] inecuatia se scrie:
-\left(3x-2\right)\leq -2\Rightarrow -3x+2\leq -2\Rightarrow -3x\leq-4|\cdot \left(-1\right)\Rightarrow 3x\geq 4\Rightarrow x\geq\frac{4}{3} si astfel gasim solutia
x\in \left[\frac{4}{3}, +\infty\right)
Stim ca x\in\left(-\infty, \frac{2}{3}\right], rezulta ca
x\in\left(-\infty,\frac{2}{3}\right]\cap \left[\frac{4}{3}, +\infty\right)=\left[\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right] obtinem
x\in\left[\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right]
Daca x\in\left(\frac{2}{3}, +\infty\right) inecuatia se scrie:
3x-2\leq-2\Rightarrow 3x\leq 0\Rightarrow x\leq 0\Rightarrow x\in\left(-\infty, 0\right]
Stim ca x\in\left[\frac{2}{3},+\infty\right), rezulta ca
x\in\left(\frac{2}{3},+\infty\right)\cap \left(-\infty, 0\right)=\left[0,\frac{2}{3}\right] obtinem
x\in\left[0, \frac{2}{3}\right].
Si astfel solutia inecuatiei initiale este:
x\in\left[\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right]\cup\left[0, \frac{2}{3}\right]=\left[0,\frac{4}{3}\right]
c) \frac{2}{x-1}+\frac{5x-3}{x-1}\geq 1\rightarrow \frac{2+5x-3}{x-1}\geq 1\Rightarrow \frac{5x-1}{x-1}-1\geq 0\Rightarrow \frac{5x-1-1\left(x-1\right)}{x-1}\geq 0\Rightarrow \frac{5x-1-x+1}{x-1}\geq 0\Rightarrow \frac{4x}{x-1}\geq 0
Acum studiem semnul functiilor de gradul I f, g:R\rightarrow R, f\left(x\right)=4x, g\left(x\right)=x-1
asociate numaratorului respectiv numitorului functiei. Astfel studiul il facem pe un tabel comun de semn celor doua functii:
Astfel avem
f\left(x\right)=0\Rightarrow 4x=0\Rightarrow 4x=0\Rightarrow x=0
Iar pentru functia g\left(x\right)=0\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1

semnul unei functii
Astfel solutia inecuatiei este:
x\in\left(-\infty, 0\right]\cup\left(1,+\infty\right)
Semnul | din tabelul de mai sus semnnifica ca expresia data nu este definita pentru x=1

Exercitii rezolvate cu paritatea functiilor Functii periodice

Prezentam exercitii rezolvate in care studiem paritatea functiilor, dar prezentam si notiuni teoretice despre Functii periodice

1) Studiati care din urmatoarele functii sunt pare, care sunt impare si care sunt fara paritate:

a) f\left(x\right)=x^{3}-2x

b) f\left(x\right)=x^{2010}-3x^{2008}

c) f\left(x\right)=x^{4}-x

d) f\left(x\right)=x|x|

Solutie

a) R fiind o multime simetrica fata de origine, calculam

f\left(-x\right)=\left(-x\right)^{3}-2\cdot\left(-x\right)=-x^{3}+2x=-\left(x^{3}+2x\right)=-f\left(x\right)

Deci functia f este impara

b) Calculam

f\left(-x\right)=\left(-x\right)^{2010}-3\left(-x\right)^{2008}=x^{2010}-3x^{2008}=f\left(x\right)

deci functia este para.

c) Calculam

f\left(-x\right)=\left(-x\right)^{4}-\left(-x\right)=x^{4}+x\neq f\left(x\right)\neq -f\left(x\right)

Deci functia nu este nici para nici impara si astfel observam ca functia nu are paritate.

d) f\left(-x\right)=-x\cdot |-x|=-x\cdot x=-f\left(x\right)

Si astfel gasim ca functia este impara.

Functii periodice

O functie f:D\rightarrow R, D\subset R se numeste periodica, daca exista T\neq 0 astfel incat x+T\in D si f\left(x+T\right)=f\left(x\right) pentru oricare x\in D.

Observatie

Numarul T se numeste perioada pentru f.

Cea mai mica perioada daca exista se numeste perioada principala.

Exemple:

2) Aratati daca urmatoarele functii sunt periodice specificand de fiecare data perioada lor principala:

a) f:Z\rightarrow Z, f\left(n\right)=\left(-1\right)^{n}

b) f:N\rightarrow N, f\left(n\right)= ultima cifra a lui 9^{n}

c) f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=\left\{x\right\}

Solutie:

a) Punem conditia ca

f\left(n+T\right)=f\left(n\right)\Rightarrow

f\left(n+T\right)=\left(-1\right)^{n+T}=f\left(n\right)    \\ \left(-1\right)^{n+T}=\left(-1\right)^{n}\Rightarrow \left(-1\right)^{n}\cdot\left(-1\right)^{T}=\left(-1\right)^{n}

Deci T trebuie sa fie o putere para astfel incat sa ne ramana  decat f\left(n\right), astfel pentru T=2, obtinem:

f\left(n+2\right)=\left(-1\right)^{n+2}=\left(-1\right)^{n}.

Observam ca T=2\neq 0, dar si n+2\in Z si f\left(n+2\right)=f\left(n\right).

b) Calculam:

f\left(n+T\right)=U\left(9^{n+T}\right)

Si punem conditia ca f\left(n+T\right)=f\left(n\right)

U\left(9^{n+T}\right)=U\left(9^{n}\right)\Rightarrow    U\left(U\left(9^{n}\right)\cdot U\left(9^{T}\right)\right)=U\left(9^{n}\right)\Rightarrow    U\left[U\left(9\right)^{n}\right]\cdot U\left[U\left(9\right)^{T}\right]=U\left(9^{n}\right)

Astfel trebuie sa gasim T astfel incat f\left(n+T\right)=f\left(n\right) pentru T=2 obtinem:

U\left[U\left(9\right)^{n}\right]\cdot U\left[U\left(9\right)^{2}\right]=U\left(9^{n}\right)\Rightarrow    U\left[U\left(9\right)^{n}\right]\cdot U\left(81\right)=U\left(9^{n}\right)\Rightarrow    U\left(9\right)^{n}\cdot 1=U\left(9^{n}\right)\Rightarrow f\left(n+2\right)=f\left(n\right)

Deci pentru T=2 f\left(n+T\right)=f\left(n\right).

Am gasit T\neq 0 astfel incat n+T=n+2\in N

c)f\left(x\right)=\left\{x\right\}

Fie x+T\in R si

f\left(x+T\right)=f\left(x\right)\Rightarrow    \left\{x+T\right\}=\left\{x\right\}

Astfel avem

\left\{x+T\right\}=\left\{x\right\}\Rightarrow    \\ \left\{x\right\}=\left\{x\right\}

Deci pentru T=1 se verifica 1 fiind si perioada principala.

 

Masura unghiurilor Masura arcelor Definitia cercului trigonometric

Dupa ce ne-am reamintit  cum se rezolva triunghiul dreptunghic, a venit vremea sa discutam despre Masura unghiurilor Masura arcelor Definitia cercului trigonometric . Astfel Gradul sexagesimal reprezinta masura unghiului egala cu a 90-a parte dintr-un unghi drept. Masura in grade a unui arc de cerc este egala cu masura unghiului la centrul corespunzator. masura in grade a unui arc de cercAstfel masura arcului de cerc AB este egala cu m\left(\widehat{AOB}\right) Orice cerc are masura de 360^{0}.

Masura in radiani .Radianul reprezinta masura unui unghi la centru care subintinde un arc de cerc de lungime egala cu raza cercului.

Orice cerc are masura de 2\pi radiani. Suma masurii unghiurilor la centru este de 360^{0}. Daca un unghi A are masura in grade egala cu a, notam cu m\left(\widehat{A}\right)=a^{0} si in radiani egala cu m\left(\widehat{\mu}\right)=\alpha, legatura dintre masura in grade si masura in radiani este data de relatia: \frac{a}{360}=\frac{\alpha}{2\pi}\Rightarrow \frac{a}{180}=\frac{\alpha}{\pi}. Deci \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot a.

Astfel invatam corespondenta dintre masura in grade sexagesimale si radiani a masurilor unor unghiuri uzuale: 0^{0}=0 Stim ca \frac{0}{180}=\frac{\alpha}{\pi}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi\cdot 0}{\alpha}=0 Acum daca a=30^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 30^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{6}

Daca a=45^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 45^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{4} Daca a=60^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 60^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{3} Daca a=90^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 90^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{2} Daca a=120^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 120^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{2\pi}{3}

Definitia cercului trigonometric

Fie xOy un reper cartezian in plan. Cercul de raza 1 si centru O pe care definim sensul pozitiv ca fiind sens contrar acelor de ceasornic se numeste cerc trigonometric.

Definitia cercului trigonometric

Exercitii 1) Aflati masurile in radiani ale unghiurilor triunghiului ABC, daca: m\left(\widehat{A}\right)=m\left(\widehat{B}\right)=m\left(\widehat{C}\right)

Stim ca in triunghiul ABC toate unghiurile au masura egala, stim ca suma masurii unghiurilor intr-un triunghi este de 180^{0}. Astfel notam m\left(\widehat{A}\right)=m\left(\widehat{B}\right)=m\left(\widehat{C}\right)=x^{0} m\left(\widehat A\right)+m\left(\widehat{B}\right)+m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}\Rightarrow x^{0}+x^{0}+x^{0}=180^{0}\Rightarrow 3x^{0}=180^{0}\Rightarrow x=60^{0}.

Deci avem m\left(\widehat{A}\right)=m\left(\widehat{B}\right)=m\left(\widehat{C}\right)=60^{0}. Acum sa transformam in radiani.

Conform formulei de mai sus care am dedus-o avem: \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot a\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 60^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{3}. Astfel am gasit ca m\left(\widehat{A}\right)=m\left(\widehat{B}\right)=m\left(\widehat{C}\right)=\frac{\pi}{3}. b) m\left(\widehat{A}\right)=45^{0}, m\left(\widehat {B}\right)=\frac{\pi}{3}.

Astfel putm scrie ca masura unghiului A, daca transformam in radiani este de \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 45^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{4}.Deci m\left(\widehat{A}\right)=\frac{\pi}{4} Acum sa transformam si 180^{0} in radiani si gasim ca \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 180^{0}\Rightarrow \alpha=\pi Deci m\left(\widehat{A}\right)+m\left(\widehat{B}\right)+m\left(\widehat{C}\right)=\pi\Rightarrow \\\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}+m\left(\widehat{C}\right)=\pi\Rightarrow \\m\left(\widehat{C}\right)=\pi-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}\Rightarrow \\m\left(\widehat{C}\right)=\frac{12\pi-3\pi-4\pi}{12}\Rightarrow m\left(\widehat{C}\right)=\frac{5\pi}{12} 2)

Specificati in ce cadran trigonometric sunt situate unghiurile cu masurile: a) 40^{0}, acest unghi se afla in cadranul I, deoarece \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 40\Rightarrow \alpha=\frac{40\pi}{180}^{(20}\Rightarrow \alpha=\frac{2\pi}{9} b) 80^{0}, la fel acest unghi se afla de asemenea in cadranul I, deoarece \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 80=\frac{80\pi}{180}^{(20}=\frac{4\pi}{9}. c) 300^{0}, la fel acest unghi se afla de asemenea in cadranul I, deoarece \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 300=\frac{300\pi}{180}^{(30}=\frac{10\pi}{6}^{(2}=\frac{5\pi}{3}. d) 160^{0}, la fel acest unghi se afla de asemenea in cadranul I, deoarece \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 160=\frac{160\pi}{180}^{(20}=\frac{8\pi}{9}.

Deoarece dupa cum bine se observa si din figura de mai sus avem: – Cadranul I x\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right) – Cadranul II x\in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) – Cadranul III x\in \left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right) – Cadranul IV x\in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) Iar daca nu vrem in radiani avem astfel – Cadranul I x\in \left(0,90^{0}\right) – Cadranul II x\in \left(90^{0}, 180^{0}\right) – Cadranul III x\in \left(180^{0}, 270^{0}\right) – Cadranul IV x\in \left(270^{0}, 360^{0}\right) Astfel cu ajutorul cercului trigonometric avem: Definitia cercului trigonometric

Siruri de numere reale Modalitati de definire a sirurilor

Astazi o sa discutam despre siruri de numere reale, adica o sa studiem monotonia sirurilor dar si marginirea sirurilor.
Dupa cum bine stiti exista mai multe modalitati de definire a sirurilor, dar mai intai sa definim notiunea de sir.
Definitie: O functie f:N^{*}\rightarrow R se numeste sir de numere reale si se noteaza \left(a_{n}\right)_{n\geq 1}
Modalitati de definire ale sirurilor
Siruri definite cu ajutorul unor formule

a_{n}=\frac{3n+1}{n^{2}}
-siruri definite printr-o relatie de recurenta
a_{1}=1, a_{n+1}=\frac{1}{2}a_{n}+\frac{3}{2}, oricare ar fi n\in N^{*}
siruri definite descriptiv
Incepem printr-un exemplu simplu pentru a studia monotonia sirurilor dar si marginirea sirurilor
1) Fie sirul a_{n} dat de relatia
a_{n}=\frac{n^{2}+2n}{\left(n+1\right)^{2}}
a) Sa se studieze marginirea sirului
b) Sa se studieze monotonia sirului
Solutie
a) Stim ca
a_{n}=\frac{n^{2}+2n}{\left(n+1\right)^{2}}=1-\frac{1}{\left(n+1\right)^{2}}<1\Rightarrow a_{n}\in \left(0,1\right)
Deci sirul este marginit.
Acum studiem monotonia sirului, cel mai simplu ar fi sa calculam:
a_{n+1}-a_{n}=\frac{\left(n+1\right)^{2}+2\left(n+1\right)}{\left(n+1+1\right)^{2}}-\frac{n^{2}+2n}{\left(n+1\right)^{2}}=\frac{n^{2}+2n+1+2n+2}{\left(n+2\right)^{2}}-\frac{n^{2}+2n}{\left(n+1\right)^{2}}=  \frac{n^{2}+4n+3}{\left(n+2\right)^{2}}-\frac{n^{2}+2n}{\left(n+2\right)^{2}}=\frac{\left(n^{2}+4n+3\right)\cdot\left(n+1\right)^{2}-\left(n^{2}+2n\right)\cdot\left(n+2\right)^{2}}{\left(n+1\right)^{2}\left(n+2\right)^{2}}=\frac{\left(n^{2}+4n+3\right)\cdot\left(n^{2}+2n+1\right)-\left(n^{2}+2n\right)\cdot\left(n^{2}+4n+4\right)}{\left(n+2\right)^{2}\cdot\left(n+1\right)^{2}}=\\  \frac{n^{4}+2n^{3}+n^{2}+4n^{3}+8n^{2}+4n+3n^{2}+6n+3-n^{4}-4n^{3}-4n^{2}-2n^{3}-8n^{2}-8n}{\left(n+2\right)^{2}\cdot\left(n+1\right)^{2}}=\frac{2n+3}{\left(n+2\right)^{2}\cdot\left(n+1\right)^{2}}>0
deci sirul este crescator
2) Fie sirul a_{n}=\frac{n^{2}+1}{n^{2}+2} sa se studieze:
a) marginirea sirului
b) monotonia sirului
Solutie
a_{n}=\frac{n^{2}+1}{n^{2}+2}=1-\frac{1}{n^{2}+2}<1\Rightarrow a_{n}\in \left(0, 1\right).
Deci sirul este marginit.
b) Monotonia, calculam:
a_{n+1}-a_{n}=\frac{\left(n+1\right)^{2}+1}{\left(n+1\right)^{2}+2}-\frac{n^{2}+1}{n^{2}+2}=\frac{n^{2}+2n+1+1}{n^{2}+2n+1+2}-\frac{n^{2}+1}{n^{2}+2}=\frac{n^{2}+2n+2}{n^{2}+2n+3}-\frac{n^{2}+1}{n^{2}+2}=\frac{\left(n^{2}+2n+2\right)\cdot\left(n^{2}+2\right)-\left(n^{2}+1\right)\cdot \left(n^{2}+2n+3\right)}{\left(n^{2}+2n+3\right)\cdot\left(n^{2}+2\right)}=\frac{n^{4}+2n^{2}+2n^{3}+4n+2n^{2}+4-n^{4}-2n^{3}-3n^{2}-n^{2}-2n-3}{\left(n^{2}+2n+3\right)\cdot\left(n^{2}+2\right)}=\frac{2n+1}{\left(n^{2}+2n+3\right)\cdot\left(n^{2}+2\right)}>0\Rightarrow a_{n} crescator.

Sau monotonia o putem arata si cu definitia pentru siruri monotone, astfel calculam

a_{1}=\frac{1^{2}+1}{1^{2}+2}=\frac{2}{3}=0,6

a_{2}=\frac{2^{2}+1}{2^{2}+2}=\frac{4+1}{4+2}=\frac{5}{6}=0,83

a_{3}=\frac{3^{2}+1}{3^{2}+2}=\frac{9+1}{9+2}=\frac{10}{11}=0,90

a_{4}=\frac{4^{2}+1}{4^{2}+2}=\frac{16+1}{16+2}=\frac{17}{18}=0,94

Deci abservam ca

a_{1}<a_{2}<a_{3}<a_{4}, deci sirul este monoton crescator.

Siruri marginite

Definitie: Spunem ca sirul \left(a_{n}\right)_{n\in N} este marginit daca exista un interval \left[a,b\right] care contine toti termenii sirului a\leq a_{n}\leq b, \forall n\in N.

Observatie. Definita de mai sus este echivalenta cu existenta unui numar real M>0 astfel incat |a_{n}|<M, \forall n\in N^{*}.

Sirurile care nu sunt marginite se numesc nemarginite.

Monotonia sirurilor

Sirul \left(a_{n}\right)_{n\geq 1} se numeste sir monoton crescator daca a_{n}\leq a_{n+1}, \forall n\in N^{*}, adica a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq ...\leq a_{n}\leq....

Sirul \left(a_{n}\right)_{n\geq 1} se numeste sir monoton descrescator  daca a_{n}\geq a_{n+1}, \forall n\in N^{*}, adica a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq ...\geq a_{n}\geq....

Observatie. Daca inegalitatile de mai sus devin stricte, adica a_{n}<a_{n+1} sau a_{n}>a_{n+1}, atunci sirul se numeste strict crescator sau strict descrescator.

Sirul \left(a_{n}\right)_{n\geq 1} se numeste sir monoton daca este sir monoton crescator sau sir monoton drescator.

Procedee de a demonstra ca un sir este monoton:

Cu ajutorul definitiei

Compararea cu 0 a diferentei a_{n+1}-1_{n}

Astfel:

Daca a_{n+1}-a_{n}\leq 0, \forall n\in N^{*}, atunci sirul este crescator

Daca a_{n+1}-a_{n}\geq 0, \forall n\in N^{*}, atunci sirul este descrescator.

Compararea cu 1 a raportului \frac{a_{n+1}}{a_{n}},\forall n\in N^{*} in cazul sirurilor pozitive a_{n}>0

Astfel,

Daca \frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1, atunci sirul este monoton crescator.

Daca \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1, atunci sirul este monoton descrescator.

 

Operatii cu functii Compunerea functiilor

Dupa cum bine observati si din titlul articolului ,astazi o sa discutam despre Operatii cu functii Compunerea functiilor.

Cu ajutorul operatiilor  cu functii o sa invatam sa calculam suma functiilor, diferenta functiilor, produsul functiilor, catul functiilor.

Fie functiile f, g: A\rightarrow R, A\subset R, doua functii numerice:

Functia f+g:A\rightarrow R, \left(f+g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right) se numeste suma functiilor f si g.

Functia f-g:A\rightarrow R,\left(f-g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right) se numeste diferenta functiilor f si g.

Functia f\cdot g:A\rightarrow R, \left(f\cdot g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right) se numeste produsul functiilor f si g.

Daca g\left(x\right)\neq 0, \forall x\in A, atunci functia \frac{f}{g}:A\rightarrow R; \left(\frac{f}{g}\right)\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} se numeste catul functiilor f si g.

Iar acum ceea ce  este cel mai important la aceasta lectie;

Compunerea functiilor, este foarte important sa intelegeti compunerea functiilor, deoarece o sa mai avem de efectuat si alte exercitii cu compunerea functiilor.

Fiea A, B, C trei multimi nevide si

f:A\rightarrow B, g:B\rightarrow C doua functii. atunci functia h:A\rightarrow C, h\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right) este functia compusa a functiilor g si f si se noteaza h=g\circ f.

Cum calculam compunerea functiilor

Observatie:

Compunerea functiilor nu este comutatitva, adica \left(f\circ g\right)\neq\left(g\circ f\right)

Compunerea functiilor este asociativa f\circ \left(g\circ h\right)=\left(f\circ g\right)\circ h

Prezentam cateva exercitii prin care sa intelegem compunerea functiilor, dar si  operatiile cu functii

 

1) Se considera functiile f, g:R\rightarrow R, f\left(x\right)=2x-3 si g\left(x\right)=3x-1. Rezolvati ecuatiile:

a) \left(f\circ f\right)\left(x\right)=6

b)  \left(g\circ g\right)\left(x\right)=-8

c)  \left(f\circ g\right)\left(x\right)=9

Solutie

a)  \left(f\circ f\right)\left(x\right)=6\Rightarrow f\left(f\left(x\right)\right)=6\Rightarrow f\left(2x-3\right)=6\Rightarrow 2\cdot\left(2x-3\right)-3=6\Rightarrow 2\left(2x-3\right)=6+3\Rightarrow 2\left(2x-3\right)=9\Rightarrow 2x-3=\frac{9}{2}\Rightarrow 2x=\frac{9}{2}+3\Rightarrow 2x=\frac{1\cdot 9+2\cdot 3}{2}\rightarrow 2x=\frac{9+6}{2}\Rightarrow 2x=\frac{15}{2}\Rightarrow x=\frac{15}{4}

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus mai intai am compus functia f cu ea insasi, observam ca am calculat f\left(f\left(x\right)\right), adica f\left(2x-3\right), deoarece f il cunoastem, iar restul este rezolvarea unei ecuatii asa cum am invatat in clasele mai mici.

b)  \left(g\circ g\right)\left(x\right)=-8\Rightarrow g\left(g\left(x\right)\right)=-8\Rightarrow g\left(3x-1\right)=-8\Rightarrow 3\cdot\left(3x-1\right)-1=-8\Rightarrow 3\left(3x-1\right)=-8+1\Rightarrow 3\left(3x-1\right)=-7\Rightarrow 3x-1=\frac{-7}{3}\Rightarrow 3x=\frac{-7}{3}+1\Rightarrow 3x=\frac{1\cdot \left(-7\right)+3\cdot 1}{3}\Rightarrow 3x=\frac{-7+3}{3}\Rightarrow 3x=\frac{-4}{3}=-\frac{4}{9}.

c) \left(f\circ g\right)\left(x\right)=9\Rightarrow f\left(g\left(x\right)\right)=9\Rightarrow f\left(3x-1\right)=9\Rightarrow 2\cdot\left(3x-1\right)-3=9\Rightarrow 2\left(3x-1\right)=9+3\Rightarrow 2\left(3x-1\right)=12\Rightarrow 3x-1=6\Rightarrow 3x=6+1\Rightarrow 3x=7\Rightarrow x=\frac{7}{3}.

La exercitiul c) observam ca avem f compus cu g si obtinem f de g de x, deci in locul lui g(x) scriem  3x-1 iar restul este calcul.

2) Se considera functiile f, g:R\rightarrow R, f\left(x\right)=2x+1 si  g(x)=x+2. Rezolvati ecuatia

\left(f\circ f\circ g\right)\left(x\right)=\left(f\circ g\circ g\right)

\left(f\circ f\circ g\right)\left(x\right)=\left(f\circ g\circ g\right) \Rightarrow    f\left(f\left(g\left(x\right)\right)\right)=f\left(g\left(g\left(x\right)\right)\right)\Rightarrow    f\left(f\left(x+2\right)\right)=f\left(g\left(x+2\right)\right)\Rightarrow    f\left(2\left(x+2\right)+1\right)=f\left(x+2+2\right)\Rightarrow    f\left(2x+4+1\right)=f\left(x+4\right)\Rightarrow    f\left(2x+5\right)=f\left(x+4\right)\Rightarrow    2\left(2x+5\right)+1=2\left(x+4\right)+1\Rightarrow    4x+10+1=2x+8+1\Rightarrow    4x+11=2x+9\Rightarrow    4x-2x=9-11\Rightarrow    2x=-2\Rightarrow x=-1

Deci important e sa stim sa compunem functiile.

 

Functii pare si functii impare Functii fara paritate Functii periodice

Dupa ce am invatat in clasa a VIII-a cum sa reprezentam graficul unei functii, acum o sa invatam sa calculam paritatea functiilor dar si periodicitatea functiilor.
Deci astazi o sa discutam despre :

Functii pare si functii impare

Functii fara paritate si Functii periodice

Incepem cu functiile pare

O multime A\subset R se numeste simetrica fata de originea axei reale daca oricare ari fi x\in A, atunci -x\in A.
Exemplu:
Multimile \left(-2,2\right) si \left(-2, 1\right]\cup\left[1,2\right) suntt simetrice fata de origine.
Fie A\subset R o multime simetrica fata de origine si o functie f: A\rightarrow R
-Functia f se numeste functie para daca f\left(-x\right)=f\left(x\right) pentru orice x\in A
-Functia f se numeste functie impara daca f\left(-x\right)=-f\left(x\right), pentru orice x\in A.
Observatie
– Daca o functie f:A\rightarrow R este para, atunci axa OY este axa de simetrie pentru graficul lui f.
– Daca o functie f:A\rightarrow R este impara, atunci originea O a sistemului de coordonate este centru de simetrie pentru graficul lui f.

Functii periodice

O functie f:D\rightarrow R, D\subset R se numeste periodica, daca exista T\neq 0, astfel incat x+T\in D si f\left(x+T\right)=f\left(x\right) oricare ar fi x\in D.

Observatie
Cea mai mica perioada pozitiva (daca acesta exista se numeste )perioada principala.
Exercitii
1) Studiati care din urmatoarele functii sunt pare, care sunt impare si care sunt fara paritate
a) f:R\rightarrow R^{*}, f\left(x\right)=\frac{1}{x}
Ca sa stidiem paritatea functiilor calculam
f\left(-x\right)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-f\left(x\right), deci functia f este impara.
b) f:R-\left\{\pm 3\right\}\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-9}.
Pentru a afla paritatea functiei calculam
f\left(-x\right)=\frac{\left(-x\right)^{2}+1}{\left(-x\right)^{2}-3}=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-9}=f\left(x\right)
Astfel obtinem f\left(-x\right)=f\left(x\right) si astfel functia f este para.
c) f:R-\left\{\pm 1\right\}\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{x}{x^{4}-1}
Calculam
f\left(-x\right)=\frac{-x}{\left(-x\right)^{4}-1}=\frac{-x}{x^{4}-1}=-f\left(x\right), deci impara.
d) f:R^{*}\rightarrow R,f\left(x\right)=\frac{x+2}{x}
Calculam
f\left(-x\right)=\frac{-x+2}{-x}=\frac{-x}{-x}+\frac{2}{-x}=\frac{1}{1}+\frac{-2}{x}=\frac{x-2}{x}, deci functia f nu este nici para nici impara.
2) Consideram functia f:R\rightarrow R,  f\left(x\right)=  \\1,\;\;\; daca\;\; x\in Q  \\-1\;\;\; daca\;\; x\in R-Q
si numerele a=\sqrt{5++2\sqrt{6}} si b=\sqrt{5-2\sqrt{6}}. Calculati:
a) f\left(a+b\right)
b) f\left(ab\right)
Calculam a si b ca sa vedem daca sunt rationale sau irationale
a=\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}
b=\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}
a) f\left(a+b\right)=f\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)=f\left(2\sqrt{3}\right)=-1, deoarece x\in R-Q.
b) f\left(a\cdot b\right)=f\left(\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\cdot\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\right)=  f\left(\sqrt{3}^{2}-\sqrt{2}^{2}\right)=f\left(3-2\right)=f\left(1\right)=1, deoarece 1\in Q.

Momentan atat dar mai revenim in curand si cu alte explicatii despre functii pare si functii impare

Progresii aritmetice

Pana acum nu am ati mai auzit de notiunea de progresii aritmetice si progresii geometrice, cu exercitii de acest gen ati mai lucrat dar nu ati stiut ca se numesc asa, de exemplu cand aveti un sir de numere de forma:
1,2, 3, 4, …
observam ca la acest sir de elemente se obtine din termenul precedent prin adaugare unui numar, adica fiecare termen al sirului se obtine din cel precendent prin adaugarea cifrei 1.
Astfel
Progresii aritmetice
Def: Un sir \left(a_{n}\right)_{n\geq 1} este o progresie aritmetica  daca sunt cunoscute: primul termen notat a_{1} si un numar real r r\neq 0 denumit ratie astfel incat orice termen incepanad cu cel de-al doilea se obtine din cel precendent prin adaugarea ratiei.

a_{n+1}=a_{n}+r, oricare ari fi n\neq 1(relatia de recurenta).

La exemplul pe care l-am dat noi mai sus ratia este 1,

Alt exemplu

7, 4, 1, -2,…

observam ca ratia este -3.

Termenul general al unei progresii aritmetice se calculeaza cu formula

a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r oricare ar fi n\geq 1

Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice se calculeaza cu formula:

S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}

Exemplu:

1+2+3+...+n=\frac{n\cdot\left(1+n\right)}{2}(suma primilor n termeni ai unui numar natural pe care o stim inca din clasa a V-a, dar care atunci am luat-o ca atare).

Teorema. Un sir constitue o progresie aritmetica, daca si numai daca are loc relatia de recurenta;

a_{n+1}=\frac{a_{1}+a_{n+2}}{2}, oricare ar fi n\in N^{*}

Proprietati:

i) a_{n+1}-a_{n}=constant, oricare ari fi n\geq 1

ii) a_{1}+a_{n}=a_{k}+a_{n-k+1}, oricare ar fi n\geq 1

iii) S_{n}=\frac{\left[2a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\right]\cdot n}{2}, oricare ar fi n\geq 1.

Prezentam exemple prin care sa  intelegem cea ce am spus mai sus

 

1)Fie sirul a_{n}=2n-1, oricare ari fi n\in N^{*}

a) Determinati primi trei termeni ai sirului

b) Calculati suma primilor 30 de termeni ai sirului.

Solutie:

a) a_{1}=2\cdot 1-1\Rightarrow a_{1}=1

a_{2}=2\cdot 2-1\Rightarrow a_{2}=3

a_{3}=2\cdot 3-1\Rightarrow a_{3}=5

Am gasit primi trei termeni ai sirului

b) Ca sa calculam suma primilor 30 de  termeni aplicam formula pentru pentru suma primilor n termeni, dar mai intai trebuie sa aflam

a_{30}=2\cdot 30-1

\Rightarrow a_{30}=60-1

\Rightarrow a_{30}=59.

iar acum aplicam suma primilor n termeni, in cazul nostru suma primilor 30 de termeni

S_{30}=\frac{30\left(1+59\right)}{2}=\frac{30\cdot 60}{2}=900

Daca nu stiam aceasta formula dupa cum bine stiti din clasa a V-a trebuia sa avem grija cum sa scriem fiecare tereme astfel incat sa putem aplica formula \frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}.

2) Rezolvati ecuatia:

3+5+7+…+x=224

Solutie

Observam ca termenii sumei din membrul stang sunt termenii unei progresii aritmetice in care a_{1}=3, r=5-3\Rightarrow r=2

Ca sa rezolva ecuatia de mai sus calculam termenul general astfel:

a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r

\Rightarrow x=3+\left(n-1\right)\cdot 2\Rightarrow x-3=\left(n-1\right)\cdot 2

 

\Rightarrow \frac{x-3}{2}=n-1\Rightarrow \frac{x-3}{2}+1=n

\Rightarrow n=\frac{x-3+1\cdot 2}{2}

\Rightarrow n=\frac{x-3+2}{2}\Rightarrow n=\frac{x-1}{2}.

Astfel obtinem

3+5+7+...+x=\frac{\frac{x-1}{2}\left(3+x\right)}{2}=

\frac{\left(x-1\right)\cdot\left(x+3\right)}{2\cdot 2}

\Rightarrow \frac{\left(x-1\right)\cdot\left(x+3\right)}{4}=224|\cdot 4

\Rightarrow \left(x-1\right)\left(x+3\right)=224\cdot 4

Astfel obtinem o ecuatie de gradul al doilea

x^{2}+3x-x-3=896\Rightarrow x^{2}+2x-899=0    \\\Delta=b^{2}-4ac    \\\Delta=4-4\cdot\left(- 899\right)    \\\Delta =4+3596    \\\Delta=3600

Calculam

x_{2}=\frac{-2+\sqrt{3600}}{2}=\frac{-2+60}{2}=\frac{58}{2}=29

x_{2}=\frac{-2-\sqrt{3600}}{2}=\frac{-2-60}{2}=\frac{-62}{2}=-31<0(nu convine)

Deci solutia ecuatiei este x=29.

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus prima data am stabilit ca termenii ecuatiei sunt in progresie aritmetica in care am aflat primul termen si ratia progresiei, ia apoi am calculat termenul general al progresiei, adica membru stang. Am aflat „n”, iar apoi am calculat suma primilor n termenii cu ajutorul termenului general pe care l-am gasit mai sus.  Suma primilor n termeni pe care am gasit-o am egalat-o cu termenul cunoscut al ecuatiei, astfel am obtinut o ecuatie de gradul al doilea pe care am rezolvat-o si am observat ca una din solutiile ecuatiei nu convine deoarece este mai mic ca  0.

 

Functii injective. Functii surjective. Functii bijective

Dupa ce am invatat notiunea de functie inca din clasa a VIII-a, (cum am definit-o, cum sa calculam graficul unei functii si asa mai departe )acum o sa invatam despre functii injective, functii surjective si functii bijective.

Incepem cu functiile injective

Fie A si B doua multimi nevide

Def:O functie f:A\rightarrow B se numeste injectiva (injectie) daca \forall x_{1}, x_{2}\in A, x_{1}\neq x_{2} avem f\left(x_{1}\right)\neq f\left(x_{2}\right)

Observatie: Faptul ca f este injectiva mai poate fi exprimat si astfel:

1) daca x_{1} si x_{2} sunt elemente oarecare din A cu proprietatea ca f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right), atunci rezulta ca x_{1}=x_{2}

2) Functia f:A\rightarrow B este injectiva daca \forall y\in B ecuatia f\left(x\right)=y are cel mult o solutie x\in A.

Functii surjective

Def: O functie f:A\rightarrow B este o functie surjectiva (surjectie) daca pentru oricare y\in B exista $ cel putin un x\in A astfel incat f\left(x\right)=y

Observatie: O functie f:A\rightarrow B este o functie surjectiva, daca \forall y\in B ecuatia f\left(x\right)=y are cel putin o solutie x\in A.

Functii bijective

Def: O functie f:A\rightarrow B care este simultan si injectiva, dar si surjectiva se numeste bijectiva (bijectie).

Exemplu:

1) Fie functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=2x+3 sa se arate ca f este bijectie.

Solutie: Pentru a arata ca functia este bijectiva aratam mai intai ca functia f este injectiva si surjectiva.

Injectia: \forall x_{1}, x_{2}\in A fie x_{1}\neq x_{2} trebuie sa obtinem ca f\left(x_{1}\right)\neq f\left(x_{2}\right)

Astfel obtinem: f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\neq 0\Rightarrow 2x_{1}+3-2x_{2}-3=2\left(x_{1}-x_{2}\right)\neq 0 deci f este injectiva.

Surjectivitatea

Fie y\in R exista cel putin un x\in R astfel incat f\left(x\right)=y\Rightarrow 2x+3=y\Rightarrow 2x=y-3\Rightarrow x=\frac{y-3}{2}. Deci \forall \in R \exists x=\frac{y-3}{2}\in R si astfel obtinem ca f este surjectiva.

Cum f este simultan si injectiva si surjectiva rezulta ca f este bijectiva.

2) Sa se arate ca functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=-5x+2 este inversabila si sa i se determine inversa.

Ca sa aratam ca o functie este inversabila trebuie sa stim ce inseamna.

Def: O functi f: A\rightarrow B se numeste inversabila daca exista o functie g:B\rightarrow A astfel incat g\circ f= 1_{A} si f\circ g=1_{B}. Functia g, daca exista este unica si se numeste inversa functiei f si se noteaza f^{-1}.

Teorema: O functie f:A\rightarrow B este inversabila daca si numai daca este bijectiva.

Ca sa aratam ca este inversabila aratam ca functia este bijectiva, astfel aratam mai intai ca functia este injectiva:

Fie x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\neq 0\Rightarrow -5x_{1}+2-\left(-5x_{2}+2\right)\neq 0\Rightarrow -5x_{1}+5x_{2}+2-2\neq 0\Rightarrow 5\left(x_{2}-x_{1}\right)\neq 0 deci f este injectie

Sau mai putem arata ca f este injectie astfel:

Fie x_{1}, x_{2}\in R cu proprietatea ca f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right) sa rezulte ca x_{1}=x_{2} aratam ca:

f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)\Rightarrow -5x_{1}+2=-5x_{2}+2\Rightarrow x_{1}=x_{2}, deci f este injctie.

Surjectivitatea:

Fie y\in R, f\left(x\right)=y

\Rightarrow -5x+2=y\Rightarrow -5x=y-2

\Rightarrow x=\frac{y-2}{-5}\Rightarrow x=\frac{2-y}{5}.

Deci f este injectiva, surjectiva si astfel rezulta ca f este bijectiva.

Cu teorema pe care am enuntat-o mai sus, daca o functie este bijectiva rezulta ca functia este inversabila, iar inversa sa este f^{-1}=\frac{2-y}{5}.