Metoda inductiei matematice

Ca sa demonstram cu metoda  inductiei matemtice trebuie sa parcurgem urmatoarele etape:
1. Verificam daca propozitia P\left(n_{0}\right) este adevarata:
2. Demonstram implicatia P\left(k\right)\Rightarrow P\left(k+1\right), oricare ar fi k\in N, k\geq n_{0} (presupunem ca propozitia P\left(k\right) este adevarata si demonstram ca si P\left(k+1\right) este adevarata).
Particularizand n_{0}=0 ce am spus mai sus spunem: Daca propozitia P\left(n_{0}\right) cu n\in N verifica conditiile:
1. P\left(0\right) este adevarata
2. Presupunem P\left(k\right) adevarata si demonstram  P\left(k+1\right), adica implicatia P\left(k\right)\Rightarrow P\left(k+1\right) este adevarata pentru oricek\in N atunci si  P\left(n\right) este adevarata pentu n\in N^{*}.
Intr-un alt articol o sa prezentam  exemple care sa ne faca sa intelegem ceea ce am spus mai sus , adica cum folosim metoda inductiei matematice sa demonstram o egalitate sau inegalitate.

Ecuatii si inecuatii exponentiale

Dupa ce am invatat despre functiile logaritimice si functiile exponentiale, astazi o sa vorbim despre ecuatii si inecuatii exponentiale.

Incepem cu ecuatiile exponentiale:

Ecuatiile exponentiale sunt ecuatiile in care necunoscuta este exponent.

Probabil ca despre ecuatii exponentiale ati ma invatat si in gimnaziu, dar nu ati stiut ca sunt ecuatii exponentiale. Propun sa rezolvam cateva ecuatii in care sa stim care modalitatile de rezolvare:

1) Sa se rezole ecutiile:
a 2^{2x}=64  \\2^{2x}=2^{6}\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3
Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus am scris numarul 64 in baza 2 si astfel gasim 64=2^{6}, dupa ce am adus ambele parti la aceiasi baza, egalam exponetii si rezolvam ecautia asa cum stiam inca din clasele mai mici.

b) 5^{x^{2}-x-2}=625  \\5^{x^{2}-x-2}=5^{4}  \\x^{2}-x-2=4 \Rightarrow x^{2}-x-6=0  \\\Delta=b^{2}-4\cdot a \cdot c=\left(-1\right)^{2}-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)  \\\Delta= 1+24  \\\Delta=25  \\x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{1+5}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3  \\x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{1-5}{2\cdot 1}=\frac{-4}{2}=-2
Am gasit solutiiile ecuatiei.
Ca sa rezlvam ecuatia de mai sus  am adus numarul 625 la aceiasi baza ca si membrul stang, iar apoi am egalat exponentii, obtinand o ecuatie de gradul al doilea pe care am rezolvat-o cum am invatat in clasele mai mici.

c) 3^{2\sqrt{x}}-4\cdot 3^{\sqrt{x}}+3=0
Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus notam 3^{x}=y si obtinem
\left(3^{x}\right)^{2}-4\cdot 3^{\sqrt{x}}+3=0    \\y^{2}-4y+3=0  \\\Delta=16-4\cdot 3  \\\Delta=16-12  \\\Delta=4  \\y_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-\left(-4\right)+\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4+2}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3  \\y_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-\left(-4\right)-\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4-2}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1
Cum stim ca am notat 3^{x}=y obtinem
3^{x}=3\Rightarrow x=1  \\3^{x}=1\Rightarrow x=0
Dupa ce am facut substiutia am obtinut o ecuatie de gradul al doilea pe care am rezolvat-o iar solutiile pe care le-am gasit le-am inlocuit in substitutia pe care am facut-o si astfel am gasit solutiile ecuatiei.

Inecuatiile exponentiale

Rezolvarea inecuatilor exponentiale se bazeaaza pe proprietatile de monotonie ale functiilor exponentiale. Stiti ca functiile exponetiale sunt crescatoare cand au bazele supraunitare si descrescatoare cand bazele sunt subunitare.
Exemplu:

2) Sa se rezolve inecuatiile:
a) 2^{x}>8
Inecutia de mai sus putem sa o scriem 2^{x}>2^{3}, iar daca studiem monotonia functiei f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=2^{x} obtinem ca functia este crescatoare, deoarece baza este mai mare decat 1. Si astfel obtinem: x>3

Probleme cu unghiuri adiacene, unghiuri complementare si unghiuri suplementare

Dupa ce am invatat notiunile de unghiuri adiacente, unghiuri complementare, unghiuri complementare si despre bisectorea unui unghi, astazi o sa rezolvam probleme cu unghiuri in care apar aceste notiuni.
1) Daca \prec XOY si YOZ sunt unghiuri adiacente, \frac{m\left(\prec XOY\right)}{m\left(YOZ\right)}=\frac{2}{7}, iar bisectoarele lor formeaza un unghi de 45^{0}, aflati masurile unghiurilor \prec XOYsi \prec YOZ.
Solutie
bisectoare unui unghi
Din datele problemei am construit unghiul TOD (unghi format din bisectoarele celor doua unghiuri XOY si YOZ), stim ca m\left(\prec TOD\right)=45^{0}
Stim de asemenea ca
\frac{m\left(\prec XOY\right)}{m\left(YOZ\right)}=\frac{2}{7}\Rightarrow m\left(\prec XOY\right)=\frac{2}{7}\cdot m\left(\prec YOZ\right)
Stim ca daca OT este bisectoarea unghiului XOY rezulta ca m\left(\prec TOY\right)=\frac{1}{2}\cdot m\left(\prec XOY\right), de asemenea stim ca OD este bisectoarea unghiului YOZ rezulta ca m\left(\prec DOY\right)=\frac{1}{2}\cdot m\left(\prec YOZ\right),
Cum m\left(\prec TOD\right)=45^{0}\Rightarrow m\left(\prec TOY\right)+m\left(\prec YOD\right)=45^{0}\Rightarrow \frac{1}{2}\cdot m\left( \prec XOY\right)+\frac{1}{2}\cdot m\left(\prec YOZ\right)=45^{0}\Rightarrow \frac{m\left(\prec XOY\right)+m\left(\prec YOZ\right)}{2}=45^{0}\Rightarrow m\left(\prec XOY\right)+m\left(\prec YOZ\right)=90^{0}
Deci suma celor doua unghiuri este de 90 de grade
Dar stim ca  m\left(\prec XOY\right)=\frac{2}{7}\cdot m\left(\prec YOZ\right), inlocuind in ce am obtinut mai sus obtinem:
<br /> \frac{2}{7}\cdot m\left(\prec YOZ\right)+m\left(\prec YOZ\right)=90^{0}| \cdot 7<br /> \\2\cdot m\left(\prec YOZ\right)+7\cdot m\left(\prec YOZ\right)=90^{0}\cdot 7<br /> \\9 m\left(\prec YOZ\right)=630^{0}:9<br /> \\m\left(\prec YOZ\right)=70^{0}<br /> \\m\left(\prec XOY\right)=\frac{2}{7}\cdot m\left(\prec YOZ\right)=\frac{2}{7}\cdot 70^{0}=2\cdot 10^{0}=20^{0}<br />
Deci masura unghiului YOZ este de 70 de grade si masura unghiului XOY este de 20 de grade.
Important este sa stim cand doua unghiri sunt suplementare, coplementare sau cand sunt adiacente, sa stim definitia bisectoarei unui unghi si cum le aplicam in formule

Operatii cu numere reale. Formule de calcul prescurtat

Inca din generala ati invatat sa efectuati operatii cu numere reale, dar sa si folositi formulele de calcul prescurtat. Incercam sa rezolvam exercitii astfel incat sa ne reamintim cum sa folosim numerele reale si formulele de calcul prescurtat.

1) Calculati:
a) <br /> \left(\frac{2}{5\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{12}}+\frac{3}{\sqrt{75}}\right):\left(2\sqrt{3}\right)^{-1}=\\</p> <p>\left(\frac{2\sqrt{3}}{15}-\frac{\sqrt{12}}{12}+\frac{3\sqrt{75}}{75}\right): \frac{1}{2\sqrt{3}}=\\<br /> \left(\frac{2\sqrt{3}}{15}-\frac{2\sqrt{3}}{12}+\frac{3\sqrt{75}}{75}\right)\cdot 2\sqrt{3}=\\<br /> \left(\frac{2\sqrt{3}}{15}-\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{5\sqrt{3}}{25}\right)\cdot 2\sqrt{3}=\\<br /> \left(\frac{2\sqrt{3}}{15}-\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{5}\right)\cdot 2\sqrt{3}=\\<br /> \left(\frac{2\cdot 2\sqrt{3}-5\cdot\sqrt{3}+6\cdot\sqrt{3}}{30}\right)\cdot 2\sqrt{3}=\\<br /> \left(\frac{4\sqrt{3}-5\sqrt{3}+6\sqrt{3}}{30}\right)\cdot 2\sqrt{3}=<br /> \left(\frac{5\sqrt{3}}{30}\right)\cdot 2\sqrt{3}=<br /> \frac{5\cdot 3}{15}=1.</p> <p>

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am rationalizat numitorii, am scos factorii de sub radicali (stim ca \sqrt{a^{2}}=|a|, \sqrt{a^{2}\cdot b}=|a|\sqrt{b}), iar apoi am simplificat pe unde s-a putut, pentru a ne simplifica calculele, am adus la acelasi numitor, am efectuat calculele iar apoi am facut produsul celor doua rezultate, stim ca a^{-1}=\frac{1}{a} si de aici obtinem \left(2\sqrt{3}\right)^{-1}=\frac{1}{2\sqrt{3}},iar de la impartirea a doua numere rationale stim ca este egal cu produsul dintre primul si inversul celui de-al doilea, de unde obtinem rezultatul.

b) <br /> \sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}}+\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}}+\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^{2}}=\\<br /> \left|2-\sqrt{3}\right|+\left|1-\sqrt{3}\right|+\left|1-\sqrt{2}\right|=2-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1+\sqrt{2}-1=\sqrt{2}.<br />

Dupa cum stiti din clasa a VIII-a trebuie sa sa gasim o forma astfel incat sa putem sa scriem numerele de sub radical la patrat pentru ca stim ca  \sqrt{a}=\left|a\right|, astfel folosim formulele de calcul prescurtat, pentru a putea scoate factorii de sub radicali, iar apoi folosim definitia modulului, iar apoi restul este un simplu calcul.
c)</p> <p>2\sqrt{7-\sqrt{48}}+3\sqrt{43-30\sqrt{2}}+9\sqrt{25-4\sqrt{6}}=<br /> 2\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}}+3\sqrt{\left(5-3\sqrt{2}\right)^{2}}+9\sqrt{\left(1-2\sqrt{6}\right)^{2}}=<br /> \\2\left|2-\sqrt{3}\right|+3\left|3\sqrt{2}-5\right|+9\left|2\sqrt{6}-1\right|=<br /> \\2\left(2-\sqrt{3}\right)+3\left(5-3\sqrt{2}\right)+9\left(2\sqrt{6}-1\right)=<br /> 4-2\sqrt{3}+15-9\sqrt{2}+18\sqrt{6}-9=10-2\sqrt{3}-9\sqrt{2}+18\sqrt{6}

Ca sa rezolvam exercitiile ca si la exercitiul b) trebuie sa folosim formulele de calcul prescurtat ca sa scriem numarul de sub radical ca un numar la patrat. Observam cum sa-l scriem de exemplu la primul radical 7-\sqrt{48}, trebuie sa ne gandim ca suma la patrat a celor doua numere trebuie sa obtinem, iar produsul celor doua numere trebuie sa fie \sqrt{48}, cum stim ca folosim formula de calcul prescurtat (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, dar la noi 2 este introdus sub radical, iar daca scoatem factorul de sub radicalul \sqrt{48}=2\sqrt{12}, deci produsul dintre a si b este a\cdot b=\sqrt{12}, iar singura posibilitate este ca a=\sqrt{3}, b=\sqrt{4}=2.

Sau putem folosi formulaele
<br /> \sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}<br /> \\\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}<br />

Formulele de mai sus se numesc formulele radicalilor compusi, si ne ajuta sa scriem radicali chiar daca necesita mai mult calcul.