Aranjamente

Dupa ce am discutat despre Permutari a venit vremea sa discutam despre Aranjamente.Poate va intrebati de e important sa invatam notiunile teoretice despre Aranjamente. Raspunsul este firesc, deoarece ne ajuta sa calculam anumite aspecte din viata cotidiana, de exemplu:

In cate moduri poate programa o grupa de studenti 4 examene in 18 zile? Dar daca in prima zi trebuie programat neaparat un examen?
Normal ca putem sa o luam si logic, dar matematic enuntam mai intai urmatoarele notiuni?

Definite:

Submutimile ordonate de cate k elemente k\leq n, care se pot forma din cele n elemente ale unei multimi finite, se numesc aranjamente de n luate cate k.

Si scriem A^{k}_{n}
Teorema:

Fie A multime cu n elemente n\in N si k\leq n, k\in N. Numarul aranjamentelor din A de n luate cate k este
A^{k}_{n}=n\cdot\left(n-1\right)\cdot...\cdot\left(n-k+1\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}.
Acum solutia la problema care am enuntat-o mai sus este:
Deci trebuie sa aflam in cate moduri putem alege 4 zile din cele 18 zile pentru a programa examenele, adica A^{4}_{18}=\frac{18!}{\left(18-4\right)!}=\frac{18!}{14!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot...\cdot 14\cdot 15\cdot 16\cdot 17\cdot 18}{1\cdot 2\cdot 3\cdot...\cdot 14}=15\cdot 16\cdot 17\cdot 18=73440(moduri).
Pentru cea de-a doua cerinta rationam asfel:
– in prima zi poate fi programat oricare din cele 4 examene, deci avem 4 posibilitati
– in celelalte 17 zile pot fi programate celelalte examene ramase, asfel
A^{3}_{17}=\frac{17!}{\left(17-3\right)!}=\frac{17!}{14!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot...\cdot 14\cdot 15\cdot 16\cdot 17}{1\cdot 2\cdot 3\cdot...\cdot 14}=15\cdot 16\cdot 17=4080
Deci examenele pot fi programate in 4\cdot A^{3}_{17}=4\cdot 4080=16320.
2) Sa se rezolve

\frac{2\cdot P_{x+2}}{A^{x-4}_{x-1}\cdot P_{4}}=105

\Rightarrow \frac{2\cdot \left(x+2\right)!}{\frac{\left(x-1\right)!}{\left(x-1-x+4\right)!}\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=105\Rightarrow\frac{2\cdot\left(x+2\right)!}{\frac{\left(x-1\right)!}{3!} \cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=105\Rightarrow

\frac{2\cdot\left(x+2\right)!}{\frac{\left(x-1\right)!}{1\cdot 2\cdot 3}1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=105\Rightarrow    \frac{2\cdot\left(x+2\right)!}{4\cdot\left(x-1\right)!}=105\Rightarrow \frac{\left(x+2\right)!}{2\cdot\left(x-1\right)!}=105\Rightarrow    \frac{\left(x-1\right)\cdot x\cdot\left(x+1\right)\cdot\left(x+2\right)}{2\cdot\left(x-1\right)}=105\Rightarrow    x\cdot\left(x+1\right)\cdot\left(x+2\right)=2\cdot 105\Rightarrow x\cdot\left(x+1\right)\cdot\left(x+2\right)=210

x=5 este solutie a ecuatiei.

Daca x<5, obtinem

x\cdot\left(x+1\right)\cdot\left(x+2\right)<5\cdot 6\cdot 7=210, iar daca

x>5

x\cdot\left(x+1\right)\cdot\left(x+2\right)>5\cdot 6\cdot 7=210, deci x=5 este solutia unica a ecuatiei.

 

 

Combinatorica Multimi finite ordonate Permutari

Incepem prin a invata o notiune noua si anume Combinatorica, iar in cadrul acestui capitol o sa vorbim despre  Multimi finite ordonate Permutari.

Despre multimi finite am mai discutat si in clasa a IX-a, notiunea noua pe care o introducem o sa fie Permutari.

Multimi finite ordonate

Definitie:

Multimea A se numeste finita daca exista o functie bijectiva  f:\left\{1,2,...,n\right\}\rightarrow A. Numarul n al elemenelor lui A se numeste cardinalul lui A si se noteaza card A sau |A|. Prin conventie: card \oslash=0

Proprietati:

1) card\left(A\cup B\right)=card\left(A\right)+card\left(B\right)-card\left(A\cap B\right)

2) card\left(A-B\right)=card\left(A\right)-card\left(A\cap B\right)

3) card\left(A\times B\right)=card\left(A\right)\cdot card\left(B\right)

Teorema. Fie A si B doua multimi finite, card\left(A\right)=n si card\left(B\right)=m. Atunci numarul tuturor functiilor f:A\rightarrow B este m^{n}.

Propozitie. Numarul tuturor submultimilor unei multimi cu n elemente este 2^{n}

Exemplu:

1) Dintr-un grup de 50 de turisti, 35 cunosc engleza, iar 25 franceza Cati turisti cunosc ambele limbi?

Solutie:

Fie A multimea turistilor , B multimea turistilor care cunosc engleza, C multimea turistilor care cunosc franceza.

Avem card\left(A\right)= 50, card\left(B\right)=35, card\left(C\right)=25

Stim ca card\left(A\right)=card\left(B\cup C\right)

astfel,

card\left(B\cup C\right)=

card\left(B\right)+card\left(C\right)-card\left(B\cap C\right)

\Rightarrow

50=35+25-card\left(B\cap C\right)\Rightarrow 50=60-card\left(B\cap C\right)\Rightarrow

card\left(B\cap C\right)=60-50\Rightarrow

card\left(B\cap C\right)=10,

deci numarul turistilor care cunosc ambele limbi sunt 10.

2) Fie multimea A=\left\{1,2,...,8\right\}

a) Cate submultimi ale lui A contin numai numere pare

b) Cate submultimi ale lui A care contin elementul 1 exista.

Solutie:

a) Ca  sa aflam numarul submultimilor lui A care contin numai numere pare scriem multimea elementelor pare astfel

\left\{2,4,6,8\right\} si numarul submultimilor lui A sunt 2^{4}-1=8-1=7 (multimea vida nu convine)

b) 2^{7}=128 submultimi.

Permutari

Definitie:  Multimile ordonate cu n elemente ce se obtin prin ordonarea unei multimi finite cu n elemente se numesc permutari ale unei multimi.

Teorema: Numarul P_{n} al tuturor permutarilor unei multimi cu n elemente este P_{n}=n! unde n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot...\cdot n, n\in N^{*}. Prin convenctie 0!=1=P_{0}

Exemple

1) In cate moduri pot fi asezate 9 vagoane ale unui tren la o locomotiva?

Solutie:

Trebuie sa determinam  numarul de permutari  ale unei multimi cu 9 elemente (vagoane), adica

P_{9}=9!=1\cdot2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 4\cdot...\cdot 9

2) Rezolvati ecuatiile:

a) $latex \frac{P_{n}}{P_{n-2}}=72\Rightarrow \frac{n!}{\left(n-2\right)!}=72\Rightarrow \frac{\left(n-2\right)\cdot\left(n-1\right)\cdot n}{\left(n-2\right)}=72\Rightarrow \frac{\left(n-1\right)\cdot n}{1}=72\Rightarrow \left(n-1\right)\cdot n=72\Rightarrow n^{2}-n=72\Rightarrow n^{2}-n-72=0$

\Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot c=\left(-1\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-72\right)=1+288=289;

n_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{1+\sqrt{289}}{2\cdot 1}=\frac{1+17}{2}=\frac{18}{2}=9;

n_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=

\frac{1-\sqrt{289}}{2\cdot 1}=

\frac{1-17}{2}=\frac{-16}{2}=-8(nu convine ).

Cum n\in N, observam ca doar pentru n=9 este o solutie a ecuatiei.

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus folosim pentru inceput teorema care am enuntat-o mai sus, apoi am simplificat pe unde am putut, observam ca pana la n factorial  la numarator mai avem de la n-2 factorial mai avem n-1 si evident 2, de unde am simplificat n-2 cu n-2 si ne-a ramas \left(n-1\right)\cdot n, evident in membrul stang. Restul este cu calcul normal a unei ecuatii de gradul al doilea.

b) \frac{\left(n+1\right)!}{\left(n-1\right)!}<30\Rightarrow \frac{\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)}{n-1}<30\Rightarrow n\cdot\left(n+1\right)<30\Rightarrow n^{2}+n<30\Rightarrow n^{2}+n-30<0

 

\Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot c=1^{2}-4\cdot 1\cdot\left(- 30\right)=1+120=121;

Observam ca Delta este mai mare ca 0 si a>0, deci inecuatia noastra are multimea solutiilor inecutiilor este S=\left(n_{1}, n_{2}\right)

n_{1}=\frac{-1+\sqrt{121}}{2\cdot 1}=\frac{-1+11}{2}=\frac{10}{2}=5;

\\n_{2}=\frac{-1-\sqrt{121}}{2\cdot 1}=

\frac{-1-11}{2}=

\frac{-12}{2}=-6\Rightarrow n_{2}

Deci n\in \left(-6, 5\right), pune acum conditiile:

n+1\geq 0 si n-1\geq 0

Astfel avem

n+1\geq 0\Rightarrow n\geq -1;    n-1\geq 0\Rightarrow n\geq 1  si n\in N

Deci n\in \left[-1,\infty\right) si n\in\left[1,\infty\right)\Rightarrow n\in\left[1, \infty\right) (calculam intersectia ccelor doua sulutii ale inecuatiei).

Si astfel gasim ca n\in\left\{1, 2, 3, 4\right\}

Ca sa rezovam inecuatia de mai sus am folosit ca si  la exercitiul a) teorema care am enuntat-o mai sus, am simplificat ce am putut. Observati mai sus cum am scris si numitorul si numaratorul si ce am simplificat. Am obtinut o inecuatie de gradul al doilea pe care am rezolvat-o folosind regulile de rezolvare a inecuatiilor de gradul a II-lea. Important sa tinem cont de conditiile de mai sus ca sa gasim solutiile inecuatiei.

Functii injective. Functii surjective. Functii bijective

Dupa ce am invatat notiunea de functie inca din clasa a VIII-a, (cum am definit-o, cum sa calculam graficul unei functii si asa mai departe )acum o sa invatam despre functii injective, functii surjective si functii bijective.

Incepem cu functiile injective

Fie A si B doua multimi nevide

Def:O functie f:A\rightarrow B se numeste injectiva (injectie) daca \forall x_{1}, x_{2}\in A, x_{1}\neq x_{2} avem f\left(x_{1}\right)\neq f\left(x_{2}\right)

Observatie: Faptul ca f este injectiva mai poate fi exprimat si astfel:

1) daca x_{1} si x_{2} sunt elemente oarecare din A cu proprietatea ca f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right), atunci rezulta ca x_{1}=x_{2}

2) Functia f:A\rightarrow B este injectiva daca \forall y\in B ecuatia f\left(x\right)=y are cel mult o solutie x\in A.

Functii surjective

Def: O functie f:A\rightarrow B este o functie surjectiva (surjectie) daca pentru oricare y\in B exista $ cel putin un x\in A astfel incat f\left(x\right)=y

Observatie: O functie f:A\rightarrow B este o functie surjectiva, daca \forall y\in B ecuatia f\left(x\right)=y are cel putin o solutie x\in A.

Functii bijective

Def: O functie f:A\rightarrow B care este simultan si injectiva, dar si surjectiva se numeste bijectiva (bijectie).

Exemplu:

1) Fie functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=2x+3 sa se arate ca f este bijectie.

Solutie: Pentru a arata ca functia este bijectiva aratam mai intai ca functia f este injectiva si surjectiva.

Injectia: \forall x_{1}, x_{2}\in A fie x_{1}\neq x_{2} trebuie sa obtinem ca f\left(x_{1}\right)\neq f\left(x_{2}\right)

Astfel obtinem: f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\neq 0\Rightarrow 2x_{1}+3-2x_{2}-3=2\left(x_{1}-x_{2}\right)\neq 0 deci f este injectiva.

Surjectivitatea

Fie y\in R exista cel putin un x\in R astfel incat f\left(x\right)=y\Rightarrow 2x+3=y\Rightarrow 2x=y-3\Rightarrow x=\frac{y-3}{2}. Deci \forall \in R \exists x=\frac{y-3}{2}\in R si astfel obtinem ca f este surjectiva.

Cum f este simultan si injectiva si surjectiva rezulta ca f este bijectiva.

2) Sa se arate ca functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=-5x+2 este inversabila si sa i se determine inversa.

Ca sa aratam ca o functie este inversabila trebuie sa stim ce inseamna.

Def: O functi f: A\rightarrow B se numeste inversabila daca exista o functie g:B\rightarrow A astfel incat g\circ f= 1_{A} si f\circ g=1_{B}. Functia g, daca exista este unica si se numeste inversa functiei f si se noteaza f^{-1}.

Teorema: O functie f:A\rightarrow B este inversabila daca si numai daca este bijectiva.

Ca sa aratam ca este inversabila aratam ca functia este bijectiva, astfel aratam mai intai ca functia este injectiva:

Fie x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\neq 0\Rightarrow -5x_{1}+2-\left(-5x_{2}+2\right)\neq 0\Rightarrow -5x_{1}+5x_{2}+2-2\neq 0\Rightarrow 5\left(x_{2}-x_{1}\right)\neq 0 deci f este injectie

Sau mai putem arata ca f este injectie astfel:

Fie x_{1}, x_{2}\in R cu proprietatea ca f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right) sa rezulte ca x_{1}=x_{2} aratam ca:

f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)\Rightarrow -5x_{1}+2=-5x_{2}+2\Rightarrow x_{1}=x_{2}, deci f este injctie.

Surjectivitatea:

Fie y\in R, f\left(x\right)=y

\Rightarrow -5x+2=y\Rightarrow -5x=y-2

\Rightarrow x=\frac{y-2}{-5}\Rightarrow x=\frac{2-y}{5}.

Deci f este injectiva, surjectiva si astfel rezulta ca f este bijectiva.

Cu teorema pe care am enuntat-o mai sus, daca o functie este bijectiva rezulta ca functia este inversabila, iar inversa sa este f^{-1}=\frac{2-y}{5}.

Logaritmi Operatii cu logaritmi Ecuatii logaritmice

Unora vi se pare foarte greu sa intelegeti acesti logaritmi,  unora vi se par simpli. Important este sa invatam cum sa efectuam operatii cu logaritimi dar si cum sa rezolvam ecuatii cu logaritmi. Pentru inceput definim notiunea de logaritm.

Def: Fie a>0 un numar real pozitiv, a\neq 1. Consideram ecuatia exponentiala  a^{x}=N, N>0 ecuatia exponentiala are o solutie unic determinata, iar aceasta solutie se  noteaza x=\log_{a}{N} numit logaritmul numarului pozitiv N in baza a.

Din cele doua relatii obtinem a^{\log_{a}{N}}=N

adica algoritmul unui numar real pozitiv este exponentul la care trebuie ridicata  baza „a”  pentru a obtine numarul dat

Exemplu:

a). Sa se calculeze  \log_{5}{125}

Stim ca 125=5^{3}, iar din definitia logaritmului avem ca \log_{5}{5^{3}}=3, trebuie sa ne obisnuim ca ce numar care are baza 5 la o anumita putere ne da 125.

b). Sa se calculeze  \log_{\frac{1}{3}}{27}. Astfel consideram ecuatia exponentiala \left(\frac{1}{3}\right)^{x}=27

Adica ne gandim ca numarul \frac{1}{3} la ce putere obtinem 27 si astfel am obtinut o ecuatie exponentiala.

Cu ajutorul inversului unei functii stim ca \frac{1}{3}=3^{-1} si astfel am obtinut aceeasi baza a ecuatiei exponentiale \left(3^{-1}\right)^{x}=3^{3}\Rightarrow 3^{-x}=3^{3}\Rightarrow -x=3\Rightarrow x=-3 deci \log_{\frac{1}{3}}{27}=-3

Iar daca facem proba obtinem \left(\frac{1}{3}\right)^{-3}=27

Obs: Logaritmii in baza zece se mai numesc si logaritmi zecimali si se noteaza \lg, adica daca avem \log_{10}{100}, putem sa scriem \lg 100=2

Logaritmii naturali ai numarului  a se noteaza \ln a, iar baza acestui numar este numarul irational  „e” e\approx 2,71

Ca sa putem sa efectuam operatii cu logaritmi trebuie sa stim proprietatile  logaritmilor:

1). Daca A si B sunt doua numere pozitive, atunci:

\log_{a}{\left(AB\right)}=\log_{a}{A}+\log_{a}{B}

Adica logaritmul produsului a doua numere pozitive este egal cu suma logaritmilor celor doua numere.

2). Daca A si B sunt doua numere pozitive, atunci \log_{a}{\frac{A}{B}}=\log_{a}{A}-\log_{a}{B}

Adica logaritmul catului a doua numere  este egal cu diferenta dintre logaritmul numaratorului si logaritmul numitorului.

3). Daca A este un numar pozitiv si ”m” un numar real arbitrar ales atunci:

\log_{a}{A^{m}}=m\cdot\log_{a}{A}

Adica logaritmul puterii unui numar este egal cu produsul dintre exponetul puterii si logaritmul numarului.

Exemplu:
Sa se calculeze:

a) \log_{2}{5}+\log_{2}{\frac{4}{5}}=\log_{2}{5\cdot\frac{4}{5}}=\log_{2}{4}=2

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am folosit prima regula de mai sus, adica  suma algoritmului a  doua  numere este egala cu produsul logaritmului celor doua numere  (am folosit partea a doua a regulii ), iar apoi definitia logaritmului, adica 2 la ce putere obtinem 4.

b) \log_{0,1}{5}+\log_{0,1}{4}-\log_{0,1}{2}=\log_{0,1}{5\cdot 4}-\log_{0,1}{2}=\log_{0,1}{20}-\log_{0,1}{2}=\log_{0,1}{\frac{20}{2}}=\log_{0,1}{10}=\log_{\frac{1}{10}}{10}=-1

Adica \left(\frac{1}{10}\right)^{x}=10\Rightarrow \left(10^{-1}\right)^{x}=10\Rightarrow 10^{-x}=10\Rightarrow -x=1\Rightarrow x=-1

Sau putem sa mai scriem \log_{10^{-1}}{10}=-1

Adica trebuie sa ne gandim ce 10^{-1}=10 si astfel obtinem \left(10^{-1}\right)^{-1}=10

Deci, important la logaritmi, este sa intelegem definitia acestora dar si proprietatile  care ne ajuta sa rezolvam exercitiile care contin logaritmi.

 

Probleme cu unghiuri adiacene, unghiuri complementare si unghiuri suplementare

Dupa ce am invatat notiunile de unghiuri adiacente, unghiuri complementare, unghiuri complementare si despre bisectorea unui unghi, astazi o sa rezolvam probleme cu unghiuri in care apar aceste notiuni.
1) Daca \prec XOY si YOZ sunt unghiuri adiacente, \frac{m\left(\prec XOY\right)}{m\left(YOZ\right)}=\frac{2}{7}, iar bisectoarele lor formeaza un unghi de 45^{0}, aflati masurile unghiurilor \prec XOYsi \prec YOZ.
Solutie
bisectoare unui unghi
Din datele problemei am construit unghiul TOD (unghi format din bisectoarele celor doua unghiuri XOY si YOZ), stim ca m\left(\prec TOD\right)=45^{0}
Stim de asemenea ca
\frac{m\left(\prec XOY\right)}{m\left(YOZ\right)}=\frac{2}{7}\Rightarrow m\left(\prec XOY\right)=\frac{2}{7}\cdot m\left(\prec YOZ\right)
Stim ca daca OT este bisectoarea unghiului XOY rezulta ca m\left(\prec TOY\right)=\frac{1}{2}\cdot m\left(\prec XOY\right), de asemenea stim ca OD este bisectoarea unghiului YOZ rezulta ca m\left(\prec DOY\right)=\frac{1}{2}\cdot m\left(\prec YOZ\right),
Cum m\left(\prec TOD\right)=45^{0}\Rightarrow m\left(\prec TOY\right)+m\left(\prec YOD\right)=45^{0}\Rightarrow \frac{1}{2}\cdot m\left( \prec XOY\right)+\frac{1}{2}\cdot m\left(\prec YOZ\right)=45^{0}\Rightarrow \frac{m\left(\prec XOY\right)+m\left(\prec YOZ\right)}{2}=45^{0}\Rightarrow m\left(\prec XOY\right)+m\left(\prec YOZ\right)=90^{0}
Deci suma celor doua unghiuri este de 90 de grade
Dar stim ca  m\left(\prec XOY\right)=\frac{2}{7}\cdot m\left(\prec YOZ\right), inlocuind in ce am obtinut mai sus obtinem:
<br /> \frac{2}{7}\cdot m\left(\prec YOZ\right)+m\left(\prec YOZ\right)=90^{0}| \cdot 7<br /> \\2\cdot m\left(\prec YOZ\right)+7\cdot m\left(\prec YOZ\right)=90^{0}\cdot 7<br /> \\9 m\left(\prec YOZ\right)=630^{0}:9<br /> \\m\left(\prec YOZ\right)=70^{0}<br /> \\m\left(\prec XOY\right)=\frac{2}{7}\cdot m\left(\prec YOZ\right)=\frac{2}{7}\cdot 70^{0}=2\cdot 10^{0}=20^{0}<br />
Deci masura unghiului YOZ este de 70 de grade si masura unghiului XOY este de 20 de grade.
Important este sa stim cand doua unghiri sunt suplementare, coplementare sau cand sunt adiacente, sa stim definitia bisectoarei unui unghi si cum le aplicam in formule

Compararea radicalilor de ordin diferit

Inca din clasele mai mici am invatat compararea radicalilor de ordin doi dar astazi o sa invatam sa comparam si radicalii de alt ordin. Compararea radicalilor nu este o munca foarte usoara, ca sa comparam cat mai repede radicalii, este important sa lucram cat mai multe exercitii in care trebuie sa comparam radicali de ordin diferit, superior, adica ordinul 3, 4 5. Incepem prin cateva exemple simple:

1) Comparati numerele:

a)2\sqrt{3} \;\; si \; 3\sqrt{2}
Introducem factorii sub radical si obtinem:

2\sqrt{3}=\sqrt{2^{2}\cdot 3}=\sqrt{12}  \\3\sqrt{2}=\sqrt{3^{2}\cdot 2}=\sqrt{18}.
Cum 12<18, rezulta ca 2\sqrt{3}<3\sqrt{2}

b)
3\sqrt[3]{4} \;\; si \;\; 4\sqrt[3]{2}
Daca introducem factorii sub radical obtinem:
3\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{3^{3}\cdot 4}=\sqrt[3]{27\cdot 4}=\sqrt[3]{108}  \\4\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{4^{3}\cdot 2}=\sqrt{64\cdot 2}=\sqrt[3]{128}

Cum 108 e mai mic decat 128, rezulta ca si 2\sqrt[3]{4}<4\sqrt[3]{2} Am introdus factorii sub radical dar am tinut cont ca acesti radicali sunt de ordinul 3.

2)Sa se aseze in ordine crescatoare radicalii
\sqrt{2}; \sqrt[3]{3}; \sqrt[4]{4}  \\\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}  \\\sqrt[3]{3}=3^{\frac{1}{3}}  \\\sqrt[4]{4}=4^{\frac{1}{4}}

Daca ridicam fiecare numar la puterea 12 obtinem:
(2^{\frac{1}{2}})^{12}=2^{\frac{1}{2}\cdot 12}=2^{6}=64  \\\sqrt[3]{3}=3^{\frac{1}{3}}=\left(3^{\frac{1}{3}}\right)^{12}=3^{\frac{1}{3}\cdot 12}=3^{4}=81  \\\sqrt[4]{4}=4^{\frac{1}{4}}=\left(4^{\frac{1}{4}}\right)^{12}=4^{\frac{1}{4}\cdot 12}=4^{3}=64

Astfel ca sa extragem radicalii de ordin diferit, in cazul nostru radicalul de ordinul 4, incercam sa-l aducem la forma radicalului de ordinul 2 pe care putem sa-l extragem, dupa cum am invatat in clasa a VII-a, exact ca la exemplul de mai sus.

Deci in ordine crescatoare asezam radicalii: \sqrt{2}=\sqrt[4]{4}<\sqrt[3]{3}
Altfel daca nu scriem radicalii sub forma de putere, putem sa extragem radicali de la fiecare numar astfel stim din clasa a VII-a ca \sqrt{2}\cong 1,41  \\\sqrt[4]{4}=\sqrt{\sqrt{4}}=\sqrt{2}\cong 1,41 si astfel le comparam.

Sau daca va e mai usor putem sa comparam radicalii la fel ca la puteri, adica ordinul la care trebuie adus fiecare radical este cel mai mic multiplu comun a ordinelor lor, astfel cel mai mic multiplu comun al numerelor 2, 3, 4 este \left[2, 3, 4\right]=12 ( adica luam factori comuni si necomuni o singura data la puterea cea mai mare)

Atentie, radicalul care nu are scris niciun ordin este considerat ca fiind de ordinul 2.

Astfel obtinem:

\sqrt{2}=\sqrt[2]{2}=\sqrt[2\cdot 6]{2^{6}}=\sqrt[12]{2^{6}}=\sqrt[12]{64} (il ridicam la puterea a 6 deoarece 12:2=6, adica c.m..m.m.c impartit la ordinul radicalului da numarul cu care trebuie inmultit atat ordinul radicalului car si la ce putere trebuie ridicat numarul de sub radical)

Urmatorul radical

\sqrt[3]{3}=\sqrt[4\cdot 3]{3^{4}}=\sqrt[12]{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}=\sqrt[12]{81}

Rationamentul este ca mai sus adica 12:3=4

Iar acum ultimul radical obtinem \sqrt[4]{4}=\sqrt[3\cdot 4]{4^{3}}=\sqrt[12]{4\cdot 4\cdot 4}=\sqrt[12]{64}

Astfel am obtinut radicalii \sqrt[12]{64}, \sqrt[12]{81}\sqrt[12]{64}

Observam ca \sqrt[12]{64}=\sqrt[12]{64}, adica \sqrt[2]{2}=\sqrt[4]{4}, adica \sqrt{2}=\sqrt[4]{4}

Adica obtinem ordonarea crescatoare:

\sqrt{2}=\sqrt[4]{4}<\sqrt[12]{81}, adica \sqrt{2}=\sqrt[4]{4}<\sqrt[3]{3}

Si astfel am comparat radicalii de ordin diferit.

3) Sa se afle care numar din perechile de numere urmatoare este mai mare:

a)
\\5^{\sqrt{3}}\;\;si\;\; 5^{\sqrt{2,5}}
b) \\ \sqrt[11]{6^3}\;\; si\;\; \sqrt[15]{6^7}

c) \\ \left(\sqrt{3}\right)^{-6}\;\; si\;\;\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{6}

d) \\ \sqrt[6]{\left(\frac{7}{8}\right)^{38}}\;\; si \;\;\;\sqrt[5]{\left(\frac{7}{8}\right)^{33}}

e) \\2^{-\sqrt{5}}\;\; si\;\; 2^{-\sqrt{3}}

Rezolvare:

Ca si la exercitiul de mai sus incercam sa scriem radicalii sub forma exponentiala, astfel: 5^{\sqrt{3}}=5^{\frac{1}{3}}
5^{\sqrt{2,5}}=5^{\frac{1}{2,5}}=5^{\frac{1}{\frac{25}{10}}}=5^{\frac{1}{\frac{5}{2}}}=5^{\frac{2}{5}}

Dupa ce am adus radicali la forma exponentiala ridicam la o putere comuna astfel incat sa ne dispara numitorul de la cele doua numere, ca sa putem simplifica:
\\5^{\frac{1}{3}}  \;\; si \;\;5^{\frac{2}{5}} |^{15}  \\5^{\frac{1}{3}\cdot 15}=5^{5} si
5^{\frac{2}{5}\cdot 15}=5^{3}

Am simplificat primul numar prin 3, iar cel de-al doilea prin 5 si astfel am adus cele doua numere la aceeasi baza si dupa cum stim din clasa a V-a, stiind ca avem aceiasi baza comparam exponentii si cum 3 5^{3}<5^{5} \\5^{\sqrt{3}}>5^{\sqrt{2,5}}

Urmatorul exercitiu:

\\ \sqrt[11]{6^3}\;\; si\;\; \sqrt[15]{6^7}
La fel ca si la exercitiul anterior scriem radicalii sub forma exponentiala astfel:

\sqrt[11]{6^{3}}=6^{\frac{3}{11}}=  \\ \sqrt[15]{6^{7}}=6^{\frac{7}{15}}

Ridicam la un numar comun ca sa ne dispara numitorul. Trebuie sa fie divizibil si cu 11 dar si cu 5 si 3, astfel numarul ar putea fi 55, dar nu este divizibil cu 3 si astfel, daca calculam cel mai mic multiplu comun al numerelor gasim \left[11, 15\right]=11\cdot 5\cdot 3=165

\sqrt[11]{6^{3}}=6^{\frac{3}{11}}|^{165}=6^{\frac{3}{11}\cdot 165}=6^{3\cdot 5}=6^{15}
\sqrt[15]{6^{7}}=6^{\frac{7}{15}}|^{165}=6^{\frac{7}{15}\cdot 165}=6^{7\cdot 11}=6^{77}

Am ajuns la aceiasi baza asa ca putem compara exponentii:

6^{15}<6^{77} si obtinem \sqrt[11]{6^{3}}<\sqrt[15]{7}

Dar acum sa vedem cum putem sa comparam cad avem si un numar negativ:

\left(\sqrt{3}\right)^{-6} si \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{6}
In cazul primului numar stim inca din clasele mai mici ca a^{-1}=\frac{1}{a}, dar si a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}

Deci obtinem \left(\sqrt{3}\right)^{-6}=\frac{1}{\left(\sqrt{3}\right)^{6}}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{6}

De unde obtinem ca cele doua numere sunt egale, adica

\left(\sqrt{3}\right)^{-6}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{6}

d) \\ \sqrt[6]{\left(\frac{7}{8}\right)^{38}}\;\; si \;\;\;\sqrt[5]{\left(\frac{7}{8}\right)^{33}}

Gasind cel mai mic multiplu comun al numerelor 5 si 6 si obtinem \left[5;6\right]=5\cdot 6=30

Iar pentru fiecare din numere obtinem:

\sqrt[6]{\left(\frac{7}{8}\right)^{38}}=

\sqrt[5\cdot 6]{\left[\left(\frac{7}{8}\right)^{38}\right]^{5}}=

\sqrt[30]{\left(\frac{7}{8}\right)^{38\cdot 5}}=

\sqrt[30]{\left(\frac{7}{8}\right)^{190}}

Acum avem si \sqrt[5]{\left(\frac{7}{8}\right)^{33}}=\sqrt[5\cdot 6]{\left[\left(\frac{7}{8}\right)^{33}\right]^{6}}=\sqrt[30]{\left(\frac{7}{8}\right)^{33\cdot 6}}=\sqrt[30]{\left(\frac{7}{8}\right)^{198}}

Astfel avem ca \sqrt[30]{\left(\frac{7}{8}\right)^{190}}<\sqrt[30]{\left(\frac{7}{8}\right)^{198}}, adica \sqrt[6]{\left(\frac{7}{8}\right)^{38}}<\sqrt[5]{\left(\frac{7}{8}\right)^{33}}

e)2^{-\sqrt{5}}  si 2^{-\sqrt{3}}

Acum sa vedem cum comparam doi radicali negativi

Astfel stim ca 2^{-\sqrt{5}}=\frac{1}{2^{\sqrt{5}}}, acum ridicand la patrat obtinem:
2^{-\sqrt{5}}=\frac{1}{2^{\sqrt{5}}}|^{2}=

\left(\frac{1}{2^{\sqrt{5}}}\right)^{2}=

\frac{1^{2}}{\left(2^{\sqrt{5}}\right)^{2}} =\frac{1}{5},

deoarece stim ca \left(\sqrt{a}\right)^{2}=a

Deci obtinem si ca 2^{-\sqrt{3}}=\frac{1}{2^{\sqrt{3}}}, acum ridicand la patrat obtinem:

2^{-\sqrt{3}}=\frac{1}{2^{\sqrt{3}}}|^{2}=

\left(\frac{1}{2^{\sqrt{3}}}\right)^{2}=

\frac{1^{2}}{\left(2^{\sqrt{3}}\right)^{2}}=\frac{1}{3}

Acum comparand fractiile ordinare obtinem:

\frac{1}{5} si \frac{1}{3}, adica

\frac{1}{5}<\frac{1}{3}, deoarece 1:5<1:3

Adica 2^{-\sqrt{5}}<2^{-\sqrt{3}}

Sau putem sa comparam si astfel

2^{-\sqrt{5}}=

2^{-5^{\frac{1}{2}}}

Adica 5^{\frac{1}{2}}|^{2}=\left(5^{\frac{1}{2}}\right)^{2}=5^{\frac{1}{2}\cdot 2}=5

Si astfel obtinem 2^{-\sqrt{5}}

2^{-5^{\frac{1}{2}}}=2^{-5}

Dar si 2^{-\sqrt{3}}=2^{-3^{\frac{1}{2}}}

Si daca luam la fel ca mai sus obtinem
3^{\frac{1}{2}}|^{2}=\left(3^{\frac{1}{2}}\right)^{2}=3^{\frac{1}{2}\cdot 2}=3

2^{-\sqrt{3}}=2^{-3^{\frac{1}{2}}}=2^{-3}

Comparand cele doua puteri obtinem -3> -5

Si obtinem 2^{-3}>2^{-5}, adica 2^{-\sqrt{3}}> 2^{-\sqrt{5}}

Astfel putem compara toate numerele.