Functii derivabile

Definitia derivatei unei functii intr-un punct :fie f:D\rightarrow R, D\subset R si x_{0}\in D un punct de acumulare al multimii D.

Definitie functii derivabile:

Se spune ca functia f are derivata in punctul x_{0}\in D daca exista limita  \lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}} in \bar{R}

Limita de mai sus se numeste derivata functiei in punctul x_{0} si se noteaza

f^{'}\left(x\right)=\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}

Mai spune si ca functia f este este derivabila in punctul x_{0}\in D, daca limita

f^{'}\left(x\right)=\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}

exista si este  finita.

Definitii

Fie f:D\rightarrow R, A\subset D

Functia f este derivabila pe multimea A, daca este derivabila  in fiecare punct al multimii.

Multimea D_{f^{'}}=\left\{x\in D|\exists f^{'}\left(x\right)\;\; si\;\;\; f^{'}\left(x\right)\in R\right\} se numeste domeniul de derivabilitate  a  functiei f.

Derivate laterale

Derivata la stanga

Fie functia f:D\rightarrow R si x_{0}\in D astfel incat D\cap\left(-\infty,x_{0}\right)\neq\Phi

Definitii !

Functia f are derivata la stanga in punctul x_{0}, daca limita \lim\limits_{x\to x_{0}\\x<x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}} exista in \bar{R}

Aceasta limita se numeste derivata la stanga a functiei f in punctul x_{0} si se noteaza f^{'}_{s}\left(x\right)

Functia f are derivabila la stanga in punctul x_{0}, daca derivata la stanga in x_{0} exista si este finita.

Derivata la dreapta

Fie functia f:D\rightarrow R si x_{0}\in D astfel incat D\cap\left(x_{0},+\infty\right)\neq \Phi

Definitii !

Functia f are derivata la dreapta  in punctul x_{0}, daca limita \lim\limits_{x\to x_{0}\\x>x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}} exista in \bar{R}

Aceasta limita se numeste derivata la dreata a functiei f in punctul x_{0} si se noteaza f^{'}_{d}\left(x\right)

Functia f este  derivabila  la dreata  in punctul x_{0}, daca derivata la dreapta  in x_{0} exista si este finita.

Teorema !

Fie functia f:D\rightarrow R si x_{0}\in D

a)  Functia f are derivata in x_{0} daca si numai daca f are derivatele laterale in x_{0} si f^{'}_{s}\left(x_{0}\right)=f^{'}_{d}\left(x_{0}\right)=f^{'}\left(x_{0}\right)

b) Functia f este derivabila in x_{0} daca si numai daca este derivabila la stanga si la dreapta   in
x_{0} si f^{'}_{s}\left(x_{0}\right)=f^{'}_{d}\left(x_{0}\right)=f^{'}\left(x_{0}\right)

Derivabilitate si continuitate

Teorema (continuitatea functiilor derivabile)

Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.

Observatie !

Reciproca teoremei de mai sus nu este in general adevarata. Adica, o functie este continua intr-un punct fara a fi derivabila in acel punct.

Exemplu:

Functia modul f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=|x| este continua in x_{0} fara a fi derivabila in  in acest punct.

Astfel \lim\limits_{x\to 0}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0}{|x|}=|0|=0=f\left(0\right), deci functia este continua.

Pentru derivabilitate studiem existenta si valoare limitei raportului

R\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\frac{|x|}{x} in x_{0}

Astfel avem \lim\limits_{x\to 0\;\; x<0}{R\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0\;\; x<0}{\left(-1\right)}=-1

\lim\limits_{x\to 0\;\; x>0}{R\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0\;\; x>0}{1}=1

Astfel nu exista \lim\limits_{x\to 0}{R\left(x\right)}, deci functia modul nu este derivabila in punctul x_{0}

Deci e foarte important sa cunoastem notiunea de derivata, dar si notiunea de derivata unei functii intr-un punct, cat si notiunea de derivabilitate si continuitate.

Determinarea punctele de inflexiune

Dupa ce am invatat sa determinam intervalele de convexitate si concavitate a functiilor, a venit vremea sa invatam sa determinam punctele de inflexiune, astfel prezentam o teorema cu ajutorul careia gasim punctele de inflexiune:

Teorema:Fie f:I\rightarrow R si x_{0} un punct din interiorul intervalului I, astfel incat:

a) f este de doua ori derivabila in vecinatatea  V a lui x_{0}

b) exista punctele a,b\in V, astfel incat x_{0}\in\left(a, b\right)

c ) f^{''}\left(x\right)=0

d) f^{''}\left(x\right)<0, \forall x\in\left(a, x_{0}\right) si f^{''}\left(x\right)>0, \forall x\in\left(x_{0}, b\right) sau invers  f^{''}\left(x\right)>0, \forall x\in\left(a, x_{0}\right) si f^{''}\left(x\right)<0, \forall x\in\left(x_{0}, b\right).

atunci x_{0} este un punct de inflexiune al functiei f.

Observatie:

1) Conditia f^{''}\left(x\right)=0 nu implica intotdeauna ca x_{0} este punct de inflexiune.

2. Conditia ca f sa fie continua in x_{0} este punct de inflexiune.

Exemplu:

Sa se determine punctele de inflexiune ale functiei f:D\rightarrow R definite prin:

a) f\left(x\right)=x^{3}-7x^{2}+3x-4

Aflam mai intai domeniul de definitie, astfel domeniul de definitie al functiei f este R, deoarece functia de mai sus este o functiei polinomiala, deci avem

f:R\rightarrow R

Calculam mai intai

f^{'}\left(x\right)=\left(x^{3}-7x^{2}+3x-4\right)^{'}=3x^{2}-14x+3-0

Calculam acum

f^{''}\left(x\right)=\left(f^{'}\left(x\right)\right)^{'}=\left(3x^{2}-14x+3\right)^{'}=6x-14+0=6x-14

Rezolvam acum ecuatia:

f^{''}\left(x\right)=0\Rightarrow 6x-14=0\Rightarrow 6x=14\Rightarrow x=14:6\Rightarrow x=\frac{7}{3}

Acum efectuam tabelul de variatie:

Dar mai intai calculam

f\left(\frac{7}{3}\right)=\left(\frac{7}{3}\right)^{2}-3\left(\frac{7}{3}\right)^{2}+3\cdot\frac{7}{3}-4=\frac{343}{27}-3\cdot \frac{49}{9}+7=frac{343}{27}-\frac{49}{3}+7=\frac{343-9\cdot 49+27\cdot 7 }{27}=\frac{343-441+189}{27}=\frac{-98+189}{27}=\frac{91}{27}

um aflam punctul de inflexiunea al unei functii
In concluzie functia f este concava pe intervalul x\in\left(-\infty,\frac{7}{3}\right) si este convexa pe intervalul \left(\frac{7}{3},+\infty\right)
Astfel pentru x\in\left(-\infty,\frac{7}{3}\right) f^{''}\left(x\right)<0 si pentru x\in\left(\frac{7}{3},+\infty\right), f^{''}\left(x\right)>0. Atunci punctul x_{0}=\frac{7}{3} este punct de inflexiune.
b) f\left(x\right)=x^{2}\ln x
calculam mai intai domeniul de definitie, astfel punem conditia ca
x>0\Rightarrow x\in \left(0,+\infty\right)
Deci functia f:\left(0,+\infty\right)\rightarrow R
Calculam
f^{'}\left(x\right)=\left(x^{2}\ln x\right)^{2}=2x\cdot \ln x+x^{2}\cdot \frac{1}{x}=2x\ln x+x
Calcul acum
f^{''}\left(x\right)=\left(f^{'}\left(x\right)\right)^{'}=\left(2x\ln x+x\right)^{'}=2\cdot \ln x+2x\frac{1}{x}+1=2\ln x+2+1=2\ln x+3
Acum rezolvam ecuatia:
f^{''}\left(x\right)=0\Rightarrow 2\ln x+3=0\Rightarrow 2\ln x=-3\Rightarrow \ln x=\frac{-3}{2}\Rightarrow x=e^{-\frac{3}{2}}
Calculam acum
f\left(e^{-\frac{3}{2}}\right)=\left(e^{-\frac{3}{2}}\right)^{2}\ln e^{-\frac{3}{2}}=
e^{-3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\ln e\right)=-\frac{3}{2}e^{-3}\cdot 1=-\frac{3}{2}e^{-3}

Acum alcatuim tabelul

punctul de inflexiune pentru o functie
Astfel functia f este concava pe intervalul \left(0,e^{-\frac{3}{2}}\right) si convexa pe intervalul \left(e^{-\frac{3}{2}}, +\infty\right), astfel ca punctul \left(e^{-\frac{3}{2}}, -\frac{3}{2}e^{3}\right) este punct de inflexiune.
c) f\left(x\right)=\frac{x}{1-x^{2}}
Aflam mai intai domeniul de defintie:
Astfel punem conditia ca 1-x^{2}\neq 0\Rightarrow -x^{2}\neq -1\Rightarrow x^{2}\neq 1\Rightarrow x\neq\pm 1
Astfel x\in R-{\pm 1}
Adica D=R-\left\{-1,1\right\}
Calculam acum
f^{'}\left(x\right)=\left(\frac{x}{1-x^{2}}\right)^{'}=\frac{1\cdot\left(1-x^{2}\right)-x\cdot\left(-2x\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}=\frac{1-x^{2}+2x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}=\frac{1+x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}
Calculm acum
f^{''}\left(x\right)=\frac{2x\cdot\left(1-x^{2}\right)^{2}-\left(1+x^{2}\right)\cdot 2\left(1-x^{2}\right)\cdot\left(-2x\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}=
\frac{2x\left(1-2x^{2}+x^{4}\right)+4x\left(1-x^{4}\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}=
\frac{2x-4x^{3}+2x^{5}+4x-4x^{5}}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}=
\frac{-2x^{5}-4x^{3}+6x}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}=
\frac{-2x\left(x^{4}+2x^{2}-3\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}=
\frac{-2x\left(x^{4}+3x^{2}-x^{2}-3\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}=
\frac{-2x\left[x^{2}\left(x^{2}+3\right)+\left(x^{2}+3\right)\right]}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}=
\frac{-2x\left(x^{2}+3\right)\left(x^{2}-1\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}

Astfel avem ca:

f^{''}\left(x\right)=0\Rightarrow -2x\left(x^{2}+3\right)\left(x^{2}-1\right)=0

Si astfel obtinem -2x=0\Rightarrow x=0

Sau x^{2}+3=0 (observam ca ecuatia nu are solutii in multimea numerelor reale)

Sau x^{2}-1=0\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=\pm 1

Acum intocmim tabelul de variatie, dar tinem cont si de domeniul de definitie al functiei, astfel avem:

Calculam acum f\left(0\right)=\frac{0}{1-0^{2}}=0

Ca sa stabilim semnul functiei calculam

f^{''}\left(-2\right)=\frac{-2\cdot\left(-2\right)\left[\left(-2\right)^{2}+3\right]\left[\left(-2\right)^{2}-1\right]}{\left(1-\left(-2\right)^{2}\right)^{4}}=\frac{4\left(4+3\right)\left(4-1\right)}{\left(1-4\right)^{4}}=\frac{4\cdot 7\cdot 3}{81}>0

Acum calculam

f^{''}\left(-0,5\right)=\frac{-2\cdot\left(-0,5\right)\left[\left(-0,5\right)^{2}+3\right]\left[\left(-0,5\right)^{2}-1\right]}{\left[1-\left(-0,5\right)^{2}\right]^{4}}=

\frac{1\cdot\left(0,25+3\right)\left(0,25-1\right)}{\left(1-0,25\right)^{4}}=\frac{3,25\cdot \left(-0,75\right)}{\left(-0,75\right)^{4}}=\frac{-2,43}{+0,75^{4}}<0

Iar apoi

f^{''}\left(0,5\right)=\frac{-2\cdot 0,5 \left(0,5^{2}+3\right)\left(0,5^{2}-1\right)}{\left(1-0,5\right)^{4}}=

\frac{-1\cdot\left(0,25+3\right)\left(0,25-1\right)}{\left(1-0,25\right)^{4}}=\frac{-1\cdot 3,25\cdot \left(-0,75\right)}{\left(-0,75\right)^{4}}=\frac{+2,43}{+0,75^{4}}>0

Iar acum calculam

f^{''}\left(2\right)=\frac{-2\cdot 2\left(2^{2}+3\right)\left(2^{2}-1\right)}{\left(1-2^{2}\right)^{4}}=\frac{-4\left(4+3\right)\left(4-1\right)}{\left(1-4\right)^{4}}=\frac{-4\cdot 7\cdot 3}{81}<0

punctele de inflexiune ale unei functii

Astfel pe intervalul

\left(-\infty; 1\right)\cup\left[0; 1\right) functia este convexa iar pe intervalul \left(-1; 0\right)\cup\left[0; +\infty\right) functia este concava

Iar punctele de inflexiune sunt -1; 0; 1.

Punctele de inflexiune

Reprezentarea grafica a functiilor

In reprezentarea grafica a functiilor se recomanda parcurgerea urmatoarelor etape:

1.  Se determina domeniul maxim de definitie al functiei si intersectia graficului functiei cu axele de coordonate.

Astfel pentru functiile irationale de forma \sqrt{f\left(x\right)} si pune conditia ca f\left(x\right)\geq 0

– pentru functia logaritimica de forma \log_{a}{f\left(x\right)} se pune conditia ca f\left(x\right)>0

– pentru functiile rationale de forma \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}, g\left(x\right)\neq 0

2. Intersectia graficului functiei cu axele de coordonate:

Intersectia graficului functiei cu axa Ox se  obtine punand conditia y=0\Rightarrow f\left(x\right)=0, adica rezolvam ecuatia de mai sus

Intersectia graficului functie cu axa Oy se obtine punand conditia ca x=0 si calculand f\left(0\right)=y

3. Determinarea semnului functie si eventualele simetrii

– Daca f\left(x\right)\geq 0, graficul functie este situat deasupra axei Ox in semiplanul pozitiv

– Daca f\left(x\right)\leq 0, atunci graficul functie este situat sub axa Ox semiplanul negativ.

O functie are simetrii daca este para sau impara, o functie para este simetrica fata axa Oy, iar o functie impara este simetrica fata de origine,

4. Asimptotele functiei

Calculam limitele la capetele domeniului de definitie, studiem continuitatea si determinam eventualele asimptote daca exista.

5. Studiul functiei folosind prima derivata

Cu ajutorul derivatei intai determinam intervalele de monotonie si punctelede extrem

6. Studiul functiilor folosind derivata a doua

Cu ajutorul derivatei a doua eterminam intervalele de convexitate sau concavitate si punctele de inflexiune

7.  Tabelul de variatie al functiei

Intocmim tabelul de variatie cu datele e lapunctele precendente

8. Trasam graficul functiei

Exemplu:

1) Sa se reprezinte grafic functiile:

a) f:D\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{3}-3x^{2}-4

In cazul functiilor polinomiale domeniul maxim de definitie este R, astfel D=R

G_{f}\cap Ox

Calculam

f\left(x\right)=0\Rightarrow x^{3}-3x^{2}-4=0\Rightarrow
x^{3}-2x^{2}-x^{2}-4=0\Rightarrow

x^{2}\left(x-2\right)-\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\Rightarrow
\left(x-2\right)\left(x^{2}-x-2\right)=0

Deci gasim ca

x-2=0\Rightarrow x=2

Sau

x^{2}-x-2=0\Rightarrow
\Delta =\left(-1\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-2\right)=1+8=9

Calculam acum

x_{1}=\frac{1+\sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2

Deci ecuatia are doua solutii reale

Dar mai avem si

x_{2}=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1

Deci avem

G_{f}\cap Ox=\left\{A\left(2,0\right); B\left(-1,0\right)\right\}

Calculam acum G_{f}\cap Oy, astfel calculam

f\left(0\right)=0^{3}-3\cdot 0^{2}+4=4

Astfel avem C\left(0, 4\right)

Determinam eventualele asimptote, astfel calculam

\lim\limits_{x\to-\infty}{x^{3}-3x^{2}+4}=-\infty

La fel si pentru

\lim\limits_{x\to+\infty}{x^{3}-3x^{2}+4}=+\infty

Deci functia nu are asimptote spre + si -infinit.

Studiul functiei folosind derivata intai:

f^{'}\left(x\right)=\left(x^{3}-3x^{2}+4\right)^{'}=3x^{2}-6x

Acum rezolvam

f^{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 3x^{2}-6x=0\Rightarrow 3x\left(x-2\right)=0

Astfel obtinem fie

x=0

Sau

x-2=0\Rightarrow x=2

Acum intocmim tabelul de variatie pentru derivata I, astfel avem

intervalele de monotonie ale unei functii
Studiul functiei folosind derivata a doua:

Astfel avem
f^{''}\left(x\right)=\left(3x^{2}-6x\right)^{'}=6x-6
Rezolvam acum
f^{''}\left(x\right)=0\Rightarrow 6x-6=0\Rightarrow 6x=6\Rightarrow x=1
Intocmim tabelul de variatie pentru derivata a doua
concavitatea si convexitatea functiilor
Acum trasam graficul functiei
graficul unei functii

Rolul derivatei a doua in studiul functiilor Determinarea intervalelor de convexitate si concavitate

Dupa ce am invatat rolul derivatei intai in studiul functiilor dar si a punctelor de extrem, a venit vremea sa discutatm despre rolul derivatei a doua, in studiul functiilor dar si intervalelor de convexitate si concavitate.
Dar mai intai sa definim notiunea de convexitate si concavitate:

a) Functia f:I\rightarrow R, I un interval de numere reale, se numeste functia convexa pe intervalul I, daca pentru oricare x_{1}, x_{2}\in I si oricare t\in\left[0,1\right] are loc inegalitatea
f\left[\left(1-t\right)x_{1}+tx_{2}\right]\leq\left(1-t\right)f\left(x_{1}\right)+tf\left(x_{2}\right)

b) Functia f:I\rightarrow R, I un interval de numere reale, se numeste functia concava pe intervalul I, daca pentru oricare x_{1}, x_{2}\in I si oricare t\in\left[0,1\right] are loc inegalitatea
f\left[\left(1-t\right)x_{1}+tx_{2}\right]\geq\left(1-t\right)f\left(x_{1}\right)+tf\left(x_{2}\right)

Dupa ce am definit notiunile teoretice prezentam un criteriu practic pentu a stabili daca o functie (de doua ori derivabila) este convexa sau concava pe un interval folosind semnul derivatei a doua a functiei.

Teorema

Fie f:\left[a,b\right]\rightarrow R, a<b o functie care verifica conditiile:

a) f este continua pe intervalul inchis \left[a,b\right]
b) f este derivabila de doua ori pe intervalul deschis \left(a, b\right)

Atunci:

1) daca f^{''}\left(x\right)\geq 0,\forall x\in\left(a,b\right), rezulta ca functia f este convexa pe intervalul inchis \left[a,b\right)
2) daca f^{''}\left(x\right)\leq 0,\forall x\in\left(a,b\right), rezulta ca functia f este concava pe intervalul inchis \left[a,b\right)
Modul practic de determinare a intervalelor de convexitate si de concavitate a functiei f:\rightarrow R este urmatorul:

1) Se calculeaza derivata a doua f^{''} pe domeniul de existenta D_{f^{''}}\subset D
2) Se rezolva ecuatia f^{''}\left(x\right)=0 pe multimea D_{f^{''}}
3) Se descompune domeniul de definitie al functiei in intervalele disjuncte pe care f^{''} nu se anuleaza(prin intermediul zerourilor derivatei a doua si eventual al punctelor in care functia f nu se anuleaza de doua ori)
4) Se determina semnul derivatei a doua pe fiecare interval obtinut la 3)

Astfel daca f^{''}>0 pe un interval, rezulta ca functia este convexa pe acel interval
Daca f^{''}<0 pe un interval, rezulta ca functia este concava pe acel interval

Exemplu:

1) Sa se determine intervalele de convexitate/ concavitate pentru
a) f:D\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{x^{2}-1}{x-2}
Stabilim mai intai domeniul de definitie, astfel avem:
x-2\neq 0\Rightarrow x\neq 2
Deci D=R-\left\{2\right\}
Calculam acum
f^{'}\left(x\right)=\left(\frac{x^{1}-1}{x-2}\right)^{'}=\frac{\left(x^{2}-1\right)^{'}\cdot\left(x-2\right)-\left(x^{2}-1\right)\cdot\left(x-2\right)^{'}}{\left(x-2\right)^{2}}=\frac{2x\left(x-2\right)-\left(x^{2}-1\right)\cdot 1}{\left(x-2\right)^{2}}=\frac{2x^{2}-4x-x^{2}+1}{\left(x-2\right)^{2}}=\frac{x^{2}-4x+1}{\left(x-2\right)^{2}}
Acum calculam:

f^{''}\left(x\right)=\left(f\left(x\right)\right)^{'}=\left(\frac{x^{2}-4x+1}{\left(x-2\right)^{2}}\right)^{'}=
\frac{\left(2x-4\right)\cdot\left(x-2\right)^{2}-\left(x^{2}-4x+1\right)\cdot\left[2\left(x-2\right)\cdot 1\right]}{\left(x-2\right)^{4}}=
\frac{\left(x-2\right)\cdot\left[\left(2x-4\right)\left(x-2\right)-2\left(x^{2}-4x+1\right)\right]}{\left(x-2\right)^{4}}=
\frac{2x^{2}-4x-4x+8-2x^{2}+8x-2}{\left(x-2\right)^{3}}=\frac{6}{\left(x-2\right)^{3}}

Deci obtinem ca f^{''}\left(x\right)\neq 0, \forall x\in R-\left\{2\right\}
Mai calculam si
\lim\limits_{x\to -\infty}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to -\infty}{\frac{x^{2}-1}{x-2}}=\lim\limits_{x\to -\infty}{\frac{2x}{1}}=-\infty
Ca sa calculam limita de mai sus am aplicat regula lui L’Hospital.

Calculam acum si \lim\limits_{x\to+\infty}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to +\infty}{\frac{x^{2}-1}{x-2}}=\lim\limits_{x\to +\infty}{\frac{2x}{1}}=+\infty

Dar si \lim\limits_{x\to 2\;\;x<2}{\frac{x^{2}-1}{x-2}}=\frac{4}{{-}_0}=-\infty
\lim\limits_{x\to 2\;\;x>2}{\frac{x^{2}-1}{x-2}}=\frac{4}{{+}_0}=+\infty
Tabelul pentru studiul convexitatii/ concavitatii functiei f este:
studiul convexitatii si concavitatii unei functii
Astfel observam ca functia f este
convexa pe intervalul \left(2,+\infty\right) si concava pe intervalul \left(-\infty,2\right)
b) f:D\rightarrow R, f\left(x\right)=\ln x+\frac{x^{2}}{2}
Aflam mai intai domeniul e definitie al functiei, astfel punem conditia ca
x>0\Rightarrow x\in\left(0,+\infty\right)
Astfel functia f este definita pe f:\left(0,+\infty\right)\rightarrow R
Acum calculam:
f^{'}\left(x\right)=\left(\ln x+\frac{x^{2}}{2}\right)^{'}=\frac{1}{x}+\frac{2x\cdot 2-x^{2}\cdot 0}{4}=\frac{1}{x}+\frac{4x}{x}=\frac{1}{x}+x

Ca sa calculam prima derivata am folosit regula de calul \left(\frac{f}{g}\right)^{'}=\frac{f^{'}\cdot g-f\cdot g^{'}}{g^{2}}
unde f=x^{2} si g=2
Calculam acum
f^{''}\left(x\right)=\left(f^{'}\left(x\right)\right)^{'}=\left(\frac{1}{x}+x\right)^{'}=-\frac{1}{x^{2}}+1=\frac{-1+x^{2}}{x^{2}}
La derivata a doua la fel am alicat formula de mai sus sau mai stim si direct ca \frac{1}{x}=-\frac{1}{x^{2}}
Acum calculam
f^{''}\left(x\right)=0\Rightarrow -1+x^{2}=0\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=\pm 1
Cum domeniul de definitie este \left(0,+\infty\right) rezulta ca doar x=1 este solutie a ecuatiei.
Calculam acum
\lim\limits_{x\to 0 x>0}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0 x>0}{\ln x+\frac{x^{2}}{2}}=-\infty
Dar si
\lim\limits_{x\to +\infty}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to +\infty}{\ln x+\frac{x^{2}}{2}}=+\infty

Acum realizam tabelul de variatie:
Calculam acum
f^{''}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{-1+\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}=\frac{\frac{-4+1}{4}}{\frac{1}{4}}=\frac{\frac{-3}{4}}{\frac{1}{4}}=\frac{-3}{4}\cdot\frac{4}{1}=-3
Deci pe intervalul \left(0,1\right) f^{''}\left(x\right)<0, deci finctia este concava
Acum calculam:
f^{''}\left(2\right)=\frac{-1+2}{4}=\frac{1}{4}>0
Deci pe intervalul \left(1,+\infty\right), f^{''}\left(x\right)>0, functia este convexa.
cand o functie este concava

Rolul derivatei intai in studiul functiilor

O aplicatie utila a derivatei intai a unei functii o constituie determinarea intervalelor de monotonie.
Astfel:
Teorema. Fie f:I\rightarrow R o functie derivabila pe un interval I. Atunci:
a) functia f este monoton crescatoare pe intervalul I daca si numai daca f^{'}\left(x\right)\geq, \forall x\in I
b) functia f este monoton descrescatoare pe intervalul I daca si numai daca f^{'}\left(x\right)\leq, \forall  x\in I
Pentru determinarea intervalelor de monotonie ale unei functii f:D\rightarrow R se procedeaza astfel:
– se calculeaza derivata f^{'} a functiei pe domeniul de derivabilitate D_{f^{'}}\subset D_{f}
– se rezolva ecuatia f^{'}\left(x\right)=0,x\in D_{f^{'}}
– se determina semnul functiei f^{'} pe intervalele pe care functia nu se anuleaza
– se stabilesc intervalale de monotonie in functie de semnele derivatei
Exemplu:
Sa se determine intervalele de monotonie ale functiei f:

a) f:D\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{3}-6x
Stabilim domeniul de definitie, astfel D=R
Calculam derivata intai
f^{'}\left(x\right)=\left(x^{3}-6x\right)^{'}=3x^{2}-6
Rezolvam ecuatia
f^{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 3x^{2}-6=0\Rightarrow 3x^{2}=6\Rightarrow x^{2}=6:3\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}
Determinam semnul functiei pe intervalele pe care functia se anuleaza.

Calculam acum f\left(-\sqrt{2}\right)=\left(-\sqrt{2}\right)^{2}-6\cdot\left(-\sqrt{2}\right)=-2\sqrt{2}+6\sqrt{2}=4\sqrt{2}

intervalele de monotonie

f\left(\sqrt{2}\right)=\left(\sqrt{2}\right)^{2}-6\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}-6\sqrt{2}=-4\sqrt{2}
Astfel obtinem ca:
Pe intervalele \left(-\infty, -\sqrt{2}\right] si \left[\sqrt{2},+\infty\right) este strict crescatoare iar pe intervalul \left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right], functia este strict descrescatoare.

b) f:D\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{\ln x}{x}
Mai intai aflam domeniul de definitie, astfel punem conditia ca
x>0, deci gasim ca x\in \left(0,\right), deci domeniul de definitie este D=\left(0,+\infty\right), adica
f:\left(0,+\infty\right)\rightarrow R
Acum calculam derivata functiei f^{'}\left(x\right)=\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{'}=\frac{\left(\ln x\right)\cdot x-\ln x\cdot x^{'}}{x^{2}}=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}
Astfel avem ca
f^{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 1-\ln x=0\Rightarrow \ln x=1\Rightarrow x=e
Acum avem tabelul de variatie:
f\left(e\right)=\frac{\ln e}{e}=\frac{1}{e}
cum studiem monotonia unei functii
Astfel pe intervalul
\left(0,e\right], f^{'}\left(x\right)\geq 0 deci functia este monoton crescatoare, iar pentru x\in\left[e,+\infty\right), f^{'}\left(x\right)\leq 0 deci functia este descrescatoare.

c) f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{\sin x}{2+\cos x}
Solutie
Observam ca functia este periodica de perioada principala T=2\pi
Astfel cand avem functii trigonometrice se recomanda sa efectuam studiul doar pe un interval de lungime egala, egal ca perioada principala, iar apoi rezultatele se extind la tot domeniul de definitie, adaugand multipli de 2\phi la capetele intervalelor de monotonie.
Astfel efectuam studul pe intervalul \left[0,2\pi\right]
Acum calculam
f^{'}\left(x\right)=\left(\frac{\sin x}{2+\cos x}\right)^{'}=\frac{\left(\sin x\right)^{'}\cdot\left(2+\cos x\right)-\sin x\cdot\left(2+\cos x\right)^{'}}{\left(2+\cos x\right)^{2}}=\frac{\cos x\left(2+cos x\right)-\sin x\cdot\left(0-\sin x\right)}{\left(2+cos x\right)^{2}}=\frac{2\cos x+cos^{2} x+\sin^{2} x}{\left(2\cos x\right)^{2}}=\frac{2\cos x+1}{\left(2+\cos x\right)^{2}}
Acum avem ca
f^{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 2\cos x+1=0\Rightarrow 2\cos x=-1\Rightarrow \cos x=\frac{-1}{2}
Iar solutiile din \left[0, 2\phi\right] sunt x_{1}=\frac{2\pi}{3}, x_{2}=\frac{4\pi}{3}
Realizam tabelul de variatie
monotonia functiilor trigonometrice
Astfel
f este crescatoare pe intervalele de forma \left[0, 2k\pi, \frac{2\pi}{3}\right] si \left[\frac{4\pi}{3}+2k\pi, 2k\pi\right], k\in Z si strict descrescatoare pe intervalele de forma \left[\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\frac{4\pi}{3}+2k\pi\right], k\in Z

Rezolvare subiecte simulare matematica cls. a XI-a Stiintele naturii

Prezentam  rezolvarea pentru subiecte simulare matematica clasa a XI-a. Stiintele naturii.

1) Determinati numarul real x stiind ca numerele x, 36 si 4 sunt in progresie geometrica.

Solutie:

36=\sqrt{4\cdot x}\Rightarrow 36^{2}=4\cdot x\Rightarrow\frac{36\cdot 36}{4}=x\Rightarrow

x=\frac{9\cdot 36}{1}\Rightarrow x=324

2) Fie functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x+a, \in R Determinati a stiind ca \left(f 0 f\right)\left(x\right)=x

Solutie

\left(f 0f\right)\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)=f\left(x+a\right)=x+a+a=x+2a

Deci x+2a=x\Rightarrow 2a=0\Rightarrow a=0

3) Rezolvati ecuatia

3^{-x+2}=\sqrt{3}\Rightarrow 3^{-x+2}=3^{\frac{1}{2}}\Rightarrow -x+2=\frac{1}{2}\Rightarrow -x=\frac{1}{2}-2\Rightarrow -x=\frac{1-4}{2}\Rightarrow -x=\frac{-3}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{2}

Observati ca pentru x=\frac{3}{2} ecuatia se verifica

3^{-\frac{3}{2}+2}=3^{\frac{-3+4}{2}}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}

4)

Numărul submulţimilor cu cel mult 3 elemente ale mulţimii M este C^{0}_{4}+C^{1}_{4}+C^{2}_{4}+C^{3}_{4}=\frac{4!}{\left(4-0\right)\cdot 0!}+\frac{4!}{\left(4-1\right)!\cdot 1!}+\frac{4!}{\left(4-2\right)!\cdot 2!}+\frac{4!}{\left(4-3\right)!\cdot 3!}=\frac{4!}{4!}+\frac{4!}{3!}+\frac{4!}{2!\cdot 2!}+\frac{4!}{1!\cdot 3!}=1+4+\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2}+\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1\cdot 1\cdot 2\cdot 3}=5+3\cdot 2+4=5+6+4=15.

4) In reperul cartezian XOY se considera punctul A\left(2,-3\right) si dreapta d:2x+y-5=0. Determinati ecuatia dreptei care trece prin punctul A si este perpendiculara pe dreapta d.

Solutie :

Gasim mai  intai ecuatia dreptei d’ care trece prin punctul A\left(2, -3\right), astfel avem y-\left(-3\right)=m'\left(x-2\right)\Rightarrow y+3=m'\left(x-2\right), unde

m este panta dreptei d si m’ este panta dreptei d’, unde m_{d}=m'_{d'}

Conditia ca dreptele sa fie perpendiculare este m\cdot m'=-1

Acum sa aflam panta dreptei d.

2x+y-5=0\Rightarrow y=-2x+5

Astfel panta dreptei este m_{d}=-2

Acum din conditia de mai sus avem :

m_{d}\cdot m'_{d'}=-1\Rightarrow -2\cdot m'_{d'}=-1\Rightarrow m'_{d'}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}.

Astfel ecuatia dreptei este :

y+3=m'\left(x-2\right)\Rightarrow

y+3=\frac{1}{2}\left(x-2\right)\Rightarrow

2y+6=x-2

\Rightarrow 2y+6-x+2=0\Rightarrow -x+2y+8=0\Rightarrow x-2y-8=0

5) Calculati \sin 2x stiind ca x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) si \cos x=\frac{3\sqrt{5}}{7}

Solutie:

Stim ca :

\sin^{2} x+\cos^{2} x=1

Astfel gasim ca :

\sin^{2} x+\left(\frac{3\sqrt{5}}{7}\right)^{2}=1\Rightarrow \sin^{2} x=1-\frac{9\cdot 5}{49}\Rightarrow \sin^{2} x=\frac{49-9\cdot 5}{49}=\frac{49-45}{49}\Rightarrow \sin^{2} x=\frac{4}{49}\Rightarrow \sin x=\pm \sqrt{\frac{4}{49}}\Rightarrow \sin x=\pm \frac{2}{7}

Astfel avem ca :

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x=2\cdot \frac{2}{7}\cdot\frac{3\sqrt{5}}{7}=\frac{2\cdot 2\cdot 3\sqrt{5}}{7\cdot 7}=\frac{12\sqrt{5}}{49}

Acum am luata sinusul pozitiv deoarece suntem in cadranul I, iar sinusul este pozitiv

Simulare Bacalaureat 2014 clasa a XI-a matematica

Prezentam o simulare bacalaureat 2014 clasa a XI-a la matematica subiectul I.
Dupa cum bine stiti inca din calsa a X-a ecuatiile exponentiale joaca un rol important si se pune accent pe ele cand se realizeaza subiectele la bacalaureat.

Subiecte simulare bacalaureat 2014

1) Sa se rezolve ecuatia
3^{x}+2\cdot 3^{x+1}=7
2) Sa se determine toate valorile reale ale lui x pentru care x\left(x-1\right)\leq x+15.
3) Sa se determine valoarile reale ale numarului m, astfel incat reprezentarea grafica a functiei f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{2}-\left(m+1\right)x-m sa fie tangenta la axa Ox.
4) Sa se rezolve ecuatia \lg\left(x+4\right)+\lg\left(2x+3\right)=\lg\left(1-2x\right)
5) Sa se calculeze cosinusul unghiului ascutit format de diagonalele dreptunghiului ABCD stiind ca AB=16 cm, si BC=12 cm.
6) Se considera triunghiul echilateral ABC de centru O. Daca punctul M este mijlocul segmentului BC, sa se determine numarul real astfel incat \vec{AO}=a\cdot\vec{AM}.
Solutie
1) Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus mai intai observam ca ecuatia putem sa o scriem:
3^{x}+2\cdot 3^{x+1}=7\Rightarrow 3^{x}+2\cdot 3^{x}\cdot 3^{1}=7
Astfel daca notam cu
t=3^{x} si astfel ecuatia devine
t+2\cdot t\cdot 3=7\Rightarrow t+6t=7\Rightarrow 7t=7\Rightarrow t=1
Astfel stim ca
3^{x}=1\Rightarrow 3^{x}=3^{0}\Rightarrow x=0
2) Acum sa aflam valorile reale ale lui x care verifica inegalitatea
x\left(x-1\right)\leq x+15\Rightarrow x^{2}-x-x-15\leq 0\rightarrow x^{2}-2x-15\leq 0.
Acum calculam
\Delta=\left(-2\right)^{2}-4\cdot 1\cdot \left(-15\right)=4+60=64
Calculam acum
x_{1}=\frac{-b+\sqrt{64}}{2\cdot a}=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5
x_{2}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot 1}=\frac{2-8}{2}=\frac{-6}{2}=-3
Acum sa efectuam tabelul de variatie
cum stabilim solutia unei inecuatii de gradul II
Deci solutia inecuatiei este intervalul \left[-3, 5\right]
3) Mai intai calculam valoarea minima a functiei V\left(\frac{-b}{2\cdot a}, 0\right)
Astfel avem ca
\frac{-b}{2\cdot a}=\frac{-\left[-\left(m-1\right)\right]}{2\cdot 1}=\frac{m-1}{2}
Astfel avem urmatoarea ecuatie :
x^{2}-\left(m+1\right)\cdot x-m=0
Conditia ca reprezentarea grafica sa fie tangenta la axa OX este ca \Delta =0
Astfel mai intai calculam Delta
\Delta =\left[-\left(m-1\right)\right]^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-m\right)=\left(m-1\right)^{2}+4m
Acum avem conditia \Delta =0\Rightarrow\left(m-1\right)^{2}+4m=0
\Rightarrow m^{2}-2m+1+4m=0\Rightarrow m^{2}+2m+1=0\Rightarrow\left(m+1\right)^{2}=0
\Rightarrow m=-1
deci pentru m=-1 reprezentarea grafica este tangenta la axa Ox.
4) Pentru a rezolva ecuatia avem mai intai conditiile:
x+4>0\Rightarrow x>-4\;\; I_{1}=\left(-4, +\infty\right)  \\ 2x+3>0\Rightarrow x>\frac{-3}{2}\;\; I_{2}=\left(-\frac{3}{2}, +\infty\right)  \\1-2x>0\Rightarrow x<\frac{1}{2}\;\; I_{3}=\left(-\infty; \frac{1}{2}\right)
Acum I=I_{1}\cap I_{2}\cap I_{3}=\left(-4;\infty\right)\cap\left(-\frac{3}{2}; \infty\right)\cap\left(-\infty;\frac{1}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)
Astfel ecuatia devine:
\lg\left(x+4\right)\cdot\left(2x+3\right)=\lg\left(1-2x\right)\Rightarrow \left(x+4\right)\cdot\left(2x+3\right)=\left(1-2x\right)\Rightarrow 2x^{2}+3x+8x+12=1-2x\Rightarrow 2x^{2}+13x+11=0
Observam ca am obtinut o ecuatie de gradul II
Calculam
\Delta =13^{2}-4\cdot 2\cdot 11=169-88=81
Calculam acum
x_{1}=\frac{-13+9}{2\cdot 2}=\frac{-4}{4}=-1\in I
x_{2}=\frac{-13-9}{4}=\frac{-22}{4}=\frac{-11}{2}\notin I
Deci solutia ecuatiei este x=-1
5) cum aflam cosinusul unghiului format de diagonalele unui dreptunghi
In triunghiul ABC aplicam Teorema lui Pitagora
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}\Rightarrow AC^{2}=256+144\Rightarrow AC=\sqrt{400}\Rightarrow AC=20 cm.
Stim ca OB=OC=\frac{AC}{2}=\frac{20}{2}=10
Acum daca aplicam Teorema cosinusului gasim ca
BC^{2}=OB^{2}+OC^{2}-2\cdot OB\cdot OC\cdot cos\widehat{BOC}\Rightarrow 144=100+100-2\cdot 10\cdot 10\cdot\cos\widehat{BOC}\Rightarrow 144-200=-200\cdot\cos\widehat{BOC}\Rightarrow -56=-200\cdot\cos\widehat{BOC}\Rightarrow \cos\widehat{BOC}=\frac{56}{200}\Rightarrow \cos\widehat{BOC}=\frac{7}{25}
6) Problema rezolvata cu vectori
Stim ca O este centrul de greutate al triunghiului (intr-un triunghi echilateral medianele, mediatoarele, bisectoarele si inaltimile coincid), atunci
\vec{AO}=\frac{2}{3}\vec{AM}, deci gasim cs
a=\frac{2}{3}
deci stim ca punctul de intersectie al medianelor este situat la doua treimi fata de varf si o treime fata de baza.

Acesta a fost subiectul I simulare bacalaureat 2014 cls. XI SI XII .