Grupuri de matrice Grupuri de permutari Grupuri Zn

Dupa ce am introdus notiunea de Grup, introducem alte notiuni noi si anume Grup de matrice, Grup de permutari si Grup Z_{n}. Asadar incepem cu:

Grup de matrice.

Fie n\in N^{*} si M_{n}(C) multimea matricelor patratice de ordin n cu elemente numere complexe.

Stim din clasa a XI a ca multimea  M_{n}(C) impreuna cu  adunarea matricelor este asociativa, comutativa si admite element neutru matricea O_{n}, dar si element simetrizabil, asadar stim ca (M_{n}(C), +) este un grup comutativ.

Despre inmultirea matricelor stim ca este un monoid necomutativ, adica este asociativa si admite elementul neutru I_{n}.

Grupul liniar general de grad n

Fie A\in M_{n}(C). Stim ca matricea A este inversabila in monoidul (M_{n}(C), \cdot) daca si numai daca det A\neq 0. Iar multimea unitatilor monoidului se noteaza Gl_{n}(C)=\left\{    A\in M_{n}(C)| det (A)\in C^{*}\right\}

Asadar  perechea (GL_{n}(C), \cdot) este un grup necomutativ, numit  grup liniar general de grad n peste C.

Definitie:

Matricea A\in M_{n}(C) se numeste matrice ortogonala daca A^{t}\cdot A=I_{n}, iar multimea matricelor ortogonale se noteaza O_{n}(C).

Grupul permutarilor

Inca din clasa a X a la capitolul „Combinatorica” s-a definit notiunea de permutare. Stim ca permutarea unei multimi M=\left\{1, 2, 3, ...., n\right\} este multimea ordonata cu cate n elemente ce se poate alcatui cu elementele multimii M. Numarul elementelor multimii este n! si se citeste n factorial.

Exemplu:

Permutarile multimii {1, 2, 3} sunt: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3),(2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1), asadar fiecarei permutari putem face sa ii corespunda o functie bijectiva, adica functia care asociaza numarului k\in \left\{1, 2, 3\right\}, elementul aflat in permuatare pe locul k.

Asadar celor sase permutari le corespund cele 6 functii bijective definite pe {1,2 ,3} cu valori in {1, 2, 3} si avem corespondentele:

(1, 2, 3)\rightarrow {1, 2, 3}; (1, 2, 3)\rightarrow (1, 3, 2); (1, 2, 3)\rightarrow (2, 1, 3); (1, 2, 3)\rightarrow (2, 3, 1); (1, 2, 3)\rightarrow (3, 1, 2); (1, 2, 3)\rightarrow (3, 2, 1)

Definitie!

Fie n\in N^{*},  se numeste permutare a multimii M=\left\{1, 2, 3,...., n\right\} orice functie bijectiva definita pe M cu valori in M.

S_{n}=\left\{1, 2, 3,...,n\right\}, multimea permutarilor de gradul n.

Stim ca S_{n}=n! elemente.

Observatie!!!  Permutarile de obicei se noteaza cu ajutorul alfabetului grecesc.

Daca compunem doua functii bijective obtinem tot o functie bijectiva, asadar compunerea permutarilor este lege de compozitie.

Exemplu:

S_{2}=2!=2, adica avem doua permutari

(1, 2)\rightarrow (1,2), dar si (1, 2)\rightarrow (2, 1).

Compunerea permutarilor

Oricare doua permutari din multimea S_{n} se pot compune dupa procedeul de compunere a functiilor.

Astfel stim ca daca compunem doua functii bijective obtinem tot o functie bijectiva, asadar compunerea permutarilor este lege de compozitie.

Pentru simplitate se obisnuieste ca la compunerea permutarilor sa nu se mai foloseasca semnul, adica \alpha\circ \beta=\alpha\beta

Exemplu:

\alpha=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}

Si \beta=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}

Atunci \alpha\beta=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \alpha(\beta(1)) & \alpha(\beta(2))  &\alpha(\beta(3))  \end{pmatrix}

Asadar obtinem \alpha\beta=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \alpha(3) & \alpha(2)  &\alpha(1)  \end{pmatrix}

Adica \alpha\beta=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1  & 2  \end{pmatrix}

Stim din clasa a IX a, compunerea functiilor este asociativa, dar nu este comutativa, si astfel avem: \beta\alpha=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \beta(\alpha(1)) & \beta(\alpha(2))  &\beta(\alpha(3))  \end{pmatrix}

Asadar obtinem \beta\alpha=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \beta(2) & \beta(1)  &\beta(3)  \end{pmatrix}

Adica \beta\alpha=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3  & 1  \end{pmatrix}

Asadar compunerea permutarilor nu este comutativa.

In multimea permutarilor de grad n, un rol important il joaca e=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & .....& n \\ 1 & 2  & 2 & .....& n \end{pmatrix}, numit permutarea identica.

Teorema. Fie  n\in N^{*} si S_{n} multimea permutarilor de grad n, atunci (S_{n}, \circ) este un grup numit grupul permutarilor de grad n. Daca n\geq 3, atunci (S_{n}, \circ) este un grup necomutativ.

Grupul Z_{n}

Fie n\in N^{*}, stim ca Z_{n}=\left\{\widehat{0},\widehat{1},\widehat{2}, ....,\widehat{n-1}\right\} numita multimea claselor de resturi modulo n. Pe multimea Z_{n} s-au definit operatiile de adunare si inmultire a claselor de resturi modulo n.

Astfel (Z_{n}, +) este grup abelian numit grupul aditiv al claselor de resturi modulo n, iar (Z_{n},\cdot) este monoid comutativ.

Si U(Z_{n})=\left\{\widehat{k}|(n, k)=1\right\}– numita multimea elementelor inversabile din Z_{n}, adica numerele n si k sunt prime intre ele (cel mai mare divizor comun este 1).

Astfel obtinem ca (U(Z_{n}), \cdot ) este grup comutativ, numit grupul multiplicativ al claselor de resturi modulo n.

Variante BAC M1

Propunem spre rezolvare un exercitiu de analaiza matematica in care calculam primitiva unei functii, limita unei primitive, dar si o integrala mai complicata, astfel:

Fie functia f:R\rightarrow R f\left(x\right)=\frac{\sin x}{1+cos^{2}x}

a) Calculati \int f\left(x\right) dx

b) Fie F:R\rightarrow R, o primitiva a functiei f, calcuati \lim_{x\to 0}{\frac{F(x)-F(0)}{x^{2}}}

c) Calcuati \int_{0}^{2\pi} x\cdot f(x)dx

Solutie:

a) Variante BAC M1 ! Integrala devine \int f\left(x\right) dx=\int\frac{\sin x}{1+cos^{2}x}dx

Ca sa rezolvam integrala folosim Metoda schimbarii de variabile. Cei care nu va mai reamintiti click aici. Astfel notam \cos x=t

Iar pentru a afla dx, derivam  egalitatea de mai sus in functie de dx dar si in functie de dt \left(\cos x\right)^{'} dx=t^{'} dt\Rightarrow -\sin x dx=dt\Rightarrow \sin x dx=-dt

Astfel integrala devine \int \frac{-dt}{1+t^{2}}=-\frac{1}{1}\arctan\frac{t}{1}=-\arctan\frac{\cos x}{1}+C=-\arctan(\cos x)+C

Mai sus am folosit formula de la integralele uzuale \int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C

b) Variante BAC M1 ! Stiind ca F este o primitiva a functie f , observam ca cu informatiile de la punctul a)  stim ca F(x)=-\arctan(\cos x)+C si limita devine:

\lim\limits_{x\to 0}{\frac{F{x}-F(0)}{x^{2}}}=

Dar mai intai calculam F(0)=-\arctan(cos 0)=-\arctan 1=0

Astfel limita devine \lim\limits_{x\to 0}{\frac{-\arctan{\cos x}-0}{x^{2}}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{-\arctan{\cos x}}{x^{2}}}=\frac{0}{0}

Observati ca suntem in cazul de nedeterminare 0/0, astfel cu regula lui L’ Hospital avem ca \lim\limits_{x\to 0}{\frac{\left(-arctan(\cos x)\right)^{'}}{\left(x^{2}\right)^{'}}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{f(x)}{2x}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{f^{'}(x)}{2}}=

Mai mai intai calculam f^{'}(x)^=\frac{\cos x\left(1+\cos^{2}x\right)-\sin x\left(-2\cos x\cdot\sin x\right)}{\left(1+\cos^{2} x\right)^{2}}=\frac{cos x+cos^{3} x+2\cos x\sin^{2} x}{\left(1+\cos^{2}x\right)}

Pentru x=0 derivata devine f^{'}(0)=\frac{1+1+0}{\left(1+1\right)^{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}

Adica limita devine: \lim\limits_{x\to 0}{\frac{\frac{1}{2}}{2}}=\frac{1}{4}

c) Variante BAC M1 ! Integrala devine \int^{2\pi}_{0}x\cdot f(x)dx=\int^{2\pi}_{0}x\cdot\frac{\sin x}{1+\cos^{2}x} dx=\int^{2\pi}_{0}=\frac{x\sin x}{1+\cos^{2}x}dx=

Pentru a rezolva integrala facem schimbarea de variabila

t=2\pi-x\Rightarrow -x=t-2\pi\Rightarrow x=2\pi-t

Si obtinem (t)^{'}dt=(2\pi-x)^{'}dx\Rightarrow dt=-dx

Iar capetele intervalului devin x=0\Rightarrow t=2\pi-0=2\pi

Iar pentru x=2\pi\Rightarrow t=2\pi-2\pi=0

Astfel integrala devine \int^{0}_{2\pi}\left(2\pi-t\right)f\left(2\pi-t\right)\left(-dt\right)=\int_{0}^{2\pi}\left(2\pi-t\right)f\left(2\pi-t\right)dt=2\pi\int^{2\pi}_{0}f\left(2\pi-t\right)dt-\int^{2\pi}_{0}t\cdot f\left(2\pi-t\right) dt

Dar stim ca f\left(2\pi-t\right)=\frac{\sin(2\pi-t)}{1+\cos^{2}(2\pi-t)}

Dar stim ca \sin(2\pi -t)=\sin 2\pi\cdot\cos t-\cos 2\pi\sin t=-(-1)\cdot \sin t=-\sin t dar si \cos(2\pi -t)=\cos 2\pi \cos t+\sin 2\pi\sin t=\cos t astfel f(2\pi-t)=\frac{-\sin t}{1+\cos^{2}t}

Si integrala devine 2\pi\int^{2\pi}_{0}\frac{-\sin t}{1+\cos^{2}t}(-dt)-\int^{2\pi}_{0}\frac{t\cdot (-\sin t)}{1+\cos^{2}t} (-dt)

 

Astfel integrala devine: \int_{0}^{2\pi}x\cdot f(x)dx=2\pi\int^{2\pi}_{0}\frac{\sin t}{1+\cos^{2}t}dt-\int^{2\pi}_{0}\frac{t\cdot \sin t}{1+\cos^{2}t} dt
\Rightarrow \int^{2\pi}_{0}x\cdot f(x)dx=\frac{1}{2}\cdot 2\pi\int^{2\pi}_{0}\frac{\sin t}{1+\cos^{2} t}dt=-\pi\arctan(cos t)|^{2\pi}_{0}=

-\pi\left(arctan(cos 2\pi)-arctan(cos 0)\right)=-\pi\left(arctan 1-arctan 1\right)=0

 

Polinoame ireductibile

Introducem notiunea de polinom ireductibil peste un corp comutativ K.

Din scoala gimnaziala vi s-a introdus notiunea de ireductibil, adica fractie ireductibila ( fractia nu se mai poate simplifica), asemenea putem intelege si ca un polinom se numeste ireductibil daca nu se poate scrie ca produs de doua  sau mai multe polinoame.

Dar aratam in continuare ca polinomele ireductibile au in aritmetica inelului  K[X], rolul pe care il au numerele prime in aritmetica lui Z.

Definitie: Fie K un corp comutativ si f\in K[X], grad f=n>0. Spunem ca polinomul f este ireeductibil peste K, daca nu exista g, h\in K[X], astfel incat: f=g\cdot h, cu grad g<n si grad h<n

In caz contrar spunem ca polinomul  f este ireductibil.

Proprietati:

1. Orice polinom f\in K[X] de grad 1 este ireductibil peste K.

Exemple de polinoame ireductibile :

2X-3\in Q[X] este ireductibil peste Q

X+\sqrt{2}\in R[X] este ireductibil peste R.

3X+2\in Z_{5}[X] este ireductibil peste Z_{5}

2. Daca un polinom f\in K[X], grad\;\; f=n>1este ireductibil peste K, atunci f\left(a\right)=\neq 0, oricare ar fi a\in K, adica polinomul f nu are radacini in K.

Dar si reciproca :

Daca grad\;\; f=n este egal cu 2 sau 3 si f\left(a\right)\neq 0, \forall a\in K, atunci f este ireductibi peste K.

Exemple:

a) Polinomul X^{2}-2\in Q[X] este ireductibil peste Q

Intr-adevar, dar ar fi reductibil peste Q, ar insemna ca exista r\in Q, astfel incat r^{2}-2=0, de unde obtinem r^{2}=2\Rightarrow r=\pm\sqrt{2} si obtinem \sqrt{2}\in Q, contradictie.

Dar polinomul X^{2}-2\in R[X] este ireductibil peste R, pentru ca X^{2}-2=0\Rightarrow X^{2}=2\Rightarrow X=\pm \sqrt{2}

Adica polinomul putem sa-l scriem X^{2}-2=\left(X-\sqrt{2}\right)\cdot\left(X+\sqrt{2}\right), cu X-\sqrt{2}\in R[X] si X+\sqrt{2}\in R[X].

Important e sa stim multimile de numere.

In contiuare vom determina polinoamele ireductibile peste corpul C al numerelor complexe, si peste corpul R al numerelor reale, astfel vom folosi Teorema fundamentala a algebrei.

Teorema:

Oricare ar fi f\in C[X], grad\;\; f>0, exista z\in C, astfel incat f\left(z\right)=0, astfel spus orice polinom de grad mai mare sau egal decat 1, avand coeficienti complecsi admite cel putin o radacina complexa.

Observatie. Singurele polinoame ireductibile peste C sunt polinoamele de gradul I din C[X].

Teorema. Daca z este o radacina complexa a polinomului f\in R[X], atunci si \overline{z} este o radacina a lui f.

Observatie: Singurele polinoame ireductibile peste corpul R, al numerelor reale sunt:

– polinoamele de gradul  intai:aX+b, a,b\in R, a\neq 0

– polinoamele de gradul al doilea: aX^{2}+bX+c, cu a\b, c\in R, a\neq 0, b^{2}-4\cdot a\cdot c<0(adica cele care nu au radacini reale).

Aplicatii:

1. Fie polinoamele:

f, g\in R[X], f=\left(X^{2}+X+1\right)^{9}, g=X^{2}+1

a) Aratati ca g|f

b) Stabiliti daca polinomul g este ireductibil peste R.

c)  Stabiliti daca polinomul g este ireductibil peste C.

d) Stabiliti daca polinomul f este ireductibil peste R.

e)  Stabiliti daca polinomul f este ireductibil peste C.

Solutie:

a) Stim ca g\left(X\right)=0\Rightarrow X^{2}+1=0\Rightarrow X^{2}=-1\Rightarrow X^{2}=i^{2}\Rightarrow X=\pm\sqrt{i^{2}}\Rightarrow X=\pm i

Astfel polinomul g\left(X\right)=\left(X-i\right)\cdot\left(X+i\right).

Astfel polinomul g|f, daca si numai daca:

f\left(i\right)=0\Rightarrow \left(i^{2}+i+1\right)^{0}=0

f\left(-i\right)=0\Rightarrow\left[\left(-i\right)^{2}+\left(-i\right)+1\right]^{9}=0

b) g=X^{2}+1

Daca calculam \Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot c=0^{2}-4\cdot 1\cdot 1=-4<0

Cum \Delta<0, polinomul este ireductibil in R[X].

c) g=X^{2}+1=\left(X+i\right)\cdot\left(X-i\right), deci polinomul g este reductibil peste C.

d) f=\left(X^{2}+X+1\right)^{9}

Astfel, ecuatia x^{2}+x+1=0

Calculam \Delta =1^{2}-4\cdot 1\cdot 1=-3, deci polinomul este ireductibil peste R.

e) Acum sa vedem daca este sau nu ireductibil peste C

Stim ca \Delta=-3 deci obtinem x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-1+\sqrt{3i^{2}}}{2\cdot 1}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}

Si x_{2}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}

Deci polinomul f=\left[\left(X-\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)\cdot\left(X-\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right)\right]^{9}=\left[\left(X-\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\right)\cdot\left(X+\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)\right]^{9}, deci este reductibil peste C.

Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de polinom ireductibil peste anumite corpuri.

 

Exercitii rezolvate cu grupuri

Un exercitu rezolvat de urgenta pentru un prieten Mate Pedia

Exercitiul de rezolvat:

1. Pe R se definesc legile de compozitie „x” si „o” astfel:

x*y=x+y-6

xoy=xy-6x-6y+42

a.) Rezolvati ecuatia xox=36*1

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus mai intai calculam

x\circ x=x\cdot x-6x-6x+42\Rightarrow x\circ x=x^{2}-12x+42

Observati ca pentru a calcula x\circ x am folosit prima lege de compozitie, iar x a luat valoarea lui  x, iar cel de-al doilea x a luat valoarea lui y

Dar calculam si 36*1=36+1-6\Rightarrow 37-6=31

Mai sus am folosit cea de-a doua lege de compozitie, unde x ia valoarea lui 36 si 1 valoarea lui y

Acum ecuatia devine: x\circ x=36*1\Rightarrow x^{2}-12x+42=31\Rightarrow x^{2}-12x+42-31=0\Rightarrow x^{2}-12x+11=0

Observam ca am obtinut o ecuatie de gradul al doilea si calculam

\Delta=\left(-12\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 11=144-44=100

Si obtinem x_{1}=\frac{-\left(-12\right)+\sqrt{100}}{2}=\frac{12+10}{2}=\frac{22}{2}=11

Dar si x_{2}=\frac{-\left(-12\right)-\sqrt{100}}{2}=\frac{12-10}{2}=\frac{2}{2}=1

b.) Aratati ca legea de compozitie „*” este comutativa

Ca sa aratam ca legea de compozitie este comutativa calculam

x*y=y*x, \forall x, y\in R

Adica: x*y=x+y-6

x*y=y*x\Rightarrow x+y-6=y+x-6

Stim ca adunarea numerelor reale este comutativa si astfel obtinem ca legea de compozitie de mai sus este comutativa.

c.) Determinati elementul neutru al legii de compozitie „*”

Stim ca e\in R si trebuie sa calculam x*e=e*x=x

Cum legea de compozitie este comutativa este suficient sa calculam doar x*e=x\Rightarrow x+e-6=x\Rightarrow e-6=x-x\Rightarrow e-6=0\Rightarrow e=6

La fel obtinem si pentru e*x=x\Rightarrow e+x-6=x\Rightarrow e-6=x-x\Rightarrow e-6=0\Rightarrow e=6

Deci obtinem ca elementul neutru al legii de compozitie este 6.

d.) Gasiti simetricul lui 2014 in raport cu legea de compozitie „*”

Ca sa gasim simetricul lui 2014, notam simetricul sau cu x si calculam:

x*2004=e unde e este elementul neutru al legii de compozitie.

Si obtinem: x=-2002

Si astfel am obtinut ca simetricul lui 2014 este -2002

si dupa cum am spus si mai sus este suficient sa calculam:

e.) Demonstrati ca xo(y*z)=(xoy)*(xoz) oricare ar fi x,y,z apartin lui R.

Solutie:

Acum trebuie sa demonstram distributivitatea celei de-a doua legi in functie de prima. Astfel calculam mai intai x\circ\left(y*z\right)=x\circ\left(y+z-6\right)\Rightarrow x\left(y+z-6\right)-6x-6\left(y+z-6\right)+42=xy+xz-6x-6x-6y-6z+36+42=xy+xz-12x-6y-6z+78 (1)

Observati ca mai sus am folosit ambele legi.

Iar acum calculam: x\circ y=xy-6x-6y+42

Dar si x\circ z=xz-6x-6z+42

Si acum: \left(x\circ y\right)*\left(x\circ z\right)=\left(xy-6x-6y+42\right)*\left(xz-6x-6z+42\right)=    xy-6x-6y+42+xz-6x-6z+42-6=xy+xz-12x-6y-6z+84-6=xy+xz+12x-6y-6z+78(2)

Din (1) si (2) observam ca cele doua relatii se verifica.

Morfisme de grupuri

Dupa ce am introdus notiunea de grup apare o notiune noua si anume notiunea de morfisme de grupuri.

Dar de ce introducem si notiunea de morfism de grup?

Raspunsul este simplu:

Proprietatile algebrice ale elementelor unui grup sunt cele descrise in lista axiomelor grupului sau consecinte ale axiomelor.

Dar exista si grupuri ale caror elemente au proprietati algebrice asemanatoare pe care le putem identifica printr-o functie, adica acele elemente care se comporta la fel.

Iar aceasta functie va fi numita morfism (izomorfism, automorfism). Adica studiul unui grup poate sa ne furnizeze informatii si asupra unui alt grup, daca intre aceste structuri a fost stabilit un morfism.

Astfel definim notiunea de morfism de grup:

Definitie. Fie grupurile \left(G, \circ\right) si \left(G^{'}, *\right).  Functia f:G\rightarrow G^{'} (nu obligatoriu bijectiva) se numeste morfism de grupuri daca

f\left(x\circ y\right)=f\left(x\right)*f\left(y\right)

 

Iar pentru ca grupul sa fie izomorfism de grupuri avem definitia:

Definitie: Fie \left(G,\circ \right) si \left(G^{'}, *\right) doua grupuri.

O functie f:G\rightarrow G^{'} se numeste izomorfism de grupuri daca:

f\left(x\circ y\right)=f\left(x\right)*f\left(y\right)

, pentru  \forall x, y\in G

– f este bijectiva, pentru cei care nu mai stiu care sunt conditiile ca o functie sa fie bijectiva click aici.

Spunem ca grupul G este izomorf cu grupul G’ si scriem G\approx G^{'} daca exista un izomorfism f:G\rightarrow G^{'}

In caz contrar spunem ca grupul G nu este izomorf cu grupul G’.

Aplicatii:

1. Pe multimea Z se considera legile de compozitie: x\circ y=x+y+1 si x*y=ax+by-1, a,b\in Z si functia f\left(x\right)=x+2

a) Sa se demonstreze ca x\circ \left(-1\right)=\left(-1\right)\circ x=x, oricare ar fi x\in Z.

b) Sa se determine latex a, b\in Z$ pentru care legea de compozitie este * este asociativa

c) Daca a=b=1 sa se arate ca functia f este morfism intre grupurile \left(Z,\circ\right) si \left(Z, *\right)

Solutie:

a)  Calculam mai intai x\circ\left(-1\right)=x+\left(-1\right)+1=x-1+1=x

Deci se verifica.

Acum calculam: \left(-1\right)\circ x=\left(-1\right)+x+1=x

Deci am obtinut ca x\circ\left(-1\right)=x=\left(-1\right)\circ x

b) Acum pentru cea de-a doua lege de compozitie trebuie sa aflam a si b astfel incat legea sa fie asociativa, deci avem sa calculam x*\left(y*z\right)=\left(x*y\right)*z

Calculam mai intai: x*\left(y*z\right)=a\cdot x+b\cdot\left(y*z\right)-1=ax+b\cdot\left(ay+bz-1\right)-1=ax+aby+b^{2}z-b-1 dar si \left(x*y\right)*z=a\left(x*y\right)+bz-1=a\left(ax+by-1\right)+bz-1=a^{2}x+aby-a+bz-1=a^{2}x+aby+bz-a-1

Acum avem ca x*\left(y*z\right)=\left(x*y\right)*z\Rightarrow ax+aby+b^{2}z-b-1=a^{2}x+aby-a-1

Si astfel obtinem ca daca egalam coeficientii lui x si y a=a^{2}\Rightarrow a^{2}-a=0\Rightarrow a\left(a-1\right)=0\Rightarrow a=0 sau a=1,

Dar mai avem si b^{2}=b\Rightarrow b^{2}-b=0\Rightarrow b\left(b-1\right)=0\Rightarrow b=0

Sau b=1

Dar si -b-1=-a-1\Rightarrow -b=-a\Rightarrow b=a

Deci cu ultima relatie avem ca: a=b=0 sau a=b=1

c)  Acum pentru a=b=1 Obtine, legea de compozitie * devine x*y=x+y-1

Iar conditia ca sa existe un morfism de grupuri intre cele doua legi de compozitie este: f\left(x\circ y\right)=f\left(x\right)*f\left(y\right)

Deci obtinem f\left(x\circ y\right)=x\circ y+2=x+y+1+2=x+y+3

Iar acum avem f\left(x\right)=x+2

Dar si f\left(y\right)=y+2

Dar cu legea de compozitie avem: f\left(x\right)*f\left(y\right)=\left(x+2\right)*\left(y+2\right)=x+2+y+2-1=x+y+4-1=x+y+3

Deci obtinem ca f\left(x\circ y\right)=f\left(x\right)*f\left(y\right)\Rightarrow x+y+3=x+y+3

De unde obtinem ca f este morfism de grupuri.

Metoda integrarii prin parti

Dupa ce am invatat notiunea de primitiva, dar si sa calculam o primitiva/ primitivele unor functii, si mai important, sa demonstram cand o functie admite primitive, a venit vremea sa discutam despre metodele de calculare a integralelor. In afara de tabelul cu primitive, mai exista si doua metode:
– metoda integrarii prin parti
– metoda schimbarii de variabile
In acest articol o sa ne ocupam de metoda integrarii prin parti:
Aceste metode de calcul urmaresc transformarea unor integrale „complicate” in integrale care pot fi calculate mai usor.
Teorema. Presupunem ca functiile f, g:I\rightarrow R sunt derivabile cu derivatele: f^{'}, g^{'}:I\rightarrow R continue. Fie doua numere a,b\in I
Atunci \int^{b}_{a}f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)^{'} dx=f\left(x\right)\cot g\left(x\right)|^{b}_{a}-\int^{b}_{a}f^{'}\left(x\right)\cdot g\left(x\right) dx

Exemplu:
1. Calculati urmatoarele integrale:
\int^{1}_{0}\ln\left(3x+1\right)dx
Integrala de mai sus o calculam cu ajutorul metodei integrarii prin parti, astfel
consideram f\left(x\right)=x, deoarece stim ca f^{'}\left(x\right)=x^{'}=1
Observat ca am luat funcita sub derivare ca fiind x
Si g\left(x\right)=\ln\left(3x+1\right)
Si integrala de mai sus devine: \int^{1}_{0}x^{'}\cdot\ln\left(3x+1\right) dx=
Mai intai am aplicat formula de mai sus pentru a obtine o integrala mai usor de rezolvat
x\cdot\ln\left(3x+1\right)|^{1}_{0}-\int^{1}_{0}x\cdot\left(\ln\left(3x+1\right)\right)^{'} dx=
In cea de-a doua integrala obtinuta am derivat membrul drept, adica g\left(x\right)=\ln\left(3x+1\right), iar g^{'}\left(x\right)=\left(\ln\left(3x+1\right)\right)^{'}=\frac{1}{3x+1}\cdot\left(3x+1\right)^{'}=\frac{1}{3x+1}\cdot 3=\frac{3}{3x+1}
1\cdot\ln\left(3\cdot 1+1\right)-0\cdot\ln\left(3\cdot 0+1\right)-\int^{1}_{0}x\cdot \frac{1}{3x+1}\cdot\left(3x+1\right)^{'} dx=
\ln\left(3+1\right)-0\cdot\ln 1-int^{1}_{0}x\cdot\frac{1}{3x+1}\cdot 3dx=\ln 4-0-\int^{1}_{0}\frac{3}{3x+1} dx=\ln 4-3\int^{1}_{0}\frac{1}{3x+1}dx=
Observati ca mai sus sus am aplicat formula Leibniz-Newton

\ln 4-3\int^{1}_{0}\frac{\left(3x+1\right)^{'}}{3x+1}\cdot \frac{1}{3} dx=

Noua integrala obtinuta o rezolvam folosind formula int\frac{u^{'}\left(x\right)}{u\left(x\right)}=\ln |u\left(x\right)|+c, unde u(x)=3x+1, dar u^{'}\left(x\right)=\left(3x+1\right)^{'}=3, dar observati ca i fata integralei apare fractia \frac{1}{3}, pentru a se simplifica de la derivare.
\ln 4-3\cdot\frac{1}{3}\int^{1}_{0}\frac{\left(3x+1\right)^{'}}{3x+1}dx=
ln 4-\ln\left(3x+1\right)|^{1}_{0}=\ln 4-\ln\left(3\cdot 1+1\right)=
\ln 4-\ln 4+\ln 1=0
Pentru a afla valoarea integralei am aplicat din nou Leibniz-Newton de unde am obtinut rezultatul 0.

b) \int^{2\pi}_{0}x\sin x dx=
Ca sa calculam integrala de mai sus, mai intai ne alegem functia pe care o punem sub derivare:
Astfel daca luam g\left(x\right)=\left(-\cos x\right)^{'}
Stim ca \left(-\cos x\right)^{'}=-\left(-\sin x\right)=\sin x
Deci alegem g\left(x\right)=\left(-\cos x\right)^{'}
Astfel integrala devine: \int^{2\pi}_{0}x\cdot\left(-\cos x\right)^{'}dx
Iar acum daca aplicam formula de mai sus obtinem:
\int^{2\pi}_{0}x\cdot\left(-\cos x\right)^{'}=-x\cos x|^{2\pi}_{0}-\int^{2\pi}_{0}x^{'}\cdot\left(-\cos x\right) dx
Astfel daca aplicam Leibnitz-Newton obtinem -2\pi\cos 2\pi+0\cdot \cos 0+\int^{2\pi}_{0}\cos xdx=-2\pi\cdot 1+\sin x|^{2\pi}_{0}=-2\pi+\sin 2\pi-\sin 0=-2\pi++0-0=-2\pi

Pentru a calcula \int \sin x=\cos x+C am aplicat formula uzuala din tabelul de integrale nedefinite.

c) \int^{\frac{\pi}{3}}_{0}\frac{x}{\cos^{2} x}
Acum la fel ca si mai sus alegem functia cea mai convenabila pe care sa o bagam sub semnul derivarii astfel incat sa ne avantajeze sa obtinem integrale mai usor de rezolvat.
Astfel integrala devine \int^{\frac{\pi}{3}}_{0}\frac{x}{\cos^{2} x}=\int^{\frac{\pi}{3}}_{0} x\cdot\frac{1}{\cos^{2} x} astfel daca luam functia \frac{1}{\cos^{2} x}

Stim ca \tan x=\frac{1}{\cos^{2} x}
Astfel consideram functia f\left(x\right)=x, dar si functia g^{'}\left(x\right)=\left(\tan x\right) astfel integrala devine:

\int^{\frac{\pi}{3}}_{0} x\cdot\left(\tan x\right)^{'} dx=
Iar acum aplicand Metoda integrarii prin parti obtinem:
x\cdot\tan x|^{\frac{\pi}{3}}_{0}-\int^{\frac{\pi}{3}}_{0}\left(x\right)^{'}\cdot \tan xdx=
Acum aplicand formula Laibnitz-Newton obtinem:
\frac{\pi}{3}\tan\frac{\pi}{3}-0\cdot\tan 0-\int^{\frac{\pi}{3}}_{0}1\cdot \tan x dx=\frac{\pi}{3}\cdot\sqrt{3}-\int^{\frac{\pi}{3}}\tan x dx=

Iar acum daca aplicam formulele pentru primitive obtinem ca \int \tan x dx=-\ln|\cos x|+C
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}-\left(-\ln|\cos x|\right)|^{\frac{\pi}{3}}_{0}=
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+\ln|\cos x||^{\frac{\pi}{3}}_{0}=

Iar la fel ca si mai sus daca aplicam Laibnitz-Newton
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+\ln|\cos\frac{\pi}{3}|-\ln|\cos 0|=
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+\ln|\frac{1}{2}|-\ln 1=
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+\ln|\frac{1}{2}|-\ln|1|=
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+\ln|\frac{1}{2}|-0=

Obtinem rezultatul de mai sus.
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+\ln 1-\ln 2=  \frac{\sqrt{3}\pi}{3}+0-\ln 2=\frac{\sqrt{3}\pi}{3}-\ln 2.

Deci e important, pentru a aplica Metoda integrarii prin parti, sa cunoastem notiunea de derivata dar si teorema pentru a puteam aplica aceasta metoda.

Primitive si integrala nedefinita a unei functii

Dupa ce am invatat sa derivam dar si ce rol joaca derivata am trecut de clasa a XI a si a venit vremea sa stim sa gasim primitive dar si sa calculam integrala/integralele nedefinita/ nedefinite a unei functii/ unor functii.

Cei care nu ati inteles notiunea de derivata va va fi foarte greu sa intelegeti notiunea de primitiva, deoarece ele se afla in stransa legatura.

Astfel incepem prin a da definitia primitivei.

Definitie: Fie I\subset R un interval si f:I\rightarrow R, F:I\rightarrow R. Functia F se numeste primitiva a lui f daca:

– F este derivabila

F^{'}\left(x\right)=f\left(x\right), \forall x\in I.

Spunem ca o functie f admite primitive pe intervalul I daca exista o primitiva a functiei f.

Exemplu:

Fie functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{3}.Functia F:R\rightarrow R, F\left(x\right)=\frac{x^{4}}{4} este o primitiva a functiei f, deoarece F este derivabila  si F^{'}=f

Teorema: Fie I un interval si functia f:I\rightarrow R care admite primitive. Daca F_{1}, F_{2}:I\rightarrow R sunt doua primitive ale functie f, atunci exista c\in R astfel incat F_{1}\left(x\right)=F_{2}\left(x\right)+c,\forall x\in I.

Defintie: Fie I un interval si o functie f:I\rightarrow R care admite primitive.  Multimea tuturor primitivelor functiei f se noteaza \int f\left(x\right) dx si se citeste integrala nedefinita a functiei f.

Asadar \int f\left(x\right) dx=\left\{F:I\rightarrow R| F\;\; este\;\; primitiva\;\; a \;\; functie \;\; f\right\}

Observatii !

Exista functii care nu admit primitive.

Orice functie continua pe un interval admite primitive pe acel interval.

Toate functiile elementare (polinomiale, radicali, exponentiale, logaritmice, trigonometrice) sunt continue pe un interval din domeniul lor de defintie, deci admit primitive.

Reciproca enuntului de mai sus nu este adevarata. Adica exista functii  care admit primitive dar nu sunt continue.

Aplicatii:

1. Calculati urmatorarele integrale:

a)\int \frac{x^{3}-x^{2}-x-2}{x^{2}} dx, x>0

Ca sa calculam integrala de mai sus, mai intai rescriem functia:

\int\left(\frac{x^{3}}{x^{2}}-\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{x}{x^{2}}-\frac{2}{x^{2}}\right)dx

Adica \int\frac{x^{3}}{x^{2}}dx-\int \frac{x^{2}}{x^{2}}dx-\int\frac{x}{x^{2}}dx-\int \frac{2}{x^{2}}dx

Observam ca putem sa efectuam la fiecare fractie anumite simplificari si integrala devine:

\int x dx-\int 1 dx-\int\frac{1}{x}dx-2\cdot \int\frac{1}{x^{2}}dx=

Acum ca sa calculam integralele obtinute folosim formula:

\int x^{n} dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

Dar si formula \int\frac{1}{x}dx=\ln |x|+C, unde C este o constanta

\frac{x^{2}}{2}-x-\ln x-2\cdot\int x^{-2}dx=    \frac{x^{2}}{2}-x-\ln x-2\cdot\frac{x^{-2+1}}{-2+1}=\frac{x^{2}}{2}-x-\ln x-2\cdot\frac{x^{-1}}{-1}=\frac{x^{2}}{2}-x-\ln x+2\cdot\frac{1}{x}+C=\frac{x^{2}}{2}-x-\ln x+\frac{2}{x}+C

 

b) \int\frac{x^{2}}{x^{2}-1}dx, x<-1

Ca sa calculam integrala de mai sus scadem la numarator cifra 1 si adunam la fel cifra 1., astfel integrala devine \int\frac{x^{2}-1+1}{x^{2}-1}dx=\int\left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}-1}+\frac{1}{x^{2}-1}\right)dx=\int\frac{x^{2}-1}{x^{2}-1}dx+\int\frac{1}{x^{2}-1}dx=\int 1dx+\int\frac{1}{x^{2}-1}dx

Iar ca sa calculam integrala nedefinta folosim formulele uzulae:

\int dx=x+C

Dar si \int\frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2\cdot a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C astfel integrala devine:

x+\frac{1}{2\cdot 1}\ln|\frac{x-1}{x+1}|+C=x+\frac{1}{2}\ln|\frac{x-1}{x+1}|+C

unde a=1.

\int\frac{1}{4x^{2}-9} dx, x>\frac{3}{2}

Ca sa calculam integrala nedefintia de mai sus

 

Mai intai rescriem numitorul 4x^{2}-9=2^{2}x^{2}-3^{2}=\left(2x\right)^{2}-3^{2}

Astfel integrala devine:

\int\frac{1}{\left(2x\right)^{2}-3^{2}} dx

Dar si  folosim un din formulele uzuale, adica stim ca \int\frac{1}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2\cdot a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|

unde in cazul de mai sus x=2x si a=3

Astfel obtinem:

\int\frac{1}{\left(2x\right)^{2}-3^{2}} dx=\frac{1}{2\cdot 3}\ln|\frac{2x-3}{2x+3}|=\frac{1}{6}\ln|\frac{2x-3}{2x+3}|+C

Asadar important la primitive si integrala nedefintia a unei functii sa invatam integralele uzuale, dar si cum sa le calculam cu ajutorul anumitor artificii.

 

Model Lucrare scrisa clasa a XII a

Lucrare scrisa la matematica pe semestrul al doilea

Nume:

Prenume:

Subiectul I
1. Sa se determine produsul primilor trei termeni ai unei progresii geometrice \left(b_{n}\right)_{n\geq 1} stiind ca primul termen este egal cu 1 si ratia este q=-2
2. Se considera functia f:\left(0,+\infty\right)\rightarrow R, f\left(x\right)=2^{x}+\log_{3}x. Sa se calculeze: f\left(1\right)+f\left(3\right)
3.Sa se rezolve ecuatia \lg^{2} x+4\lg x+3=0
4. Sa se determine coordonatele varfului parabolei asociate functiei: f\left(x\right)=4x^{2}-12x+9
5. Sa se determine m\in R pentru care distanta dintre punctele: A\left(2,m\right), B\left(-m,-2\right) este egal cu 4\sqrt{2}
6. Stiind ca triunghiul ABC are BC=10 cm, AC= 5cm si AB=5\sqrt{3}. Sa se calculeze \cos A

Subiectul II
1. In multimea polinoamelor R\left[X\right] se considera polinoamele:
f=X^{3}+mX^{2}+nX+6 si g=X^{2}-x-2
a) Sa se rezolve ecuatia x^{2}-x-2=0
b) Sa se determine m, n\in R astfel incat polinomul f sa se divida cu polinomul g.
c) Pentru m=-4 si n=1 sa se calculeze produsul
P=f\left(0\right)\cdot f\left(1\right)\cdot...\cdot f\left(2014\right)
Subiectul III
1. Se considera functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=\left(x+1\right)e^{-x}
a) Sa se calculeze f^{'}\left(x\right), f^{''}\left(x\right), x\in R
b) Sa se arate ca f\left(x\right)\leq 1, \forall x\in R
c) Sa se determine ecuatia asimptotei spre +\infty la graficul functie f.

2. Se considera functia f:\left[0,1\right]\rightarrow R, f\left(x\right)=x\cdot \sqrt{2-x^{2}}
a) Sa se calculeze \int^{1}_{0}f^{2}\left(x\right)
b) Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinse intre graficul functiei f, axa Ox si dreptele de ecuatie x=0 si x=1
c) Sa se calculeze \lim\limits_{x\to 0}{\frac{\int^{x}_{0}f\left(t\right) dt}{x^{2}}}