Model subiect teza la matematica Clasa a XII a

Prezentam un model subiect teza la matematica pentru clasa a XII a.

Subiectul I

1. Stiind ca x_{1} si x_{2} sunt solutiile ecuatiei:x^{2}-2014x+1=0, sa se calculeze:

\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}
2. Sa se calculeze lungimea laturii AB a triunghiului ABC stiind ca BC=6 cm AC=3\sqrt{2}, m\left(\widehat{C}\right)=45^{0}
3. Sa se determine solutiile reale ale ecuatiei:
\log_{2}\left(x^{2}-x-2\right)=2
4. Sa se determine primul termen al unei progresii geometrice stiind ca raportul dintre primul termen si al patrulea este \frac{1}{8} si ca b_{2}=3
5. Sa se calculeze probabilitatea ca alegand un numar natural de doua cifre acesta sa fie cub perfect.
6. Se considera functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{2}-2x+2. Sa se arate ca varful parabolei asociat functiei are coordonatele egale.
Subiectul II
1. Se considera polinomul f=X^{4}+aX^{3}+bx+c cu a,b,c\in R
a) Sa se determine numarul real c stiind ca f\left(1\right)+f\left(-1\right)=2014
b) Sa se determine numerele reale a,b,c stiind ca f\left(0\right)=f\left(1\right)=-2 si ca una dintre radacinile polinomului este x=2
c) Pentru a=-2,b=1, c=-2 sa se determine radacinile reale ale polinomului f.
Subiectul III
1.Se considera functia: f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=\cos x-1+\frac{x^{2}}{2}
a) Sa se calculeze \lim\limits_{x\to 0}{\frac{f\left(x\right)}{x^{4}}}
b) Sa se determine f^{'} si f^{''}

2. Se  considera functia: f:\left[0,+\infty\right)\rightarrow R, f\left(x\right), =\frac{x^{2}+4x    5}{x^{2}+4x+3}

a) Sa se calculeze f\left(x\right)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3}+1, pentru orice x\in \left[0,+\infty\right)

b) Sa se calculeze \int^{1}_{0}f\left(x\right) dx

c)  Sa se determine numarul real k astfe incat aria suprafetei plane determinat e graficul functiei f, axa Ox si dreptele de ecuatii x=0 si x=k sa fie egala cu k+\ln k

Cum rezolvam polinoamele cu ajutorul relatiilor lui Viete

Pana acum am inavatat sa impartim doua polinoame, sa gasim cel mai mare divizor comun a doua sau mai multor polinoame si asa mai departe, dar putem rezolva polinoamele si cu relatiile lui Viete, astfel consideram urmatorul exercitiu:

Se considera polinomul f=X^{4}-2X^{2}+1  cu radacinile x_{1}, x_{2},x _{3}, x_{4}\in R

a) Sa se arate ca polinomul f este divizibil cu g=X^{2}-1

b) Sa se calculeze S\cdot P unde S=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}, iar P=x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot x_{4}

c) Sa se calculeze suma T=x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}

Solutie:

Ca sa vedem daca polinomul f este divizibil cu polinomul g, fie efectuam impartirea polinomul f la polinomul g, iar aca restul este 0 atunci polinomul f este divizibil cu polinomul g

f:g

Adica

\left(X^{4}-2X^{2}+1\right):\left(X^{2}-1\right)=X^{2}-1

Deci obtinem catul q=X^{2}-1 si restul 0.

Deci polinomul f este divizibil cu polinomul g.

 

Sau prin alta metoda observam ca polinomul g are radacinile \pm 1, astfel daca calculam

f\left(1\right)=1^{4}-2\cdot 1^{2}+1=1-2+1=-1+1=0

Obtinem ca

f\left(1\right)=0, deci 1 verifica polinomul, iar restul este 0.

Si

f\left(-1\right)=\left(-1\right)^{2}-2\cdot\left(-1\right)^{2}+1=1-2+1=-1+1=0

Deci cele doua radacini polinomului g verifica polinomul f si astfel obtinem ca polinomul f este divizibil cu polinomul g.

b) Ca sa calculam produsul S\cdot P folosim Relatiile lui Viete

Astfel stim ca

S=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=\frac{-a_{3}}{a_{4}}=\frac{-0}{1}=0

Iar

P=x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot x_{4}=\frac{a_{0}}{a_{4}}=\frac{1}{1}=1

Deci  S\cdot P=0\cdot 1=0

Acum sa ne reamintim relatiile lui Viete:

Astfel fie polinomul

f=a_{n}X^{n}+...+a_{1}X+a_{0} cu radacinile x_{1}, x_{2}, ...,x_{n}, Astfel avem:

x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=\frac{-a_{n-1}}{a_{n}}    \\x_{1}\cdot x_{2}+x_{1}\cdot x_{3}+...+x_{n-1}x_{n}=\frac{a_{n-2}}{a_{n}}    \\......................................................................................,    \\x_{1}x_{2}...x_{n}=\left(-1\right)^{n}\frac{a_{0}}{a_{n}}

c) Acum ca sa calculam T observam ca

x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} verifica polinomul astfel

f\left(x_{1}\right)=0\Rightarrow x_{1}^{4}-2x_{1}^{2}+1=0

Dar si

f\left(x_{2}\right)=0\Rightarrow x_{2}^{4}-2x_{2}^{2}+1=0

 

f\left(x_{3}\right)=0\Rightarrow x_{3}^{4}-2x_{3}^{2}+1=0

 

f\left(x_{4}\right)=0\Rightarrow x_{4}^{4}-2x_{4}^{2}+1=0

Acum daca adunam toate cele 4 relatii obtinem:

x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}-2x_{1}^{2}-2x_{2}^{2}-2x_{3}^{2}-2x_{4}^{2}+1+1+1+1=0\Rightarrow x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}-2\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}\right)+4=0

Astfel

x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}=2\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}\right)-4(*)

Astfel acu trebuie sa calculam

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}

Astfel folosim formula de calcul prescurtat

\left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc

Iar in cazul nostru

\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)^{2}=    x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}(**)

Astfel cu ajutorul relatiilor lui Viete, obtinem ca:

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\frac{0}{1}=0

Deoarece coeficientul lui X^{3} nu exista si astfel este 0.

Acum mai calculam si

x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\frac{-2}{1}=-2

Astfel daca inlocuim in (**) obtinem ca:

0^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+2\left(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}\right)\Rightarrow

0=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+2\cdot \left(-2\right)\Rightarrow 0=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}-4\Rightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=4

Acum daca inlocuim in (*) obtinem ca

x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}=2\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}\right)-4\Rightarrow

x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}=2\cdot 4-4=8-4=4

Deci obtinem ca T=4

Exercitii rezolvate pentru Bacalaureat

Subiectul I
1. Sa se calculez suma 2+12+22+...+92
2. Sa se arate ca varful parabolei f:R\rightarrow R,f\left(x\right)=x^{2}-2x-3 se afla pe dreapta de ecuatie 3x+y+1=0
3. Sa se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia \log_{4}\left(2^{x+1}-1\right)=0
4. Sa se determine cate numere de trei cifre se pot scrie folosind elementele din multimea \left\{1,2\right\}.
5. Se considera hexagonul regulat ABCDEF de centru O. Sa se arate ca \vec{AB}+\vec{AF}=\vec{AO}
6. Sa se calculeze \lg{\left(\tan 40^{0}\right)}\cdot\lg{\left(\tan 41^{0}\right)}\cdot ...\cdot\lg{\left(\tan 45^{0}\right)}
Solutie:
1. Ca sa calculam suma de la exercitiu 1, observam ca termenii sumei
2, 12, 22, …, 92 sunt in progresie aritmetica cu ratia r=12-2=10 deci r=10, a_{1}=2, a_{n}=92
Ca sa calculam suma mai intai trebuie sa aflam cati termeni are suma, adica sa aflam n.
Astfel stim ca
a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 92=2+\left(n-1\right)\cdot 10\Rightarrow 92-2=\left(n-1\right)\cdot 10\Rightarrow 90=\left(n-1\right)\cdot 10\Rightarrow 90:10=n-1\Rightarrow n-1=9\Rightarrow n=9+1\Rightarrow n=10
Mai stim si ca
S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right)\cdot n}{2}=\frac{\left(2+92\right)\cdot 10}{2}=\frac{94\cdot 10}{2}=\frac{940}{2}=470
2. Mai inati aflam varful parabolei functiei:
Dar mai intai calculam
\Delta=\left(-2\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-3\right)=4+12=16
Iar varful parabolei este:
V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)=V\left(-\frac{-2}{2\cdot 1},-\frac{16}{4\cdot 1}\right)=V\left(\frac{2}{2},\frac{-16}{4}\right)=V\left(1,-4\right)
Acum trebuie sa aratam ca varful parabolie se afla pe dreapta d, astfel avem:
V\in \left(d\right):3x+y+1=0 daca 3\cdot 1-4+1=0\Rightarrow 3-4+1=0\Rightarrow 4-4=0\Rightarrow 0=0
deci varful parabolei se afla pe dreapta d.
3. Ecuatia are sens daca
2^{x+1}-1>0\Rightarrow 2^{x+1}>1\Leftrightarrow2^{x+1}>2^{0}\Leftrightarrow x+1>0\Leftrightarrow x>-1
Deci gasim ca x\in \left(-1,+\infty\right)
Acum rezolvam ecuatia:
\log_{4}\left(2^{x+1}-1\right)=0\Leftrightarrow 2^{x+1}-1=4^{0}\Leftrightarrow 2^{x+1}=1+1\Leftrightarrow 2^{x+1}=2\Leftrightarrow 2^{x+1}=2^{1}\Leftrightarrow x+1=1\Leftrightarrow x=1-1\Leftrightarrow x=0
4. Fie \bar{abc} numerele care pot si scrise cu elementele din multimea \left\{1,2\right\}. Astfel numarul functiilor f:\left\{a,b,c\right\}\rightarrow {1, 2} este 2^{3}=8
Observatie stim ca
Numarul functiilor definitie pe o multime finita cu valori intr-o multime finita.
Fie A si B doua multimi finite astfe |A|=m si |B|=n. Atunci numarul functiilor de la multimea A la multimea B este n^{m}.
5. cum aplicam regula triunghiului in spatii vectoriale
Astfel cu regului triunghiului stim ca in triunghiul AFO:
\vec{AO}=\vec{AF}+\vec{FO}
Dar sin in triunghiul AOB, avem ca
\vec{AO}=\vec{AB}+\vec{BO}
adunand cele doua relatii obtinem ca
\vec{AO}+\vec{AO}=\vec{AF}+\vec{FO}+\vec{AB}+\vec{BO}\Leftrightarrow 2\vec{AO}=2\vec{AF}+2\vec{AB}\Leftrightarrow \vec{AO}=\vec{AF}+\vec{AB}
Deoarece observam ca:
\vec{AF}=\vec{BO} dar si \vec{AB}=\vec{FO}
6. Stim ca \tan 45^{0}=1
Astfel gasim ca \lg 1=0
astfel avem ca:

\lg{\left(tan 40^{0}\right)}\cdot\lg{\left(\tan 41^{0}\right)}\cdot ...\cdot\lg{\left(\tan 45^{0}\right)}=\lg{\left(tan 40^{0}\right)}\cdot\lg{\left(\tan 41^{0}\right)}\cdot ...\cdot 0=0

Subiecte posibile Bacalaureat Matematica

Subiectul I
1. Sa se rezolve ecuatia: \sqrt[3]{x^{3}+x+1}=x
2. Sa se calculeze \left(\frac{1}{2}\right)^{-3}-\log_{5}25
3. Sa se rezolve inecuatia: C_{17}^{x}\leq C_{17}^{x-2}, x\in N, x\geq 2
4. Sa se calculeze probabilitatea ca alegand un numar natural de doua cifre acesta sa fie cub perfect.
5. Sa se calculeze \sin^{2} 120^{0}+\cos^{2} 60^{0}
6. Sa se determine suma primilor trei termeni ai unei progresii geometice, stiind ca suma primilor doi termeni ai progresi este egal cu 8, iar diferenta intre al doilea termen si primul termen este egala cu 4.
Solutie:
1. Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus, rezolvam egalitatea de mai sus la cub si obtinem:
x^{3}+x+1=x^{3}\Rightarrow x^{3}+x+1-x^{3}=0\Rightarrow x+1=0\Rightarrow x=-1
Deci solutia ecuatii de mai sus este x=-1
2. La exercitiu de mai sus folosim regulile de calcul cu puteri, dar si regulile de calcul cu radicali:
\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}-\log_{5} 25=\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^{3}}-\log_{5}5^{2}=  \frac{1}{1}\cdot \frac{2^{3}}{1^{3}}-2\cdot\log_{5}5=2^{3}-2\cdot 1=8-2=6

3. Ca sa rezolvam exercitiu de mai sus punem conditiile:
x\leq 17 dar si x-2\leq 17
Deci la prima inecuatie x\leq 17\Rightarrow x\in\left(-\infty, 17\right]
Iar pentru a doua ecuatie:
x-2\leq 17\Rightarrow x\leq 17+2\Rightarrow x\leq 19\Rightarrow x\in\left(-\infty,19\right]
Iar intersectia dintre cele doua inecuatii obtinem ca:

\left(-\infty, 17\right]\cap\left(-\infty, 19\right]=\left(-\infty, 17\right]
Acum rezolvam inecuatia:
C_{17}^{x}\leq C_{17}^{x-2}\Rightarrow \frac{17!}{\left(17-x\right)!\cdot x!}\leq\frac{17!}{\left(17-x+2\right)!\left(x-2\right)!}\Rightarrow
\frac{17!}{\left(17-x\right)\cdot x!}\leq\frac{17!}{\left(19-x\right)!\cdot\left(x-2\right)!}\Rightarrow
\frac{17!}{17!}\leq\frac{\left(17-x\right)!\cdot x!}{\left(x-19\right)!\cdot\left(x-2\right)!}\Rightarrow 1\leq\frac{\left(17-x\right)!\cdot x!}{\left(19-x\right)!\cdot\left(x-2\right)!}\Rightarrow
\frac{\left(x-2\right)!}{x!}\leq\frac{\left(17-x\right)!}{\left(19-x\right)!}\Rightarrow
\frac{\left(x-2\right)!}{\left(x-2\right)!\cdot\left(x-1\right)\cdot x}\leq\frac{\left(17-x\right)!}{\left(17-x\right)!\cdot \left(18-x\right)\cdot\left(19-x\right)}\Rightarrow
\frac{1}{\left(x-1\right)\cdot x}\leq\frac{1}{\left(18-x\right)\cdot\left(19-x\right)}\Rightarrow \left(18-x\right)\cdot\left(19-x\right)\leq\left(x-1\right)\cdot x\Rightarrow
18\cdot 19-18x-19x+x^{2}\leq x^{2}-x\Rightarrow 18\cdot 19-37x+x^{2}-x^{2}+x\leq 0\Rightarrow 18\cdot 19-36x\leq 0\Rightarrow -36x\leq-18\cdot 19\Rightarrow
36x\geq 18\cdot 19\Rightarrow x\geq\frac{18\cdot 19}{36}^{18}\Rightarrow
x\geq\frac{1\cdot 19}{2}\Rightarrow x\geq\frac{19}{2}\Rightarrow x\geq 9,5
Cum x\in N obtinem ca x\in\left[10, +\infty\right]
Iar intersectia intre cele doua intervale este
\left(-\infty,17\right]\cap\left[10,+\infty\right)=\left[10,17\right]=\left\{10,11,12,13,14,15,16,17\right\}
4. Numerele naturale de doua cifre sunt de la 10 la 99, adica fie A=\left\{10,11,...,99\right\}, deci numarul elementelor multimii A este de 90
Sau putem sa aflam si altfel
Stim ca numerele sunt in progresie aritmetica cu ratia r=1, deci stim ca termenul general este 99, deci noi trebuie sa aflam n=?
Stim ca a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 99=10+\left(n-1\right)\cdot 1\Rightarrow 99-10=n-1\Rightarrow 89=n-1\Rightarrow 89+1=n\Rightarrow n=90, deci numarul de elemente al multimi a este de 90 (numarul de cazuri posibile)
Acum sa aflam cate cuburi perfecte de doua cifre avem:
Astfel 27 64 (numar de cazuri favorabile)
Astfel probabilitatea este
P=\frac{numar\;\; cazuri\;\; favorabile}{numar \;\;cazuri\;\; posibile}=\frac{2}{90}=\frac{1}{45}
5. Stim ca \sin\left(180^{0}-60^{0}\right)=\sin 180^{0}\cdot\cos 60^{0}- \cos 180^{0}\cdot \sin 60^{0}=0\cdot \cos 60^{0}-\left(-1\right)\cdot\sin 60^{0}=0+1\cdot \sin 60^{0}=\sin 60^{0}
Deci
\sin^{2}120^{0}+\cos^{2}60^{0}=\sin^{2}60^{0}+\cos^{2}60^{0}=1
6. Stim ca suma primilor doi termeni este egala cu 8 astfel avem
a_{1}+a_{2}=8
Iar diferenta dintre al doilea si primul termen este egala cu 4, astfel avem ca
a_{2}-a_{1}=4
Dar stim ca termeni sunt i progresie geometrica astfel stim ca
a_{2}=a_{1}\cdot q
unde q este ratia progresiei geometrice, astfel avem ca
a_{1}+a_{2}=8\Rightarrow a_{1}+a_{1}\cdot q=8\Rightarrow a_{1}\cdot\left(1+q\right)=8\Rightarrow a_{1}=\frac{8}{1+q}(*)
dar si
a_{2}-a_{1}=4\Rightarrow a_{1}\cdot q-a_{1}=4\Rightarrow a_{1}\left(q-1\right)=4(**)
Acum din (*) si (**) obtinem ca:
a_{1}\left(q-1\right)=4\Rightarrow \frac{8}{q+1}\cdot\left(q-1\right)=4\Rightarrow \frac{q-1}{q+1}=\frac{4}{8}^{(4}\Rightarrow \frac{q-1}{q+1}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2\left(q-1\right)=q+1\Rightarrow 2q-2=q+1\Rightarrow 2q-q=1+2\Rightarrow q=3
Deci cum stim ratia putem sa aflam termeni
a_{1}+a_{2}=8\Rightarrow a_{1}+a_{1}\cdot q=8\Rightarrow a_{1}+a_{1}\cdot 3=8\Rightarrow 4a_{1}=8\Rightarrow a_{1}=8:4\Rightarrow a_{1}=2
Acum calculam
a_{2}=a_{1}\cdot q=2\cdot 3=6
Iar a_{3}=a_{2}\cdot 6=2\cdot 3=18
Iar suma primilor trei termeni este:
S=a_{1}+a_{2}+a_{3}=2+6+18=26

Subiecte Bacalaureat rezolvate la Analiza matematica

1. Se considera functia f:R^{*}\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{3}+\frac{3}{x}

a) Sa se calculeze f^{'}\left(x\right),x\in R^{*}

b) Sa se calculeze \lim\limits_{x\to 1}{\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}}

c)  Sa se determine intervalele de monotonie ale functiei f.

Solutie

Calculam mai inati

a) f^{'}\left(x\right)=\left(x^{3}+\frac{3}{x}\right)^{'}=\left(x^{3}\right)^{'}+\left(\frac{3}{x}\right)^{'}=3x^{2}+\frac{3^{'}\cdot x-3\cdot x^{'} }{x^{2}}=3x^{2}+\frac{0-3\cdot 1}{x^{2}}=3x^{2}-\frac{3}{x^{2}}

b) Ca sa calculam limita de la b) trebuie sa stim ca de fapt acea limita este definitia derivatei functiei in punctul x=1, cum am calculat derivata stim ca

\lim\limits_{x\to 1}{\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}}=f^{'}\left(1\right)

Deci

f^{'}\left(1\right)=3\cdot 1^{2}-\frac{3}{1^{2}}=3-3=0

c) Acum ca sa aflam intervalele de monotonie rezolvam ecuatia:

f^{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 3x^{2}-\frac{3}{x^{2}}=0\Rightarrow \frac{3x^{2}\cdot x^{2}-1\cdot 3}{x^{2}}=0\Rightarrow \frac{3x^{4}-3}{x^{2}}=0

Cum numitorul  este diferit de 0 (acest lucru se observa si din domeniul de definitie), este tot timpul pozitiv, ne ocupam de

numarator. astfel

3x^{4}-3=0\Rightarrow 3x^{4}=3\Rightarrow x^{4}=1

Iar solutiile reale sunt x=\pm 1

Acum intocmim tabelul de variatie:

çum aflam intervalele de monotonie ale functiilor

Astfel din tabelul de variatie al functiei rezulta ca

– f este crescatoare pe \left(-\infty, -1\right)\cup\left(1,+\infty\right) si

– f este descrescatoare pe \left(-1,0\right)\cup\left(0,1\right)

2) Se considera functia f:\left[0,1\right]\rightarrow R,f\left(x\right)=x\cdot\sqrt{2-x^{2}}

a) Sa se calculezevolumul corpului obtinut prin rotatie, in jurul axei Ox, a graficului functie f.

b) Sa se calculeze \int^{1}_{0}f\left(x\right)dx

c) Sa se calculeze \lim\limits_{x\to 0}{\frac{\int^{x}_{0}f\left(t\right)dt}{x^{2}}}

Solutie:

Calculam

V=\pi\int^{1}_{0}f^{2}\left(x\right) dx=\pi\int^{1}_{0}\left(x\sqrt{2-x^{2}}\right)^{2}=
\pi\int^{1}_{0}x^{2}\left(2-x^{2}\right)dx=\pi\int^{1}_{0}\left(2x^{2}-x^{4}\right) dx=
\pi\int^{1}_{0}2x^{2}dx-\pi\int^{1}_{0}x^{4}dx=\pi\cdot 2\int^{1}_{0}x^{2}-\pi\cdot \frac{x^{5}}{5}|^{1}_{0}=
2\cdot \pi\cdot\frac{x^{3}}{3}|^{1}_{0}-\left(\frac{1^{5}}{5}-\frac{0^{5}}{5}\right)=
\pi\left(2\cdot\left(\frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}-\frac{1}{5}\right)\right)=
\pi\left(2\cdot\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=
\pi\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{5}\right)=\pi\cdot \frac{5\cdot 2-3\cdot 1}{15}=\pi\cdot \frac{10-3}{15}=\pi\ cdot\frac{7}{15}=\frac{7\pi}{15}

b) Calculam acum integrala

\int^{1}_{0}d\left(x\right)dx=\int^{1}_{0}x\sqrt{2-x^{2}}dx=

Ca sa rezolvam integrama de mai sus folosim metoda schimbarii de variabila astfel notam

2-x^{2}=t\Rightarrow -x^{2}=t-2\Rightarrow x^{2}=2-t\Rightarrow \left(x^{2}\right)^{2}dx=\left(2-t\right)^{'}dx\Rightarrow 2xdx=-1\cdot dt\Rightarrow xdx=-\frac{1}{2}dt

Acum ne ocupam de captele intervalului, astfel

Pentru

x=0\Rightarrow 2-0^{2}=t\Rightarrow t=2

Pentru

x=1\Rightarrow 2-1^{2}=t\Rightarrow 2-1=t\Rightarrow 1=t

Astfel integrala devine:

\int^{1}_{0}x\sqrt{2-x^{2}}dx=\int^{1}_{2}\sqrt{t}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)dt=
\int^{1}_{2}t^{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)}dt=
-\frac{1}{2}\int^{1}_{2}t^{\frac{1}{2}}dt=
-\frac{1}{2}\frac{t^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}|^{1}_{2}=
-\frac{1}{2}\cdot\frac{t^{\frac{1+2\cdot 1}{1}}}{\frac{1+2\cdot 1}{2}}|^{1}_{2}=-\frac{1}{2}\frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}|^{1}_{2}=
=-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}^{(2}\cdot t^{\frac{3}{2}}|^{1}_{2}=
-\frac{1}{3}\cdot \sqrt{t^{3}}^{1}_{2}=-\frac{1}{3}\left(\sqrt{1^{3}}-\sqrt{2^{3}}\right)=
-\frac{1}{3}\left(1-2\sqrt{2}\right)=\frac{2\sqrt{2}-1}{3}

c) Acum sa calculam

\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\int^{x}_{0}f\left(t\right) dt}{x^{2}}}

Calculam mai intai integrala

\int|^{x}_{0}f\left(t\right)dt=\int^{x}_{0}t\sqrt{2-t^{2}}dt

Astfel la fel ca mai sus rezolvam integrala prin metoda schimbarii de variabila, astfel

 

2-t^{2}=y\Rightarrow -2t dt=dy\Rightarrow tdt=\frac{-dy}{2}
Acum calculam capetele intervalului

t=0\Rightarrow 2-0^{2}=y\Rightarrow 2=y

Iar pentru

t=x\Rightarrow 2-x^{2}=y

Acum trecem la integrala

\int|^{x}_{0}f\left(t\right)dt=\int^{x}_{0}t\sqrt{2-t^{2}}dt=\int^{2-x^{2}}_{2}\sqrt{y}\left(\frac{-dy}{2}\right)=
-\frac{1}{2}\int^{2-x^{2}}_{2}y^{\frac{1}{2}}dt=-\frac{1}{2} \frac{y^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}|^{2-x^{2}}_{2}=
-\frac{1}{2}\frac{y^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}|^{2-x^{2}}_{2}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\sqrt{y^{3}}|^{2-x^{2}}_{2}=
-\frac{1}{3}\left(\sqrt{\left(2-x^{2}\right)^{3}}-\sqrt{2^{3}}\right)=
-\frac{1}{3}\left(2-x^{2}\right)\sqrt{2-x^{2}}+\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{2}

Astfel acum daca revenim la limita obtinem ca

\lim\limits_{x\to 0}{\frac{-\frac{1}{3}\left(2-x^{2}\right)\sqrt{2-x^{2}}+\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{2}}{x^{2}}}=
-\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\left(2-x^{2}\right)\sqrt{2-x^{2}}- 2\sqrt{2}}{x^{2}}}=
Observam ca suntem in cazul de nedeterminare \frac{0}{0} si daca aplicam regulile lui L’Hospital obtinem

-\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{-2x\cdot\sqrt{2-x^{2}}+\left(2-x^{2}\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{2-x^{2}}}\cdot\left(-2x\right)}{2x}}=
-\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{-2x\left(\sqrt{2-x^{2}}+\frac{2-x^{2}}{2\sqrt{2-x^{2}}}\right)}{2x}}
-\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{-1\left(\sqrt{2-x^{2}}+\frac{2-x^{2}}{2\sqrt{2-x^{2}}}\right)}{1}}=
\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{2\sqrt{2-x^{2}}\cdot\sqrt{2-x^{2}}+2-x^{2}}{2\sqrt{2-x^{2}}}}

=\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{2\left(2-x^{2}\right)+2-x^{2}}{2\sqrt{2-x^{2}}}}=
\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{4-2x^{2}+2-x^{2}}{2\sqrt{2-x^{2}}}}=
\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{6-3x^{2}}{2\sqrt{2-x^{2}}}}=
\frac{1}{3}\cdot\frac{6-3\cdot 0^{2}}{2\sqrt{2-0^{2}}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{6}{2\sqrt{2}}=\frac{6}{6\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

Subiecte posibile Simulare Bacalaureat 2014

Prezentam subiecte posibile simulare Bacalaureat 2014 pentru subiectul III
Se considera functia f:\left(0, +\infty\right)\rightarrow R definita prin f\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{\left(x+1\right)^{2}}
a) Sa se calculeze f^{'}\left(x\right), x\in\left(0,\infty\right)
b) Sa se demonstreze ca functia f este descrescatoare pe intervalul \left(0,+\infty\right)
c) Sa se calculeze \lim\limits_{x\to +\infty}{x^{3}f^{'}\left(x\right)}
Solutie:
a) f^{'}\left(x\right)=\frac{-1\cdot\left(x^{2}\right)^{'}}{\left(x^{2}\right)^{2}}+\frac{-1\cdot \left(\left(x+1\right)^{2}\right)^{'}}{\left[\left(x+1\right)^{2}\right]^{2}}=\frac{-1\cdot 2x}{x^{4}}+\frac{-1\cdot 2\left(x+1\right)\cdot \left(x+1\right)^{'}}{\left(x+1\right)^{4}}=\frac{-2x}{x^{4}}+\frac{-2\left(x+1\right)\cdot 1}{\left(x+1\right)^{4}}=\frac{-2}{x^{3}}-\frac{2}{\left(x+1\right)^{3}}=\frac{-2\left(x+1\right)^{3}-2\cdot x^{3}}{x^{3}\left(x+1\right)^{3}}=\frac{-2\left[\left(x+1\right)^{3}+x^{3}\right]}{x^{3}\left(x+1\right)^{3}}.
b) Observam ca f^{'}\left(x\right)<0, deci f este strict descrescatoare pe \left(0,+\infty\right)
c) Acum sa calculam limita
\lim\limits_{x\to +\infty}{x^{3}\cdot \left(\frac{-2\left[\left(x+1\right)^{3}+x^{3}\right]}{x^{3}\left(x+1\right)^{3}}\right)}=
\lim\limits_{x\to +\infty}{\frac{-2\left[\left(x+1\right)^{3}+x^{3}\right]}{\left(x+1\right)^{3}}}=
\lim\limits_{x\to +\infty}{-2\left[\cdot \frac{\left(x+1\right)^{3}}{\left(x+1\right)^{3}}+\frac{x^{3}}{\left(x+1\right)^{3}}\right]}=
-2\lim\limits_{x\to +\infty}{1+\frac{x^{3}}{\left(x+1\right)^{3}}}=-2\left(1+1\right)=-2\cdot 2=-4.
2) Se considera functia f:\left(0, +\infty\right)\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{\ln x}{x}+x
a) Sa se calculeze \int^{e}_{1}\left(f\left(x\right)-\frac{\ln x}{x}\right)dx
b) Sa se calculeze \int^{e}_{1} f\left(x\right) dx
c) Sa se determine ratia progresiei aritmetice avand termenul general I_{n}=\int^{e^{n+1}}_{e^{n}}\left(f\left(x\right)-x\right) dx, n\geq 1
Solutie:
Incepem prin a calcula integrala
a) \int^{e}_{1}\left(\frac{\ln x}{x}+x-\frac{\ln x}{x}\right)dx=\int^{e}_{2} xdx=\frac{x^{2}}{2}|^{e}_{1}=\frac{e^{2}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{e^{2}-1}{2}.
b) \int^{e}_{1]}f\left(x\right) dx=\int^{e}_{1}\left(\frac{\ln x}{x}+x\right)dx=
\frac{\ln^{2} x}{2}|^{e}_{1}+\frac{x^{2}}{2}|^{e}_{1}=
\frac{\ln^{2} e}{2}-\frac{\ln^{2} 1}{2}+\frac{e^{2}}{2}-\frac{1}{2}=
\frac{1}{2}-0+\frac{e^{2}-1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{e^{2}-1}{2}=
\frac{1+e^{2}-1}{2}=\frac{e^{2}}{2}
Deci avem ca
\int^{e}_{1}\left(\frac{\ln x}{x}\right)dx=\ln x\cdot\ln x|^{e}_{1}-\int^{e}_{1}\frac{\ln x}{x}dx\Rightarrow \int^{e}_{1}\frac{\ln x}{x}+\int^{e}_{1}\frac{\ln x}{x}=\ln^{2} x|^{e}_{1}\Rightarrow 2\int^{e}_{1}\frac{\ln x}{x}dx =\ln^{2} x|^{e}_{1}\Rightarrow \int^{e}_{1}\frac{\ln x}{x}dx=\frac{\ln^{2} x}{2}|^{e}_{1}
Observam ca am luat separat si am calculat integrala \int^{e}_{1}\frac{\ln x}{x} dx, am folosit metoda integrarii prin parti, adica am luat f^{'}\left(x\right)=\ln x, iar g\left(x\right)=\ln x, iar prin aplicarea si partea celei de-a doua a integrarii prin parti obtinem integrala de la care am plecat si astfel integrala care am gasit-o am trecut-o cu semn schimbat in partea stanga si astfel am obtinut de doua ori integrala de mai sus si astfel daca impartim prin 2 obtinem integrala de mai sus.
c) I_{n}=\int^{e^{n+1}}_{e^{n}}\left(f\left(x\right)-x\right)dx=\int^{e^{n+1}}_{e^{n}}\left(\frac{\ln x}{x}+x-x\right)dx=\int^{e^{n+1}}_{e^{n}}\frac{\ln x}{x}dx
Notam \ln x=t  \\ \frac{1}{x}dx=1\cdot dt  \\ x=e^{n+1}\Rightarrow \ln e^{n+1}=t\Rightarrow n+1\cdot \ln e=t\Rightarrow n+1=t  \\x=e^{n}\Rightarrow \ln e^{n}=t\Rightarrow n\cdot \ln e=t\Rightarrow t=n
Deci integrala devine:
\int^{e^{n+1}}_{e^{n}}\frac{\ln x}{x}dx=\int^{n+1}_{n}t dt=\frac{t^{2}}{2}|^{n+1}_{n}=\frac{\left(n+1\right)^{2}}{2}-\frac{n^{2}}{2}=\frac{\left(n+1\right)^{2}-n^{2}}{2}=\frac{n^{2}+2n+1-n^{2}}{2}=\frac{2n+1}{2}
Am gasit ca I_{n}=\frac{2n+1}{2}
Acum daca calculam
I_{1}=\frac{2\cdot 1+1}{2}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}  \\I_{2}=\frac{2\cdot 2+1}{2}=\frac{5}{2}
I_{2}-I_{1}=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=\frac{2}{2}=1$
Deci am gasit ca r=1.
Mai calculam
I_{n+1}-I_{n}=\frac{2\left(n+1\right)+1}{2}-\frac{2n+1}{2}=\frac{2n+2+1}{2}-\frac{2n+1}{2}=\frac{2n+3-2n-1}{2}=\frac{2}{2}=1 constant.
Si astfel gasim ca I_{n} este progresie aritmetica cu ratia 1.

Nota !Acestea au fost subiecte posibile simulare bacalaureat 2014 deci nimic nu este sigur.

Simulare Bacalaureat 2014 clasa a XI-a matematica

Prezentam o simulare bacalaureat 2014 clasa a XI-a la matematica subiectul I.
Dupa cum bine stiti inca din calsa a X-a ecuatiile exponentiale joaca un rol important si se pune accent pe ele cand se realizeaza subiectele la bacalaureat.

Subiecte simulare bacalaureat 2014

1) Sa se rezolve ecuatia
3^{x}+2\cdot 3^{x+1}=7
2) Sa se determine toate valorile reale ale lui x pentru care x\left(x-1\right)\leq x+15.
3) Sa se determine valoarile reale ale numarului m, astfel incat reprezentarea grafica a functiei f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{2}-\left(m+1\right)x-m sa fie tangenta la axa Ox.
4) Sa se rezolve ecuatia \lg\left(x+4\right)+\lg\left(2x+3\right)=\lg\left(1-2x\right)
5) Sa se calculeze cosinusul unghiului ascutit format de diagonalele dreptunghiului ABCD stiind ca AB=16 cm, si BC=12 cm.
6) Se considera triunghiul echilateral ABC de centru O. Daca punctul M este mijlocul segmentului BC, sa se determine numarul real astfel incat \vec{AO}=a\cdot\vec{AM}.
Solutie
1) Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus mai intai observam ca ecuatia putem sa o scriem:
3^{x}+2\cdot 3^{x+1}=7\Rightarrow 3^{x}+2\cdot 3^{x}\cdot 3^{1}=7
Astfel daca notam cu
t=3^{x} si astfel ecuatia devine
t+2\cdot t\cdot 3=7\Rightarrow t+6t=7\Rightarrow 7t=7\Rightarrow t=1
Astfel stim ca
3^{x}=1\Rightarrow 3^{x}=3^{0}\Rightarrow x=0
2) Acum sa aflam valorile reale ale lui x care verifica inegalitatea
x\left(x-1\right)\leq x+15\Rightarrow x^{2}-x-x-15\leq 0\rightarrow x^{2}-2x-15\leq 0.
Acum calculam
\Delta=\left(-2\right)^{2}-4\cdot 1\cdot \left(-15\right)=4+60=64
Calculam acum
x_{1}=\frac{-b+\sqrt{64}}{2\cdot a}=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5
x_{2}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot 1}=\frac{2-8}{2}=\frac{-6}{2}=-3
Acum sa efectuam tabelul de variatie
cum stabilim solutia unei inecuatii de gradul II
Deci solutia inecuatiei este intervalul \left[-3, 5\right]
3) Mai intai calculam valoarea minima a functiei V\left(\frac{-b}{2\cdot a}, 0\right)
Astfel avem ca
\frac{-b}{2\cdot a}=\frac{-\left[-\left(m-1\right)\right]}{2\cdot 1}=\frac{m-1}{2}
Astfel avem urmatoarea ecuatie :
x^{2}-\left(m+1\right)\cdot x-m=0
Conditia ca reprezentarea grafica sa fie tangenta la axa OX este ca \Delta =0
Astfel mai intai calculam Delta
\Delta =\left[-\left(m-1\right)\right]^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-m\right)=\left(m-1\right)^{2}+4m
Acum avem conditia \Delta =0\Rightarrow\left(m-1\right)^{2}+4m=0
\Rightarrow m^{2}-2m+1+4m=0\Rightarrow m^{2}+2m+1=0\Rightarrow\left(m+1\right)^{2}=0
\Rightarrow m=-1
deci pentru m=-1 reprezentarea grafica este tangenta la axa Ox.
4) Pentru a rezolva ecuatia avem mai intai conditiile:
x+4>0\Rightarrow x>-4\;\; I_{1}=\left(-4, +\infty\right)  \\ 2x+3>0\Rightarrow x>\frac{-3}{2}\;\; I_{2}=\left(-\frac{3}{2}, +\infty\right)  \\1-2x>0\Rightarrow x<\frac{1}{2}\;\; I_{3}=\left(-\infty; \frac{1}{2}\right)
Acum I=I_{1}\cap I_{2}\cap I_{3}=\left(-4;\infty\right)\cap\left(-\frac{3}{2}; \infty\right)\cap\left(-\infty;\frac{1}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)
Astfel ecuatia devine:
\lg\left(x+4\right)\cdot\left(2x+3\right)=\lg\left(1-2x\right)\Rightarrow \left(x+4\right)\cdot\left(2x+3\right)=\left(1-2x\right)\Rightarrow 2x^{2}+3x+8x+12=1-2x\Rightarrow 2x^{2}+13x+11=0
Observam ca am obtinut o ecuatie de gradul II
Calculam
\Delta =13^{2}-4\cdot 2\cdot 11=169-88=81
Calculam acum
x_{1}=\frac{-13+9}{2\cdot 2}=\frac{-4}{4}=-1\in I
x_{2}=\frac{-13-9}{4}=\frac{-22}{4}=\frac{-11}{2}\notin I
Deci solutia ecuatiei este x=-1
5) cum aflam cosinusul unghiului format de diagonalele unui dreptunghi
In triunghiul ABC aplicam Teorema lui Pitagora
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}\Rightarrow AC^{2}=256+144\Rightarrow AC=\sqrt{400}\Rightarrow AC=20 cm.
Stim ca OB=OC=\frac{AC}{2}=\frac{20}{2}=10
Acum daca aplicam Teorema cosinusului gasim ca
BC^{2}=OB^{2}+OC^{2}-2\cdot OB\cdot OC\cdot cos\widehat{BOC}\Rightarrow 144=100+100-2\cdot 10\cdot 10\cdot\cos\widehat{BOC}\Rightarrow 144-200=-200\cdot\cos\widehat{BOC}\Rightarrow -56=-200\cdot\cos\widehat{BOC}\Rightarrow \cos\widehat{BOC}=\frac{56}{200}\Rightarrow \cos\widehat{BOC}=\frac{7}{25}
6) Problema rezolvata cu vectori
Stim ca O este centrul de greutate al triunghiului (intr-un triunghi echilateral medianele, mediatoarele, bisectoarele si inaltimile coincid), atunci
\vec{AO}=\frac{2}{3}\vec{AM}, deci gasim cs
a=\frac{2}{3}
deci stim ca punctul de intersectie al medianelor este situat la doua treimi fata de varf si o treime fata de baza.

Acesta a fost subiectul I simulare bacalaureat 2014 cls. XI SI XII .