Probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor

Sa mai rezolvam niste probleme pentru dragii nostrii vizitatori.

1. David are un numar de jucarii. Triplul jumatatii acestui numar micsorat cu jumatatea jumatatii numarului respectiv devine 20. Cate jucarii are David?

Rezolvarea problemei:

Notam numarul jucariilor cu x
Si formam ecuatia: 3\cdot x\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot x=20
Asadar avem ecuatia: \frac{3x}{2}-\frac{x}{4}=20|\cdot 4\Rightarrow \frac{3x}{2}\cdot 4-\frac{x}{4}\cdot 4=20\cdot 4\Rightarrow 3x\cdot 2-x=80\Rightarrow 6x-x=80\Rightarrow 5x=80\Rightarrow x=80:5\Rightarrow x=16
Deci numarul jucariilor lui David este 16.

Acum efectuam proba: \frac{3x}{2}=\frac{3\cdot 16}{2}=\frac{48}{2}=48:2=24 triplul jumatatii acestui numar
Micsorat cu jumatatea jumatatii numarului respectiv 24-\frac{1}{4}\cdot 16=24-\frac{16}{4}=24-16:4=24-4=20 devine 20, ceea ce se verifica.

2. S = 8+11+14+…+44
Observam ca termenii sumei se afla in progresie aritmetica.
Ca sa calculam suma de mai sus folosim progresiile aritmetice:
Astfel avem ca: a_{1}=8, a_{2}=11.... a_{n}=44
Mai intai aflam ratia, astfel avem : r=a_{2}-a_{1}=11-8=3
Dar cu formula termenului general stim ca a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 44=8+\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow \left(n-1\right)\cdot 3=44-8\Rightarrow \left(n-1\right)\cdot 3=36\Rightarrow n-1=36:3\Rightarrow n-1=12\Rightarrow n=12+1\Rightarrow n=13

Deci stim ca in suma avem 13 termenii, iar in progresie aritmetica suma primilor n termenii este S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right)\cdot n}{2}
Dar noi cum avem 13 termenii, obtinem S_{13}=\frac{\left(a_{1}+a_{13}\right)\cdot 13}{2}=\frac{\left(8+44\right)\cdot 13}{2}=\frac{52\cdot 13}{2}=\frac{676}{2}=338

Asadar suma primilor 13 termenii este 338.
Deci suma S=8+11+14+…+44=338

Reprezentarea analitica a dreptei in plan Ecuatia carteziana generala a dreptei

Consideram un plan cartezian P, cu un reper cartezian Ox, Oy.
Definitie: O multime d\subset P este o dreapta daca si numai daca exista trei numere reale a, b, c ci a\neq 0 sau b\neq 0, astfel incat:
d=\left\{\left(x,y\right)|ax+by+c=0\right\}

Daca are loc relatia de mai sus spunem ca d este dreapta de ecuatie: ax+by+c=0 si se scrie d:ax+by+c=0

Despre dreapta d:ax+by+c=0 afirma:
– d are aceeasi directie cu Ox (este orizonatala) daca si numai daca a=0
– d are aceeasi directie cu Oy (este verticala) daca si numai daca b=0
– d este oblica daca si numai daca a\neq 0, si b\neq 0
Dreptele d:ax+by+c=0 si d':a'x+b'y+c'=0 coincid, daca si numai daca exista un numar real \lambda\neq 0 astfel incat:
a'=\lambda\cdot a, b'=\lambda\cdot b, c'=\lambda\cdot c

Aplicatie:

1. Aflati valoarea parametrului c\in R pentru care dreapta de ecuatie d:2x-3y+c=0 trece prin punctul A\left(6, 3\right)

Solutie: A\in d\Rightarrow 2\cdot 6-3\cdot 3+c=0\Rightarrow 12-9+c=0\Rightarrow 3+c=0\Rightarrow c=-3

Deci c=-3.

Ecuatii carteziene particulare a dreptei

Fie dreapta d:Ax+By+C=0, unde A\neq 0 sau B\neq 0

Daca B\neq 0, adica b nu are aceeasi directie cu Oy si avem Ax+By+C=0\Leftrightarrow y=-\frac{A}{B}-\frac{C}{A}, de unde notam y=-\frac{A}{B} si n=-\frac{C}{A} si obtinem ecuatia y=mx+n

Dar exista si reciproca, astfel consideram numerele reale m si n date de ecuatia unei drepte care nu are aceeasi directie cu Oy, y=mx+n

astfel y=mx+n\Leftrightarrow mx-y+n=0\Leftrightarrow ax+by+c=0, cu a=m. b=-1, c=n.

Definitie: Vom spune ca y=mx+n este ecuatia carteziana explicita a dreptei in plan.

Daca dreapta d  are ecuatia y=mx+n, atunci:

– numarul m se numeste panta dreptei d sau coeficientul unghiular al dreptei d.

-numarul n se numeste ordonata la origine a dreptei d

Observatie: Numai dreptele care nu sunt verticale pot fi reprezentate printr-o ecuatie explicita.

Teorema. Daca m este panta unei drepte care nu este verticala si care trece prin punctele A\left(x_{A}, y_{B}\right), B\left(x_{B},y_{B}\right), atunci m=\frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}}

Daca m este panta unei drepte d care nu este verticala si \theta este masura unghiului dintre dreapta d si axa Ox, atunci m=\tan\theta

Observatie. In cazul dreptei oblice sau orizontale d:y=mx+n, masura unghiului dintre dreapta d si axa Ox este \theta=\arctan m.

Fie d si d’ doua drepte care nu sunt verticale d: y=mx+n si d^{'}:y=m^{'}x+n^{'}

Folosind semnificatia geometrica a pantei, rezulta:

-d si d’ au aceeasi directie daca si numai daca m=m^{'}

– d si d’ sunt paralele daca si numai daca m=m^{'} si d\neq d^{'}

Ecuatia unei drepte care trece printr-un punct dat:

Fie in plan un punct A\left(x_{A}, y_{A}\right) si o dreapta d care trece prin punctul A.

Daca d este verticala atunci ecuatia dreptei d este d:x=x_{A}

Daca d nu este verticala, atunci scriem ecuatia lui d sub forma explicita si anume y=mx+n, unde m,n\in R. cum stim ca A\in d, avem y_{A}=mx_{A}+n, adica n=y_{A}-mx_{A} si cu ecuatia de mai sus obtinem y=mx+n=mx+y_{A}-mx_{A}\Rightarrow y=mx+y_{A}-mx_{A}\Rightarrow y-y_{A}=mx-mx_{A}\Rightarrow y-y_{A}=m\left(x-x_{A}\right)

Asadar ecuatia unei drepte d care trece prin punctul A\left(x_{A}, y_{A}\right) si are panta m este y-y_{A}=m\left(x-x_{A}\right)

Dar trebuie sa scriem si ecuatia unei drepte care trece prin doua puncte distincte.

Ecuatia unei drepte care trece prin punctele distincte A\left(x_{A}, y_{A}\right) si B\left(x_{B}, y_{B}\right) este:

– AB:x=x_{A}, daca x_{A}=x_{B}

AB:y-y_{A}=m\left(x-x_{A}\right), daca x_{A}\neq x_{B}, unde m=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}

Aplicatie:

Scrieti ecuatia dreptei care trece prin punctele A, B, unde:

a) A\left(-2,4\right), B\left(-2, 1\right)

Avem x_{A}=x_{B}=-2, deci AB||Oy si AB:x=-2

b) A\left(2, 3\right), B\left(-1, 3\right), deci cu notiunile de mai sus obtinem ca y_{A}=y_{B}, deci AB||Ox si AB:y=2

c) A\left(1, 2\right),B\left(3, 5\right)

Constatam ca dreapta AB este oblica, deoarece:

x_{A}\neq x_{B}\Rightarrow 1\neq 3 si y_{A}\neq y_{B}\Rightarrow 2\neq 5

Iar ecuatia dreptei este: y-y_{A}=m\left(x-x_{A}\right)

Iar m=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{5-2}{3-1}=\frac{3}{2}

Iar ecuatia dreptei este: y-2=\frac{3}{2}\left(x-1\right)\Rightarrow 2\left(y-2\right)=3\left(x-1\right)\Rightarrow 2y-4=3x-3\Rightarrow 3x-2y+4-3=0\Rightarrow 3x-2y+1=0

Sau putem sa scriem ecuatia dreptei si cu ajutorul ecuatiei drepte explicite, deci stim ca y=mx+n

Adica AB:y=mx+n, adica coordonatele punctelor A si B trebuie sa verifice aceasta ecuatie, deci

2=m\cdot 1+n\Rightarrow 2=m+n

Dar si 5=m\cdot 3+n\Rightarrow 5=3m+n acum din cele doua relatii gasite trbuie sa aflam m si n.

2=m+n\Rightarrow m=2-n

Acum daca inlucuim in cea de-a doua relatie obtinem 5=3m+n\Rightarrow 5=3\cdot\left(2-n\right)+n\Rightarrow 5=6-3n+n\Rightarrow 5-6=-2n\Rightarrow -1=-2n\Rightarrow n=\frac{1}{2}

Iar acum sa aflam m m=2-\frac{1}{2}\Rightarrow m=\frac{4}{2}-\frac{1}{2}\Rightarrow m=\frac{3}{2}

Deci ecuatia dreptei este y=mx+n\Rightarrow y=\frac{3}{2}\cdot x+\frac{1}{2}\Rightarrow 2y=3x+1\Rightarrow 2y-3x-1=0\Rightarrow -3x+2y-1=0\Rightarrow 3x-2y+1=0

Morfisme de grupuri

Dupa ce am introdus notiunea de grup apare o notiune noua si anume notiunea de morfisme de grupuri.

Dar de ce introducem si notiunea de morfism de grup?

Raspunsul este simplu:

Proprietatile algebrice ale elementelor unui grup sunt cele descrise in lista axiomelor grupului sau consecinte ale axiomelor.

Dar exista si grupuri ale caror elemente au proprietati algebrice asemanatoare pe care le putem identifica printr-o functie, adica acele elemente care se comporta la fel.

Iar aceasta functie va fi numita morfism (izomorfism, automorfism). Adica studiul unui grup poate sa ne furnizeze informatii si asupra unui alt grup, daca intre aceste structuri a fost stabilit un morfism.

Astfel definim notiunea de morfism de grup:

Definitie. Fie grupurile \left(G, \circ\right) si \left(G^{'}, *\right).  Functia f:G\rightarrow G^{'} (nu obligatoriu bijectiva) se numeste morfism de grupuri daca

f\left(x\circ y\right)=f\left(x\right)*f\left(y\right)

 

Iar pentru ca grupul sa fie izomorfism de grupuri avem definitia:

Definitie: Fie \left(G,\circ \right) si \left(G^{'}, *\right) doua grupuri.

O functie f:G\rightarrow G^{'} se numeste izomorfism de grupuri daca:

f\left(x\circ y\right)=f\left(x\right)*f\left(y\right)

, pentru  \forall x, y\in G

– f este bijectiva, pentru cei care nu mai stiu care sunt conditiile ca o functie sa fie bijectiva click aici.

Spunem ca grupul G este izomorf cu grupul G’ si scriem G\approx G^{'} daca exista un izomorfism f:G\rightarrow G^{'}

In caz contrar spunem ca grupul G nu este izomorf cu grupul G’.

Aplicatii:

1. Pe multimea Z se considera legile de compozitie: x\circ y=x+y+1 si x*y=ax+by-1, a,b\in Z si functia f\left(x\right)=x+2

a) Sa se demonstreze ca x\circ \left(-1\right)=\left(-1\right)\circ x=x, oricare ar fi x\in Z.

b) Sa se determine latex a, b\in Z$ pentru care legea de compozitie este * este asociativa

c) Daca a=b=1 sa se arate ca functia f este morfism intre grupurile \left(Z,\circ\right) si \left(Z, *\right)

Solutie:

a)  Calculam mai intai x\circ\left(-1\right)=x+\left(-1\right)+1=x-1+1=x

Deci se verifica.

Acum calculam: \left(-1\right)\circ x=\left(-1\right)+x+1=x

Deci am obtinut ca x\circ\left(-1\right)=x=\left(-1\right)\circ x

b) Acum pentru cea de-a doua lege de compozitie trebuie sa aflam a si b astfel incat legea sa fie asociativa, deci avem sa calculam x*\left(y*z\right)=\left(x*y\right)*z

Calculam mai intai: x*\left(y*z\right)=a\cdot x+b\cdot\left(y*z\right)-1=ax+b\cdot\left(ay+bz-1\right)-1=ax+aby+b^{2}z-b-1 dar si \left(x*y\right)*z=a\left(x*y\right)+bz-1=a\left(ax+by-1\right)+bz-1=a^{2}x+aby-a+bz-1=a^{2}x+aby+bz-a-1

Acum avem ca x*\left(y*z\right)=\left(x*y\right)*z\Rightarrow ax+aby+b^{2}z-b-1=a^{2}x+aby-a-1

Si astfel obtinem ca daca egalam coeficientii lui x si y a=a^{2}\Rightarrow a^{2}-a=0\Rightarrow a\left(a-1\right)=0\Rightarrow a=0 sau a=1,

Dar mai avem si b^{2}=b\Rightarrow b^{2}-b=0\Rightarrow b\left(b-1\right)=0\Rightarrow b=0

Sau b=1

Dar si -b-1=-a-1\Rightarrow -b=-a\Rightarrow b=a

Deci cu ultima relatie avem ca: a=b=0 sau a=b=1

c)  Acum pentru a=b=1 Obtine, legea de compozitie * devine x*y=x+y-1

Iar conditia ca sa existe un morfism de grupuri intre cele doua legi de compozitie este: f\left(x\circ y\right)=f\left(x\right)*f\left(y\right)

Deci obtinem f\left(x\circ y\right)=x\circ y+2=x+y+1+2=x+y+3

Iar acum avem f\left(x\right)=x+2

Dar si f\left(y\right)=y+2

Dar cu legea de compozitie avem: f\left(x\right)*f\left(y\right)=\left(x+2\right)*\left(y+2\right)=x+2+y+2-1=x+y+4-1=x+y+3

Deci obtinem ca f\left(x\circ y\right)=f\left(x\right)*f\left(y\right)\Rightarrow x+y+3=x+y+3

De unde obtinem ca f este morfism de grupuri.

Functii derivabile

Definitia derivatei unei functii intr-un punct :fie f:D\rightarrow R, D\subset R si x_{0}\in D un punct de acumulare al multimii D.

Definitie functii derivabile:

Se spune ca functia f are derivata in punctul x_{0}\in D daca exista limita  \lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}} in \bar{R}

Limita de mai sus se numeste derivata functiei in punctul x_{0} si se noteaza

f^{'}\left(x\right)=\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}

Mai spune si ca functia f este este derivabila in punctul x_{0}\in D, daca limita

f^{'}\left(x\right)=\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}

exista si este  finita.

Definitii

Fie f:D\rightarrow R, A\subset D

Functia f este derivabila pe multimea A, daca este derivabila  in fiecare punct al multimii.

Multimea D_{f^{'}}=\left\{x\in D|\exists f^{'}\left(x\right)\;\; si\;\;\; f^{'}\left(x\right)\in R\right\} se numeste domeniul de derivabilitate  a  functiei f.

Derivate laterale

Derivata la stanga

Fie functia f:D\rightarrow R si x_{0}\in D astfel incat D\cap\left(-\infty,x_{0}\right)\neq\Phi

Definitii !

Functia f are derivata la stanga in punctul x_{0}, daca limita \lim\limits_{x\to x_{0}\\x<x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}} exista in \bar{R}

Aceasta limita se numeste derivata la stanga a functiei f in punctul x_{0} si se noteaza f^{'}_{s}\left(x\right)

Functia f are derivabila la stanga in punctul x_{0}, daca derivata la stanga in x_{0} exista si este finita.

Derivata la dreapta

Fie functia f:D\rightarrow R si x_{0}\in D astfel incat D\cap\left(x_{0},+\infty\right)\neq \Phi

Definitii !

Functia f are derivata la dreapta  in punctul x_{0}, daca limita \lim\limits_{x\to x_{0}\\x>x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}} exista in \bar{R}

Aceasta limita se numeste derivata la dreata a functiei f in punctul x_{0} si se noteaza f^{'}_{d}\left(x\right)

Functia f este  derivabila  la dreata  in punctul x_{0}, daca derivata la dreapta  in x_{0} exista si este finita.

Teorema !

Fie functia f:D\rightarrow R si x_{0}\in D

a)  Functia f are derivata in x_{0} daca si numai daca f are derivatele laterale in x_{0} si f^{'}_{s}\left(x_{0}\right)=f^{'}_{d}\left(x_{0}\right)=f^{'}\left(x_{0}\right)

b) Functia f este derivabila in x_{0} daca si numai daca este derivabila la stanga si la dreapta   in
x_{0} si f^{'}_{s}\left(x_{0}\right)=f^{'}_{d}\left(x_{0}\right)=f^{'}\left(x_{0}\right)

Derivabilitate si continuitate

Teorema (continuitatea functiilor derivabile)

Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.

Observatie !

Reciproca teoremei de mai sus nu este in general adevarata. Adica, o functie este continua intr-un punct fara a fi derivabila in acel punct.

Exemplu:

Functia modul f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=|x| este continua in x_{0} fara a fi derivabila in  in acest punct.

Astfel \lim\limits_{x\to 0}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0}{|x|}=|0|=0=f\left(0\right), deci functia este continua.

Pentru derivabilitate studiem existenta si valoare limitei raportului

R\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\frac{|x|}{x} in x_{0}

Astfel avem \lim\limits_{x\to 0\;\; x<0}{R\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0\;\; x<0}{\left(-1\right)}=-1

\lim\limits_{x\to 0\;\; x>0}{R\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0\;\; x>0}{1}=1

Astfel nu exista \lim\limits_{x\to 0}{R\left(x\right)}, deci functia modul nu este derivabila in punctul x_{0}

Deci e foarte important sa cunoastem notiunea de derivata, dar si notiunea de derivata unei functii intr-un punct, cat si notiunea de derivabilitate si continuitate.

Metoda integrarii prin parti

Dupa ce am invatat notiunea de primitiva, dar si sa calculam o primitiva/ primitivele unor functii, si mai important, sa demonstram cand o functie admite primitive, a venit vremea sa discutam despre metodele de calculare a integralelor. In afara de tabelul cu primitive, mai exista si doua metode:
– metoda integrarii prin parti
– metoda schimbarii de variabile
In acest articol o sa ne ocupam de metoda integrarii prin parti:
Aceste metode de calcul urmaresc transformarea unor integrale „complicate” in integrale care pot fi calculate mai usor.
Teorema. Presupunem ca functiile f, g:I\rightarrow R sunt derivabile cu derivatele: f^{'}, g^{'}:I\rightarrow R continue. Fie doua numere a,b\in I
Atunci \int^{b}_{a}f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)^{'} dx=f\left(x\right)\cot g\left(x\right)|^{b}_{a}-\int^{b}_{a}f^{'}\left(x\right)\cdot g\left(x\right) dx

Exemplu:
1. Calculati urmatoarele integrale:
\int^{1}_{0}\ln\left(3x+1\right)dx
Integrala de mai sus o calculam cu ajutorul metodei integrarii prin parti, astfel
consideram f\left(x\right)=x, deoarece stim ca f^{'}\left(x\right)=x^{'}=1
Observat ca am luat funcita sub derivare ca fiind x
Si g\left(x\right)=\ln\left(3x+1\right)
Si integrala de mai sus devine: \int^{1}_{0}x^{'}\cdot\ln\left(3x+1\right) dx=
Mai intai am aplicat formula de mai sus pentru a obtine o integrala mai usor de rezolvat
x\cdot\ln\left(3x+1\right)|^{1}_{0}-\int^{1}_{0}x\cdot\left(\ln\left(3x+1\right)\right)^{'} dx=
In cea de-a doua integrala obtinuta am derivat membrul drept, adica g\left(x\right)=\ln\left(3x+1\right), iar g^{'}\left(x\right)=\left(\ln\left(3x+1\right)\right)^{'}=\frac{1}{3x+1}\cdot\left(3x+1\right)^{'}=\frac{1}{3x+1}\cdot 3=\frac{3}{3x+1}
1\cdot\ln\left(3\cdot 1+1\right)-0\cdot\ln\left(3\cdot 0+1\right)-\int^{1}_{0}x\cdot \frac{1}{3x+1}\cdot\left(3x+1\right)^{'} dx=
\ln\left(3+1\right)-0\cdot\ln 1-int^{1}_{0}x\cdot\frac{1}{3x+1}\cdot 3dx=\ln 4-0-\int^{1}_{0}\frac{3}{3x+1} dx=\ln 4-3\int^{1}_{0}\frac{1}{3x+1}dx=
Observati ca mai sus sus am aplicat formula Leibniz-Newton

\ln 4-3\int^{1}_{0}\frac{\left(3x+1\right)^{'}}{3x+1}\cdot \frac{1}{3} dx=

Noua integrala obtinuta o rezolvam folosind formula int\frac{u^{'}\left(x\right)}{u\left(x\right)}=\ln |u\left(x\right)|+c, unde u(x)=3x+1, dar u^{'}\left(x\right)=\left(3x+1\right)^{'}=3, dar observati ca i fata integralei apare fractia \frac{1}{3}, pentru a se simplifica de la derivare.
\ln 4-3\cdot\frac{1}{3}\int^{1}_{0}\frac{\left(3x+1\right)^{'}}{3x+1}dx=
ln 4-\ln\left(3x+1\right)|^{1}_{0}=\ln 4-\ln\left(3\cdot 1+1\right)=
\ln 4-\ln 4+\ln 1=0
Pentru a afla valoarea integralei am aplicat din nou Leibniz-Newton de unde am obtinut rezultatul 0.

b) \int^{2\pi}_{0}x\sin x dx=
Ca sa calculam integrala de mai sus, mai intai ne alegem functia pe care o punem sub derivare:
Astfel daca luam g\left(x\right)=\left(-\cos x\right)^{'}
Stim ca \left(-\cos x\right)^{'}=-\left(-\sin x\right)=\sin x
Deci alegem g\left(x\right)=\left(-\cos x\right)^{'}
Astfel integrala devine: \int^{2\pi}_{0}x\cdot\left(-\cos x\right)^{'}dx
Iar acum daca aplicam formula de mai sus obtinem:
\int^{2\pi}_{0}x\cdot\left(-\cos x\right)^{'}=-x\cos x|^{2\pi}_{0}-\int^{2\pi}_{0}x^{'}\cdot\left(-\cos x\right) dx
Astfel daca aplicam Leibnitz-Newton obtinem -2\pi\cos 2\pi+0\cdot \cos 0+\int^{2\pi}_{0}\cos xdx=-2\pi\cdot 1+\sin x|^{2\pi}_{0}=-2\pi+\sin 2\pi-\sin 0=-2\pi++0-0=-2\pi

Pentru a calcula \int \sin x=\cos x+C am aplicat formula uzuala din tabelul de integrale nedefinite.

c) \int^{\frac{\pi}{3}}_{0}\frac{x}{\cos^{2} x}
Acum la fel ca si mai sus alegem functia cea mai convenabila pe care sa o bagam sub semnul derivarii astfel incat sa ne avantajeze sa obtinem integrale mai usor de rezolvat.
Astfel integrala devine \int^{\frac{\pi}{3}}_{0}\frac{x}{\cos^{2} x}=\int^{\frac{\pi}{3}}_{0} x\cdot\frac{1}{\cos^{2} x} astfel daca luam functia \frac{1}{\cos^{2} x}

Stim ca \tan x=\frac{1}{\cos^{2} x}
Astfel consideram functia f\left(x\right)=x, dar si functia g^{'}\left(x\right)=\left(\tan x\right) astfel integrala devine:

\int^{\frac{\pi}{3}}_{0} x\cdot\left(\tan x\right)^{'} dx=
Iar acum aplicand Metoda integrarii prin parti obtinem:
x\cdot\tan x|^{\frac{\pi}{3}}_{0}-\int^{\frac{\pi}{3}}_{0}\left(x\right)^{'}\cdot \tan xdx=
Acum aplicand formula Laibnitz-Newton obtinem:
\frac{\pi}{3}\tan\frac{\pi}{3}-0\cdot\tan 0-\int^{\frac{\pi}{3}}_{0}1\cdot \tan x dx=\frac{\pi}{3}\cdot\sqrt{3}-\int^{\frac{\pi}{3}}\tan x dx=

Iar acum daca aplicam formulele pentru primitive obtinem ca \int \tan x dx=-\ln|\cos x|+C
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}-\left(-\ln|\cos x|\right)|^{\frac{\pi}{3}}_{0}=
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+\ln|\cos x||^{\frac{\pi}{3}}_{0}=

Iar la fel ca si mai sus daca aplicam Laibnitz-Newton
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+\ln|\cos\frac{\pi}{3}|-\ln|\cos 0|=
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+\ln|\frac{1}{2}|-\ln 1=
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+\ln|\frac{1}{2}|-\ln|1|=
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+\ln|\frac{1}{2}|-0=

Obtinem rezultatul de mai sus.
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+\ln 1-\ln 2=  \frac{\sqrt{3}\pi}{3}+0-\ln 2=\frac{\sqrt{3}\pi}{3}-\ln 2.

Deci e important, pentru a aplica Metoda integrarii prin parti, sa cunoastem notiunea de derivata dar si teorema pentru a puteam aplica aceasta metoda.

Primitive si integrala nedefinita a unei functii

Dupa ce am invatat sa derivam dar si ce rol joaca derivata am trecut de clasa a XI a si a venit vremea sa stim sa gasim primitive dar si sa calculam integrala/integralele nedefinita/ nedefinite a unei functii/ unor functii.

Cei care nu ati inteles notiunea de derivata va va fi foarte greu sa intelegeti notiunea de primitiva, deoarece ele se afla in stransa legatura.

Astfel incepem prin a da definitia primitivei.

Definitie: Fie I\subset R un interval si f:I\rightarrow R, F:I\rightarrow R. Functia F se numeste primitiva a lui f daca:

– F este derivabila

F^{'}\left(x\right)=f\left(x\right), \forall x\in I.

Spunem ca o functie f admite primitive pe intervalul I daca exista o primitiva a functiei f.

Exemplu:

Fie functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{3}.Functia F:R\rightarrow R, F\left(x\right)=\frac{x^{4}}{4} este o primitiva a functiei f, deoarece F este derivabila  si F^{'}=f

Teorema: Fie I un interval si functia f:I\rightarrow R care admite primitive. Daca F_{1}, F_{2}:I\rightarrow R sunt doua primitive ale functie f, atunci exista c\in R astfel incat F_{1}\left(x\right)=F_{2}\left(x\right)+c,\forall x\in I.

Defintie: Fie I un interval si o functie f:I\rightarrow R care admite primitive.  Multimea tuturor primitivelor functiei f se noteaza \int f\left(x\right) dx si se citeste integrala nedefinita a functiei f.

Asadar \int f\left(x\right) dx=\left\{F:I\rightarrow R| F\;\; este\;\; primitiva\;\; a \;\; functie \;\; f\right\}

Observatii !

Exista functii care nu admit primitive.

Orice functie continua pe un interval admite primitive pe acel interval.

Toate functiile elementare (polinomiale, radicali, exponentiale, logaritmice, trigonometrice) sunt continue pe un interval din domeniul lor de defintie, deci admit primitive.

Reciproca enuntului de mai sus nu este adevarata. Adica exista functii  care admit primitive dar nu sunt continue.

Aplicatii:

1. Calculati urmatorarele integrale:

a)\int \frac{x^{3}-x^{2}-x-2}{x^{2}} dx, x>0

Ca sa calculam integrala de mai sus, mai intai rescriem functia:

\int\left(\frac{x^{3}}{x^{2}}-\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{x}{x^{2}}-\frac{2}{x^{2}}\right)dx

Adica \int\frac{x^{3}}{x^{2}}dx-\int \frac{x^{2}}{x^{2}}dx-\int\frac{x}{x^{2}}dx-\int \frac{2}{x^{2}}dx

Observam ca putem sa efectuam la fiecare fractie anumite simplificari si integrala devine:

\int x dx-\int 1 dx-\int\frac{1}{x}dx-2\cdot \int\frac{1}{x^{2}}dx=

Acum ca sa calculam integralele obtinute folosim formula:

\int x^{n} dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

Dar si formula \int\frac{1}{x}dx=\ln |x|+C, unde C este o constanta

\frac{x^{2}}{2}-x-\ln x-2\cdot\int x^{-2}dx=    \frac{x^{2}}{2}-x-\ln x-2\cdot\frac{x^{-2+1}}{-2+1}=\frac{x^{2}}{2}-x-\ln x-2\cdot\frac{x^{-1}}{-1}=\frac{x^{2}}{2}-x-\ln x+2\cdot\frac{1}{x}+C=\frac{x^{2}}{2}-x-\ln x+\frac{2}{x}+C

 

b) \int\frac{x^{2}}{x^{2}-1}dx, x<-1

Ca sa calculam integrala de mai sus scadem la numarator cifra 1 si adunam la fel cifra 1., astfel integrala devine \int\frac{x^{2}-1+1}{x^{2}-1}dx=\int\left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}-1}+\frac{1}{x^{2}-1}\right)dx=\int\frac{x^{2}-1}{x^{2}-1}dx+\int\frac{1}{x^{2}-1}dx=\int 1dx+\int\frac{1}{x^{2}-1}dx

Iar ca sa calculam integrala nedefinta folosim formulele uzulae:

\int dx=x+C

Dar si \int\frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2\cdot a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C astfel integrala devine:

x+\frac{1}{2\cdot 1}\ln|\frac{x-1}{x+1}|+C=x+\frac{1}{2}\ln|\frac{x-1}{x+1}|+C

unde a=1.

\int\frac{1}{4x^{2}-9} dx, x>\frac{3}{2}

Ca sa calculam integrala nedefintia de mai sus

 

Mai intai rescriem numitorul 4x^{2}-9=2^{2}x^{2}-3^{2}=\left(2x\right)^{2}-3^{2}

Astfel integrala devine:

\int\frac{1}{\left(2x\right)^{2}-3^{2}} dx

Dar si  folosim un din formulele uzuale, adica stim ca \int\frac{1}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2\cdot a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|

unde in cazul de mai sus x=2x si a=3

Astfel obtinem:

\int\frac{1}{\left(2x\right)^{2}-3^{2}} dx=\frac{1}{2\cdot 3}\ln|\frac{2x-3}{2x+3}|=\frac{1}{6}\ln|\frac{2x-3}{2x+3}|+C

Asadar important la primitive si integrala nedefintia a unei functii sa invatam integralele uzuale, dar si cum sa le calculam cu ajutorul anumitor artificii.

 

Rezolvarea ecuatiilor exponentiale si logaritmice

Astazi ne ocupam de rezolvari pentru vizitatori si vom trata rezolvarea ecuatiilor exponentiale si logaritmice.

Prezentam mai multe ecuatii exponentiale si logaritmice rezolvate, astfel incepem prin a rezolva o ecuatie exponentiala:

ecuatii logaritmice

a) 5^{x}-5^{3-x}=20

Ca sa rezolvam aceasta ecuatie mai intai ne folosim de regulile de calcul cu puteri si rescriem ecuatia: 5^{x}-5^{3}\cdot 5^{-x}=20 deoarece stim ca a^{-1}=\frac{1}{a}

Ecuatia devine ^{5^{x})}5^{x}-^{1)}5^{3}\cdot\frac{1}{5^{x}}=^{5^{x})}20

Acum daca aducem la acelasi numitor obtinem:

\frac{5^{x}\cdot 5^{x}-1\cdot 5^{3}}{5^{x}}=\frac{5^{x}\cdot 20}{5^{x}}\Rightarrow 5^{2x}-125-20\cdot 5^{x}=0

Aceasta ecuatie putem sa o rescriem:

\left(5^{x}\right)^{2}-20\cdot 5^{x}-125=0

Observati ca am folosit regulile de calcul cu puteri.

Acum daca notam 5^{x}=t ecuatia devine:

t^{2}-20\cdot t-125=0

Si astfel am obtinut o ecuatie de gradul al doilea, unde a=1, b=-20 si c=-125

Acum calculam \Delta =b^{2}-4\cdot a\cdot c=\left(-20\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-125\right)=400+500=900

Acum calculam t_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{4\cdot a}=\frac{-\left(-20\right)+\sqrt{900}}{2\cdot 1}=\frac{20+30}{2}=\frac{50}{2}=25

Si t_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{4\cdot a}=\frac{-\left(-20\right)-\sqrt{900}}{2\cdot 1}=\frac{20-30}{2}=\frac{-10}{2}=-5

Deci am obtinut doua solutii ale ecuatiei dar deorece 5^{x}>0, rezulta ca -5 nu poate sa fie egal cu 5^{x} si deci singura solutie a ecuatiei se obtine din 5^{x}=t_{1}\Rightarrow 5^{x}=25\Rightarrow 5^{x}=5^{2}\Rightarrow x=2

b)  9^{\sqrt{x}}-4\cdot 3^{\sqrt{x}}+3=0

Observam ca la fel ca la exercitiul de mai sus avem o ecuatie exponentiala, astfel stim ca

3^{2}=9

Deci ecuatia devine \left(3^{2}\right)^{\sqrt{x}}-4\cdot 3^{\sqrt{x}}+3=0

Sau cu regula de calcul \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n}=a^{n\cdot m}

\left(3^{\sqrt{x}}\right)^{2}-4\cdot 3^{\sqrt{x}}+3=0

Si daca notam 3^{\sqrt{x}}=t

Ecuatia devine t^{2}-4\cdot t+3=0

Iar cu \Delta =\left(-4\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4

Si t_{1}=\frac{-\left(-4\right)+\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3

Dar si t_{1}=\frac{-\left(-4\right)\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1

Deci avem doua solutii pozitive  si avem 3^{\sqrt{x}}=t_{1}\Rightarrow 3^{\sqrt{x}}=3\Rightarrow \sqrt{x}=1\Rightarrow x=1

Deoarece avem functia radical pentru a exista radicalul de ordinul doi punem conditia ca x\geq 0\Rightarrow x\in\left[0; +\infty\right)

Dar mai avem si ca 3^{\sqrt{x}}=t_{2}\Rightarrow 3^{\sqrt{x}}=1\Rightarrow

3^{\sqrt{x}}=3^{0} \Rightarrow x=0

Pentru a fi siguri ca solutiile obtinute sunt corecte inlocuim x=0 in ecuatia initiala si obtinem:

9^{\sqrt{0}}-4\cdot 3^{\sqrt{0}}+3=1-4\cdot 1+3=-3+3=0

Deci se verifica.

c) \log_{5}{x^{2}-11x+43}=2

Observam ca in cazul de mai sus avem o ecuatie logartimica, deci mai intai punem conditia ca argumentul sa fie mai mare ca 0, astfel x^{2}-11x+43>0 si studiem semnul functiei sau solutiile ecuatiei gasite la inlocuim in ecuatie sa vedem care o verifica si astfel aflam si solutia astfel ecuatia devine x^{2}-11x+43=5^{2} \Rightarrow x^{2}-11x+43=25\Rightarrow x^{2}-11x+43-25=0\Rightarrow x^{2}-11x+18=0

Acum calculam \Delta=\left(-11\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 18=121-72=49

Acum calculam x_{1}=\frac{-\left(-11\right)+\sqrt{49}}{2\cdot 1}=\frac{11+7}{2}=\frac{18}{2}=9

Dar si x_{2}=\frac{-\left(-11\right)-\sqrt{49}}{2\cdot 1}=\frac{11-7}{2}=\frac{4}{2}=2

Iar acum daca inlocuim in ecuatia logaritmica  fiecare solutie gasita, obtinem:

\log_{5}{9^{2}-11\cdot 9+43}=\log_{5}{81-99+43}=\log_{5}{25}=5

Deci se verifica si am obtinut ca o solutie a ecuatiei este 5, acum

\log_{5}{2^{2}-11\cdot 2+43}=\log_{5}{4-22+43}=\log_{5}{25}=5

deci si ce-a de-a doua solutie se verifica si astfel am obtinut ca solutiile ecuatiei sunt 2 si 9.

d) \log_{x+1}{3x^{2}+2x-3}=2

In cazul ecuatiei de mai sus punem conditiile:

x+1>0\Rightarrow x>-1\Rightarrow x\i\left(-1; +\infty\right)

3x^{2}+2x-3>0

Si consideram functia: f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=3x^{2}+2x-3

Si studiem semnul functiei \Delta=2^{2}-4\cdot 3\cdot\left(-3\right)=4+36=40

Calculam: x_{1}=\frac{-2+\sqrt{40}}{2\cdot 3}=\frac{-2+2\sqrt{10}}{6}=\frac{2\left(-1+\sqrt{10}\right)}{6}=\frac{-1+\sqrt{10}}{3}

x_{2}=\frac{-2-\sqrt{40}}{2\cdot 3}=\frac{-2-2\sqrt{10}}{6}=\frac{2\left(-1-\sqrt{10}\right)}{6}=\frac{-1-\sqrt{10}}{3}

Acum intocmim tabelul de valori:

cum stabilim semnul functie de gradul al doilea

Astfel inecuatia are solutii in intervalul \left(-\infty; -1-\sqrt{10}\right)\cup\left(-1+\sqrt{10}; +\infty\right)

Dar stim si ca x>-1 deci solutia ecuatiei se afla in intervalul \left(-1+\sqrt{10}; +\infty\right)\cap\left(-1; +\infty\right)=\left(-1+\sqrt{10}; +\infty\right)

\log_{x+1}{3x^{2}+2x-3}=2\Rightarrow 3x^{2}+2x-3=\left(x+1\right)^{2}\Rightarrow 3x^{2}+2x-3=x^{2}+2x+1\Rightarrow 3x^{2}+2x-3-x^{2}-2x-1=0\Rightarrow 2x^{2}-4=0\Rightarrow 2\left(x^{2}-2\right)=0\Rightarrow x^{2}-2=0\Rightarrow x^{2}=2\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}.

Am gasit ca solutiile ecuatiei sunt -\sqrt{2} si \sqrt{2}

Dar nu se afla in intersectia conditiilor de mai sus, deci nu convin.

e) \lg x\cdot\left(\lg x-8\right)+16=0

In cazul ecuatiei de mai sus efectuam calculul

\lg x\cdot \lg x-\lg x\cdot 8+16=0\Rightarrow \lg^{2}x-8\lg x+16=0

Punem conditia ca x>0, deci x\in\left(0; +\infty\right)

Acum daca notam \lg x=y

ecuatia devine y^{2}-8y+16=0

Acum calculam \Delta=\left(-8\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 16=64-64=0

Deci solutia ecuatiei este: y_{1}=\frac{-\left(-8\right)+0}{2\cdot 1}=\frac{8}{2}=4=y_{2}

Deci solutia ecuatiei este: \lg x=4\Rightarrow x=10^{4}=10000

Acum inlocuim solutia gasita in ecuatie obtinem \lg 10^{4}\left(\lg 10^{4}-8\right)+16=4\cdot 1\left(4\cdot 1-8\right)+16=4\cdot\left(4-8\right)+16=4\cdot\left(-4\right)+16=-16+16=0

Deci se verifica solutia ecuatiei.

Model Lucrare scrisa clasa a XII a

Lucrare scrisa la matematica pe semestrul al doilea

Nume:

Prenume:

Subiectul I
1. Sa se determine produsul primilor trei termeni ai unei progresii geometrice \left(b_{n}\right)_{n\geq 1} stiind ca primul termen este egal cu 1 si ratia este q=-2
2. Se considera functia f:\left(0,+\infty\right)\rightarrow R, f\left(x\right)=2^{x}+\log_{3}x. Sa se calculeze: f\left(1\right)+f\left(3\right)
3.Sa se rezolve ecuatia \lg^{2} x+4\lg x+3=0
4. Sa se determine coordonatele varfului parabolei asociate functiei: f\left(x\right)=4x^{2}-12x+9
5. Sa se determine m\in R pentru care distanta dintre punctele: A\left(2,m\right), B\left(-m,-2\right) este egal cu 4\sqrt{2}
6. Stiind ca triunghiul ABC are BC=10 cm, AC= 5cm si AB=5\sqrt{3}. Sa se calculeze \cos A

Subiectul II
1. In multimea polinoamelor R\left[X\right] se considera polinoamele:
f=X^{3}+mX^{2}+nX+6 si g=X^{2}-x-2
a) Sa se rezolve ecuatia x^{2}-x-2=0
b) Sa se determine m, n\in R astfel incat polinomul f sa se divida cu polinomul g.
c) Pentru m=-4 si n=1 sa se calculeze produsul
P=f\left(0\right)\cdot f\left(1\right)\cdot...\cdot f\left(2014\right)
Subiectul III
1. Se considera functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=\left(x+1\right)e^{-x}
a) Sa se calculeze f^{'}\left(x\right), f^{''}\left(x\right), x\in R
b) Sa se arate ca f\left(x\right)\leq 1, \forall x\in R
c) Sa se determine ecuatia asimptotei spre +\infty la graficul functie f.

2. Se considera functia f:\left[0,1\right]\rightarrow R, f\left(x\right)=x\cdot \sqrt{2-x^{2}}
a) Sa se calculeze \int^{1}_{0}f^{2}\left(x\right)
b) Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinse intre graficul functiei f, axa Ox si dreptele de ecuatie x=0 si x=1
c) Sa se calculeze \lim\limits_{x\to 0}{\frac{\int^{x}_{0}f\left(t\right) dt}{x^{2}}}