Probleme rezolvate cu Teorema lui Pitagora

Prezentam, din nou,  alte Probleme rezolvate cu Teorema lui Pitagora

1. In ∆PQR, PM perpendicular pe QR, M € (QR), PQ=20cm, QM=16cm, MR= 9cm. Demonstrati natura triunghiului PQR.

Stim ca PM\perp QR, astfel obtinem ca triunghiul PQM dreptunghic in M, iar daca aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul PQM obtinem: PQ^{2}=PM^{2}+QM^{2}\Rightarrow 20^{2}=PM^{2}+16^{2}\Rightarrow 400=PM^{2}+256\Rightarrow PM^{2}=400-256\Rightarrow PM^{2}=144\Rightarrow PM=\sqrt{144}=12\;\; cm

La fel si triunghiul PMR fiind dreptunghic aplicam Teorema lui Pitagora
PR^{2}=PM^{2}+MR^{2}\Rightarrow PR^{2}=12^{2}+9^{2}\Rightarrow PR^{2}=144+81\Rightarrow PR=\sqrt{225}\Rightarrow PR=15\;\; cm
Iar QR=QM+MR=16+9=25 cm.
reciproca lui Pitagora

Acum daca aplicam reciproca lui Pitagora obtinem: QR^{2}=QP^{2}+PR^{2}

Adica 25^{2}=20^{2}+15^{2}\Rightarrow 625=400+225
Deci triunghiul este dreptunghic in P.
Asadar obtinem figura:
Teorema lui Pitagora

2. a) Lungimea catetei unui triunghi dreptunghic isoscel este a. Aflati lungimea ipotenuzei.

Fie ABC un triunghi dreptunghic isoscel in care AB=AC=a. Astfel cu Teorema lui Pitagora obtinem BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\Rightarrow BC^{2}=a^{2}+a^{2}\Rightarrow BC^{2}=2a^{2}\Rightarrow BC=\sqrt{2a^{2}}\Rightarrow BC=a\sqrt{2}

Deci important sa retinem faptul ca ipotenuza intr-un triunghi dreptunghic isoscel cu catetele de lungime a este egala cu a\sqrt{2}
ipotenuza intr-un triunghi dreptunghic
b) Lungimea laturii unui patrat este de 10 cm. Aflati lungimea diagonalei patratului.
Demonstratie:

Stim ca in patrat toate laturile sunt egale astfel obtinem AB=BC=CD=A=10 cm
Observam ca triunghiul ADC este drepunghic in D si cu AD=DC=10 cm, obtinem ca triunghiul ADC este dreptunghic isoscel si cu cea ce am aratat mai sus obtinem ca AC=10\sqrt{2}, astfel diagonala patratului este egala cu 10\sqrt{2}\;\; cm

Sau cu Teorema lui Pitagora in triunghiul ADC obtinem AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}\Rightarrow AC^{2}=10^{2}+10^{2}\Rightarrow AC^{2}=100+100\Rightarrow AC=\sqrt{200}\Rightarrow AC=10\sqrt{2}\;\; cm
cum aflam diagonala intr-un patrat

c) Lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic isoscel este de 12 cm. Aflati lungimile catetelor.

Stim cu formula de mai sus ca ipotenuza intr-un triunghi dreptunghic isoscel de latura a este: Ip=a\sqrt{2}\Rightarrow 12=a\sqrt{2}\Rightarrow 12^{2}=\left(a\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow 144=a^{2}\cdot 2\Rightarrow a^{2}=144:2\Rightarrow a^{2}=72\Rightarrow a=\sqrt{72}\Rightarrow a=6\sqrt{2}

Deci obtinem catetele de lungime 6\sqrt{2}
Sau cu Teorema lui Pitagora obtinem:

Astfel consideram Triunghiul dreptunghic isoscel ABC, cu AB=AC=l, astfel daca plicam Teorema lui Pitagora obtinem: BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\Rightarrow 12^{2}=l^{2}+l^{2}\Rightarrow 2l^{2}=144\Rightarrow l^{2}=144:2\Rightarrow l^{2}=72\Rightarrow l=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\;\; cm
cum aflam catetele intr-un triunghi dreptunghic isoscel  daca stim ipotenuza
Asdar este foarte important sa memoram faptul ca ipotenuza intr-un triunghi dreptunghi isoscel de lungime a este egala cu a\sqrt{2}

Probleme in care aflam muchia unui cub

Se considera cubul ABCDA’B’C’D’ si punctele M\in [AA'], N\in [CC'] astfel incat MA=2\cdot MA' si NC=\frac{CC'}{3}. Daca MN=\frac{5\sqrt{19}}{3}, calculati: lungimea muchiei cubului.

Demonstratie:

Pentru a efectua  corect corpul geometric cu notiunile din problema stim ca:

MA=2\cdot MA'

Dar mai stim si ca AA'=MA+MA'\Rightarrow AA'=2MA'+MA'\Rightarrow AA'=3MA'\Rightarrow MA'=\frac{AA'}{3}

Mai stim si ca NC=\frac{CC'}{3}\Rightarrow CC'=3\cdot NC

Si mai stim si ca CC'=CN+NC'\Rightarrow 3NC=CN+NC'\Rightarrow 3NC-NC=NC'\Rightarrow NC'=2NC

Stim ca cubul are toate muchiile egal astel avem ca AA'=AB=BC=l

Astfel avem ca MA'=\frac{l}{3}, dar si NC=\frac{l}{3}

De unde obtinem si ca: MA=2\cdot\frac{l}{3}=\frac{2l}{3}

Dar si NC'=2\cdot\frac{l}{3}=\frac{2l}{3}

latura unui cub
Astfel am obtinut patrulaterul ACNM, observati ca am construit diagonala AC, din notiunile pe care le avem stim ca AC=l\sqrt{2} (diagonala in patratul ABCD), observam ca m\left(\widehat{ACN}\right)=90^{0}, astfel construind si drepata AN, obtinem triunghiul dreptunghic ACN si aplicand Teorema lui Pitagora obtinem: AN^{2}=AC^{2}+NC^{2}\Rightarrow AN^{2}=\left(l\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\frac{l}{3}\right)^{2}\Rightarrow AN^{2}={9)}^2l^{2}+\frac{l^{2}}{9}\Rightarrow AN^{2}=\frac{18l^{2}+l^{2}}{9}\Rightarrow AN^{2}=\frac{19l^{2}}{9}\Rightarrow AN=\sqrt{\frac{19l^{2}}{9}}\Rightarrow AN=\frac{l\sqrt{19}}{3}

Dar construim si diagonala A’C’, dar si segmentul MC’
Si la fel ca si mai sus obtinem triunghiul dreptunghic A’MC’, unde MC'=\frac{l\sqrt{19}}{3}, daca aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic A’MC’
problema rezolvata cu cubul

 

Astfel avem triunghiurile: \Delta A'C'M si \Delta ACN triunghiuri dreptunghice in A’ respectiv C, unde gasim ca [AC]\equiv[A'C']

Dar mai avem si [AN]\equiv[CN]
Si cu cazul de congruneta de la trunghiurile dreptunghice obtinem ca:
\Delta A'C'M\equiv\Delta ACN
Si astfel obtinem ca [C'M]\equiv[AN] dar mai avem si:

\Delta ACM si \Delta A'C'N
[AC]\equiv[A'C']
Si [C'N]\equiv[AM]
Si cu cazul de congruneta C.C obtinem:
\Delta ACM\equiv\Delta C'A'N si obtinem [A'N]\equiv[CM]

latura unui cub
de unde obtinem si ca AN=MN, astfel avem ca \frac{l\sqrt{19}}{3}=\frac{5\sqrt{19}}{3}\Rightarrow l=5\;\; cm

Asadar muchia cubului este de 5 cm.

Cateva probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor

Prezentam cateva probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor. Pentru cei care nu stiti care sunt etapele pe care trebuie sa le parcurgem in rezolvatea problemelor click aici

Sa se afle 4 nr. consecutive impare, stiind ca, daca la suma lor marita de 8 ori se adauga 280 ,se obtine 2008 .

Solutie:

Consideram numerele naturale  impare: n, n+2, n+4, n+6

Si formam ecuatia: \left(n+n+2+n+4+n+6\right)\cdot 8+280=2008

Iar acum rezolvam ecuatia mai sus formata:

\left(4n+12\right)\cdot 8=2008-280\Rightarrow \left(4n+12\right)\cdot 8=1728\Rightarrow 4n+12=1728:8\Rightarrow 4n+12=216\Rightarrow 4n=216-12\Rightarrow 4n=204\Rightarrow n=204:4\Rightarrow n=51

Deci primul numar impar este 51, cel de-al doilea este n+2=51+2=53

Cel de-al treilea numar este n+4=51+4=55

Iar cel de=al patrulea n+6=51-6=57

Asadar numerele impare consecutive sunt 51; 53; 55; 57

 2. Consideram numerele in baza zece \bar{abc}\;\; \bar{cba}in care stim ca diferenta dintre numarul initial si rasturantul sau este 297, stiind ca b=3, aflati a si c.

Solutie: abc-cba=297,

Rescriind ecuatia  de mai sus obtinem: 100\cdot a+10\cdot b+1\cdot c-\left(c\cdot 100+10\cdot b+1\cdot a\right)=297

Stiind ca b=3 obtinem 100a+10\cdot 3+c-100c-10\cdot 3-a=297\Rightarrow 99a+30-99c-30=297\Rightarrow 99a-99c=297\Rightarrow 99\left(a-c\right)=297\Rightarrow a-c=297:99\Rightarrow a-c=3

Deci diferenta dintre primul numar si ultimul este 3, dar trebuie sa tinem cont si de faptul ca a, c\neq 0, dar si a<c

Pentru a=4, obtinem 4-c=3\Rightarrow 4-3=c\Rightarrow c=1

Asadar obtinem numarul 431

Iar rasturnatul sau este 134

Acum sa vedem daca se verifica 431-134=297

Deci se verifica.

Pentru a=5, obtinem 5-c=3\Rightarrow c=5-3=2

Si numarul gasit este 532 si rasturnatul sau este 235

La fel ca mai sus efectuam scaderea pentru a vedea daca se verifica 532-235=297

Deci se verifica.

Si asa mai departe pentru a=6, 7, 8, 9

 3. Cu 6 ani in urma varsta ficei era egala cu 0,2 din varsta mamei iar peste 9 ani varsta ficei va fi 0,5 din varsta pe care o va avea mama. Cati ani are fiecare in prezent?

Solutie:

Notam cu x varsta fiicei si cu y varsta mamei, astfel formam ecuatiile: x-6=0,2\cdot\left(y-6\right) (Cu 6 ani in urma varsta ficei era egala cu 0,2 din varsta mamei).

x+9=0,5\cdot\left(y+9\right) ( peste 9 ani varsta ficei va fi 0,5 din varsta pe care o va avea mama)

Astfel am obtinut doua ecuatii pe care incercam sa le rezolvam x-6=0,2\left(y-6\right)\Rightarrow x=\frac{2}{10}\left(y-6\right)+6\Rightarrow x=\frac{1}{5}\left(y-6\right)+6

Observati ca in prima ecuatie am scos necunoscuta x in functie de y pentru a putea inlocui in cea de-a doua ecuatie pentru a afla y, dar am transformat dintr-o fractie zecimala in fractie ordinara simplificand pe unde am putut, astfel inlocuind in cea de-a doua ecuatie obtinem: x+9=0,5\left(y+9\right)\Rightarrow \frac{1}{5}\left(y-6\right)+6+9=\frac{5}{10}\left(y+9\right)\Rightarrow \frac{1}{5}\left(y-6\right)+15=\frac{1}{2}\left(y+9\right)\Rightarrow ^{5)}\frac{y+9}{2}-^{2)}\frac{y-6}{5}=15\Rightarrow \frac{5\left(y+9\right)}{10}-\frac{2\left(y-6\right)}{10}=15\Rightarrow\frac{5y+45-2y+12}{10}=15\Rightarrow \frac{3y+57}{10}=15\Rightarrow 3y+57=150\Rightarrow 3y=150-57\Rightarrow 3y=93\Rightarrow y=93:3\Rightarrow y=31

Deci mama are 31 de ani, iar fiica: x=\frac{1}{5}\left(y-6\right)+6\Rightarrow x=\frac{1}{5}\left(31-6\right)+6\Rightarrow x=\frac{1}{5}\cdot 25+6\Rightarrow x=5+6=11

Asadar fiica are 11 ani.

 4. Trei frati au primit impreuna 130 de lei.dupa ce primul a cheltuit doua treimi din partea sa. Al doilea a cheltuit trei sferturi din partea sa, iar al treilea a cheltuit doua cincimi din partea sa. Cei trei frati au ramas cu suma egala de bani. Ce suma de bani exprimata in lei a primit fiecare dintre frati?
Solutie:
 Stim ca impreuna cei trei frati au 130 lei adica
– suma primului frate o notam cu x
-suma celui de-al   doilea frate cu y
– suma celui de-al treilea frate cu z
Astfel formam prima ecuatie:
x+y+z=130
 – x-\frac{2}{3}\cdot x=y-\frac{3}{4}\cdot y=z-\frac{2}{5}\cdot z\Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{3z}{5}
Astfel avem ca:
\frac{1}{3}\cdot x=k\Rightarrow x=3\cdot k
\frac{y}{4}\cdot y=k\Rightarrow y=4\cdot k
Si \frac{3}{5}\cdot z=k\Rightarrow z=\frac{5}{3}\cdot k
Astfel daca inlocuim in prima ecuatie obtinem:
3\cdot k+4\cdot k+\frac{5}{3}\cdot k=130\Rightarrow 7k+\frac{5k}{3}=130\Rightarrow \frac{21k+5k}{3}=130\Rightarrow \frac{26k}{3}=130\Rightarrow k=\frac{130\cdot 3}{26}=\frac{390}{26}\Rightarrow k=15
Astfel primul a avut x=3\cdot k=3\cdot 15=45\;\; lei
Cel de-al doilea y=4\cdot 15=60\;\; lei
Iar cel de-al treilea z=\frac{5}{3}\cdot k=\frac{5}{3}\cdot 15=5\cdot 5=25 \;\; lei

Probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor

Alina si Dan au impreuna 22 ani .Daca Dan ar fi de doua ori mai in varsta , tot i-ar mai trebui un an ca sa aiba de patru ori mai putin decat Alina . Sa se afle varstele celor doi copii . Multumesc !

Solutie:

Notam cu

– x varsta Alinei

– y varsta Dan

Astfel formam ecuatiile:

x+y=22 (Alina si Dan au impreuna 22 ani.)

2\cdot y+1=x:4 Dan ar fi de doua ori mai in varsta , tot i-ar mai trebui un an ca sa aiba de patru ori mai putin decat Alina.

Astfel avem ecuatile:

x+y=22

2y+1=\frac{x}{4}\Rightarrow 4\cdot\left(2y+1\right)=x\Rightarrow x=4\cdot 2y+4\cdot 1\Rightarrow x=8y+4

Astfel inlocuid in prima ecuatie obtinem:

8y+4+y=22\Rightarrow 9y+4=22\Rightarrow 9y=22-4\Rightarrow 9y=18\Rightarrow y=18:9\Rightarrow y=2

Deci Dan are 2 ani.

Iar Alina x=8\cdot 2+4\Rightarrow x=16+4\Rightarrow x=20

Deci Alina are 20 ani.

 

Calculul de distante si unghiuri

Prezentam rezolvarea unei probleme in care calculam distanta de la un punct la un plan, dar si distanta de la un punct la o dreapta, cat si masura unghiului diedru a doua plane.

Pe planul triunghiului dreptunghic ABC (m(<A)=90) cu AB =30 cm ,AC= 40cm, se ridica perpendiculara AP cu AP=8\sqrt{3}

Aflati:

a) distanta de la punctul P la dreapta BC
b) distanta de la punctul A la planul (PBC)
c)masura unghiului dietru format de planele (PBC)si(ABC)

Demonstratie:
Stim din ipoteza ca AP\perp (ABC), astfel in triunghiul dreptunghic ABC construim inaltimea AD, adica AD\perp BC
Stim ca AD\subset (ABC), deci cu Teorema celor trei perpendiculare rezulta ca si PD\perp BC si astfel distanta de la P la BC este PD d(P, BC)=PD

Dar mai intai aflam AD, stim ca triunghiul ABC este dreptunghic, deci mai intai aflam ipotenuza, adica BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\Rightarrow BC^{2}=30^{2}+40^{2}\Rightarrow BC=\sqrt{900+1600}\Rightarrow BC=\sqrt{2500}=50\;\; cm

Acum cu Teorema inaltimii in triunghiul dreptunghic ABC obtinem:
AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{30\cdot 40}{50}=\frac{30\cdot 4}{5}=\frac{6\cdot 4}{1}=24\;\; cm
Observati ca mai sus am efectuat cateva simplificari pentru a ne usura calculele.
Acum ca stim si AD si AP, in triunghiul dreptunghic PAB, aplicam Teorema lui Pitagora PD^{2}=PA^{2}+AD^{2}\Rightarrow PD=\left(8\sqrt{3}\right)^{2}+24^{2}\Rightarrow PD=\sqrt{64\cdot 3+576}\Rightarrow PD=\sqrt{192+576}=\sqrt{768}=16\sqrt{3}\;\; cm
cum aplicam Teorema celor trei perpendiculare

b) distanta de la punctul A la planul (PBC)

Observam ca PA\perp AB, Dar si PA\perp AC, stim si ca AD\perp BC
Astfel construim perpendiculara din A pe pe PD, astfel fie AE\perp PD, dar observam ca PD\subset(PBC), deci cu Reciproca celor trei perpendiculare obtinem ca AE\perp (PBC)

Deci avem ca d(A\left(PBC\right))=AE
Astfel stim ca triunghiul PAD este dreptunghic in A, deci cu Teorema inaltimii obtinem AE=\frac{PA\cdot AD}{PD}=\frac{8\sqrt{3}\cdot 24}{16\sqrt{3}}^{(16\sqrt{3}}=\frac{1\cdot 24}{2}=12\;\; cm
cum calculam distanta de la un punct la un plan

c)masura unghiului diedru format de planele (PBC)si(ABC)
Calculam mai intai intersectia celor doua plane:
(PBC)\cap (ABC)=BC
Astfel construim perpendicularele din P pe BC si din A pe BC
Astfel fie PD\perp BC
Si Ad\perp BC
Astfel avem unghiul m\left(\widehat{(PBC),(ABC)}\right)=m\left(\widehat{PD, AD}\right)=m\left(\widehat{PDA}\right)=

Cum triunghiul PAD este dreptunghic aplicam functiile trigonemetrice pentru a afla masura unghiului.
Astfel \sin\widehat{PDA}=\frac{PA}{PD}=\frac{8\sqrt{3}}{16\sqrt{3}}^{(8\sqrt{3}}=\frac{1}{2}=30^{0}
Deci masura unghiului dintre cele doua plane este de 30 de grade.

cum calculam masura unghiului a doua plane

Cum calculam aria proiectia unui triunghi

Prezentam o problema in ca calculam aria proectiei unui triunghi.

1. Un triunghi dreptunghic ABC are catetele AB= 3cm si AC = 4cm. Triunghiul ABC se proiecteaza pe planul alfa dupa triunghiul A’B’C’. Calculati aria triunghiului A’B’C’ in fiecare din cazurile :

a) m(unghiului((ABC),alfa))) = 60 de grade

b) aceeasi unghi 30 de grade

c) 45 de grade

  1. a) m(unghiului((ABC),alfa))) = 60 de grade

 

  1. b) aceeasi unghi 30 de grade

 

  1. c) 45 de grade

 

Stim ca

 

A_{\Delta A'B'C'}=A_{ABC}\cdot \cos m\left(\widehat{(ABC),\alpha}\right)

 

Dar mai intai aflam aria triunghiului ABC, astfel avem ca

 

A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}=\frac{3\cdot 4}{2}=3\cdot 2=6\;\; cm^{2}

 

Astfel

 

A_{\Delta A'B'C'}=A_{\Delta ABC}\cdot \cos 60^{0}=6\cdot\frac{1}{2}=3\;\; cm^{2}

b) A_{\Delta A'B'C'}=A_{ABC}\cdot \cos m\left(\widehat{(ABC),\alpha}\right)=6\cdot\cos 30^{0}=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\cdot\frac{\sqrt{3}}{1}=3\sqrt{3}\;\; cm^{2}

c)  A_{\Delta A'B'C'}=A_{ABC}\cdot \cos m\left(\widehat{(ABC),\alpha}\right)=6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\cdot\frac{\sqrt{2}}{1}=3\sqrt{2}\;\; cm^{2}

 

 

Probleme rezolvate cu ajutorul metodei figurative

Prezentam o problema care se rezolva cu ajutorul metodei figurative, dar si una care se rezolva cu procente.

Petre citeste o carte in 3zile. In prima zi el citeste de doua ori mai mult decat in a doua zi. Iar in a 3-a zi citeste jumătate din numarul de pagini din a doua zi. Cartea are 56 de pagini. Afla cate a citit in fiecare zi?

Solutie:

Notam cu x a doua zi, cu y prima zi si cu z cea de-a treia zi.

Si stim ca in prima Petre citeste de doua ori mai mult decat in a doua zi.

y=2\cdot x

In a 3-a zi citeste jumătate din numarul de pagini din a doua zi.

z=\frac{1}{2}x

Si cartea are 56 de pagini, adica x+y+z=56

Astfel daca inlocuim in ultima ecuatie ceea ce stim mai sus obtinem

x+2x+\frac{1}{2}x=56\Rightarrow 3x+\frac{1}{2}x=56|\cdot 2\Rightarrow 2\cdot 3x+x=56\cdot 2\Rightarrow 6x+x=112\Rightarrow 7x=112\Rightarrow x=112:7\Rightarrow x=16

Deci in cea de-a doua zi Petre a citit 16 pagini, in prima zi a citit

y=2\cdot x\Rightarrow y=2\cdot 16=32

Iar in cea de-a treia zi a citit z=\frac{1}{2}\cdot x\Rightarrow x=\frac{1}{2}\cdot 16=\frac{16}{2}=16:2=8

Deci 8 pagini in a treia zi.

Altfel putem rezolva problema de mai sus cu ajutorul metodei figurative, astfel consideram segmentul :

Petre citeste o carte in 3zile. In prima zi el citeste de doua ori mai mult decat in a doua zi. Iar in a 3-a zi citeste jumătate din numarul de pagini din a doua zi. Cartea are 56 de pagini. Afla cate a citit in fiecare zi?

I zi —-

II zi —

II zi –

Si in cele trei zile a citit 56 de pagini, adica I+II+III=56

Adica 7-=56\Rightarrow -=56:7, adica -=8.

unde – reprezinta primul segment

Si am obtinut ca in a  treia zi a citit 8 pagini in a doua zi 8\cdot 2=16, iar in prima zi 8\cdot 4=32

2. Aflati cu ce procent se scumpeste un obiect stiind ca pretul initial este de 36 lei iar dupa scumpire el costa 43,2 .

Solutie:

36+p%36=43,2

Astfel incercam sa rezolvam ecuatia: p%36=43,2-36 si obtinem p%36=7,2

Adica p%=7,2:36

Dar

p%=0,2

Si astfel obtinem p=20 %

Deci obiectul s-a scumpit cu 20 %.

Cum calculam lungimea unor segmente cand stim un raport

1. Daca M apartine [AB] si AB=18 cm, calculati lungimile segmentelor [AM] si [MB] in situatiile:
a) AM supra MB=2supra 7
Solutie:
\frac{AM}{MB}=\frac{2}{7}\Rightarrow AM=\frac{2}{7}\cdot MB
Stim ca M\in [AB]
Astfel avem:
AB=AM+MB\Rightarrow 18=\frac{2}{7}MB+MB\Rightarrow 18=\frac{2}{7}MB+\frac{7}{7}MB\Rightarrow 18=\frac{9}{7}\cdot MB\Rightarrow MB=18:\frac{9}{7}\Rightarrow MB=18\cdot\frac{7}{9}^{(9}\Rightarrow MB=2\cdot\frac{7}{1}\Rightarrow MB=2\cdot 7=14\;\; cm
Si AM=AB-MB\Rightarrow AM=18-14=4\;\; cm.

cum calculam lungimea unor segmente
b) AM supra AB= 2 supra 3
Stim ca
\frac{AM}{AB}=\frac{2}{3}
Stim ca AB=18 cm
astfel obtinem:
\frac{AM}{18}=\frac{2}{3}\Rightarrow AM=\frac{2}{3}\cdot 18^{(3}=\frac{2}{1}\cdot 6\Rightarrow AM=2\cdot 6=12\;\; cm
Cum AM=12 cm
Obtinem:
AB=AM+MB\Rightarrow 18=12+MB\Rightarrow MB=18-12\Rightarrow MB=6 cm

cum calculam lungimea unor segmente

2. Daca punctul P apartine [AB] , astfel incat AP supra PB=3 supra 5, calculati
a) AP supra AB
b) PB supra AB
Solutie:
Stim ca:
\frac{AP}{PB}=\frac{3}{5}
Din raportul de mai sus obtinem:
\frac{AP}{3}=\frac{PB}{5}
Adica
\frac{AP}{3}=k\Rightarrow AP=3k
Dar si
\frac{PB}{5}=k\Rightarrow PB=5\cdot k
Astfel AB=AP+PB=3k+5k=8k
astfel raportul
\frac{AP}{AB}=\frac{3k}{8k}^{(k}=\frac{3}{8}
Si
\frac{PB}{AB}=\frac{5k}{8k}^{(k}=\frac{5}{8}

3. In triunghiul TLE, se iau punctele A apartine (TL), S apartine (TE), astfel incat AS\\ LE.

a) Daca TA=4 cm , AL=3 cm,TE=14 cm,atunci TS=?

 

Demonstratie:

probleme rezolvate cu teorema lui Thales

Stim ca AS||LE, deci cu Teorema lui Thales obtinem segmente proportionale:

\frac{TA}{TL}=\frac{TS}{TE}

Observati ca am folosit proportiile derivate pentru Teorema lui Thales.

Dar mai intai sa aflam TL, astfel TL=TA+AL\Rightarrow TL=4+3=7\;\; cm

Si obtinem egalitatea de rapoarte:

\frac{TA}{TL}=\frac{TS}{TE}\Rightarrow \frac{4}{7}=\frac{TS}{14}\Rightarrow 7\cdot TS=4\cdot 14\Rightarrow TS=\frac{4\cdot 14}{7}^{(7}=\frac{4\cdot 2}{1}=7

deci obtinem ca TS=8 cm

b) Daca TA=10 cm, TS=15 cm, SE=6 cm,atunci AL=?

Demonstratie:

probleme rezolvate cu Teorema lui Thales

Stim ca AS||LE, deci cu Teorema lui Thales, obtinem:

\frac{TA}{AL}=\frac{TS}{SE}\Rightarrow \frac{10}{AL}=\frac{15}{6}\Rightarrow 15\cdot AL=10\cdot 6\Rightarrow AL=\frac{10\cdot 6}{15}=\frac{60}{15}=4\;\; cm

Si astfel am obtinut AL=4 cm.

Observati ca este destul de important atunci cand aplicam Teorema lui Thales sa avem grija din ce varf pornim si daca folosim proportii derivate sau proportiile directe.