Doua modele de teste de geometrie. Operatii cu vectori

Numarul 1.
1. Se considera triunghiul ABC. Calculati:
a) \vec{AB}+\vec{BC}=.....
b) \vec{CA}+\vec{CB}=.....
c) \vec{BC}+\vec{CA}=....
d) \vec{CA}+\vec{AB}=....

2.Se considera dreptunghiul ABCD de centru O. Calculati:
a) \vec{AB}+\vec{AD}=....
b) \vec{AB}+\vec{OD}=....
c) \vec{OA}+\vec{OC}=....
d) \vec{BC}+\vec{OA}=....

3. Se considera vectorii \vec{a}=-\vec{i}+2\vec{j}, \vec{b}=\vec{i}+\vec{j}, \vec{c}=2\vec{i}-3\vec{j}. Determinati coordonatele vectorilor:
a) \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}
b) 2\vec{a}-2\vec{c}
c) \vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}

4. Determinati m\in R, astfel incat vectorii \vec{u} si \vec{v} sa fie coliniari:
a) \vec{u}=m\vec{i}+\vec{j} si \vec{v}=\vec{i}-\vec{j}
b) \vec{u}=\left(m+1\right)\vec{i}+8\vec{j} si v=\left(m-1\right)\vec{i}-4\vec{j}

5. Fie triunghiul ABC de varfuri: A(-1;0); B(2;0);C(-1; 5)
a) Reprezentati in reperul cartezian (O,\vec{i},\vec{j}) punctele A, B, C
b) Determinati vectorii \vec{AB}, \vec{BC}; \vec{AC}
c) Determinati lungimile vectorilor \vec{AB}, \vec{BC}; \vec{AC}
d) Stabiliti natura triunghiului.

 

 

Numarul 2.
1. Se considera triunghiul ABC. Calculati :
a) \vec{AB}+\vec{AC}=.....
b) \vec{BA}+\vec{BC}=.....
c) \vec{BC}+\vec{CA}=....
d) \vec{CA}+\vec{AB}=....

2. Se considera dreptunghiul ABCD de centru O. Calculati:
a) \vec{AO}+\vec{OB}=....
b) \vec{DC}+\vec{OA}=....
c) \vec{OB}+\vec{OD}=....
d) \vec{AD}+\vec{OB}=....

3. Se considera vectorii \vec{a}=3\vec{i}-2\vec{j}, \vec{b}=\vec{i}-\vec{j}, \vec{c}=4\vec{j}. Determinati coordonatele vectorilor:
a) \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}
b) \vec{a}-2\vec{b}
c) \vec{a}-\vec{b}+2\vec{c}

4. Determinati m\in R, astfel incat vectorii \vec{u} si \vec{v} sa fie coliniari:
a) \vec{u}=m\vec{i}+2\vec{j} si \vec{v}=8\vec{i}+m\vec{j}
b) \vec{u}=\left(m-2\right)\vec{i}+2\vec{j} si v=\vec{i}+\left(m-3\right)\vec{j}

5. Fie triunghiul ABC de varfuri: A(0;-2); B(0;-4);C(-\sqrt{3}; -3)
a) Reprezentati in reperul cartezian (O,\vec{i},\vec{j}) punctele A, B, C
b) Determinati vectorii \vec{AB}, \vec{BC}; \vec{AC}
c) Determinati lungimile vectorilor \vec{AB}, \vec{BC}; \vec{AC}
d) Stabiliti natura triunghiului ABC.

Top 3 telefoane inteligente cu pretul sub 500 de lei

Noi spunem ca este momentul sa mai lasati matematica deoparte, macar in week-end 🙂 , si sa vedeti cateva exemple de telefoane inteligente destul de ieftine dar perfecte pentru activitatile voastre zilnice.

Cine a fost harnic si a luat note bune la matematica poate cere parintilor o mica rasplata iar unul dintre telefoanele de mai jos poate fi potrivit. Dar si cei cu note mai mici merita un telefon pentru ca este posibil ca sa se puna cu burta pe carte, motivati de un astfel de cadou.

Asadar, dragi oaspeti ai MatePedia.ro, va rugam sa va chemati parintii si sa le aratati unul dintre telefoanele mobile de mai jos. Cine stie, poate o sa primiti un cadou foarte curand 🙂 .

1. Allview P6 Life, Dual SIM

Allview P6 LifeUn telefon incredibil ce are un pret mai mic de 500 de lei (Este la promotie ). Iata cateva caracteristici :

  • Doua camere foto, multe functii utile
  • Display generos in culori superbe
  • GPS cu suport software Sygic
  • Securitate sporita
  • Dual SIM

2. Samsung Galaxy Core 2, Dual Sim

samsung core 2Un telefon durabil care se potriveste perfect atat pentru fete cat si pentru baieti. Daca il cumparati azi aveti reducere 50 de lei. Despre acest telefon pe scurt :

  • Performanta puternica datorita unui procesor Quad Core
  • Android ™ v4.4 KitKat
  • Usor de folosit la fel ca toate produsele Samsung
  • Camera de 5 MP pentru poze clare
  • Dual SIM

3. Microsoft Lumia 532 Dual Sim

lumia microsoftUn telefon puternic si rezistent.Are un procesor Snapdragon™ quad-core si este dotat cu servicii Microsoft populare precum Skype, OneDrive si Office. Si acesta este la oferta daca va decideti mai repede. Caracteristici de retinut :

  • Cele mai bune aplicatii (WhatsApp, Instagram si Facebook)
  • Culoare impresionanta si design minunat
  • Doua cartele SIM
  • Apeluri video cu Skype

Aceasta a fost selectia de telefoane inteligente care se vand cu preturi sub 500 de lei.

 

Calendar simulare Evaluarea Nationala si Bacalaureat 2015

Mai jos prezentam calendarul desfasurarii simularii Evaluarii Nationale a anului 2015  pentru disciplina matematica:

Pentru cei de clasa a VIII-a bucuria o sa vina mai devreme, adica pe data de 24 februarie. Afisarea rezultatelor va fi pe 6 martie.

Pentru clasa a XII-a proba la matematica va fi sustinuta in data de 4 martie iar rezultatele urmand a fi afisate pe 12 martie.

Sursa : Anexa la ordinul MEN nr. 5144/15.12.2014, privind organizarea şi desfăşurarea simulării evaluării naționale pentru
elevii clasei a VIII-a și a simulării probelor scrise ale examenului de bacalaureat național, în anul școlar 2014 – 2015 

Manuale si carti scolare la preturi super

Iata ca a venit si toamna si o data cu ea a venit si noul an scolar. Ca de fiecare data avem nevoie de manuale scolare noi si de alte carti utile cum ar fi culegeri sau dictionare.

Echipa MatePedia.ro va vine in ajutor ca de fiecare data cu ponturi despre cumpararea la cele mai mici preturi a manualelor sau a culegerilor. Si anul acesta am gasit cel mai bun magazin online de carti si manuale care va ofera cele mai mici preturi la comenzile plasate online dar si transport gratuit in toate colturile tarii.

> Click aici pentru a vedea oferta detaliata la carti si manuale <

Lucrare scrisa Clasa a XII- a Semestrul al doilea

Lucrare scrisa la matematica pe semestrul al doilea

Nume:

Prenume:

Subiectul I

1. Stiind ca x_{1} si x_{2} sunt solutiile ecuatiei:x^{2}-2014x+1=0, sa se calculeze:

\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}
2. Sa se calculeze lungimea laturii AB a triunghiului ABC stiind ca BC=6 cm AC=3\sqrt{2}, m\left(\widehat{C}\right)=45^{0}
3. Sa se determine solutiile reale ale ecuatiei:
\log_{2}\left(x^{2}-x-2\right)=2
4. Sa se determine primul termen al unei progresii geometrice stiind ca raportul dintre primul termen si al patrulea este \frac{1}{8} si ca b_{2}=3
5. Sa se calculeze probabilitatea ca alegand un numar natural de doua cifre acesta sa fie cub perfect.
6. Se considera functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{2}-2x+2. Sa se arate ca varful parabolei asociat functiei are coordonatele egale.
Subiectul II
1. Se considera polinomul f=X^{4}+aX^{3}+bx+c cu a,b,c\in R
a) Sa se determine numarul real c stiind ca f\left(1\right)+f\left(-1\right)=2014
b) Sa se determine numerele reale a,b,c stiind ca f\left(0\right)=f\left(1\right)=-2 si ca una dintre radacinile polinomului este x=2
c) Pentru a=-2,b=1, c=-2 sa se determine radacinile reale ale polinomului f.
Subiectul III
1.Se considera functia: f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=\cos x-1+\frac{x^{2}}{2}
a) Sa se calculeze \lim\limits_{x\to 0}{\frac{f\left(x\right)}{x^{4}}}
b) Sa se determine f^{'} si f^{''}
c) Sa se demonstreze ca pentru orice x\in R
2. Se considera functiile:f,F:R\rightarrow R, f\left(x\right)=e^{x}+x^{2}+2x si F\left(x\right)=e^{x}+\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+1
a) Sa se arate ca functia F este o primitiva a functiei f.
b) Sa se calculeze \int^{1}_{0}f\left(x\right)dx
c) Sa se calculeze aria suprafetei plane marginite de graficul functiei h:\left[0,1\right]\rightarrow R, h\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)-x^{2}-2x}{e^{x}+1}, axa Ox si dreptele de ecuatii x=0 si x=1

Transport gratuit si preturi BOMBA sub 10 lei la aceste carti …

Ati auzit de aceasta oferta ?

oferta librisEste cazul sa profitati de oferta magazinului online Libris.ro care, ca de fiecare data, ne uimeste cu ofertele sale la carti si rechizite. Acum aveti ocazia sa cumparati carti pentru toate gusturile si pentru toate varstele la preturi sub zece lei pe carte. Da 10 lei/buc.

Sa ca un bonus trebuie sa aflati ca si transportul este gratuit! Mai doriti altceva? Ar fi cazul sa va grabiti.

<Vizitati acum magazinul pentru oferta completa>Click aici !

Probleme rezolvate pentru Evaluarea Nationala Matematica

Subiectul III
1. In figura alaturata este reprezenata schematic o gradina in forma de trapez dreptunghic ABCD, cu AB||CD si m\left(\widehat{A}\right)=90^{0} si AB=40 m. Se stie ca triunghiul ABC este echilateral.
problema rezolvata cu trapezul dreptunghic
a) Aflati lungimea gardului care inconjoara gradina
b) Calculati suprafata gradinii
c) Determinati distanta AE, unde E\in\left(AB\right) astfel incat parcelele AECD si BCE sa aiba suprafetele egale.
2. Un cort din panza are forma de piramida triunghiulara regulata, avand ca baza triunghiul echilateral ABC cu latura de 3 m si cu inaltimea VO de 1 m.
a) Determinati masura unghiului dintre drepata VA si planul (ABC)
b) Calculati aria laterala a piramidei
c) Cati metri patrati de panza sunt necesari pentru confectionarea cortului, stiind ca in acest proces se pierde 10% din panza utilizata?( Pentru \sqrt{7} se va folosi valoarea aproximativa \sqrt{7}\approx 2,64).
Demonstratie:
1. a) Stim ca AB=40 m, si mai stim tot din ipoteza problemei ca triunghiul ABC este isoscel, deci gasim ca AB=AC=BC=40 m.
Si astfel daca ducem perpendiculara din C pe AB putem afla inaltimea trapezului si astfe stim si AD.
Astfel fie
CF\perp AB, si cum triunghiul ABC este echilateral, rezulta ca CE este inaltime in trighiul echilateral ABC, stim ca inaltimea intr-un triunghi echilateral este h_{\Delta echilateral}=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{40\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}.
Observam ca ADCF este dreptunghi si astfel obtinem ca AD=CF=20\sqrt{3}, dar si DC=AF.
Acum mai avem sa aflam DC, observati ca am dus perpendiculara din C pe AB si astfel observam ca triunghiul BCF este dreptunghic in F. Acum daca aplicam Teorema lui Pitagora putema afla BF, astfel avem ca:
BF^{2}=BC^{2}-CF^{2}\Rightarrow BF^{2}=40^{2}-\left(20\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow BF^{2}=1600-400\cdot 3\Rightarrow BF^{2}=1600-1200\Rightarrow BF=\sqrt{400}\Rightarrow BF=20
Cum stim BF=20, putem afla AF, astfel avem ca
AB=AF+FB\Rightarrow 40=AF+20\Rightarrow AF=20
Deci AF=20 m
Si cum stim AF, am aflat si DC=AF=20 cm.
Putema sa aflam AF si astfel stim ca CF este inaltime in triunghiul echilateral ABC, dar stim de la proprietatile triunghiului echilateral ca: Intr-un triunghi echilateral medianele, mediatoarele, bisectoarele si inaltimile coincid, deci stim ca CF este inaltime dar si mediana si astfel obtinem ca CF imparte segmentul AB in oua segmente congruente.
Deci AF=FB=20 m.
Deci lungimea gardului care inconjoara gradina este:
P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=40+40+20+20\sqrt{3}=100+20\sqrt{3}=20\left(5+\sqrt{3}\right)
Ca sa calculam suprafata gradinii, calculam aria trapezului, astfel avem ca
A_{ABCD}=\frac{\left(B+B\right)\cdot h}{2}=\frac{\left(40+20\right)\cdot 20\sqrt{2}}{2}=\frac{60\cdot 20\sqrt{3}}{2}=\frac{1200\sqrt{3}}{2}=600\sqrt{3}\;\; m^{2}
cum calculam aria unui trapez dreptunghic
c) Stim din ipoteza ca A_{AECD}=A_{BCD}\Rightarrow \frac{\left(B+b\right)\cdot h}{2}=\frac{b\cdot h}{2}\Rightarrow \frac{\left(DC+AE\right)\cdot AD}{2}=\frac{EB\cdot CF}{2}\Rightarrow \frac{\left(20+AE\right)\cdot 20\sqrt{3}}{2}=\frac{BE\cdot 20\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 20+AE=BE
Dar stim ca BE=AB-AE\Rightarrow BE=40-AE
Si daca inlocuim mai sus 20+AE=40-AE\Rightarrow 2AE=40-20\Rightarrow 2AE=20\Rightarrow AE=10\;\; m
probleme rezolvate cu trapezul dreptunghic
2. um calculam unghiul unei drepte cu un plan
a) m\left(\widehat{VA,\left(ABC\right)}\right)=m\left(\widehat{VA, AO}\right)=m\left(\widehat{VAO}\right)
Observam ca proiectia dreptei VA pe planul ABC este dreapta AO, acum sa aflam masura unghiului VAO, stim ca VO=1 m, triunghiul VAO este dreptunghic in O, putem afla AO, astfel avem ca
AO=\frac{l\sqrt{3}}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}
Deci putem afla acum si lungimeasegmentului VA, astfel in triunghiul VAO aplicam Teorema lui Pitagora,
VA^{2}=VO^{2}+AO^{2}\Rightarrow VA^{2}=1^{2}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow VA=\sqrt{1+3}\Rightarrow VA=\sqrt{4}=2
Acum daca aplicam Functiile trigonometrice obtinem ca:
\sin VAO=\frac{VO}{VA}=\frac{1}{2}
Deci masura unghiului VAO este de m\left(\widehat{VAO}\right)=30^{0}
b) Acum sa calculam aria laterala a piramidei triunghiulare regulate.
A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}
Dar mai intai sa aflam perimetrul bazei triunghiului ABC, astfel avem:
P_{ABC}=3\cdot l=3\cdot 3=9 m
Dar sa aflam si apotema piramidei
a_{p}^{2}=h^{2}+a_{b}^{2}
Dar mai intai sa aflam apotema bazei
a_{b}=\frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}
Astfel avem ca
a_{p}^{2}=1^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\Rightarrow a_{p}^{2}=1+\frac{3}{4}\Rightarrow a_{p}^{2}=\frac{4\cdot 1+1\cdot 3}{4}\Rightarrow a_{p}^{2}=\frac{7}{4}\Rightarrow a_{p}=\frac{\sqrt{7}}{2}
Astfel A_{l}=\frac{9\cdot \frac{\sqrt{7}}{2}}{2}=\frac{9\sqrt{7}}{4}\;\; m^{2}
c) Din punctul b) stim aria laterala a cortului deci avem
A_{l}=\frac{9\sqrt{7}}{4}=\frac{9\cdot 2,64}{4}=\frac{23,76}{4}=5,94\;\; m^{2}
Dar stim ca pentru confectionarea cortului se pierde 10% din material, iar noi trebuie sa stim intreaga suprafata de material care trebuie pentru a construii cortul, astfel notam cu x intreaga suprafata de material si obtinem:
x-\frac{10}{100}x=5,94\Rightarrow x-\frac{1}{10}x=5,94\Rightarrow \frac{10\cdot x-1\cdot 1}{10}=5,94\Rightarrow \frac{9x}{10}=5,94\Rightarrow 9x=10\cdot 5,94\Rightarrow 9x=59,4\Rightarrow x=59,4:9\Rightarrow x=6,6\;\; m^{2}
Deci sunt necesari 6,6 mp pentru confectionarea cortului.

Subiecte posibile Evaluarea Nationala Matematica

Subiectul I.

1.  Rezultatul calcului \left(\frac{1}{3}\right)^{2}:\left(0,25-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3} este…..

2. Dintre numerele \frac{1}{\sqrt{3}} si \frac{1}{2} mai mare este…….

3. Dupa o ieftinire cu 20%, un costum de 1200 de lei va costa ….

4. Un dreptunghi are latimea egala cu un sfert din lungime si perimetrul de 20 cm. Aria dreptunghiului este de….

5. Un tetraedru regulat are muchia de 2 cm. Aria sa totala este de……

6. Sinusul unghiului format de o diagonala a unui cub cu una dintre fetele sale este… .

Solutie:

1. Pentru a afla rezultatul calculului mai intai efectuam operatiile:

\left(\frac{1}{3}\right)^{2}:\left(0,25-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}=\frac{1^{2}}{3^{2}}:\left(\frac{25}{100}^{(25}-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}=\frac{1}{9}:\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}=\frac{1}{9}:\left(\frac{3\cdot 1-2\cdot 1}{12}\right)-\frac{1}{3}=\frac{1}{9}:\left(\frac{3-2}{12}\right)-\frac{1}{3}=\frac{1}{9}:\frac{1}{12}-\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\cdot\frac{12}{1}-\frac{1}{3}=\frac{12}{9}^{(3}-\frac{1}{3}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=\frac{4-1}{3}=\frac{3}{3}^{(3}=1

Observati ca la exercitiul de mai sus mai intai am efectuat ridicarea la putere a fractiei cu un numar natural, adica am folosit regulile de calcul cu puteri, apoi in parateza rotunda am transformat fractia zecimala in fractie ordinara  si am simplificat unde s-a putut. Apoi in paranteza rotunda am efectuat calculele, adica am adus la acelasi numitor, iar cu  rezultatul obtinut din paranteza rotunda am efectuat impartirea, adica am inmultit prima fractie cu inversul celei de-a doua, am efectuat inmultire, eventual am simplificat, iar apoi am efectuat calculele intre cele doua fractii ordinare, iar rezultatul obtinut este 1.

2.  Acum sa vedem cum comparam cele doua numere, observati ca avem doua fractii ordinare, dar la prima apare si radicalul, astfel prima fractie o putem scrie:

\frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{1}{3}}

Iar cea de-a doua:

\frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\sqrt{\frac{1}{4}}

Astfel avem numerele

\sqrt{\frac{1}{3}} si \sqrt{\frac{1}{4}}

Dar observam ca numarul

\frac{1}{3}>\frac{1}{4}

Deci

\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{2}

Sau mai putem sa comparam si astfel

\frac{1}{\sqrt{3}}

Iar cel de-al doilea numar il scriem:

\frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{4}}

Astfel observam ca

\sqrt{3}<\sqrt{4}

Iar

\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{\sqrt{4}} (acest lucru rezulta din compararea fractiilor ordinare).

3. Stim ca ieftinirea este de 20%, astfel calculam:

\frac{20}{100}\cdot 1200=\frac{24000}{100}^{(100}=\frac{240}{1}=240

Deci costumul s-a ieftinit cu 240 lei, astfel costumul va cost:

1200-240=960\;\;lei

Deci costumul va costa 960 lei

4. Scriem notiunile prezentate sub forma algebrica, astfel avem ca:

l=\frac{1}{4}\cdot L (latimea este egala cu un sfert din lungime) sau mai putem sa scriem si sub forma de fractie zecimala, astfel avem:

l=0,25\cdot L

Dar mai stim si ca perimetrul este de 20 cm

Stim ca perimetrul unui dreptunghi este:

P_{dreptunghi}=2L+2l=2\left(L+l\right)

dar stim ca perimetrul este de 20 cm, astfel obtinem:

2\left(L+l\right)=20|:2\Rightarrow L+l=10

Dar stim ca latimea este un sfert din lungime si daca inlocuim mai sus obtinem:

L+0,25L=10\Rightarrow 1,25L=10\Rightarrow L=10:1,25\Rightarrow L=1000:125\Rightarrow L=8

Deci lungimea este de 8 cm, iar latimea

l=0,25\cdot 8=2

Deci latimea este de 2 cm, astfel aria dreptunghiului este

A_{dreptunghi}=L\cdot l=8\cdot 2=16\;\; cm^{2}

5. Cum aflam aria tetraedrului regumat?

Pai in cel mai bun caz trebuie sa stim formula pe care am invatat-o la clasa,adica

A_{totala}=l^{2}\sqrt{3}=2^{2}\sqrt{3}=4\sqrt{3}=4\sqrt{3}\;\; cm^{2}

Dar daca nu stim formula putem sa o deducel foarte usor, astfel stim ca tetraedrul regulat are toate fetele triunghiuri echilaterale. Noi stim ca aria totala a unei piramide regulate este egala cu

A_{totala}=A_{l}+A_{b}

Iar in cazul nostru stim ca aria unui triunghi echilateral este:

A_{\Delta ABC}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}

Mai stim si ca tetraedrul regulat are 3 fete laterale, adica trei triunghiuri echilaterale, iar aria bazei tot un triunghi echilateral, astfel avem ca

=3\cdot \frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}+\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{3l^{2}\sqrt{3}+l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{4l^{2}\sqrt{3}}{4}=l^{2}\sqrt{3}

Deci aria totala a unui tetraedru regulat este formata din 4 triunghiuri echilaterale.

6. Acum sa vede cu aflam sinusul unghiului format de o diagonala a unui cub si una dintre fetele sale

Astfel consideram ca avem cubul ABCDA’B’C’D’

sinusul unghiului formata de o dreapta cu un plan

 

 

 

\sin\widehat{ AC^{'},\left(BCB'C'\right)}=    \sin\widehat{AC^{'},\left(AC\right)}=\sin\widehat{AC^{'},AC}=\sin\widehat{C^{'}AC}=\frac{CC^{'}}{AC^{'}}=\frac{l}{l\sqrt{3}}^{(l}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.