Problema rezolvata cu ajutorul ecuatiilor

Sorina,bunicul si tatal au impreuna 123 de ani;Sorina are de 13 ori varsta bunicului,iar bunicul de 2 ori varsta tatalui.Ce varsta au fiecare?
Solutie:
Notam cu
-x varsta Sorinei
– y varsta buncului
-z varsta tatalui
Acum formam ecuatiile
x+y+z=123 (Sorina,bunicul si tatal au impreuna 123 de ani)
y=13\cdot x (Sorina are de 13 ori varsta bunicului)
y=2\cdot z (bunicul de 2 ori varsta tatalui.
Acum ca avem cele trei relatii obtinem
y=13\cdot  x\Rightarrow x=\frac{y}{13}
Acum din ce-a de-a doua relatie avem
y=2\cdot z\Rightarrow z=\frac{y}{2}
Acum daca inlocuim in prima relatie obtinem
x+y+z=123\Rightarrow  \frac{y}{13}+y+\frac{y}{2}=123\Rightarrow  \frac{2\cdot y+26\cdot y+13\cdot y}{26}=123\Rightarrow  \frac{2y+26y+13y}{26}=123\Rightarrow  \frac{41y}{26}=123\Rightarrow  y=\frac{26\cdot 123}{41}\Rightarrow y=\frac{3198}{41}\Rightarrow y=78
Deci bunicul are 78 ani.
Acum stim ca
x=\frac{y}{13}\Rightarrow x=\frac{78}{13}\Rightarrow x=6
Deci Sorina are 6 ani
Mai stim si ca
z=\frac{y}{2}\Rightarrow z=\frac{78}{2}\Rightarrow z=39
Deci tata are 39 de ani
Acum daca efectuam proba obtinem:
6+78+39=123 ani

Teorema celor trei perpendiculare Reciprocele celor trei perpendiculare

Stiti ca am invatat sa calculam distanta de la un punct la o dreapta, distanta de la un punct la un plan, dar si distanta dintre dou plane, ca sa gasim mai usor distanta de la un punct la un plan si toate cele care le-am enuntat mai sus o sa aplicam Teorema celor trei perpendiculare, dar si Reciprocele celor trei perpendiculare.

Definim prima data Teorema celor trei perpendiculare

Teorema:

Daca o dreapta d este perpendiculara pe un plan \alpha si prin piciorul ei trece o dreapta a, continuta in plan, care este perpendiculara pe o alta dreapta b continuta in plan, atunci o dreapta c care uneste orice punct M al dreptei d cu intersectia P a celor doua drepte a si b, este perpendiculara pe cea de-a treia latura.

Cum aplicam Teorema celor trei perpendiculare

d\perp\alpha    \\a\subset\alpha, O\in a

a\perp b, b\subset\alpha, a\cap b=\left\{P\right\}, M\in D

\Rightarrow MP\perp b

Acum cele doua reciproce sunt foarte importante deoarece  putem afla distanta de la un punct la altul sau distanta de la un punct la un plan.

 Reciprocele teoremei  celor trei perpendiculare

R.T.3\perp 1

Cum aplicam prima reciproca a celor trei perpendiculare

 

d\perp \alpha, d\cap\alpha=\left\{O\right\}    a\subset\alpha, O\in a, b\subset\alpha , a\cap b=\left\{P\right\},    M\in d, MP\perp b\Rightarrow a\perp b

R.T.3\perp 2

Cum aplicam Reciproca a doua a celor trei perpendiculare

d\perp a, d\cap a=\left\{O\right\}, a\subset\alpha

a\perp b, a, b\subset\alpha, a\cap b=\left\{P\right\}, M\in d,

 

MP\perp b\Rightarrow d\perp \alpha

 

Rezolvam probleme in care aplicam teorema celor trei perpendiculare

1) Pe planul triunghiului isoscel ABC  cu AB=AC=20 cm  si BC=32 cm se ridica perpendiculara AP, cu AP=12\sqrt{3} cm. Aflati:

a) distanta de la punctul P la dreapta BC

b) distanta de la  punctul A la planul  (PBC).

cum aplicam teorema celor trei perpendiculare

 

Stim ca

AP\perp\left(ABC\right)

Construim AD\perp BC, deci prin piciorul dreptei BC trece o dreapta perpendiculara pe o alta dreapta, atunci rezulta ca AD\perp BC

AP\perp\left(ABC\right)

AD\perp BC, BC\subset \left(ABC\right), AD\cap BC=\left\{P\right\}\Rightarrow AD\perp BC

Am aplicat Teorema celor trei perpendiculare si astfel am gasit ca d\left(    A, BC\right)=AD.

Acum aflam valoarea numerica a distantei

Cum Ad este inaltime, stim ca intr-un triunghi isoscel mediana, mediatoarea, bisectoarea si inaltimea coincid, deci observam  ca AD  este si mediana, astfel BD=\frac{BC}{2}\Rightarrow BD=\frac{32}{2}\Rightarrow BD=16 cm, acum aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul ABD pentru a afla AD

AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}\Rightarrow AD^{2}=400-256\Rightarrow AD^{2}=144\Rightarrow AD=\sqrt{144}\Rightarrow AD=12 cm.

Acum aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul PAD

PD^{2}=AP^{2}+AD^{2}\Rightarrow PD^{2}=\left(12\sqrt{3}\right)^{2}+12^{2}\Rightarrow PD^{2}=144\cdot 3+144\Rightarrow PD^{2}=144\left(3+1\right)\Rightarrow PD^{2}=144\cdot 4\Rightarrow PD=\sqrt{144\cdot 4}\Rightarrow PD=12\cdot 2\Rightarrow PD=24 cm.

b)d\left(A, \left(PBC\right)\right)=

CUM CALCULAM DISTANTA DE LA UN PUNCT LA UN PLAN

 

Daca AE\perp PD, PD\subset \left(PDC\right), rezulta cu cea de doua reciproca a teoremei celor trei perpendiculare ca AE\perp \left(PBC\right), deci trebuie sa aflam pe AE, cum stim ca triunghiul PAD este dreptunghic in A, aplicam teorema inaltimii

AD=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}\Rightarrow AD=\frac{12\sqrt{3}\cdot 12}{24}\Rightarrow AD=\frac{144\sqrt{3}}{24}=6\sqrt{3}.

Deci important sa intelegem atat teorema celor trei perpendiculare, dar si reciprocele teoremei celor trei perpendiculare.

 

Aflati ce materie va place printr-un joc distractiv

Va propun un joc distractiv care o sa va spuna ce materie preferati cel mai mult.Va rog sa nu trisati uitandu-va la raspunsurile de la sfarsitul acestei postari si sa nu calculati cu calculatorul.Ok?Deci sa incepem…

Ganditi-va la un numar de la 1 la 9
Inmultiti acest numar cu 3
Adunati-l cu 3
Si inca o data inmultiti ce va da cu 3

Veti obtine un numar cu 2 sau 3 cifre. Adunati aceste cifre iar cu rezultatul cautati-va materia preferata in lista de mai jos.
1.Romana
2.Engleza
3.Franceza
4.Istorie
5.Geografie
6.Muzica
7.Desen
8.Sport
9.Matematica
10.Nicio materie
PS.Daca va place va mai astept pe acest blog.Si un like ar fi de ajutor.

Cum a murit Euclid,de ce si cine a fost

PARALELIPIPED DANGeometria lui Euclid a fost prima unealtă matematică. Vitala pentru înţelegerea lumii fizice, este predată în şcolile elementare dar simplitatea nenumaratelor ei axiome poate fi înşelătoare. Isaac Newton a trecut în revistă teoremele lui Euclid şi „s-a minunat cum poate  Euclid să se distreze scriind demonstraţii pentru ele”.
Despre Euclid  si viata acestuia nu se ştie aproape  nimic decat ca a fost  cu contemporan cu Arhimede si cu o generaţie mai tânăr decât Aristotel. Se pare ca a urmat cursurile Academiei înfiinţate de Platon  devenită cea mai importantă şcoală de matematică a acelei epoci.

Dintr-o legenda stim că Ptolemeu i-a cerut lui Euclid să-i prezinte o cale mai simplă de înţelegere a geometriei decât studiul „Elementelor”. Euclid ar fi raspuns nonsalant: „In geometrie nu există o cale regală”.

„Elementele”sunt alcătuite din 13 cărţi si conţin o sinteză a muncii înaintaşilor sai cu referiri  la teoremele lui Pitagora şi Eudoxus. Primele şase cărţi stabilesc teoremele geometriei plane. (Cartea I include teorem a lui Pitagora,  principiul care stă la baza explicării naturii prin geometrie.)

Este probabil si motivul pentru care opera lui Euclid a rezistat atâta timp.Euclid dezvoltă o serie de probleme şi teoreme care constituie miezul cărţilor. „Elementele” conţin 467 de teoreme. Din punctul de vedere al istoriei, cel mai important este celebrul postulat cinci, potrivit căruia, dacă se dau o linie dreaptă A şi un punct în plan, atunci prin acest punct se poate trasa o singură dreaptă B paralelă cu A.
După aceea s-au dezvoltat geometriile noneuclidiene, care au pus în sfârşit capăt hegemoniei geometriei euclidiene. Astăzi, pe lângă geometria spaţiului plan, a lui Euclid, există şi geometriile spaţiilor curbe, numite geometriile hiperbolice şi respectiv parabolice.

Euclid a murit în jurul anului 270 î.Hr. Dintr-o descriere a personalităţii lui  reiese că era un om corect, modest şi un savant riguros.

Teorema catetei

Teorema catetei

Astazi o sa vorbim despre teorema catetei, care de asemenea joaca un rol important pentru a rezolva probleme in cazul in care stim o cateta si proiectia acesteia pe ipotenuza sau daca stim proiectia unei catete pe ipotenuza si ipotenuza. Astfel enuntul teoremei catetei este:
Intr-un triunghi dreptunghic patratul lungimii unei catete este egal cu produsul dintre lungimea ipotenuzei si proiectia acesteia pe ipotenuza.
 Teorema catetei
<br /> AB^{2}=BD\cdot BC<br />
in cazul in care vrem sa aflam cateta AB si stim BD, BC sau stim BD, AB si vrem sa aflam BC
sau
<br /> AC^{2}=CD\cdot BC<br /> .
in cazul in care vrem sa aflam cateta AC si stim DC, BC.
Exemplu:
In triunghiul dreptunghic ABC,  m(\prec A)=90^{0} , mediana AM, M\in (BC) este egala cu latura AB, Stiind ca AM=12 cm calculati:
a) lungimea proiectiilor BD si CD
b) lungimea catetei AC
Ip:
\\\Delta ABC dreptunghic
\\m(\prec A)=90^{0}
AM=12 cm
Cz: a) BD=?; DC=?
b) AC=?
Dem:
Teorema catetei aplicatie

AB=AM (din ipoteza), atunci triunghiul ABM isoscel, deci AB=12 cm. Stiim din clasa a VI-a teorema medianei, care ne spune ca ” Intr-un triunghi dreptunghic mediana dusa din varful unghiului drept masoara jumatate din ipotenuza”. Astfel ipoteza la noi este verificata, avem un triunghi dreptunghic, astfel aflam BC
<br /> \\AM=\frac{1}{2}\cdot BC<br /> \\ 12=\frac{1}{2}\cdot BC<br /> \\ BC=24 cm.<br />
Stim ca AM=AB, dar AM=BM deoarece AM mediana (se numeste mediana unui triunghi segmentul care uneste un triunghi cu mijlocul laturii opuse), deci  AM=BM=AB=12 cm, deci triunghiul ABM este echilateral.

Masura unghiului
Cum triunghiul ABM echilateral rezulta ca  m(\prec ABM)=60^{0}. Deci m(\prec ACB)= 30^{0}. Acum in triunghiul ADB dreptunghic in D, cu  m(\prec BAD)=30^{0} aplicam teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, deci  BD=\frac{1}{2} \cdot AB. Deci BD=6 cm. Sau aplicam teorema catetei AB^{2}=BD\cdot BC\Rightarrow 144=BD\cdot 24\Rightarrow BD=\frac{144}{24}\Rightarrow BD=6 cm.
Cum BC=24 cm, BD=6 cm. Deci DC=24-6 =18 cm, iar pentru a afla AC aplicam teorema catetei AC^{2}=DC\cdot BC \Rightarrow AC^{2}=18\cdot 24\Rightarrow AC=\sqrt{18\cdot 24}\Rightarrow AC=12\sqrt{3} cm.
Deci ca sa rezolvam probleme ca cele de mai sus trebuie sa stim si cunostintele pe care le-am invatat in clasele anterioare.