Ne place matematica !

Cercul. Elemente in cerc Unghi la centru

Foarte important! La notiunile despre cerc pentru a rezolva probleme cat mai complexe trebuie sa stapanim cat mai bine notiunile teoretice. Astfel mai intai definim notiunea de raza.

Definitie: Se numeste raza segmentul care uneste centrul cercului cu un punct de pe cerc.  [AO] raza

Dar si notiunea de coarda.

Segmentul care uneste doua puncte de pe cerc se numeste coarda.
[CB] coarda

Coarda care trece prin centrul cercului se numeste diametrul cercului, iar capetele diametrului se numesc diametral opuse.
[CE], C si E diametral opuse
Portiunea dintr-un cerc determinata de doua puncte distincte ale cercului se numeste arc de cerc.
In figura e mai jos avem arcul de cerc BC.

elemtneltele cercului
Doua puncte distincte care nu sunt diametral opuse detrmina doua arce de cerc:
– arcul mic AB
– arcul mare AB, dar pentru a nu exista pericol de confuzie se foloseste inca un punct pentru arcul mare, de exemplu arcul mare ACB
cum arata un arc de cerc
Daca extremitatile unui arc de cerc sunt diamatral opuse, artunci arcul se numeste semicerc.

Punctele care detrmina capetele arcului de cerc se numesc capetele (extremitatile) arcului de cerc.

O alta notiune destul de interesanta este si unghiul la centru

Se numeste unghi la centru unghiul cu varful in centrul cercului. Notiune destul de importanta deoarece cu ajutorul masurii unghiului la centru puntem sa aflam si masura arcului mic cat si masura arcului mare.

Masura unui arc mic de cerc este egala cu masura unghiului la centru corespunzator.
Masura arcului mic AB se noteaza m\left(AB\right)=m\left(\widehat{AOB}\right)(masura arcului mic AB este egala cu masura unghiului la centru AOB)
unghiul la centru
Masura unui arc mare de cerc este egala cu diferenta dintre 360^{0} si masura unghiului la centru corespunzator.
Adica: m\left(ACB\right)=360^{0}-m\left(\widehat{AOB}\right)
Observatie. Trebuie sa avem grija sa nu confundam masura unui arc de cerc (exprimate in grade) cu lungimea arcului de cerc exprimat in unitati de lungime.
De exemplu daca avem doua sau mai multe cercuri concentrice (doua cercuri se numesc concentrice daca au aceiasi raza)
cum comparam masura unui arc de cerc cu lungimr=ea unui arc de cerc
Observam ca m(AB)=m(CD)=m\left(\widehat{AOB}\right)
Dar lungimile arcului de cerc sunt diferite adica AB\neq CD

Doua sau mai multe arce ale aceluiasi cerc se numesc arce congruente daca au aceiasi masura.
doua arce sunt congrunete daca au aceiasi masura
Adica, arcul AB este congruent cu arcul CD, daca \widehat{AOB}\equiv\widehat{COD}
Sau mai scriem si ca
AB\equiv CD\Leftrightarrow m\left(AB\right)\equiv m\left(CD\right)

Aplicatii !

Fie cercul de centru O si raza 4 cm si coarda [MN] o coarda de lungime 4\sqrt{2}\;\; cm. Calculati lungimile arcelor de cerc determinate de coarda [MN].

Demonstratie:

lungimile arcelor de cerc

Observam ca OM si ON sunt raze, cum stim ca OM=ON=4 cm si MN=4\sqrt{2}\;\; cm
Cu Reciproca Teoremei lui Pitagora obtinem ca OM^{2}+ON^{2}=MN^{2}
Adica triunghiul MNO estre dreptunghic in O. Adica m\left(\widehat{MON}\right)=90^{0}
Si astfel aflam ca masura arcului mic MN este de 90^{0} Iar masura arcului mare este de 360^{0}-m\left(\widehat{MON}\right)=360^{0}-90^{0}=270^{0}
Iar pentru a afla lungimea arcelor folosim formula
\frac{\pi\cdot u^{0}\cdot r}{180^{0}}, unde
u^{0} este masura arcului de cerc, r este raza cercului.
Astfel obtinem ca lungimea arcului mic MN este
\frac{\pi\cdot 4\cdot 90^{0}}{180^{0}}^{(90}=\frac{4\pi}{2}=2\pi
Asadar este foarte important sa cunoastem notiunile elementare ale cercului, deoarece constituie elementele esentiale in notiunile care vor fi introduse.