Ne place matematica !

Cubul Aria totala Aria laterala si Volumul unui cub

Dupa cum bine stiti am inceput prin a calcula Aria totala Aria laterala si Volumul pe cazul general al unei prisme drepte, apoi am inceput cu cu cazul particular, adica am calculat Aria laterala Aria totala si  Volumul paralelipipedului dreptunghic. Acum a venit vremea sa discutam despre Cub. Dar si sa aflam Aria laterala, Aria totala si Volumul unui cub.

Astfel astazi discutam despre Cubul ,Aria totala, Aria laterala si Volumul unui cub .

Cubul este un paralelipiped dreptunghic cu toate dimensiunile egale (L=l=h). In cazul unui cub avem:

A_{l}=P_{b}\cdot h=4l\cdot l=4l^{2}

A_{l}+2\cdot A_{b}=4l^{2}+2\cdot l^{2}=6l^{2}

V=A_{b}\cdot h=l^{2}\cdot l=l^{3},

deoarece stim ca in cub toate dimensiunile sunt egale.

cum calculam aria laterala aria total si volumul unui cub

 

1) Fie M si N respectiv mijloacele laturilor AB si BC ale cubului ABCDA’B’ C’D’. Stiind ca MN=10\sqrt{2}, calculati:

a) lungimea muchiei cubului

b) volumul cubului

c) aria triunghiului ACD’

d) lungimea diagonalei cubului.

Demonstratie:

Problema rezolvata Aria totala  Volumul si diagonala intr-un cub

Stim ca MN este linie mijlocie in triunghiul ABC, astfel
MN=\frac{AC}{2}\Leftrightarrow 10\sqrt{2}=\frac{AC}{2}\Leftrightarrow 10\sqrt{2}\cdot 2=AC\Leftrightarrow AC=20\sqrt{2}.
Dar stim ca AC este diagonala in patratul ABCD, adica baza cubului, iar diagonala intr-un patrat este AC=l\sqrt{2}, acum obtinem
l\sqrt{2}=20\sqrt{2}\Rightarrow l=20, deci latura cubului este de 20 de cm.

b) Acum volumul cubului
V=l^{3}=20^{3}=8000\;\; cm^{3}.
c) A_{\Delta ACD'}=?
aria laterala aria totala si volumul unui cubaria laterala aria totala si volumul unui cub
Observam ca triunghiul ACD’ este echilateral, deoarece AC=20\sqrt{2} este diagonala in patratul ABCD, dar AD’ de asemenea diagonala in patratul ADA’D’, deci si AD'=20\sqrt{2}, dari si D’C diagonala in patratul DCD’C’, deci si D'C'=20\sqrt{2}, deci
A_{\Delta ACD'}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{\left(20\sqrt{2}\right)^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{400\cdot 2\sqrt{3}}{4}=\frac{800\sqrt{3}}{4}=200\sqrt{3}\;\; cm^{2}
Deci am aflat si aria triunghiului ACD’
d) d_{cub}=l\sqrt{3}=20\sqrt{3}, deci diagonala intr-un cub este l\sqrt{3} ceea ce am demonstrat intr-un alt articol.
2) In cubul ABCDA’B’C’D’ produsul lungimilor diagonalelor bazei este egala cu 288\;\; cm^{2}

a) Calculati aria totala si volumul cubului

b) Fie M\in \left[AA'\right] si N\in \left[DD'\right] astfel incat MN||BC. Daca m\left(\prec ABM\right)=30^{0} calculati aria patrulaterului MBCN.
ARIA UNUI PATRULATER
Stim ca produsul diagonalelor este 288, adica
AC\cdot BD=288\Rightarrow l\sqrt{2}\cdot l\sqrt{2}=288\Rightarrow l^{2}\cdot 2=288\Rightarrow l^{2}=\\frac{288}{2}\Rightarrow l^{2}=144\Rightarrow l=12 cm
Deci latura cubului este de 12 cm.

Acum
a) A_{t}=6l^{2}=6\cdot 12^{2}=6\cdot 144=864 cm^{2}
V=l^{3}=12^{3}=1728 cm^{3}.

b) Stim din ipoteza ca MN||BC, dar si BC||MN deci MNBC este paralelogram (patrulaterul care are laturile opuse paralele doua cate doua se numeste paralelogram).

Acum in triunghiul dreptunghic ABM aplicam cos AMB
\cos AMB=\frac{cat. alaturata}{ipotenuza}\Rightarrow \cos 30^{0}=\frac{AB}{MB}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{12}{MB}\Rightarrow MB=\frac{12\cdot 2}{\sqrt{3}}=\frac{24}{\sqrt{3}}=\frac{24\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}, deci BCMN dreptunghi, astfel aria este egal cu A_{BCMN}=L\cdot l=12\cdot 8\sqrt{3}=96\sqrt{3}cm^{2}.