Ne place matematica !

Cum aflam linia mijlocie intr-un trapez dreptunghic

Sa vedem cum putem afla linia mijlocie intr-un trapez, trapez dreptunghic !

In trapezul dreptunghic ABCD,AB perpendicular pe CD, m\left(\widehat{B}\right)=m\left(\widehat{C}\right)=90^{0} se stie ca DB este bisectoarea unghiului D si DB=12\sqrt{3} cm. Daca m\left(\widehat{A}\right)= 120^{0} sa se afle lungimea liniei mijlocii.

Demonstratie:

Stim ca \prec{A}=120^{0}, dar si \prec{B}\equiv\prec{C}=90^{0}

Deci m\left(\widehat{ADC}\right)=360^{0}-120^{0}-180^{0}=240^{0}-180^{0}=60^{0}

Cum DB este bisectoarea unghiului D gasim ca

m\left(\widehat{ADB}\right)=m\left(\widehat{BDC}\right)=\frac{60^{0}}{2}=30^{0}

Cum triunghiul BCD este dreptunghic putem aplica:

Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}

Astfel BC=\frac{BD}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\;\; cm

Acum construim perpendiculara din A pe CD, astfel obtinem ABCT dreptunghi, deci AT=6\sqrt{3}

Acum cu Teorema lui Pitagora in triunghiul BDC obtinem:

BD^{2}=BC^{2}+CD^{2}\Rightarrow CD^{2}=\left(12\sqrt{3}\right)^{2}-\left(6\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow CD=\sqrt{432-108}=\sqrt{324}=18\;\; cm

Daca in triunghiul ATD aplicam tangenta de 60 de grade obtinem:

\tan ADT=\frac{AT}{TD}\Rightarrow \tan 60^{0}=\frac{6\sqrt{3}}{TD}\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{6\sqrt{3}}{TD}\Rightarrow TD=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=6 cm Cum stim TD, putem afla CT=18-6=12 cm.

Dar ABCT dreptunghi si astfel gasim si ca AB=CT=12 cm.

Observam ca in triunghiul ADB m\left(\widehat{BAD}\right)=120^{0}, dar si ca m\left(\widehat{ADB}\right)=30^{0}, deci m\left(\widehat{ABD}\right)=30^{0} si astfel gasim ca triunghiul ABD isoscel, adica AB=AD=CT=12 cm.

Astfel construim perpendiculara din A pe BD, fie AO\perp BD, astfel in triunghiul ABO dreptunghic in O aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}

AO=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6 cm

Cum stim bazele trapezului putem afla linia mijlocie a trapezului.

 

cum aflam linia mijlocie intrun trapez

MN=\frac{AB+CD}{2}=\frac{12+6}{2}=\frac{18}{2}=9\;\; cm