Ne place matematica !

Cum aratam ca un patrulater este paralelogram

Fie ABCD un paralelogram de centru O iar E,F,G,H mijloacele segmentelor [OA] [OB] [ OC] şi respectiv [OD]. arătaţi că EFGH este paralelogram.

Demonstratie:

probleme rezolvate cu paralelogramul
Stim din ipoteza ca ABCD este paralelogram si cu proprietatile referitoare la diagonale intr-un paralelogram stim ca diagonalele au acelasi mijloc, daca nu va reaminti click aici

Astfel obtinem ca [AO]\equiv[CO]
Dar si [BO]\equiv[DO]

Tot din ipoteza stim ca E este mijlocul lui AO, deci avem AE=EO=\frac{AC}{2}
– F mijlocul lui BO, deci avem BF=FO=\frac{BO}{2}
– G mijlocul lui CO, deci obtinem ca CG=GO=\frac{CO}{2}
– H mijlocul lui DO, deci avem ca DH=HO=\frac{DO}{2}

Ca sa intelegem avem ca EO=\frac{AO}{2}\Rightarrow AO=2\cdot EO
Mai mult, GO=\frac{CO}{2}\Rightarrow CO=2\cdot GO
Cum stim de mai sus ca AO=CO\Rightarrow 2EO=2GO\Rightarrow EO=GO

Dar si FO=\frac{BO}{2}\Rightarrow BO=2\cdot FO
MAi mult HO=\frac{DO}{2}\Rightarrow 2\cdot HO=DO\Rightarrow DO=2\cdot HO
Dar stim de mai sus ca DO=BO\Rightarrow 2\cdot HO=2\cdot FO\Rightarrow HO=FO
Avem ca EO=GO, HO=FO
Deoarece diagonalele in patrulaterul EFGH se injumatatesc cu reciproca teoremei referitoare la diagonale obtinem ca EFGH este paralelogram, unde EG si HF sunt diagonale.