Ne place matematica !

Cum comparam doua numere

Prezentam cateva exercitii in care evidentiem modalitati in care comparam doua numere.

1. Comparati numerele:
a=3^{2000}-3^{1999}-3^{1997} si b=2^{2002}-2^{2001}+2^{1997}.
Solutie:

Ca sa comparam cele doua numere mai intai aducem numerele la forma cea simpla:
Astfel, pentru numarul a dam factor comun numarul 3^{1997}
a=3^{1997}\left(3^{3}-3^{2}-3^{0}\right)

Acum efectuam operatiile in paranteza rotunda, adica ridicarea la putere si scaderea.
a=3^{1997}\left(27-9-1\right)
Si obtinem rezultatul 3^{1997}\cdot 17
Iar in cazul numarului b, dam factor comun numarul 2^{1997}
b=2^{1997}\left(2^{5}-2^{4}+2^{0}\right)

Acum, ca si mai sus, efectuam operatiile din paranteza rotunda, adica ridicarea la putere dar si diferentele b=2^{1997}\left(32-16+1\right)
Si obtinem: 2^{1997}\cdot 17
Deci obtinem numerele: a=3^{1997}\cdot 17 si b=2^{1997}\cdot 17
Acum pentru a compara cele doua numere ne folosim de regulile de comparare a puterilor pe care le-am  invatat.

Astfel  observam ca in ambele numere avem numarul 17 deci acum trebuie sa comparam numerele cu puteri, astfel stim ca  avem acelasi exponent, deci comparam bazele si cum 3>2 obtinem si ca a>b.

b) a=5\sqrt{2} si b=4\sqrt{3}

Observam ca avem doua numere irationale, deci pentru a compara cele doua numere introducem mai intai factorii sub radicali si obtinem:

a=5\sqrt{2}=\sqrt{5^{2}\cdot 2}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}

Dar si la b obtinemn b=4\sqrt{3}=\sqrt{4^{2}\cdot 3}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{48}.

Acum comparand numerele de sub radicali obtinem:

50>48, deci obtinem si ca \sqrt{50}>\sqrt{48}\Rightarrow 5\sqrt{2}>4\sqrt{3}

O alta modalitate de comparare a celor doua numere este sa calculam fiecare numar in parte, astfel avem ca:

a=5\sqrt{2}=5\cdot 1,41=7,04

Deoarece stim ca \sqrt{2}\approx 1, 41

Iar b=4\sqrt{3}=4\cdot 1, 73=6,92

Deoarece stim ca \sqrt{3}\approx 1,73

Deci obtinem ca 1,73<6,92, adica obtinem si ca 5\sqrt{2}>4\sqrt{3}\Rightarrow a>b.

c) a=16^{15} cu b=8^{20}

Ca sa comparam cele doua numere folosim regulile de comparare a puterilor astfel pentru a compara cele doua numere, fie aducem numerele la aceiasi baza, fie la acelasi exponent, pentru a le putea compara.

Astfel a=\left(2^{4}\right)^{15}=2^{4\cdot 15}=2^{60}

Observati ca folosim si regulile de calcul cu puteri.

Acum pentru b, incercam sa-l aducem la aceiasi baza ca si numarul a

a=\left(2^{3}\right)^{20}=2^{3\cdot 20}=2^{60}

Astfel, cum avem si aceiasi baza si acelasi exponent, obtinem ca cele doua numere sunt egale, adica a=b.