Ne place matematica !

Cum rezolvam inecuatiile de gradul al doilea

Sa vedem, inca o data, cum rezolvam inecuatiile de gradul al doilea !

O aplicatie a semnului functiei de gradul al doilea f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c,a,b, c\in R, a\neq 0 o reprezinta rezolvarea inecuatiei ax^{2}+bx+c\leq 0,\left(geq, <,1.\right), a\neq 0.
Rezolvarea unei astfel de inecuatii revine la a determina multimea solutiilor, pentru acesta se studiaza semnul functiei de gradul al doilea, dupa care se alege solutia inecuatiei.
Exemplu:
1) Sa se rezolve inecuatia si sa se interpreteze geometric rezultatele:
a) -2x^{2}+4x+6\geq 0
Astfel consideram functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=-2x^{2}+4x+6
Astfel stim ca
f\left(x\right)=\Rightarrow -2x^{2}+4x+6=0
Astfel
\Delta=4^{2}-4\cdot\left(-2\right)\cdot 6=16+48=64
Astfel ecuatia are solutiile
x_{1}=\frac{-4+\sqrt{64}}{2\cdot\left(-2\right)}=\frac{-4+8}{-4}=\frac{4}{-4}=-1
Dar si
x_{2}=\frac{-4-\sqrt{64}}{2\cdot\left(-2\right)}=\frac{-4-8}{-4}=\frac{-12}{-4}=3
Acum realizam tabelul de semn pentru functia f.
cum rezolvam inecuatia de gradul al doilea
Din tabelul functie observam ca x\in\left[-1;3\right]
Deoarece functia f este pozitiva pe intervalul de mai sus.
b) \frac{x^{2}-3x-4}{4x-x^{2}}
Solutie:
Mai intai stabilim omeniul de existenta al functie astfel punem conditia ca:
4x-x^{2}\neq 0\Rightarrow x\left(x-4\right)\neq 0
Astfel fie
x\neq 0
Sau
x-4\neq 0\Rightarrow x\neq 4
Deci domeniul de existenta este:
D=R-\left\{0,4\right\}(adica numitorul trebuie sa fie diferit de 0.)
Acum ca sa aflam solutia inecuatiei consideram functiile
f,g:R\rightarrow R si
f\left(x\right)=x^{2}-3x-4
Acum rezolvam ecuatia
f\left(x\right)=0\Rightarrow x^{2}-3x-4=0
Astfel
\Delta=\left(-3\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-4\right)=9+16=25
Acum
x_{1}=\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4
x_{2}=\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{3-5}{2}=\frac{-2}{2}=-1

Dar si
g\left(x\right)=4x-x^{2}
Adica
g\left(x\right)=0\Rightarrow 4x-x^{2}=0\Rightarrow x=0
Sau
4-x=0\Rightarrow x=4
Acum realizam tabelul celor doua functii si astfel afla solutia inecuatiei:
cum aflam solutia unei inecuatii de gradul al doilea
Din tabelul celor doua functii reiese ca solutia inecuatiei este S=[-1,0)

Daca nu ati inteles cum se rezolva inecuatiile de gradul al doilea va asteptam sa ne trimiteti si alte exercitii pentru a va ajuta sa le rezolvati. Accesati pagina REZOLVARI !