Ne place matematica !

Cum sa recapitulam mai usor pentru Simulare Bacalaureat

Vreti sa aflati cum sa recapitulam mai usor pentru Simulare Bacalauret?

Raspunsul ar fi ca ar trebui sa incepem prin a ne reaminti temele pe care le avem pentru aceste examen, iar noi propunem sa incepem cu clasa a IX a. Asadar primul capitol ari fi progresiile, atat aritmetice cat si geometrice. Pentru cei care nu va mai reamintiti ce inseamna click aici.

Iar acum rezolvam cateva exercitii care s-au dat la examenele de Bacalaureat.

1. Intr-o progresie aritmetica \left(a_{n}\right){n\geq 1} avem a_{2}=7 si a_{10}=15. Calculati a_{2015}

Solutie: Cu formula teremnului general stim ca:

a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r

Adica a_{2}=a_{1}+\left(2-1\right)\cdot r\Rightarrow 7=a_{1}+1\cdot r\Rightarrow a_{1}+r=7

Dar si a_{10}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 15=a_{1}+\left(10-1\right)\cdot r\Rightarrow a_{1}+9\cdot r=15

Astfel am obtinut inca o relatie, din cele doua relatii obtinem: a_{1}+r=7\Rightarrow a_{1}=7-r

Iar daca inlocuim in cea de-a doua relatie obtinem: a_{1}+9r=15\Rightarrow 7-r+9r=15\Rightarrow 8r=15-7\Rightarrow 8r=8\Rightarrow r=1

Astfel obtinem a_{1}=7-r\Rightarrow a_{1}=7-1\Rightarrow a_{1}=6

Astfel obtinem a_{2015}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r=6+\left(2015-1\right)\cdot 1=6+2014\cdot 1=6+2014=2020

2. Calculati suma 1+4+7+10+13+...+28+31

Observam ca termenii sumei sunt 1, 4, 7, 10, 13…,28,31

Adica teremenii consecutivi ai unei progresii aritemtice in care a_{1}=1, a_{2}=4,...,a_{n}=31

Astfel putem calcula r=a_{n+1}-a_{n}, adica r=a_{2}-a_{1}=4-1=3

Astfel am obtinut ratia r=3

Iar pentru a afla suma de mai sus calculam

S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right)\cdot n}{2}

Dar mai intai trebuie sa aflam cati termeni are suma si folosim formula termenului general: a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 31=1+\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow 31-1=\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow \left(n-1\right)\cdot 3=30\Rightarrow n-1=30:3\Rightarrow n-1=10\Rightarrow n=10+1\Rightarrow n=11

Deci suma de mai sus are 11 termeni si cu formula de mai sus obtinem: S_{11}=\frac{\left(1+31\right)\cdot 11}{2}=\frac{32\cdot 11}{2}=16\cdot 11=176

3. Determinati numarul  real x, pentru care numerele 2, x+2 si 10 sunt teremenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Solutie: Stim ca un sir de numere a_{1}, a_{2}, a_{3} sunt in progresie aritmetica, daca

a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}( adica trei termeni sunt in progresie aritmetica, daca teremnul din mijloc este media aritmetica a celorlalte doua)

x+2=\frac{2+10}{2}\Rightarrow x+2=\frac{12}{2}\Rightarrow x+2=6\Rightarrow x=6-2\Rightarrow x=4

4. Fie \left(a_{n}\right)_{n\geq 1} o progresie aritmetica de ratie r=2 in care a_{3}+a_{4}=8. Determinati a_{1}.

Solutie: Cu formula termenului general obtinem:

a_{3}=a_{1}+\left(3-1\right)\cdot r\Rightarrow a_{3}=a_{1}+2\cdot 2\Rightarrow a_{3}=a_{1}+4

Iar a_{4}=a_{1}+\left(4-1\right)\cdot r\Rightarrow a_{4}=a_{1}+3\cdot 2\Rightarrow a_{4}=a_{1}+6

Astfel daca inlocuim in relatia de mai sus obtinem: a_{3}+a_{4}=8\Rightarrow a_{1}+4+a_{1}+6=8\Rightarrow 2a_{1}+10=8\Rightarrow 2\cdot a_{1}=8-10\Rightarrow 2\cdot a_{1}=-2\Rightarrow a_{1}=-2:2\Rightarrow a_{1}=-1