Ne place matematica !

Dreapta perpendiculara pe un plan, distanta de la un punct la un plan

Despre doua drepte concurente sau necoplanare am invatat ca sunt perpendiculare daca formeaza un unghi de 90^{0}, adica formeaza un unghi drept si astfel este foarte important sa intelegem aceste notiuni intrrucat dreapta perpendiculara pe un plan si distanta de la un punct la un plan sunt foarte importante pentru Evaluarea Nationala.
Astfel definim notiunea de dreapta perependiculara pe un plan:
Def: Numim dreapta perpndiculara pe un plan o dreapta care este perpendicluara pe orice dreapta din acel plan.
Teorema. O dreapta perpendiculara pe doua drepte concurente dintr-un plan este perpendiculara pe plan.
<br /> d \perp a
<br /> \\d\perp b, a\cap b=\left\{O\right\}<br /> \\a, b \subset \alpha<br /> \\Deci\;\;\; d\perp \alpha<br />
Dreapta perpendiculara pe doua drepte concurente
Teorema. Prin orice punct din spatiu se poate duce o singura perpendiculara pe un plan dat.
Deci ,foarte important sa stim ca putem duce o singura perpendiculara pe un plan.
Teorema. Prin orice punct din spatiu trece un singur plan perpendicular pe o dreapta data.
Prezentam un exemplu care sa ne ajute sa intelegem:
1) Triunghiul dreptunghic ABC are catetele AB=2 cm si AC=\sqrt{5}. Ducem BD\perp \left(ABC\right), astfel incat BD=4 cm. Calculati lungimea lui AD si CD si aratati cu  AC\perp \left(ABD\right).
Ip:
AB=2 cm

<br /> AC=\sqrt{5}<br /> \\BD\perp \left(ABC\right)<br /> \\BD= 4 cm<br />
Dem:
<br /> AD=?<br /> \\CD=?<br /> \\AC\perp \left(ABD\right)<br />

probleme rezolvate triunghiul dreptunghic
Dem:
Calculam cu ajutorul teoremei lui Pitagora BC
<br /> BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}<br /> \\BC^{2}=2^{2}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}<br /> \\BC^{2}=4+5<br /> \\BC=\sqrt{9}<br /> \\BC=3 cm.
Dupa ce am aflat lungimea ipotenuzei obsevam ca triunghiul BCD este dreptunghic in B (deoarece am ridicat perpendiculara BD, dreapta noastra este perpendiculara pe doua drepte concurente, BC si AB).
Deci in triunghiul BCD aplicam teorema lui Pitagora
<br /> CD^{2}=BC^{2}+BD^{2}<br /> \\CD^{2}=3^{2}+4^{2}<br /> \\CD^{2}=9+16<br /> \\CD^{2}=25<br /> \\CD=\sqrt{25}<br /> \\CD=5<br /> cm.
Iar pentru a afla pe AD aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul ADB, dreptungic in B, stim asta din faptul ca dreapta DB este percendiculara pe planul ABC, deci obtinem
<br /> AD^{2}=AB^{2}+BD^{2}<br /> \\AD^{2}=2^{2}+4^{2}<br /> \\AD^{2}=4+16<br /> \\AD^{2}=20<br /> \\AD=\sqrt{20}<br /> \\AD=2\sqrt{5}<br /> cm.
Ca sa aratam ca dreapta AC este perpendiculara pe planul ABD observam ca:
<br /> AC\perp BD<br /> \\AC\perp AB<br /> \Rightarrow AC\perp \left(ABD\right)<br />
Dupa cum am spus o sa discutam si despre distanta de la un punct la un plan. Astfel definim distanta de la un punct l un plan:
Def: Se numeste distanta de la un punct la un plan lungimea segmentului care uneste punctul cu piciorul perpendicularei duse din punctul dat pe plan.

Fie un plan \alpha si un punct  A\notin \alpha
care este distanta de la un punctla un plan
Construim AA'\perp\alpha cu  A'\in \alpha
cum calculam distanta de l un punct la un plan
Deci d\left(A, \alpha\right)=AA'
Daca  A\in \alpha , atunci d\left(A, \alpha\right)=0.