Ne place matematica !

Ecuatia unei drepte care trece prin doua puncte distincte

Prezentam noi probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor, dar si cum calculam ecuatia unei drepte care trece prin doua puncte distincte, cat si exercitii simple pentru clasa a IV a. Pe deasupra mai prezentam si exercitii rezolvate cu progresii aritmetice, adica aflarea primilor n termeni ai unei progresii aritmetice.

Prima problema.

Mihai si fratele lui au impreuna 21 de ani. Varsta lui Mihai reprezina patru supra trei din varsta fratelui sau. Cati ani au fiecare?

Solutie:

Notam cu x varsta lui Mihai si y varsta fratelui sau

Astfel obtinem ecuatia:

x+y=21 (Mihai si fratele lui au 21 de ani)

x=\frac{4}{3}\cdot y

Astfel daca inlocuim cea de-a doua ecuatie in prima obtinem:

\frac{4}{3}\cdot y+y=21|\cdot 3\Rightarrow 4y+3y=21\cdot 3\Rightarrow 7y=63\Rightarrow y=63:7\Rightarrow y=9

Deci am obtinut ca fratele sau are varsta de 9 ani

Iar Mihai x=\frac{4}{3}\cdot y=\frac{4}{3}\cdot 9=\frac{4\cdot 9}{3}=\frac{36}{3}=36:3=12

Deci Mihai are 12 ani.

2. Calculati 1320:40+5x(15+17+2×4)-(200+480:160)=

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus trebuie sa tinem cont de ordinea efectuarii operatiilor si folosirea parantezelor, astfel mai intai in parantezele rotunde efectuam operatiile de inmultire si impartire 1320:40+5\cdot\left(15+17+8\right)-\left(200+3\right)=

33+5\cdot 40-203=33+200-203=233-203=30

3. Sa se determine ecuatia dreptei care contine pct. A(2,3) si B(-3,-2)

Ca sa determinam ecuatia dreptei care trece prin punctele A si B, mai intai ne reamintim formula invatata in clasa a X a, adica ecuatia carteziana a dreptei care trece prin doua puncte distincte A\left(x_{A}, y_{A}\right) si B\left(x_{B}, y_{B}\right) este

\frac{x-x_{A}}{x_{B}-x{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}

Iar in cazul nostru obtinem \frac{x-2}{-3-2}=\frac{y-3}{-2-3}\Rightarrow \frac{x-2}{-5}=\frac{y-3}{-5}\Rightarrow x-2=y-3\Rightarrow x-2-y+3=0\Rightarrow x-y+1=0

4. Determinati nr. natural de trei cifre scrise in baza zece care impartite la 38 dau restul 7

Solutie:

Consideram numarul natural de trei cifre scrise in baza zece

abc

Stim ca numerele impartite la 38 dau restul 7.

Astfel cu teorema impartirii cu rest obtinem:

abc:38, obtinem c=catul si r=7

Astfel avem abc=38\cdot c+7, dar tebuie sa tinem cont si de conditia r<I, aica restul mai mic ca impartitorul.

Pentru c=1, obtinem numarul abc=38\cdot 1+7=38+7=45, dar numarul gasit este de trei cifre, iar numerele pe care noi le cautam sunt de trei cifre, astfel numerele noastre sunt cuprinse intre 100<abc<999

Pentru c=3, obtinem numarul:

abc=38\cdot 3+7=114+7=121

Pentru c=4 si obtinem abc=38\cdot 4+7=152+7=159

Pentruc=5 si obtinem abc=38\cdot 5+7=190+7=197

………………………

Pentru c=26, obtinem abc=38\cdot 26+7=988+7=995

5. Rezolvati ecuatia

5x+3x(2-4)=8

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus efectuam calculele din paranteza rotunda: 5x+3x\cdot\left(-2\right)=8\Rightarrow 5x-6x=8\Rightarrow -x=8\Rightarrow x=-8

6. Calculati suma

S = 8+11+14+…+44

Ca sa calculam suma de mai sus, observam mai intai ca sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice, astfel mai intai aflam ratia progresiei aritmetice:

8, 11, 14,…, 44

astfel ratia este r=11-8=3

Acum sa aflam cati termeni are suma pentru a o putea calcula, iar pentru asta folosim formula termenului general de la progresiile aritmetice si obtinem:

a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 44=8+\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow 44-8=\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow 36=\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow 36:3=n-1\Rightarrow 12=n-1\Rightarrow n=12+1\Rightarrow n=13

Deci avem 13 termeni ai sumei si stim ca a_{1}=8, fiind primul termen a_{n}=44 fiind ultimul termen, iar suma termenilor se calculeaza cu formula

S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right)\cdot n}{2} (suma primilor n termeni)

In cazul nostru S_{13}=\frac{\left(8+44\right)\cdot 13}{2}=\frac{52\cdot 13}{2}=\frac{26\cdot 13}{1}=338

Deci obtinem ca 8+11+14+...+44=338