Ne place matematica !

Elemente de organizare a datelor Reprezentarea punctelor in plan cu ajutorul sistemelor de axe de coordonate Distanta dintre doua puncte in plan

Inca din clasele mai mici am definit notiunea de produs cartezia, notiune care ne  ajuta sa introduce notiuni noi, astfel Prousul sclar al multimilor nevide A si B este multimea perechilor ordonate (a, b), unde a\in A si b\in B: A\times B=\left\{\left(a,b\right)|a\in A, b\in B\right\} Atentie trebuie sa stim ca \left(a,b\right)\neq\left(b,a\right), la fel si A\times B\neq B\times A

Exemplu Daca A\left\{1,2,3\right\} si B=\left\{0,4\right\} Atunci A\times B=\left\{\left(1,0\right); \left(1,4\right); \left(2,0\right); \left(2,4\right); \left(3,0\right); \left(3,4\right)\right\}

Prin sistem de axe ortogonale intelegem figura formata din doua axe ale numerelor care sunt perpendiculare si care au un punct de intersectie numit origine. cum aratam un reper cartezian In figura de mai sus xOy este un sistem de axe ortogonale cu:

– originea O,

– axa Ox numita axa absciselor

– axa Oy numita axa ordonaltelor

Sistemul de axe ortogonale se mai numeste si sistem (reper) cartezian Planul in care se reprezinta sistemul cartezian este impartit in patru cadrane si au semnele dupa cum urmeaza:

– cadranul I (+,+)

– cadranul II (-,+)

– cadranul III (-,-)

– cadranul IV (+,-) sistem de axe ortogonale       Acum sa vedem cu reprezentam punctele in sistemul de axe ortogonale, astfel fie de exemplu

A\left(1,2\right); B\left(-1, 4\right); C\left(-2,-3\right); D\left(5,-3\right)reprezentarea punctelor in sistemul de axe ortogonale Observati ca atunci cand reprezrntam punctele trebuie sa tine cont de anumite reguli:

-sa avem aceiasi unitate de masura (alegem o unitate de masura in sistemul de axe ortogonale)

– prima coordonata a unui punct corespunde axei Ox, adica axa absciselor in czul nostru am avut A(1, 2), 1 corespunde axei Ox, valoarea pe care o ia x

– cea de-a doua valoare a punctului corespunde axei Oy, adica axei ordonate, in cazul nostu 2 se afla pe axa Oy

Trebuie sa tinem cont si de valorile negative pe care le iau puntele astfel de exemplu: C(-2,-3)

Am vazut ca un sistem de axe ortogonale este o figura formata din doua axe ale numerelor care sunt perpendiculare si care au un punct in comun.

Astfel -2 se afla tot pe axa absciselor, adica Ox dar spre – infinit, adica sensul negativ , in cadranul al doilea Iar -3 se afla pe axa ordonatelor, adica axa Oy, dar la fel  spre -infinit, in cadranul  al doilea

Distanta dintre doua puncte:

Fie punctele A\left(x_{A}, y_{A}\right) si B\left(x_{B}, y_{B}\right) reprezentate intr-un sistem de axe ortogonale xOy. aplicand teorema lui Pitagora intr-un triunghi dreptunghic a carui ipotenuza este segmentul AB, iar catetele sunt paralele cu axele de coordonate obtinem:

AB=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}

Mijlocul unui segment

Pentru oricare doua puncte A\left(x_{A}, y_{A}\right) si B\left(x_{B}, y_{B}\right), coordonatele mijlocului M al segmentului AB sunt x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} si y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}

Aplicatii:

1) Fie punctele A(2,1), B(-1,-3), C(0,-3), D(4,0),, reprezentati intr-un sistem de axe ortogonale. Si calculati:

a) Distantele AB, AC, CD

b) Determinati coordonatele mijlocului M al segmentului [AC] Solutie: Mai inati reprezentam punctele intr-un sistem de axe de coordonate: cum reprezentam punctele intr-un sistem de axe Cand am reprezentat punctul C observati ca l-am pus pe axa Oy, axa ordonatelor si se numeste punctul de abscisa 0 si ordonata -3, iar punctul D se afla pe axa Ox, axa absciselor si se numeste punctul cu ordonata 0.

Astfel de retinut daca abscisa este 0, punctul se afla pe axa ordonatelor, iar daca  ordonata este 0,  atunci punctul se afla pe axa absciselor

Acum ca sa calculam distanta dintre punctele A si B, folosim formula de mai sus, astfle:

AB=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{\left(-1-2\right)^{2}+\left(-3-1\right)^{2}}=\sqrt{\left(-3\right)^{2}+\left(-4\right)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

Acum calculam AC=\sqrt{\left(x_{C}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{C}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{\left(0-2\right)^{2}+\left(-3-1\right)^{2}}=\sqrt{\left(-2\right)^{2}+\left(-4\right)^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}

Iar CD=\sqrt{\left(x_{D}-x_{C}\right)^{2}+\left(y_{D}-y_{C}\right)^{2}} =\sqrt{\left(4-0\right)^{2}+\left[0-\left(-3\right)\right]^{2}}= \sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 distanta dintre doua puncte b) Acum sa aflam coordonatele mijlocului segmentului AC, astfel cu formula enuntata mai sus obtinem

M\left(x_{M}, y_{M}\right) Astfel x_{M}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{2+0}{2}=\frac{2}{2}=1

y_{M}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{1+\left(-3\right)}{2}=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1

Deci M\left(1,-1\right)

2) Stiind ca A(a,1), B(0,5), determinati numerele reale a pentru care AB=5.

Solutie:

Astfel stim ca

AB=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}\Rightarrow 5=\sqrt{\left(0-a\right)^{2}+\left(5-1\right)^{2}}\Rightarrow 5=\sqrt{\left(-a\right)^{2}+4^{2}}\Rightarrow 5=\sqrt{a^{2}+16}\Rightarrow 5^{2}=a^{2}+16\Rightarrow 25=a^{2}+16\Rightarrow 25-16=a^{2}\Rightarrow 9=a^{2}\Rightarrow a^{2}=9\Rightarrow a=\pm\sqrt{9}=\pm 3\Rightarrow a\in\left\{-3.3\right\}

3) Determinati coordonatele simetricului punctului A(1, 2) fata de punctul M(3,4).

Solutie:

cum aflam simetricul unui punct fata de un punct

Simetricul punctului A fata de M este punctul A'(x_{A'},y_{A'}) cu proprietatea ca

d\left(A,M\right)=d\left(M,A'\right),

adica M este mijlocul segmentului AA’, astfel avem ca

x_{M}=\frac{x_{A}+x_{A'}}{2}, y_{M}=\frac{y_{A}+y_{A'}}{2} Astfel avem ca x_{M}=\frac{x_{A}+x_{A'}}{2}\Rightarrow 3=\frac{1+x_{A'}}{2}\Rightarrow 3\cdot 2=1+x_{A'}\Rightarrow 6=1+x_{A'}\Rightarrow x_{A'}=6-1\Rightarrow x_{A'}=5 y_{M}=\frac{y_{A}+y_{A'}}{2}\Rightarrow 4=\frac{2+y_{A'}}{2}\Rightarrow 2\cdot 4=2+y_{A'}\Rightarrow 8=2+y_{A'}\Rightarrow 8-2=y_{A'}\Rightarrow 6=y_{A'}

Deci obtinem A'\left(5,6\right)