Ne place matematica !

Exercitii rezolvate cu divizibilitate

Prezentam doua exercitii rezolvate cu divizibilitatea numerelor naturale

1. Sa se afle numerele naturale a si b, stiind ca sunt indeplinite relatiile:
a-b= 156 si (a,b)=13
Solutie:
Ca sa aflam numerele a si b, trebuie sa tinem cont de conditiile de mai sus. Adica
a-b=156 dar si (a, b)=13
Dar, sigur a>b cum cel mai mare divizor comun a celor doua numere este 13, adica 13|a, de unde conform definitiei divizibilitatii, rezulta ca exista un numar natural c astfel incat a=13\cdot c
si 13|b, de unde la fel conforma definitiei divizibilitatii numerelor naturale ca exista un numar natural t, astfel incat b=13\cdot t

Astfel diferenta devine:

a-b=156\Rightarrow 13\cdot c-13\cdot t=156\Rightarrow 13\left(c-t\right)=156, cu c>t
Si obtinem c-t=156:13\Rightarrow c-t=12
Deci diferenta dintre c si t este 12, dar si c>t, ca sa aiba loc sens diferenta.
Pentru t=1, obtinem c-1=12\Rightarrow c=12+1\Rightarrow c=13
Si obtinem a=13\cdot c=13\cdot 13=169 si b=13\cdot 1=13
Pentru t=2, obtinem c-2=12\Rightarrow c=14
Si obtinem a=13\cdot c=13\cdot 14=
Si b=13\cdot 2

Si am obtine ca cel mai mare divizor comun al numerelor este 26 si nu satisface cea de-a doua conditie, deci nu convine.
Pentru t=3, obtinem c-3=12\Rightarrow c=15
Si a=13\cdot 15=
Dar si b=13\cdot 3
si la fel obtinem ca cel mai mare divizor comun al numerelor este 39 ceea ce nu convine
…………..

Pentru t=5, obtinem c-5=12\Rightarrow c=17
Si obtinem a=13\cdot c=13\cdot 17=221
Si b=13\cdot t=13\cdot 5=65, ceea ce satisface conditia de mai sus.
………………………

Pentru t=7, obtinem c-7=12\Rightarrow c=19
Si obtinem a=13\cdot 19=247
Si b=13\cdot 7=91, pentru care se verifica conditiile de mai sus.

Pentru t=11, obtinem c-11=12\Rightarrow c=23
Obtinem a=13\cdot 23=299
Si b=13\cdot t=13\cdot 11=143, de unde se verifica conditiile de mai sus.
Pentru t=13, obtinem c-13=12\Rightarrow c=12+13\Rightarrow c=25
Iar numerele gasite sunt a=13\cdot 25=325
Si b=13\cdot t=13\cdot 13=169
Astfel stim ca c=12+t
Pentru t=17, obtinem c=12+17=29
Si obtinem a=13\cdot 29=377 si b=13\cdot 17=221 si asa mai departe.

2. Determinati numerle de forma 73xy(cu bara deasupra) divizible cu 36 ca numerele de forma 73xy sa fie divizibile cu 36, trebuie sa fie divizibile atat cu 9 cat si cu 4, astfel folosim criteriile de divizibilitate.

Stim ca un numar este divizibil cu 4 daca ultimile doua cifre sunt divizibile cu 4, dar si criteriul de divizibilitate cu 9, adica un numar este divizibil cu 9 daca suma cifrelor este divizibila cu 9, astfel avem:
7+3+x+y=10+x+y
Astfel pentru x=y=4, obtinem \left(10+4+4=18\right)\vdots 9, dar este divizibil si cu 4, deci primul numar gasit este 7344
Pentru x=6 si y=2 obtinem \left(10+6+2\right)=18\vdots 9, dar nu si cu 4.

Si obtinem ca numarul 7362 nu este divizibil cu 36.
Pentri x=8 si y=0, obtinem \left(10+8+0\right)=18\vdots 9
Iar numarul gasit este 7380 care este divizibil si cu 4, deci divizibil cu 36.
Deci numerele gasite sunt 7344 si 7380.